19.2二次根式的乘法与除法知识归纳与题型突破2025-2026学年人教版八年级数学下册（八题型）

19.2二次根式的乘法与除法知识归纳与题型突破 2025-2026学年人教版八年级下册（八题型） 知识归纳： 知识点一 二次根式的乘法 1. 二次根式的乘法法则 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即． 例如：． 2. 二次根式的乘法法则的拓展 （1）二次根式的乘法公式可推广到多个二次根式相乘的运算，即． （2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即． 知识点二 二次根式的除法 1. 二次根式的除法法则 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即． 2. 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即． 3. 二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即． 知识点三 最简二次根式 1. 被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数（或因式），分母中不含根号，这样的二次根式称为最简二次根式． 2. 化为最简二次根式的步骤 （1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； （2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方； （3）利用，使被开方数中不含分母； （4）分母有理化，化去分母中的根号； （5）约分化简，整理成最简二次根式． 题型突破： 题型一：二次根式乘除成立的条件 1．要使等式成立，实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 2．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若成立，则的值可以是（   ） A． B．0 C．2 D．3 4．如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 5．等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 6.等式成立的条件是 　 　 题型二：最简二次根式 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．若与最简二次根式能合并，则m的值为（    ） A．7 B．9 C．2 D．1 4．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a的最小值为（　　） A．23 B．21 C．15 D．5 5．把下列二次根式化简最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三：根号内、外的因式互移 1.把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 2.把4根号外的因式移进根号内，结果等于（　　） A． B． C． D． 3.将 中的a移到根号内，结果是（　　） A． B． C． D． 4.把下列根号外的因式移到根号内. (1)a;(2)·(x>y>0);(3)ab(0<a<b). 题型四：分母有理化 1．下列各式中，与的积为有理数的是（    ） A． B． C． D． 2．计算＝ ． 3．分母有理化： . 4．化简： ． 5.阅读理解：把分母中的根号化去叫做分母有理化，例如： ①； ② 等运算都是分母有理化，根据上述材料， （1）化简： （2）计算： 题型五：二次根式的乘法运算 1．计算的结果是（    ） A．9 B．3 C． D． 2．下列计算结果正确的是（ ） A． B． C． D． 3．计算： ． 4.计算： (1) (2) (3) (4)． 5.计算: (1);(2) 题型六：二次根式的除法运算 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 3．小明在进行二次根式运算时发现：；；；，由此猜想，上述探究过程蕴含的思想方法是（   ） A．特殊与一般 B．整体 C．转化 D．分类讨论 4.计算： （1）；     （2）；     （3）；     （4）． 题型七：二次根式的乘除混合运算 1．计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 2．计算：等于（   ） A． B． C． D． 3.计算：． 4.计算：93． 5.计算：． 题型八：二次根式乘除的应用 1.在中，面积为12，底边长为，则该底边上的高为（    ） A． B． C． D． 2.高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（    ） A． B． C． D． 3.如图，从一个大正方形中裁去面积为8和18的两个小正方形，则余下部分的面积为（    ） A．32 B．30 C．24 D．22 4.根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内时间只经过秒（千米/秒，是宇宙飞船的速度）．假定宇宙飞船的速度是千米/秒时，当地面经过5分钟时，宇宙飞船内经过多少时间？ 5.有甲、乙两块面积相等的长方形木板，甲的长为，宽为，乙的长为，求乙的宽（结果保留根号）． 【答案】 19.2二次根式的乘法与除法知识归纳与题型突破 2025-2026学年人教版八年级下册（八题型） 知识归纳： 知识点一 二次根式的乘法 1. 二次根式的乘法法则 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即． 例如：． 2. 二次根式的乘法法则的拓展 （1）二次根式的乘法公式可推广到多个二次根式相乘的运算，即． （2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即． 知识点二 二次根式的除法 1. 二次根式的除法法则 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即． 2. 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即． 3. 二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即． 知识点三 最简二次根式 1. 被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数（或因式），分母中不含根号，这样的二次根式称为最简二次根式． 2. 化为最简二次根式的步骤 （1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； （2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方； （3）利用，使被开方数中不含分母； （4）分母有理化，化去分母中的根号； （5）约分化简，整理成最简二次根式． 题型突破： 题型一：二次根式乘除成立的条件 1．要使等式成立，实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 2．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3．若成立，则的值可以是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】B 4．如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 【答案】B 5．等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 6.等式成立的条件是 　 　 【答案】4≤x<7． 题型二：最简二次根式 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 3．若与最简二次根式能合并，则m的值为（    ） A．7 B．9 C．2 D．1 【答案】D 4．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a的最小值为（　　） A．23 B．21 C．15 D．5 【答案】D 5．把下列二次根式化简最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)4(2)(3)(4) 【详解】（1）解：==4 ； （2）解：===； （3）解：==； （4）解：． 题型三：根号内、外的因式互移 1.把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 2.把4根号外的因式移进根号内，结果等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 3.将 中的a移到根号内，结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 4.把下列根号外的因式移到根号内. (1)a;(2)·(x>y>0);(3)ab(0<a<b). 【答案】（1）;（2）;（3）. 【详解】(1)  ∵>0,∴a>0,a=,∴a·; (2)  ∵x>y>0,∴x-y>0,xy>0,即>0. ∴, ∴··; (3)  ∵0<a<b,∴ab>0, b-a＞0,∴ab=, ∴ab·. 题型四：分母有理化 1．下列各式中，与的积为有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2．计算＝ ． 【答案】 3．分母有理化： . 【答案】 4．化简： ． 5.阅读理解：把分母中的根号化去叫做分母有理化，例如： ①； ② 等运算都是分母有理化，根据上述材料， （1）化简： （2）计算： 【答案】（1）；（2）. 【解析】 解：（1）原式=； （2）原式= ． = = =. 题型五：二次根式的乘法运算 1．计算的结果是（    ） A．9 B．3 C． D． 【答案】B 2．下列计算结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 3．计算： ． 【答案】18 4.计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)(2)3(3)(4)8 【详解】（1） （2） （3） （4） 5.计算: (1);(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型六：二次根式的除法运算 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2．计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 3．小明在进行二次根式运算时发现：；；；，由此猜想，上述探究过程蕴含的思想方法是（   ） A．特殊与一般 B．整体 C．转化 D．分类讨论 【答案】A 4.计算： （1）；     （2）；     （3）；     （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 题型七：二次根式的乘除混合运算 1．计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【答案】D 2．计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 3.计算：． 【答案】 【详解】解： 4.计算：93． 【答案】解：原式＝9 10 ＝45． 5.计算：． 【答案】解： ＝3×（）×2 5 ． 题型八：二次根式乘除的应用 1.在中，面积为12，底边长为，则该底边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B． 2.高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A． 3.如图，从一个大正方形中裁去面积为8和18的两个小正方形，则余下部分的面积为（    ） A．32 B．30 C．24 D．22 【答案】C． 4.根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内时间只经过秒（千米/秒，是宇宙飞船的速度）．假定宇宙飞船的速度是千米/秒时，当地面经过5分钟时，宇宙飞船内经过多少时间？ 【答案】解：依题意，当地面时间经过5分钟即300秒时 飞船内经过的时间为秒 答：当地面经过5分钟时，宇宙飞船内经过时间． 5.有甲、乙两块面积相等的长方形木板，甲的长为，宽为，乙的长为，求乙的宽（结果保留根号）． 【答案】乙的宽为 【详解】解： ， ∴乙的宽为． 【答案】 19.2二次根式的乘法与除法知识归纳与题型突破 2025-2026学年人教版八年级下册（八题型） 知识归纳： 知识点一 二次根式的乘法 1. 二次根式的乘法法则 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即． 例如：． 2. 二次根式的乘法法则的拓展 （1）二次根式的乘法公式可推广到多个二次根式相乘的运算，即． （2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即． 知识点二 二次根式的除法 1. 二次根式的除法法则 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即． 2. 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即． 3. 二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即． 知识点三 最简二次根式 1. 被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数（或因式），分母中不含根号，这样的二次根式称为最简二次根式． 2. 化为最简二次根式的步骤 （1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； （2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方； （3）利用，使被开方数中不含分母； （4）分母有理化，化去分母中的根号； （5）约分化简，整理成最简二次根式． 题型突破： 题型一：二次根式乘除成立的条件 1．要使等式成立，实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 2．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3．若成立，则的值可以是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】B 4．如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 【答案】B 5．等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 6.等式成立的条件是 　 　 【答案】4≤x<7． 题型二：最简二次根式 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 3．若与最简二次根式能合并，则m的值为（    ） A．7 B．9 C．2 D．1 【答案】D 4．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a的最小值为（　　） A．23 B．21 C．15 D．5 【答案】D 5．把下列二次根式化简最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)4(2)(3)(4) 【详解】（1）解：==4 ； （2）解：===； （3）解：==； （4）解：． 题型三：根号内、外的因式互移 1.把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 2.把4根号外的因式移进根号内，结果等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 3.将 中的a移到根号内，结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 4.把下列根号外的因式移到根号内. (1)a;(2)·(x>y>0);(3)ab(0<a<b). 【答案】（1）;（2）;（3）. 【详解】(1)  ∵>0,∴a>0,a=,∴a·; (2)  ∵x>y>0,∴x-y>0,xy>0,即>0. ∴, ∴··; (3)  ∵0<a<b,∴ab>0, b-a＞0,∴ab=, ∴ab·. 题型四：分母有理化 1．下列各式中，与的积为有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2．计算＝ ． 【答案】 3．分母有理化： . 【答案】 4．化简： ． 5.阅读理解：把分母中的根号化去叫做分母有理化，例如： ①； ② 等运算都是分母有理化，根据上述材料， （1）化简： （2）计算： 【答案】（1）；（2）. 【解析】 解：（1）原式=； （2）原式= ． = = =. 题型五：二次根式的乘法运算 1．计算的结果是（    ） A．9 B．3 C． D． 【答案】B 2．下列计算结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 3．计算： ． 【答案】18 4.计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)(2)3(3)(4)8 【详解】（1） （2） （3） （4） 5.计算: (1);(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型六：二次根式的除法运算 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2．计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 3．小明在进行二次根式运算时发现：；；；，由此猜想，上述探究过程蕴含的思想方法是（   ） A．特殊与一般 B．整体 C．转化 D．分类讨论 【答案】A 4.计算： （1）；     （2）；     （3）；     （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 题型七：二次根式的乘除混合运算 1．计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【答案】D 2．计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 3.计算：． 【答案】 【详解】解： 4.计算：93． 【答案】解：原式＝9 10 ＝45． 5.计算：． 【答案】解： ＝3×（）×2 5 ． 题型八：二次根式乘除的应用 1.在中，面积为12，底边长为，则该底边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B． 2.高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A． 3.如图，从一个大正方形中裁去面积为8和18的两个小正方形，则余下部分的面积为（    ） A．32 B．30 C．24 D．22 【答案】C． 4.根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内时间只经过秒（千米/秒，是宇宙飞船的速度）．假定宇宙飞船的速度是千米/秒时，当地面经过5分钟时，宇宙飞船内经过多少时间？ 【答案】解：依题意，当地面时间经过5分钟即300秒时 飞船内经过的时间为秒 答：当地面经过5分钟时，宇宙飞船内经过时间． 5.有甲、乙两块面积相等的长方形木板，甲的长为，宽为，乙的长为，求乙的宽（结果保留根号）． 【答案】乙的宽为 【详解】解： ， ∴乙的宽为． 【答案】 19.2二次根式的乘法与除法知识归纳与题型突破 2025-2026学年人教版八年级下册（八题型） 知识归纳： 知识点一 二次根式的乘法 1. 二次根式的乘法法则 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即． 例如：． 2. 二次根式的乘法法则的拓展 （1）二次根式的乘法公式可推广到多个二次根式相乘的运算，即． （2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即． 知识点二 二次根式的除法 1. 二次根式的除法法则 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即． 2. 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即． 3. 二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即． 知识点三 最简二次根式 1. 被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数（或因式），分母中不含根号，这样的二次根式称为最简二次根式． 2. 化为最简二次根式的步骤 （1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； （2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方； （3）利用，使被开方数中不含分母； （4）分母有理化，化去分母中的根号； （5）约分化简，整理成最简二次根式． 题型突破： 题型一：二次根式乘除成立的条件 1．要使等式成立，实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 2．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3．若成立，则的值可以是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】B 4．如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 【答案】B 5．等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 6.等式成立的条件是 　 　 【答案】4≤x<7． 题型二：最简二次根式 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 3．若与最简二次根式能合并，则m的值为（    ） A．7 B．9 C．2 D．1 【答案】D 4．已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a的最小值为（　　） A．23 B．21 C．15 D．5 【答案】D 5．把下列二次根式化简最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)4(2)(3)(4) 【详解】（1）解：==4 ； （2）解：===； （3）解：==； （4）解：． 题型三：根号内、外的因式互移 1.把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 2.把4根号外的因式移进根号内，结果等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 3.将 中的a移到根号内，结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 4.把下列根号外的因式移到根号内. (1)a;(2)·(x>y>0);(3)ab(0<a<b). 【答案】（1）;（2）;（3）. 【详解】(1)  ∵>0,∴a>0,a=,∴a·; (2)  ∵x>y>0,∴x-y>0,xy>0,即>0. ∴, ∴··; (3)  ∵0<a<b,∴ab>0, b-a＞0,∴ab=, ∴ab·. 题型四：分母有理化 1．下列各式中，与的积为有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2．计算＝ ． 【答案】 3．分母有理化： . 【答案】 4．化简： ． 5.阅读理解：把分母中的根号化去叫做分母有理化，例如： ①； ② 等运算都是分母有理化，根据上述材料， （1）化简： （2）计算： 【答案】（1）；（2）. 【解析】 解：（1）原式=； （2）原式= ． = = =. 题型五：二次根式的乘法运算 1．计算的结果是（    ） A．9 B．3 C． D． 【答案】B 2．下列计算结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 3．计算： ． 【答案】18 4.计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)(2)3(3)(4)8 【详解】（1） （2） （3） （4） 5.计算: (1);(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型六：二次根式的除法运算 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2．计算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 3．小明在进行二次根式运算时发现：；；；，由此猜想，上述探究过程蕴含的思想方法是（   ） A．特殊与一般 B．整体 C．转化 D．分类讨论 【答案】A 4.计算： （1）；     （2）；     （3）；     （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 题型七：二次根式的乘除混合运算 1．计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【答案】D 2．计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 3.计算：． 【答案】 【详解】解： 4.计算：93． 【答案】解：原式＝9 10 ＝45． 5.计算：． 【答案】解： ＝3×（）×2 5 ． 题型八：二次根式乘除的应用 1.在中，面积为12，底边长为，则该底边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B． 2.高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A． 3.如图，从一个大正方形中裁去面积为8和18的两个小正方形，则余下部分的面积为（    ） A．32 B．30 C．24 D．22 【答案】C． 4.根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内时间只经过秒（千米/秒，是宇宙飞船的速度）．假定宇宙飞船的速度是千米/秒时，当地面经过5分钟时，宇宙飞船内经过多少时间？ 【答案】解：依题意，当地面时间经过5分钟即300秒时 飞船内经过的时间为秒 答：当地面经过5分钟时，宇宙飞船内经过时间． 5.有甲、乙两块面积相等的长方形木板，甲的长为，宽为，乙的长为，求乙的宽（结果保留根号）． 【答案】乙的宽为 【详解】解： ， ∴乙的宽为． 学科网（北京）股份有限公司 $