专题07分式与分式方程寒假预习讲义（1）(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题07分式与分式方程寒假预习讲义（1） · 轻松辨分式，秒分整式与分式的区别，不踩坑； · 吃透分式有意义、无意义、值为 0 的条件，做题超顺手； · 掌握分式基本性质，会简单的约分变形，入门超轻松； · 能动手化简简单分式，解锁分式基础解题技能～ . 预习必备 知识点梳理 1.分式的定义 2.分式有意义.无意义.值为0的条件 3.分式的基本性质 4.分式的符号法则 5.分式的约分. 常考题型 精讲精炼 1.分式的概念判断 2.分式的规律探究 3.按要求构造分式 4.分式无意义的条件 5.分式有意义的条件 6.分式值为零的条件 7.分式的求值计算 8.分式正负时未知数的取值范围 9.分式值为整数时未知数整数解 10.分式变形的正确性判断 11.分式变形成立的条件 12.分式值变化的性质判断 13.化分式最高次项为正数 14.化分式系数为整数 15.分式的约分 16.最简分式的判定 强化巩固 (解答题6题) 【知识点01.分式的定义】 1.一般地，如果A、B表示两个整式，且B中含有字母，那么式子叫做分式。 2.核心构成：分子为A（整式，可含字母 / 不含字母），分母为B（必须是含字母的整式）。 3.与整式的区别：整式分母不含字母，分式分母必含字母（判断关键）。 例：​、是分式；​、3x+2是整式。 4.分式有两个形式要件，缺一不可：①A、B均为整式；②B含字母。 【知识点02.分式有意义.无意义.值为0的条件】 1. 分式有意义的条件 分母不等于 0，即B0（分子无限制）。 例：有意义，则x+10，即x−1。 2. 分式无意义的条件 分母等于 0，即B=0（分子无限制）。 例：无意义，则2x−6=0，即x=3。 3. 分式值为 0 的条件 分子为 0 且分母不为 0（双重条件，需同时满足），即。 例：值为 0，则，解得x=2。 【知识点03.分式的基本性质】 1. 基本性质内容 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 用式子表示：，（C是不等于 0 的整式）。 ✅关键： ①乘 / 除的是同一个整式； ②整式不能为 0（分母本身不为 0，再叠加C0）。 2. 与分数基本性质的联系 分式的基本性质是分数基本性质的推广，分数是分式中分母为具体数字的特殊情况，二者本质一致。 【知识点04.分式的符号法则】 分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。 用式子表示：−=−。 ✅应用：化简分式时，通常将负号移到分式前面，分子、分母保留正号；若分子 / 分母是多项式，变号需给整个多项式加括号再变号。 【知识点05.分式的约分】 1. 约分的定义 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2. 约分的依据 分式的基本性质。 3. 约分的步骤 (1)找公因式：先将分子、分母分别分解因式（提公因式、公式法），找出分子、分母的最大公因式（系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，相同多项式取最低次幂）； (2)去公因式：分子、分母同时除以最大公因式，化为最简形式。 4. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式（约分的最终目标是将分式化为最简分式）。 5. 约分注意事项 1.若分子 / 分母是单项式，直接找系数和字母的公因式；是多项式，必须先分解因式再约分，不可直接约去多项式的某一项； 2.约分要约到最简，不能漏约公因式； 3.约分过程中注意符号法则的应用 【题型1.分式的概念判断】 【典例】在下列各式中：、、、、，分式有 个． 【跟踪专练1】下列各式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列各式：（1﹣x），，，+x，，其中是分式的有 个． 【题型2.分式的规律探究】 【典例】观察下列等式，，，…根据其中的规律，猜想 （用含的代数式表示）． 【跟踪专练1】给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】观察式子：根据你发现的规律知，第8个式子为 ． 【题型3.按要求构造分式】 【典例】港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．大桥全长千米，其中包含海底隧道长约千米．一辆汽车在海底隧道行驶的平均速度比其它路段行驶的平均速度慢．若设该汽车在海底隧道行驶的平均速度为，则该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【跟踪专练1】在公式中，将这个公式变形为已知，求b的公式： ． 【跟踪专练2】某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【题型4.分式无意义的条件】 【典例】若分式无意义，则x的取值为 ． 【跟踪专练1】当时，下列式子没有意义的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零，则的值为 ． 【题型5.分式有意义的条件】 【典例】若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若分式的值是零，则x的值为 ． 【跟踪专练2】若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【题型6.分式值为零的条件】 【典例】若分式的值为，则的值为 ． 【跟踪专练1】若分式的值为0，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．不存在 【跟踪专练2】请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个分式可以是 ． 【题型7.分式的求值计算】 【典例】如果，那么的值是（   ） A． B． C． D．2 【跟踪专练1】已知实数x满足，那么 ． 【跟踪专练2】若，则（    ） A． B． C．或 D．或 【题型8.分式正负时未知数取值范围】 【典例】当 时，分式的值是非负数． 【跟踪专练1】若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若分式的值大于零，则x的取值范围是 ． 【题型9.分式值为整数时未知数整数解】 【典例】下列关于分式的判断，正确的是（    ） A．当时，的值为零 B．当x为任意实数时，的值总为正数 C．无论x为何值，不可能得整数值 D．当时，有意义 【跟踪专练1】若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【跟踪专练2】.已知实数，有，对于，有以下结论： ①对任意实数，恒成立；②的最小值是；③若为正整数，则整数值有3个．其中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【题型10.分式变形的正确性判断】 【典例】在括号里填入适当的整式为 ： 【跟踪专练1】式子：（1）；（2）；（3）．其中正确的是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪专练2】下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【题型11.分式变形成立的条件】 【典例】当，满足 时，． 【跟踪专练1】能使等式成立的k的取值范围为（    ） A． B． C． D．k为任意实数 【跟踪专练2】若，则的值为 ． 【题型12.分式值变化的性质判断】 【典例】如果把分式中的和都扩大到原来的倍，那么分式的值（ ） A． 扩大到原来的3倍 B．不变 B． C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【跟踪专练1】若分式的值为5，当，都扩大为原来的2倍时，所得分式的值为 ． 【跟踪专练2】如果把分式中的，都扩大到原来的倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．扩大到原来的倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的倍 【题型13.化分式最高次项为整数】 【典例】不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则 ． 【跟踪专练1】不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 【题型14.化分式系数为整数】 【典例】不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知某体育用品厂要生产个篮球，原计划每天生产个篮球(，且是的因数)．若实际提前1天完成任务，则该体育用品厂实际每天生产篮球 个． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（        ） A．分式的值为零，则的值为 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 【题型15.分式的约分】 【典例】约分： ； 【跟踪专练1】若．则（   ） A． B． C．2 D．1 【跟踪专练2】代数式的最大值为 ． 【题型16.最简分式的判定】 【典例】请写出一个化简结果为的分式 ． 【跟踪专练1】分式、、、中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】把分式化为最简分式为 ． 1．约分： (1)； (2)． 2．已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 3．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 4．若，求的值． 5．解关于的方程：． 6．已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07分式与分式方程寒假预习讲义（1） · 轻松辨分式，秒分整式与分式的区别，不踩坑； · 吃透分式有意义、无意义、值为 0 的条件，做题超顺手； · 掌握分式基本性质，会简单的约分变形，入门超轻松； · 能动手化简简单分式，解锁分式基础解题技能～ . 预习必备 知识点梳理 1.分式的定义 2.分式有意义.无意义.值为0的条件 3.分式的基本性质 4.分式的符号法则 5.分式的约分. 常考题型 精讲精炼 1.分式的概念判断 2.分式的规律探究 3.按要求构造分式 4.分式无意义的条件 5.分式有意义的条件 6.分式值为零的条件 7.分式的求值计算 8.分式正负时未知数的取值范围 9.分式值为整数时未知数整数解 10.分式变形的正确性判断 11.分式变形成立的条件 12.分式值变化的性质判断 13.化分式最高次项为正数 14.化分式系数为整数 15.分式的约分 16.最简分式的判定 强化巩固 (解答题6题) 【知识点01.分式的定义】 1.一般地，如果A、B表示两个整式，且B中含有字母，那么式子叫做分式。 2.核心构成：分子为A（整式，可含字母 / 不含字母），分母为B（必须是含字母的整式）。 3.与整式的区别：整式分母不含字母，分式分母必含字母（判断关键）。 例：​、是分式；​、3x+2是整式。 4.分式有两个形式要件，缺一不可：①A、B均为整式；②B含字母。 【知识点02.分式有意义.无意义.值为0的条件】 1. 分式有意义的条件 分母不等于 0，即B0（分子无限制）。 例：有意义，则x+10，即x−1。 2. 分式无意义的条件 分母等于 0，即B=0（分子无限制）。 例：无意义，则2x−6=0，即x=3。 3. 分式值为 0 的条件 分子为 0 且分母不为 0（双重条件，需同时满足），即。 例：值为 0，则，解得x=2。 【知识点03.分式的基本性质】 1. 基本性质内容 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 用式子表示：，（C是不等于 0 的整式）。 ✅关键： ①乘 / 除的是同一个整式； ②整式不能为 0（分母本身不为 0，再叠加C0）。 2. 与分数基本性质的联系 分式的基本性质是分数基本性质的推广，分数是分式中分母为具体数字的特殊情况，二者本质一致。 【知识点04.分式的符号法则】 分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。 用式子表示：=−。 ✅应用：化简分式时，通常将负号移到分式前面，分子、分母保留正号；若分子 / 分母是多项式，变号需给整个多项式加括号再变号。 【知识点05.分式的约分】 1. 约分的定义 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2. 约分的依据 分式的基本性质。 3. 约分的步骤 (1)找公因式：先将分子、分母分别分解因式（提公因式、公式法），找出分子、分母的最大公因式（系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，相同多项式取最低次幂）； (2)去公因式：分子、分母同时除以最大公因式，化为最简形式。 4. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式（约分的最终目标是将分式化为最简分式）。 5. 约分注意事项 1.若分子 / 分母是单项式，直接找系数和字母的公因式；是多项式，必须先分解因式再约分，不可直接约去多项式的某一项； 2.约分要约到最简，不能漏约公因式； 3.约分过程中注意符号法则的应用 【题型1.分式的概念判断】 【典例】在下列各式中：、、、、，分式有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：下列各式中：、、、、，是分式的有、，共2个． 故答案为：2． 【跟踪专练1】下列各式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，熟悉分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义，分母中含有字母（且分母不为0）的式子是分式，逐个选项进行判断，即可求解． 【详解】解：A、是整式，不是分式，不符合题意； B、是整式，不是分式，不符合题意； C、是分式，符合题意； D、是整式，不是分式，不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】下列各式：（1﹣x），，，+x，，其中是分式的有 个． 【答案】2 【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：（1﹣x），，，分母中都不含字母，因此它们是整式，而不是分式． +x，，分母中含有字母，因此是分式． 分式有两个， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以，不是分式，是整式． 【题型2.分式的规律探究】 【典例】观察下列等式，，，…根据其中的规律，猜想 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据题意分别用含x的式子表示出a1、a2、a3、a4，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键． 【跟踪专练1】给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式规律问题，确定分别找准分母系数和次数的规律、分子次数规律是解题的关键．分别判断系数，字母之间的关系，即可找出答案． 【详解】解：第一个分式为：， 第二个分式为：， 第三个分式为：， 第四个分式为：， 第五个分式为：， ， 按此规律，那么这列分式中的第n个分式为， 故选：C． 【跟踪专练2】观察式子：根据你发现的规律知，第8个式子为 ． 【答案】 【分析】本题主考查分式的定义、分式的规律等知识点，发现分式的分子、分母的指数的规律是解题的关键． 分别找出分子指数规律和分母指数规律，再运用规律即可解答． 【详解】解：∵ ∴分母是以a为底数，指数为1，2，3，……，n；分子是以b为底数，指数为2，4，6，……，， ∴第8个式子为 ． 故答案为：． 【题型3.按要求构造分式】 【典例】港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．大桥全长千米，其中包含海底隧道长约千米．一辆汽车在海底隧道行驶的平均速度比其它路段行驶的平均速度慢．若设该汽车在海底隧道行驶的平均速度为，则该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是按要求构造分式，解题关键是正确理解题意并列出分式． 先由题意得出该汽车在其它路段行驶的平均速度，再由时间路程速度即可得出汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间． 【详解】解：依题得：该汽车在海底隧道行驶的平均速度为， 则该汽车在其它路段行驶的平均速度为， 汽车通过海底隧道所用的时间为小时，汽车通过其他路段所用的时间为小时， 该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为小时． 故选：． 【跟踪专练1】在公式中，将这个公式变形为已知，求b的公式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是公式变形，直接把看成未知数，解方程即可． 【详解】解：由得：， ∴， ∴． 故答案为： 【跟踪专练2】某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】B 【分析】根据题意，总人数为，但宋老师自己除外，因此实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 本题考查了列代数式，分式的应用，熟练掌握列代数式的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 故选：B． 【题型4.分式无意义的条件】 【典例】若分式无意义，则x的取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件是分母为零求解即可． 【详解】解：根据分式无意义的条件，分母，解得． 故答案为：1． 【跟踪专练1】当时，下列式子没有意义的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式无意义的条件，二次根式有意义的条件，当分式的分母为零或二次根式的被开方数为负数时，式子无意义，将代入各选项，逐一检验即可． 【详解】解：选项A：代入，分母为，分母为零，分式无意义，符合题意； 选项B：代入，分母为，分子为，分式值为0，有意义，不符合题意； 选项C：代入，被开方数为，根式有意义，不符合题意； 选项D：代入，分子，分母为，分式有意义，不符合题意； 综上，只有选项A在时无意义， 故选：A． 【跟踪专练2】已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义和分式的值为零的条件，熟练掌握是解题的关键． 根据分式没有意义，可得，再由分式的值为零，可得，从而得到a，b的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵分式，当时，分式没有意义， ∴， ∴； ∵当时，分式的值为零， ∴， ∴， ∴． 【题型5.分式有意义的条件】 【典例】若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，即分母不能为零，是基础题． 分式有意义的条件是分母不为零，因此分母，解出的取值范围即可． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母， ∴． 故选：A． 【跟踪专练1】若分式的值是零，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式值为的条件，熟练掌握分式值为时分子为且分母不为这一条件是解题的关键． 根据分式的值为，列出方程解方程即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴，即，解得． 又∵分母，即． ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 【题型6.分式值为零的条件】 【典例】若分式的值为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式值为零的条件，根据分母不为零且分子为零的条件求解即可． 【详解】解：且分母 故答案为：． 【跟踪专练1】若分式的值为0，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查了分式值为0的条件．分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，需注意分母不为0的限制，据此进行求解即可． 【详解】解：∵分式值为0， ∴分子且分母． 解方程：，即， ∴或． 当时，分母，分式无意义，故舍去； 当时，分母，分式有意义． ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个分式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了最简分式，分式的值不为及分式有意义的条件，根据题意写出符合条件的最简分式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个最简分式可以是， 故答案为：． 【题型7.分式的求值计算】 【典例】如果，那么的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查分式的求值，利用设参法，设，整体代入进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴； 故选D． 【跟踪专练1】已知实数x满足，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式，根据完全平方公式可得，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】若，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，求代数式的值，掌握分式的性质是解题的关键； 设，分与两种情况考虑，利用分式的知识即可求解． 【详解】解：设， 则， 以上三式相加得：； 当时，则； 此时， 解得：， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上，的值为或； 故选：C． 【题型8.分式正负时未知数取值范围】 【典例】当 时，分式的值是非负数． 【答案】 【分析】分别确定分子、分母的取值范围即可求解． 【详解】解：∵ 又分式的值是非负数 ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查根据分式的正负求解未知数的范围．分别对分子、分母的取值范围进行判断即可． 【跟踪专练1】若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据分式的值求字母的取值范围，由分式的值为正数且可得，据此即可求解，掌握平方的非负性和同号相除得正是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值是正数，且， ∴， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】若分式的值大于零，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，进而求出x的取值． 【详解】解：∵分式的值大于零， ∴x+2＞0， ∴x＞﹣2， ∵x﹣1≠0， ∴x≠1， 故答案为x＞﹣2且x≠1． 【点睛】本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是解题的关键． 【题型9.分式值为整数时未知数整数解】 【典例】下列关于分式的判断，正确的是（    ） A．当时，的值为零 B．当x为任意实数时，的值总为正数 C．无论x为何值，不可能得整数值 D．当时，有意义 【答案】B 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0；分式的值为正数的条件是分式的分子、分母同号；分式值是0的条件是分子等于0，分母不为0即可得到结论． 【详解】解：A、当时，无意义，故本选项不合题意； B、当x为任意实数时，的值总为正数，故本选项符合题意； C、当或2时，能得整数值，故本选项不合题意； D、当时，有意义，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件．分式有意义的条件是分母不等于0．分式值是0的条件是分子是0，分母不是0． 【跟踪专练1】若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【答案】或/6或2 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质化简是解题的关键． 根据题意，将分式化简为，结合正整数的定义进行判定，代入求值即可． 【详解】解：，该分式为正整数，也为正整数，且， ∴当时，，原式为正整数，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，原式为正整数，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，的值为或， 故答案为：或 ． 【跟踪专练2】.已知实数，有，对于，有以下结论： ①对任意实数，恒成立；②的最小值是；③若为正整数，则整数值有3个．其中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式运算、分式运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据，即可判断结论①；根据，即可判断结论②；由，易得若为正整数，则有或1或，分别求解即可判断结论③． 【详解】解：根据题意，， ①∵， ∴恒成立，该结论正确； ②∵， 又∵， ∴， ∴的最小值是； 的最小值是，该结论正确； ③∵， ∴若为正整数，则有或1或， 当时，解得，经检验，符合题意， 当时，解得，经检验，符合题意， 当时，解得，经检验，符合题意， ∴整数值有3个，该结论正确． 综上所述，正确的有①②③，为3个． 故选：A． 【题型10.分式变形的正确性判断】 【典例】在括号里填入适当的整式为 ： 【答案】 【分析】观察分母的变化，将分子分母同乘a即可． 【详解】根据分式的基本性质，则分式的分子乘a变为 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的性质，观察分子分母的变化是解题的关键． 【跟踪专练1】式子：（1）；（2）；（3）．其中正确的是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变是解题的关键．分别对三个式子进行分式变形的分析，判断其正确性． 【详解】解：（1）．故（1）错误； （2）．故（2）错误； （3）分子、分母同时乘以，分式的值不变，即．故（3）正确． 综上所述，正确的变形有1个． 故选：B． 【跟踪专练2】下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式的约分和分式的基本性质，根据分式基本性质进行变形，即可得到答案. 【详解】A. ，故选项错误，不合题意； B. ，故选项错误，不合题意； C. ，故选项正确，符合题意； D. ，故选项错误，不合题意； 故选：C 【题型11.分式变形成立的条件】 【典例】当，满足 时，． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，即可求解． 【详解】解：当，满足时，． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【跟踪专练1】能使等式成立的k的取值范围为（    ） A． B． C． D．k为任意实数 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式有意义的条件． 根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变．因此需确保分母不为零，从而确定k的取值范围． 【详解】解：若，则分子和分母可同时约去，得到，此时等式成立． 若，分母变为，分式无意义， 因此，k的取值范围是， 故选：B． 【跟踪专练2】若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、代数式求值等知识点，掌握等式的基本性质成为解题的关键． 由可得，然后代入运用分式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型12.分式值变化的性质判断】 【典例】如果把分式中的和都扩大到原来的倍，那么分式的值（ ） A． 扩大到原来的3倍 B．不变 B． C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，利用分式的基本性质将原式中的和都扩大倍，然后约分即可． 【详解】解：把分式中的和都扩大到原来的倍得， 可知分式的值不变 故选：B． 【跟踪专练1】若分式的值为5，当，都扩大为原来的2倍时，所得分式的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查判断分式的值的变化情况，根据分式的基本性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当，都扩大为原来的2倍时：； 故答案为：10 【跟踪专练2】如果把分式中的，都扩大到原来的倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．扩大到原来的倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的倍 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质即可求解，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：由分式中的，都扩大到原来的倍， 则， ∴扩大到原来的倍， 故选：． 【题型13.化分式最高次项为整数】 【典例】不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则 ． 【答案】 【分析】把分子分母同时除以，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变是解题的关键． 【跟踪专练1】不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 【跟踪专练2】不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，关键是熟悉分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变的知识点． （1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，再由分式的符号规律，将分母上的符号提到分式前面即可得到答案； （2）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，即可得到答案可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【题型14.化分式系数为整数】 【典例】不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的基本性质的应用，把分子分母扩大100倍即可. 【详解】解：． 故选：C 【跟踪专练1】已知某体育用品厂要生产个篮球，原计划每天生产个篮球(，且是的因数)．若实际提前1天完成任务，则该体育用品厂实际每天生产篮球 个． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的应用，先计算原计划的时间为天，可得实际的时间为天，进一步可得答案. 【详解】解：由题意可得， 实际每天生产篮球为：， 故答案为：． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（        ） A．分式的值为零，则的值为 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 【答案】D 【分析】根据分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、分式的值为零，则的值为，选项错误，不符合题意； B、当时，没有意义，，选项错误，不符合题意； C、把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，选项错误，不符合题意； D、分式是最简分式，选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【题型15.分式的约分】 【典例】约分： ； 【答案】 【分析】此题考查约分的定义，熟记定义、正确确定分子与分母的公因式是解题的关键． 直接约去分子与分母的公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】若．则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键；由分式变形为，然后代值进行求解即可． 【详解】解：∵时，， ∴， 当时，原式． 故选B． 【跟踪专练2】代数式的最大值为 ． 【答案】2 【分析】该题主要考查了分式的化简以及完全平方公式的运用，解题的关键是运用完全平方公式进行变形； 先运用完全平方公式确定，再化简即可； 【详解】解： ， ， ， 故答案为：2． 【题型16.最简分式的判定】 【典例】请写出一个化简结果为的分式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据分式的性质即可求解． 【详解】解：根据题意得， ()， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查分式的性质，理解并掌握分式的性质，分式的约分化简是解题的关键． 【跟踪专练1】分式、、、中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简分式的判断，分子和分母没有公因式的分式 叫做最简分式，据此判断即可． 【详解】解：的分子、分母没有公因式，故是最简分式； 的分子、分母有公因式，故不是最简分式， 的分子、分母没有公因式，故是最简分式； 的分子、分母有公因式，故不是最简分式， 故最简分式有2个， 故选：B． 【跟踪专练2】把分式化为最简分式为 ． 【答案】 【分析】根据分式的性质，进行约分即可，最简分式定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式或公因数时叫最简分式． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了最简分式，掌握分式的约分，因式分解是解题的关键． 1．约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的约分： （1）先把分子分母因式分解，再约分即可； （2）先把分子分母因式分解，再约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 【答案】(1) (2)或或或或或 【分析】本题考查了分式的值，正确计算是解题的关键． （1）根据分式的值为正数得出，即可求出x的取值范围； （2）根据y的值为整数得出或或或或或，即可求出整数x的所有可能值． 【详解】（1）解：的值为正数， ， ； （2），y的值为整数， 或或或或或， 或或或或或． 3．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1) (2) (3)或0 【分析】本题考查了真分式及分式的加减法．理解题目给出的定义是解决问题的关键． （1）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （2）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （3）先把分式化为真分式，再根据值为整数，x的值为整数确定x的值． 【详解】（1）解： ， 答案为：； （2）解： ； （3）解：． 分式的值为整数，且为整数， ， 或0． 4．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，分式的求值． 由等式的性质得到，进而计算即可． 【详解】解：由得， ． 5．解关于的方程：． 【答案】时，方程有无数解；时， 【分析】本题考查了含参数的方程的求解，先将原方程化简，然后讨论是否为，若，则方程有无数解，若则方程有唯一解． 【详解】解： ， 当，即时，方程有无数解； 当，即时，，解得 6．已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出的值，每个一循环是解题的关键． （1）根据，即可求解； （2）根据题意可得规律：每个一循环，即可求解； （3）求出，由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 每个一循环， ， ， 故答案为：； （3） ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $