专题24.3 平移与轴对称（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制八年级下册

本讲义聚焦平移与轴对称的坐标变换规律，系统梳理点的平移（左右上下坐标变化）、图形平移（各点坐标变化及形状大小不变），点的对称（x轴、y轴、原点对称坐标规律）、图形轴对称（对应点坐标关系），通过即学即练搭建从基础到应用的学习支架。 该资料以“点—图形”为主线，通过即学即练和变式训练，培养几何直观与空间观念（数学眼光），提升推理意识与运算能力（数学思维），强化用坐标描述变换的模型意识（数学语言）。典例与练习题梯度设计，课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺。

专题24.3 平移与轴对称 教学目标 1. 理解坐标平面内点的平移与坐标变化的对应规律，会用点的坐标的变化来描述图形的平移变换； 2.理解坐标平面内点的对称的规律，会用点的坐标的变化来描述图形的轴对称变换； 3.能按要求画出简单的图形的平移图和轴对称变换图，以及利用规律解决简单的计算与作图． 教学重难点 1.重点 理解平移与轴对称的性质，能用坐标描述变换规律； 2.难点 理解平移与轴对称的性质，并能利用性质解决问题 知识点01 平移 1. 点的平移与坐标变化规律 一般地，如果点M(x,y)沿着与x轴或y轴平行的方向平移m(m>0)个单位长度，那么 向右平移所对应的点的坐标为(x+m，y); 向左平移所对应的点的坐标为(x-m，y); 向上平移所对应的点的坐标为(x，y+m); 向下平移所对应的点的坐标为(x，y-m). 【即学即练】 根据要求填空： 原点坐标 向右平移 2个单位 向左平移 3个单位 向上平移 1个单位 向下平移 4个单位 (3,2) (5,2) (-1,2) (3,3) (3,-2) (-1,-3) (1,-3) (-4,-3) (0,-3) (-5,-3) 2. 图形的平移 （1） 图形平移的性质 如果把一个图形向右（或向左）平移m（m>0）个单位长度，那么这个图形各个点的横坐标都加（或减）m； 如果把一个图形向上（或向下）平移m（m>0）个单位长度，那么这个图形各个点的纵坐标都加（或减）m.一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形和原来的图形形状、大小完全相同，且 可以通过将原来的图形作一次平移得到. （2）图形平移的步骤 ①算平移后点的坐标 ②描点 ③连线画图 【即学即练】 如图，已知△ABC 三个顶点分别为 A (-2,-3)、B (1,-1)、C (2,-3)，将△ABC 向右平移 4 个单位、再向上平移 3 个单位，得到△ A'B'C' ，画出平移后的图形并写出平移后各顶点的坐标； 解：① 算平移后坐标： A(-2，-3)→(-2+4，-3+3)→(2，0)； B(1，-1)→(1+4，-1+3)→(5，2)； C(2，-3)→(2+4，-3+3)→(6，0)； ②描点； ③连线画出平移后的图形，如图所示△ A'B'C'为所求作的图形. 知识点02 轴对称 1. 点的对称 ①一般地，在平面直角坐标系中， 点M(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y); 点M(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y); 点M(x，y)关于原点对称的点的坐标为(-x，-y). ②反过来，已知点M(x，y), 若点N的坐标为(x，-y)，则点M、N关于x轴对称； 若点N的坐标为(-x，y)，则点M、N关于y轴对称； 若点N的坐标为(-x，-y)，则点M、N关于原点对称。 2. 图形的对称 在给定的平面直角坐标系中， ①如果两个图形关于x轴对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数； 反之，如果点(x，y)在一个关于x轴对称的图形上，那么以(x，-y）为坐标的点也在这个图形上； ②如果两个图形关于y轴对称，那么这两个图形上各组对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数； 反之，如果点（x，y）在一个关于y轴对称的图形上，那么以（-x，y）为坐标的点也在这个图形上 ③如果两个图形关于原点对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标、纵坐标都互为相反数； 反之，如果点(x，y)在一个关于原点中心对称的图形上，那么以(-x，-y）为坐标的点也在这个图形上. 【即学即练】 如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(-3.-2)、B(-5,-5)、C(-2,-6), 画出△ABC关于x轴对称的△,关于y轴对称的△; 观察图形，思考△和△各个对应顶点的坐标有何规律？ 解：（1）△与△ABC关于x轴对称，从而△的顶点A₁、B₁、C₁与△ABC的顶点A、B、C分别关于x轴对称．如图所示，分别描出点A、B、C关于x轴对称的点A₁、B₁、C₁，顺次连接即得△； △与△ABC关于y轴对称，从而△的顶点、、与△ABC的顶点A、B、C分别关于y轴对称．如图所示，分别描出点A、B、C关于ｙ轴对称的点、、，顺次连接即得△． （2）△和△各个对应顶点分别关于原点成中心对称． 题型01 点的平移的坐标规律 【典例1】将点向左平移1个单位长度得到点，且点在y轴上，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移规律与轴上点的坐标特征，掌握点向左平移时横坐标减、轴上点的横坐标为是解题的关键． 点向左平移，横坐标减，纵坐标不变；点在轴上，则其横坐标为，由此求出的值，再代入求坐标． 【详解】解：∵点向左平移1个单位得到点， ∴的坐标为，即， ∵在轴上， ∴， ∴， ∴的坐标为，即． 故选：A． 【变式1】点向右平移2个单位得到的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标系中点的平移规律．点的平移变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据此规律，点向右平移时，横坐标增加平移单位，纵坐标不变． 【详解】解：∵点向右平移2个单位， ∴横坐标增加2，即，纵坐标不变，仍为3， ∴新点的坐标为． 故答案为：． 【变式2】将向右平移个单位后得到，若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【详解】解：将向右平移个单位后得到， 故点向右平移个单位后得到， 根据点的坐标的平移规律，点的坐标为，即． 故选：A． 【变式3】在平面直角坐标系中，把点先向左移动3个单位，再向上移动3个单位后得到的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移规律． 根据点的平移规则，向左平移横坐标减少，向上平移纵坐标增加，计算即可． 【详解】解：点向左平移3个单位，得到点，即； 再向上平移3个单位，得到点，即； 故答案为：． 【变式4】点先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的平移规律．根据坐标平移规则，向右平移横坐标增加，向下平移纵坐标减少，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，， 即点先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后的坐标是， 故选：B． 题型02 将图形按要求平移 【典例1】如下图，线段的两个端点坐标分别为，．线段向下平移3个单位长度得到线段． (1)试写出点，的坐标． (2)若点是线段AB上的任一点，在上述平移下它的对应点与点的坐标之间有什么关系？ 【答案】(1)点，的坐标分别为，． (2) 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，解决本题的关键是掌握平移的性质． （1）根据平移性质即可写出点，的坐标； （2）根据点是线段AB上的任一点，在上述平移下它的对应点点与点的坐标之间的关系． 【详解】（1）解：，，线段向下平移个单位长度， 点，的坐标分别为，． （2）解：点是线段AB上的任一点，，在上述平移下， 点与点的坐标之间关系为 【变式1】已知点和点，将线段先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到线段，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移变换的性质，即“右加左减，上加下减”．根据平移的性质求解即可． 【详解】解：先向右平移个单位， 横坐标变为，纵坐标不变，得点； 再向下平移个单位， 纵坐标变为，横坐标不变，得点， 点的坐标为， 故选：D． 【变式2】如图，点，的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中线段的平移，解题的关键是利用已知点的坐标变化确定平移规律（横、纵坐标的变化量），再将规律推广到其他点．要解决线段平移后点的坐标问题，需先确定点到的平移规律（横坐标和纵坐标的变化量），再将该规律应用到点 上，从而得到 的坐标． 【详解】已知点的坐标为，平移后点 的坐标为． 横坐标的变化量：，即点的横坐标向左平移了4个单位； 纵坐标的变化量：，即点的纵坐标向下平移了3个单位． 点的坐标为，根据上述平移规律（横坐标减4，纵坐标减3）： 横坐标：； 纵坐标：． 因此，点 的坐标为． 故选D 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，，平移后点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形平移的性质和点的坐标变化规律，解题关键点在于确定平移的方向和长度，混淆平移方向是本题的易错点；根据点平移前后的坐标，确定平移的方向和长度，再根据横纵坐标的变化求得的坐标即可． 【详解】∵平移后得， ∴横坐标，纵坐标；即向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后得． 故选A． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，内部有一点，若将先向右平移，再向下平移，平移后点对应点的坐标是．若点的坐标是，则平移后点对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与平移，根据点和它的对应点的坐标，得到平移规则，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵点平移后的对应点的坐标是， ∴先向右平移2个单位，再向下平移4个单位， ∵点的坐标是， ∴平移后点对应的点的坐标是，即； 故选：C． 题型03 平移方式的描述 【典例1】在平面直角坐标系中，经过平移得到，与的位置如图所示． (1)分别写出点A，的坐标． (2)请结合平移的相关知识说明可由经过怎样的平移得到． 【答案】(1)， (2)将向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到 【分析】本题主要考查了点的坐标的平移、写出直角坐标系中的坐标点、确定图形平移的方式等知识点，熟练掌握点的坐标的平移规律是解题的关键． （1）根据点A，在平面直角坐标系中的位置确定其坐标即可； （2）根据和位置的确定平移方式即可解答． 【详解】（1）解：如图：由平面直角坐标系坐标可得：，． （2）解：观察图形中和的位置，可知将向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到． 【变式1】已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)请写出三个点的坐标； (2)将进行左右平移，使点落在轴上．请画出平移后的，并写出平移的过程． 【答案】(1) (2)作图见解析，平移的过程：将向左平移3个单位得到 【分析】本题主要考查平面直角坐标系及平移，熟练掌握平面直角坐标系及平移是解题的关键； （1）根据平面直角坐标系直接求解即可； （2）根据平移的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由图可得，三个点的坐标为； （2）解：所作如图所示： 平移的过程：将向左平移3个单位得到． 【变式2】如图，是由经过平移得到的，点，，的对应点分别为，，，且这六个点都在格点上，解答下列问题： (1)分别写出点和点的坐标，并说明是由经过怎样的平移得到的； (2)若点是内一点，它随按（）中方式平移后得到的对应点为，求和的值； (3)连接，则______． 【答案】(1)点和点，是由经过向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； (2)的值为，的值为； (3)． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——平移，熟知图形平移的性质是解题的关键． （）根据所给平面直角坐标系及点和点的位置即可求解； （）根据平移的性质即可求解； （3）根据平移的性质得出，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：由平面直角坐标系可得，点和点， ∵，， ∴是由经过向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； （2）解：由（）得是由经过向下平移个单位，再向左平移个单位得到的， ∵点是内一点，它随按（）中方式平移后得到的对应点为， ∴，， ∴，， ∴的值为，的值为； （3）解：如图，连接， 由平移性质可得，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为点，，，平移三角形得到三角形，使得点的对应点的坐标为，点，的对应点分别为点，，画出三角形，并写出点的坐标． 【答案】图见解析，点的坐标为 【分析】本题考查了根据平移前后点的位置判断平移方式，画平移图形． 根据点的对应点的坐标为求出平移方式，进而画出平移图形，最后写出点的坐标即可． 【详解】解：∵点的对应点的坐标为， ∴三角形先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到三角形， 如图，三角形即为所求，可知点的坐标为． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)画出三角形，并求它的面积； (2)将这个三角形平移到三角形，其中点，，的对应点分别是，，，已知点的坐标是． ①的坐标是 ，的坐标是 ； ②写出一种将三角形平移到三角形的方法 ． 【答案】(1)作图见解析， (2)①，；②将三角形先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到三角形（答案不唯一） 【分析】本题考查坐标与图形，坐标与平移．解题的关键是熟练掌握平移规律． （1）根据点、、的坐标进行描点，然后连线即可得出三角形，利用割补法求出三角形的面积即可； （2）①根据点的坐标和平移后点的坐标是得出平移方式，然后求出点和点的坐标即可； ②根据点平移得出点，得出将三角形平移到三角形的方法即可． 【详解】（1）解：如图，三角形为所求作的三角形． ． （2）①∵点平移后点的坐标是， ∴点向右平移5个单位，向上平移3个单位到． ∴点、分别向右平移5个单位，向上平移3个单位到、． ∴点的坐标是，点的坐标是． ②∵点向右平移5个单位，向上平移3个单位到， ∴将三角形先向右平移5个单位，再向上平移3个单位到三角形． 题型04 对称点的坐标 【典例1】如果P点的坐标为，那么它关于y轴的对称点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点关于坐标轴对称的坐标变换规律，特别是关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标保持不变． 依据关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变进行分析即可． 【详解】解：∵点关于轴对称， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴对称点坐标为． 故选：C． 【变式1】若点与点关于x轴对称，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出和的值，再计算它们的和即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴（横坐标相同），（纵坐标互为相反数，的相反数是） ∴， 故答案为5． 【变式２】已知关于轴的对称点为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：关于轴的对称点为， 横坐标不变，即． 故选：D． 【变式3】已知点，关于轴对称，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了在直角坐标系中点的对称，根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，列出方程求解和，再计算它们的和． 【详解】点和点关于轴对称， 横坐标相等，即，解得， 纵坐标互为相反数，即，解得， ， 故答案为． 【变式4】在平面直角坐标系中，已知点，，，．下列说法正确的是（    ） A．点A与点B关于轴对称 B．点A与点B关于轴对称 C．点A与点B关于直线对称 D．点A与点B关于直线对称 【答案】B 【分析】本题主要考查了关于轴、轴、直线、直线的对称的点的坐标规律，熟练掌握点的变化规律是解题关键． 点与点的坐标比较，横坐标互为相反数，纵坐标相同，符合关于y轴对称点的特征． 点与点的坐标比较，都不符合关于直线、直线的对称点的特征． 【详解】解：∵直线为，关于的对称点需横纵坐标交换；点关于的对称点为,不是点； ∵直线为，关于的对称点需横纵坐标交换后，分别取相反数，点关于的对称点为,不是点 ∵点与点的横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∴点与点关于轴对称，选项错误，选项错误，选项错误，选项正确． 故选：． 题型05 画轴对称图形 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的；（点、的对应点分别为点、） (2)在轴上找一点，使最小．（保留画图痕迹，不写画法） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称的性质等知识，解题的关键是画出图形． （1）利用轴对称的性质分别作出点、的对应点分别为点、，依次连接即可； （2）作点关于轴对称的对称点，连接交轴于点，连接，则最小，故点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，点即为所求． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴的对称图形； (2)直接写出点关于x轴对称的点的坐标___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的对称，掌握相关知识是解题的关键． （1）关于轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数，描点后顺次连接，可画出； （2）关于轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数，根据点的坐标，可得关于x轴对称的点的坐标． 【详解】（1），，，关于轴的对称图形是， ， 描点后，画出如图所示， （2）由（1）知， 点关于x轴对称的点的坐标是． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)请在图中作出关于轴对称的图形（点的对应点分别是点），并写出的坐标； (2)请在图中作出关于轴对称的图形（点的对应点分别是点）． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析 【分析】本题考查了坐标系中的对称，坐标与图形变化——轴对称，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）利用轴对称的性质，作出关于轴对称的图形，再写出的坐标； （2）利用轴对称的性质，作出关于轴对称的图形． 【详解】（1）解：如图，作出关于轴对称的图形， 即为所求作，； （2）解：作出关于轴对称的图形，如图， 即为所求作． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上，其坐标分别为，． (1)画出关于轴对称的； (2)在轴上找一点，使得的值最小，并直接写出点的坐标．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）根据轴对称变换的性质，找出的对应顶点，然后依次连接，即可求解； （2）将点A关于轴的对称点与点C连接交轴于点P，则点P即为所求．再根据图形求出直线的解析式为，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵关于轴对称的三角形为， 且，， ∴， 描出，顺次连接各点，即得， 如图：即为所求； （2）解：如图：作出点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，点P即为所求， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了网格作图，轴对称变换，求一次函数解析式，最短距离等知识点，熟练掌握轴对称变换的性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，是解题关键． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)①画出关于x轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标． ②画出关于y轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标． (2)点P为内部一点，若点P关于y轴对称的点的坐标为，则点P关于x轴对称的点的坐标为________． 【答案】(1)①作图见详解，点的坐标为；②作图见详解，点的坐标为 (2) 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征及图形的轴对称变换． （1）①根据题意分别得出，，的坐标，从网格图中找出对应的坐标并画出，并写出的坐标即可； ②同①方法，分别得出，，的坐标，从网格图中找出对应的坐标并画出，并写出的坐标即可； （2）先根据的坐标求出的坐标，再根据的坐标求出的坐标即可． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； 由图象可知，点的坐标为． ②如图所示，即为所求； 由图象可知，点的坐标为． （2）解：由题意知，点关于轴对称的点的坐标为，且点在内部， ∴点的坐标为， 又∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为 故答案为：． 1．在平面直角坐标系xOy中，点向下平移2个单位长度后的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的平移规则，掌握相关知识是解决问题的关键．向下平移时，点的纵坐标减少，横坐标不变． 【详解】解：∵点向下平移2个单位长度， ∴平移后的点横坐标不变，纵坐标减少2， 即新坐标为 故选：C． ２．点向上平移6个单位长度得到的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键． 向上平移只改变点的纵坐标，横坐标不变，由此即可解答. 【详解】解：∵点向上平移个单位长度，横坐标不变，纵坐标增加，即， ∴对应点的坐标为. 故答案为：. ３．在平面直角坐标系中，把点向下平移2个单位长度后的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标平移，熟练掌握平移规律，是解题的关键．根据点的坐标平移的规律，向下平移时y坐标减少，x坐标不变，进行求解即可． 【详解】解：点向下平移2个单位长度，根据平移规律“下减上加”，y坐标减少2，x坐标不变，因此平移后的坐标为，即平移后坐标为． 故答案为：． ４．如图，点A，B的坐标分别为，．若将线段AB平移至，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置， 又∵点，的坐标分别为， ∴将线段平移至时的平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴，， ∴， 故答案为：． ５.过点和点作直线，则直线（   ） A．平行于轴 B．平行于轴 C．与轴相交 D．与轴垂直 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，数形结合，熟记过纵坐标相等的点的直线垂直于轴（平行于轴）是解决问题的关键． 【详解】解：∵点和点的纵坐标相等， ∴直线平行于轴， 故选：B． ６．点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握点关于坐标轴对称的特点，从而进行解题． 关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】∵关于x轴对称， ∴横坐标不变，为3；纵坐标变为相反数，为4， ∴点关于x轴对称的点的坐标是． 故选：A． ７．点关于轴的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标系中的对称点的特征，直角坐标系中对应点的坐标变化规律：关于轴的对称点坐标横坐标不变，纵坐标相反；关于轴的对称点坐标横坐标相反，纵坐标不变，据此即可解答． 【详解】解：点关于轴的对称点B的横坐标不变，为；纵坐标变为相反数，即， 因此点B的坐标为． 故答案为：． 8．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，利用关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键． 关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，由此可求出点关于轴对称的点的坐标. 【详解】解：∵点关于轴对称， ∴横坐标不变，为；纵坐标变为相反数，为， ∴对称点的坐标为. 故选：B． ９．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标规律，理解题意是解决本题的关键． 关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵点关于y轴对称， ∴横坐标取相反数，纵坐标不变， ∴对称点为． 故选A． 10．在平面直角坐标系中，点P与点M关于y轴对称，点N与点M关于x轴对称．若点P的坐标为，则点N的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握：点关于轴的对称点的坐标是；关于轴的对称点的坐标是． 根据关于轴对称和关于轴对称的点的坐标特征，先由点的坐标求出点的坐标，再由点的坐标求出点的坐标 【详解】解：点的坐标为， ∵点与点关于轴对称， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为； ∵点与点关于轴对称， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为． 故答案为：． 11．在平面直角坐标系中，经过平移得到，与的位置如图所示． (1)分别写出点A，的坐标． (2)请结合平移的相关知识说明可由经过怎样的平移得到． 【答案】(1)， (2)将向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到 【分析】本题主要考查了点的坐标的平移、写出直角坐标系中的坐标点、确定图形平移的方式等知识点，熟练掌握点的坐标的平移规律是解题的关键． （1）根据点A，在平面直角坐标系中的位置确定其坐标即可； （2）根据和位置的确定平移方式即可解答． 【详解】（1）解：如图：由平面直角坐标系坐标可得：，． （2）解：观察图形中和的位置，可知将向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到． 12．在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如下图所示． (1)将平移，使点A变换为点，点，分别是B，C的对应点．请画出平移后的图形．（不写画法）； (2)请画出关于y轴的对称图形，点，，分别是A，B，C的对应点．并直接写出点的坐标________，________； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，3，； (3)8． 【分析】本题考查了根据轴对称变换作图、轴对称变换、平面直角坐标系、坐标与图形等知识点，根据平面直角坐标系作出对应点的位置是解题的关键． （1）要使点A变换为点，即使点A向下平移4个单位，向右平移4个单位，据此平移B、C得到对应点、，再顺次连接即可解答； （2）作出点A、B、C关于y轴的对称点、、，然后顺次连接即可完成作图，并写出点坐标即可； （3）根据坐标与图形以及梯形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：即为所求． ． 故答案为：3，2． （3）解：四边形的面积． 13．如图，三角形是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点，点B与点，点C与点分别对应，且这六个点都在格点（小正方形的顶点）上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： (1)分别写出点B和点的坐标，并说明三角形是由三角形ABC经过怎样的平移得到的． (2)若是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为，分别求a和b的值． (3)三角形的面积为_____________． 【答案】(1)，；三角形是由三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的 (2)a的值是2，b的值是5 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形的平移变化、解一元一次方程、割补法求三角形面积，熟练掌握坐标与图形的平移变化是解题的关键． （1）先写出点和点的坐标，然后根据点到点的位置变化，得出平移方式即可； （2）根据（1）的平移方式可得，，解方程即可； （3）根据网格，利用割补法即可求解． 【详解】（1）解：由图知，，． 三角形是由三角形向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的． （2）解：由（1）中的平移变换得，， 解得，． 故a的值是2，b的值是5． （3）解：的面积 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)若内有一点随着平移后到了点，直接写出点平移后对应点的坐标． (2)直接作出关于轴对称的（其中、、分别是、、的对应点） (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查平移及轴对称，这里需要注意得出正确的对应点，面积的计算借助网格图直接补全长方形即可求得最后答案． （1）先根据点平移后的坐标得出平移方式，再根据平移方式得出点坐标即可； （2）根据轴对称的性质画出图形即可； （3）用四边形所在长方形减去周围个小三角形的面积即可得答案． 【详解】（1）解：∵内有一点随着平移后到了点， ∴平移方式为向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， 由图可知，点坐标为， ∴点平移后对应点的坐标为， （2）解：如图，即为所求． （3）解：如（2）中图，连接， ∴四边形的面积． 15．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，点是的边上任意一点，经过平移后得到，点的对应点为． (1)在图中画出平移后的； (2)求的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2)7 【分析】本题考查坐标系中图形的平移，作差法求坐标系中图形的面积，根据点P的对应点坐标，找到平移方式是解题关键． （1）根据点的坐标，找到平移方式，再根据平移方式画出图形即可； （2）通过作差法，用大长方形面积减去三个小三角形的面积即可． 【详解】（1）  由于在平移后的对应点为，故平移方式为向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度， 作图如下： （2）由图可知，， 故的面积为7． 16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．将平移，使点与点重合，得到，其中点，的对应点分别为点，． (1)画出； (2)若点在内，点经过平移后的对应点为点，则点的坐标为______； (3)求的面积． 【答案】(1)图见详解 (2) (3)4 【分析】本题主要考查平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）由点与点重合可知：平移方式为先向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度，然后问题可求解； （2）由（1）可进行求解； （3）根据割补法可进行求解． 【详解】（1）解：由点与点重合可知：平移方式为先向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度，所以所作如图所示： （2）解：由（1）可知：点的坐标为； 故答案为； （3）解：由图可知：． 17．如图，是由经过平移得到的，点，，的对应点分别为，，，且这六个点都在格点上，解答下列问题： (1)分别写出点和点的坐标，并说明是由经过怎样的平移得到的； (2)若点是内一点，它随按（）中方式平移后得到的对应点为，求和的值； (3)连接，则______． 【答案】(1)点和点，是由经过向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； (2)的值为，的值为； (3)． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——平移，熟知图形平移的性质是解题的关键． （）根据所给平面直角坐标系及点和点的位置即可求解； （）根据平移的性质即可求解； （3）根据平移的性质得出，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：由平面直角坐标系可得，点和点， ∵，， ∴是由经过向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； （2）解：由（）得是由经过向下平移个单位，再向左平移个单位得到的， ∵点是内一点，它随按（）中方式平移后得到的对应点为， ∴，， ∴，， ∴的值为，的值为； （3）解：如图，连接， 由平移性质可得，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18．如图，已知三角形的位置如图所示，请完成下列各题： (1)在图中画出关于x轴对称的（点A、B、C的对称点分别为，，）； (2)在y轴上找一点Q，使得的周长最短，在图中标记出点Q的位置； (3)已知P为y轴上一点，若的面积为4，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查坐标与图形变换—轴对称： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）作点关于轴的对称点，连接该点与点形成的线段，与轴的交点即为所求； （3）根据，求出点坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：作点关于轴的对称点，连接， 其中，， 所以， 所以当三点在一条直线上即为所求， 如图，点Q即为所求； （3）解：如图，点即为所求； ∵， ∴， ∴或． 11 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.3 平移与轴对称 教学目标 1. 理解坐标平面内点的平移与坐标变化的对应规律，会用点的坐标的变化来描述图形的平移变换； 2.理解坐标平面内点的对称的规律，会用点的坐标的变化来描述图形的轴对称变换； 3.能按要求画出简单的图形的平移图和轴对称变换图，并能解决简单的计算与推理． 教学重难点 1.重点 理解平移与轴对称的性质，能用坐标描述变换规律； 2.难点 理解平移与轴对称的性质，并能利用性质解决问题． 知识点01 平移 1. 点的平移与坐标变化规律 一般地，如果点M(x,y)沿着与x轴或y轴平行的方向平移m(m>0)个单位长度，那么 向右平移所对应的点的坐标为__________; 向左平移所对应的点的坐标为__________; 向上平移所对应的点的坐标为__________; 向下平移所对应的点的坐标为__________; 【即学即练】 根据要求填空： 原点坐标 向右平移 2个单位 向左平移 3个单位 向上平移 1个单位 向下平移 4个单位 (3,2) (-1,-3) 2. 图形的平移 （1） 图形平移的性质 如果把一个图形向右（或向左）平移m（m>0）个单位长度，那么这个图形各个点的横坐标都__________; 如果把一个图形向上（或向下）平移m（m>0）个单位长度，那么这个图形各个点的纵坐标都__________;一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形和原来的图形形状、大小__________;，且 可以通过将原来的图形作一次平移得到. （2）图形平移的步骤 ①算平移后点的坐标 ②描点 ③连线画图 【即学即练】 如图，已知△ABC 三个顶点分别为 A (-2,-3)、B (1,-1)、C (2,-3)，将△ABC 向右平移 4 个单位、再向上平移 3 个单位，得到△ A'B'C' ，画出平移后的图形并写出平移后各顶点的坐标； 知识点02 轴对称 1. 点的对称 ①一般地，在平面直角坐标系中， 点M(x，y)关于x轴对称的点的坐标为__________; 点M(x，y)关于y轴对称的点的坐标为__________; 点M(x，y)关于原点对称的点的坐标为__________; ②反过来，已知点M(x，y), 若点N的坐标为(x，-y)，则点M、N关于______轴对称； 若点N的坐标为(-x，y)，则点M、N关于______轴对称； 若点N的坐标为(-x，-y)，则点M、N关于______对称。 2. 图形的轴对称 在给定的平面直角坐标系中， ①如果两个图形关于x轴对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标______，纵坐标______； 反之，如果点(x，y)在一个关于x轴对称的图形上，那么以(x，-y）为坐标的点也在这个图形上； ②如果两个图形关于y轴对称，那么这两个图形上各组对应点的纵坐标______，横坐标______； 反之，如果点（x，y）在一个关于y轴对称的图形上，那么以（-x，y）为坐标的点也在这个图形上 ③如果两个图形关于原点对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标、纵坐标都______； 反之，如果点(x，y)在一个关于原点中心对称的图形上，那么以(-x，-y）为坐标的点也在这个图形上. 【即学即练】 如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(-3.-2)、B(-5,-5)、C(-2,-6), 画出△ABC关于x轴对称的△,关于y轴对称的△; 观察图形，思考△和△各个对应顶点的坐标有何规律？ 题型01 点的平移的坐标规律 【典例1】将点向左平移1个单位长度得到点，且点在y轴上，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】点向右平移2个单位得到的点的坐标为 ． 【变式2】将向右平移个单位后得到，若，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3】在平面直角坐标系中，把点先向左移动3个单位，再向上移动3个单位后得到的点的坐标是 ． 【变式4】点先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型02 将图形按要求平移 【典例1】如下图，线段的两个端点坐标分别为，．线段向下平移3个单位长度得到线段． (1)试写出点，的坐标． (2)若点是线段AB上的任一点，在上述平移下它的对应点与点的坐标之间有什么关系？ 【变式1】已知点和点，将线段先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到线段，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，点，的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，，平移后点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，内部有一点，若将先向右平移，再向下平移，平移后点对应点的坐标是．若点的坐标是，则平移后点对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型03 平移方式的描述 【典例1】在平面直角坐标系中，经过平移得到，与的位置如图所示． (1)分别写出点A，的坐标． (2)请结合平移的相关知识说明可由经过怎样的平移得到． 【变式1】已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)请写出三个点的坐标； (2)将进行左右平移，使点落在轴上．请画出平移后的，并写出平移的过程． 【变式2】如图，是由经过平移得到的，点，，的对应点分别为，，，且这六个点都在格点上，解答下列问题： (1)分别写出点和点的坐标，并说明是由经过怎样的平移得到的； (2)若点是内一点，它随按（）中方式平移后得到的对应点为，求和的值； (3)连接，则______． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为点，，，平移三角形得到三角形，使得点的对应点的坐标为，点，的对应点分别为点，，画出三角形，并写出点的坐标． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)画出三角形，并求它的面积； (2)将这个三角形平移到三角形，其中点，，的对应点分别是，，，已知点的坐标是． ①的坐标是 ，的坐标是 ； ②写出一种将三角形平移到三角形的方法 ． 题型04 对称点的坐标 【典例1】如果P点的坐标为，那么它关于y轴的对称点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】若点与点关于x轴对称，则 ． 【变式２】已知关于轴的对称点为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知点，关于轴对称，则 ． 【变式4】在平面直角坐标系中，已知点，，，．下列说法正确的是（    ） A．点A与点B关于轴对称 B．点A与点B关于轴对称 C．点A与点B关于直线对称 D．点A与点B关于直线对称 题型05 画轴对称图形 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的；（点、的对应点分别为点、） (2)在轴上找一点，使最小．（保留画图痕迹，不写画法） 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴的对称图形； (2)直接写出点关于x轴对称的点的坐标___________． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)请在图中作出关于轴对称的图形（点的对应点分别是点），并写出的坐标； (2)请在图中作出关于轴对称的图形（点的对应点分别是点）． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上，其坐标分别为，． (1)画出关于轴对称的； (2)在轴上找一点，使得的值最小，并直接写出点的坐标．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)①画出关于x轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标． ②画出关于y轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标． (2)点P为内部一点，若点P关于y轴对称的点的坐标为，则点P关于x轴对称的点的坐标为________． 1．在平面直角坐标系xOy中，点向下平移2个单位长度后的坐标为（   ） A． B． C． D． ２．点向上平移6个单位长度得到的对应点的坐标为 ． ３．在平面直角坐标系中，把点向下平移2个单位长度后的坐标为 ． ４．如图，点A，B的坐标分别为，．若将线段AB平移至，则的值为 ． ５.过点和点作直线，则直线（   ） A．平行于轴 B．平行于轴 C．与轴相交 D．与轴垂直 ６．点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． ７．点关于轴的对称点的坐标是 ． 8．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． ９．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（       ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，点P与点M关于y轴对称，点N与点M关于x轴对称．若点P的坐标为，则点N的坐标为 ． 11．在平面直角坐标系中，经过平移得到，与的位置如图所示． (1)分别写出点A，的坐标． (2)请结合平移的相关知识说明可由经过怎样的平移得到． 12．在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如下图所示． (1)将平移，使点A变换为点，点，分别是B，C的对应点．请画出平移后的图形．（不写画法）； (2)请画出关于y轴的对称图形，点，，分别是A，B，C的对应点．并直接写出点的坐标________，________； (3)求四边形的面积． 13．如图，三角形是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点，点B与点，点C与点分别对应，且这六个点都在格点（小正方形的顶点）上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： (1)分别写出点B和点的坐标，并说明三角形是由三角形ABC经过怎样的平移得到的． (2)若是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为，分别求a和b的值． (3)三角形的面积为_____________． 14．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)若内有一点随着平移后到了点，直接写出点平移后对应点的坐标． (2)直接作出关于轴对称的（其中、、分别是、、的对应点） (3)求四边形的面积． 15．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，点是的边上任意一点，经过平移后得到，点的对应点为． (1)在图中画出平移后的； (2)求的面积． 16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．将平移，使点与点重合，得到，其中点，的对应点分别为点，． (1)画出； (2)若点在内，点经过平移后的对应点为点，则点的坐标为______； (3)求的面积． 17．如图，是由经过平移得到的，点，，的对应点分别为，，，且这六个点都在格点上，解答下列问题： (1)分别写出点和点的坐标，并说明是由经过怎样的平移得到的； (2)若点是内一点，它随按（）中方式平移后得到的对应点为，求和的值； (3)连接，则______． 18．如图，已知三角形的位置如图所示，请完成下列各题： (1)在图中画出关于x轴对称的（点A、B、C的对称点分别为，，）； (2)在y轴上找一点Q，使得的周长最短，在图中标记出点Q的位置； (3)已知P为y轴上一点，若的面积为4，请直接写出点P的坐标． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $