2025-2026学年高二数学寒假巩固练习九 数列的基本知识与概念

高二寒假作业 2025-2026学年第一学期高二寒假巩固练习九 数列的基本知识与概念【解析】 1、 单选题 1．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列满足：，，，若，则k等于（    ） A．12 B．13 C．89 D．144 【答案】A 【解析】由斐波那契数列的性质可得： 所以k等于12. 故选：A 2．若数列满足，则=（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以.又因为， 所以， 所以是周期为4的数列，故. 故选：C 3．数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【解析】由题意得数列为递增数列等价于 对任意恒成立， 即对任意恒成立，因为，且可以无限接近于0，所以， 所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件， 故选：B 4．数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以. 故选：C 5．已知数列为递减数列，其前n项和，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以数列为递减数列， 当时，， 故可知当时，单调递减，故为递减数列，只需满足，即． 故选：A 6．已知数列，若，则（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【解析】由， 令，则，则，令，则，则. 故选：B. 7．已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】数列是递增数列，且， 则，解得，故的取值范围是. 故选：D. 8.在数列中，已知，，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得， 数列为递增数列. ∵， ∴，，，，， ，，，， ，，，， ，，，， . 故选：B. 2、 多选题 9.下列说法中，正确的有（    ） A．已知，则数列是递增数列 B．数列的通项，若为单调递增数列，则 C．已知正项等比数列，则有 D．已知等差数列的前项和为，则 【答案】AD 【解析】对于A中，由，可得，所以数列是递增数列，所以A正确； 对于B中，若数列的通项， 则恒成立，所以，所以B错误； 对于C中，正项递增的等比数列，若， 可得，此时，所以C不正确； 对于D中，等差数列的前项和为且， 根据构成等差数列，即构成等差数列， 可得，解得，所以D正确. 故选：AD. 10．已知是的前项和，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．是以为周期的周期数列 【答案】BD 【解析】，， ，，，， 则数列是以为周期的周期数列，故正确； 则，故错误； ，故正确； 可得，故错误． 故选： 11．已知数列满足，，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】因为，，所以，故A错误； ，，所以数列是以为周期的周期数列， 所以，故B错误； 因为，， 所以，故C正确； ，故D正确； 故选：CD 3、 填空题 12． 在数列中，已知，，且，则 ． 【答案】3 【解析】由，，可得，，，…， 所以是以3为周期的周期数列， 因为，所以， 故答案为：3． 13． 设且，已知数列满足，且是递增数列，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为是递增数列，所以解得， 故答案为: . 14.数列满足(，且)，，对于任意有恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】 从而可得即， 因为，所以. 故答案为： 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．某企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同，公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩下的资金全部投入下一年生产，设第年年底企业上缴资金后剩余资金为万元. （1）用表示，，并写出与的关系式； （2）若公司希望经过5年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金的值.（精确到0.01） 【答案】（1）；（2）d=848.34. 【解析】（1）由题意得：，， ....... （2）由（1）得 整理得 由，即， 解得万元 . 16.已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）当时， ； 当时，满足上式， 所以数列的通项公式. （2）令，； 当时，，即 当时，，即 所以当时， 所以实数的取值范围. 17.已知在数列中,,且当时,. (1)试求的值,并归纳出数列的通项公式; (2)若不等式对任意的*恒成立,求λ的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解析】(1)当时,,当时,, 当时,所以,所以 所以. (2)因为对任意的n∈N*恒成立 ， 即对任意的n∈N*恒成立.记，故, 所以当时,,且, 所以， 当时,,即随着n的增大,单调递减, 所以的最大值为,所以,即. 故λ的取值范围为. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $高二寒假作业 2025-2026学年第一学期高二寒假巩固练习九 数列的基本知识与概念 1、 单选题 1．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列满足：，，，若，则k等于（    ） A．12 B．13 C．89 D．144 2．若数列满足，则=（    ） A．2 B． C． D． 3．数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 4．数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．已知数列为递减数列，其前n项和，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 6．已知数列，若，则（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 7．已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.在数列中，已知，，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 9.下列说法中，正确的有（    ） A．已知，则数列是递增数列 B．数列的通项，若为单调递增数列，则 C．已知正项等比数列，则有 D．已知等差数列的前项和为，则 10．已知是的前项和，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．是以为周期的周期数列 11．已知数列满足，，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 3、 填空题 12． 在数列中，已知，，且，则 ． 13． 设且，已知数列满足，且是递增数列，则a的取值范围是 ． 14.数列满足(，且)，，对于任意有恒成立，则的取值范围是 . 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．某企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同，公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩下的资金全部投入下一年生产，设第年年底企业上缴资金后剩余资金为万元. （1）用表示，，并写出与的关系式； （2）若公司希望经过5年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金的值.（精确到0.01） 16.已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求实数的取值范围． 17.已知在数列中,,且当时,. (1)试求的值,并归纳出数列的通项公式; (2)若不等式对任意的*恒成立,求λ的取值范围. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $