专题03 正弦定理与余弦定理7种题型归类（压轴题专项训练）数学湘教版必修第二册

专题03 正弦定理与余弦定理 目录 类型一、正余弦定理的边角互化问题 类型二、利用正余弦定理判断三角形的形状及个数问题 类型三、解三角形中的面积、周长与边长的最值与范围问题 类型四、解三角形中与中线、角平分线与高线结合的问题 类型五、几何图形中的解三角形问题 类型六、射影定理与张角定理在解三角形中的应用 类型七、解三角形中的新定义问题 压轴专练 类型一、正余弦定理的边角互化问题 解题技巧： 选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： 1. 若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； 2. 若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； 3. 若式子含有，可考虑余弦定理，“角化边”； 4. 含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； 5. 同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到. 例1-1．已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 例1-2．在钝角中，内角的对边分别为，若，，，则（    ） A． B． C． D． 变式1-1．在中，角，，的对边分别为，，，，则下列选项一定成立的是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．（多选）已知锐角中，角，，的对边分别为，，，满足，，且的面积为，则（   ） A． B． C． D．的周长为 变式1-3．在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 变式1-4．记的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，. (1)求； (2)若的面积为2，求. 类型二、利用正余弦定理判断三角形的形状及个数问题 解题技巧： 1.判断三角形形状 边与角互化：用正弦定理把边换成角，或把角换成边，再用三角公式化简，看角是否相等、是否有直角，或边是否相等、是否满足勾股关系。 余弦定理优先：已知三边或两边及夹角，用余弦定理算角的余弦值，判断角是锐角、直角还是钝角，确定三角形是锐角、直角或钝角三角形；若两边相等或两角余弦值相等，就是等腰三角形；同时是直角和等腰，就是等腰直角三角形。 特殊结论：若两个角的二倍正弦值相等，这两个角相等或互余；若两个角的余弦值相等，这两个角一定相等。 2. 判断三角形个数（解的个数） （1）核心方法：已知两边和其中一边的对角，用正弦定理算另一边所对角的正弦值，结合 “大边对大角” 和 “三角形内角和” 判断： ①若正弦值大于 1，无解； ②若正弦值等于 1，该角为直角，只有一解； ③若正弦值在 0 到 1 之间： 已知对边大于或等于另一边，该角为锐角，只有一解； 已知对边小于另一边，该角有锐角和钝角两种可能（需验证内角和），有两解。 （2）辅助方法：画草图，以已知角的顶点为圆心，已知对边为半径画弧，看与另一边的交点个数，直观判断解的个数。 （3）其他类型：已知两边及夹角、两角及一边、三边，都只有唯一解。 3. 通用注意事项 ①化简时不要随便约掉正弦、余弦值，要考虑其为 0 的情况，防止漏解； ②三角形内角都在 0 到 180 度之间，且内角和为 180 度，判断角的范围时要严格验证； ③边长都是正数，还要满足 “两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，排除不合理的解 例2-1．已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列命题中，真命题的个数是（    ） （1）若，则是等腰三角形； （2）若，则是直角三角形； （3）若，则是钝角三角形； （4）若，则是等边三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 例2-2．在△中，角、、所对的边分别为、、，若，，且该三角形有唯一解，则的取值范围为 变式2-1．在中，, ，则“”是“有两解”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2-2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 变式2-3．在中，角所对应的边分别是，满足，则该三角形的形状是 ． 变式2-4．在中，，，要使被唯一确定，那么的取值范围是 . 类型三、解三角形中的面积、周长与边长的最值与范围问题 解题技巧： 一、三角形面积和周长的最值、范围问题 （1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化 周长 （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） （3）求周长的模型： （4）基本不等式 ① ②(当且仅当时取“=”号) （5）利用三角恒等变换转化为内角有关的三角函数。 ①和差角公式：， ②辅助角公式： （其中）． 二、解题思路步骤 ①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用 ②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值 例3-1．记的内角，，的对边分别为，，，，. (1)求的值； (2)求面积的最大值. 例3-2．的三个内角对应的三条边分别为，且为的中点，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，. (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围. 变式3-2．设内角的对边分别为，已知，． (1)求角； (2)若，求的面积； (3)求的周长的取值范围． 变式3-3．已知的内角的对边为，且. (1)求； (2)若的面积为； （i）已知为的中点，求底边上中线长的最小值； （ii）求内角的角平分线长的最大值. 变式3-4．在中，角所对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若，求的面积的最大值. 类型四、解三角形中与中线、角平分线与高线结合的问题 解题技巧： 一、中线问题 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. ② 向量法：,平方即可； ③ 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”则可以考虑方法②或方法③. 二、角平分线问题 △ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 ②等面积法 三、高线问题 ①等面积法： ② ③ 例4-1．在斜中，设角、、的对边分别为、、，已知，若是的角平分线，且，则（    ） A． B． C． D． 例4-2．在中，，，边上的中线，则的面积S为(    ) A． B． C． D． 例4-3．在中，角，，所对的边分别为，，c，若，是边上的高，，则的最大值为 ． 变式4-1．在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 变式4-2．已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 变式4-3．在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C的值； (2)若，求周长的最大值； (3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围． 类型五、几何图形中的解三角形问题 解题技巧： 解决三角形图形类问题的方法 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化 例5-1．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，. (1)求线段AC的长度； (2)求的值. 例5-2．如图所示，鹅岭公园的瞰远楼是重庆历史悠久且非常出名的观景点.我校数学兴趣小组成员为测瞰远楼的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的三处进行测量，如图2已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则根据该测量方案可测得瞰远楼的高度（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 变式5-1．已知四边形中，，设与的面积分别为，则的最大值为 . 变式5-2．为助力第四届湖南旅游发展大会，提高游客舒适度，岳阳政府决定新增若干休闲区域.如图，某休闲区域是四边形，其四周是步道，中间是花卉种植区域，为方便观赏，中间穿插了步道，已知，，，. (1)求步道的长； (2)若________；求花卉种植区域总面积. 从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 变式5-3．如图，在平面凸四边形中，. (1)求； (2)若，，求. 类型六、射影定理与张角定理在解三角形中的应用 解题技巧： 1、射影定理 ，， 将关系式转化为射影定理的形式，整体代换直接利用公式解决问题；反用公式时注意能否正确应用. 2、张角定理 在中，角，，所对的边分别为，，，若为上一点（如图），且，，则有． 证明：因为，所以，于是等式两边同除以得． 例6-1．在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足，则的大小为（    ） A． B． C． D． 例6-2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC， AB，AD=3，则CD长度为_____________. 变式6-1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（    ） A．30° B．90° C．45° D．60° 变式6-2．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ． 变式6-3．在中，角所对的边分别为，是的角平分线，若，，则的最小值为_____________. 类型七、解三角形中的新定义问题 解题技巧： 1.吃透定义，转化条件 ①先精准理解题目给出的新定义（如 “正余弦三角形”“等距三角形”“类直角三角形” 等），把新定义的文字描述，转化为三角形的边、角、面积等常规条件（等式 / 不等式）。 ②关键：抓住定义中的核心关系（如某边与某角的倍数、某角与某边的函数关系、面积与边长的特殊比例等），将陌生定义 “翻译” 成熟悉的解三角形条件。 2. 结合定理，建立模型 ①用正弦定理、余弦定理、面积公式（底乘高、两边及夹角正弦），把转化后的边、角条件，建立方程 / 不等式 / 函数模型。 ②若定义涉及 “最值、范围”，常转化为三角函数求值域（辅助角公式）或二次函数 / 基本不等式求最值；若涉及 “存在性、个数”，结合三角形内角和、大边对大角判断。 3. 分类讨论，严谨验证 ①新定义常含多情况（如 “某角为锐角 / 钝角”“某边为最大边 / 最小边”），需按定义的不同情形分类讨论，避免漏解。 ②求出结果后，验证是否满足三角形基本条件（内角和 180°、三边关系、角的范围 0°~180°），排除增根。 4. 特殊化 / 画图辅助 ①先取特殊值 / 特殊三角形（如等边、等腰、直角三角形）代入新定义，快速理解定义内涵，验证思路是否正确。 ②画草图标注已知边、角、新定义的几何特征，直观分析边、角关系，降低抽象难度。 5. 通用步骤读定义→转条件→用定理→建模型→求结果→验合理性 例7．射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作.    (1)若点分别是线段的中点，求； (2)证明：； (3)已知，点为线段的中点，，，求. 变式7-1．定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”.如图，已知锐角三角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，角的对边分别为a，b，c，若.    (1)求角A的大小； (2)分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域D，求平面区域D的“直径”的取值范围. 变式7-2．设的外接圆半径为，内切圆半径为，定义的值为的“分离比”. (1)若为等腰直角三角形，求的分离比； (2)证明：； (3)探究的最值. 变式7-3．布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角．如图，在△ABC中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下各题： (1)若，且，求A和； (2)若求的值． 压轴专练 1.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边上的中线长为（    ） A． B． C．6 D．10 2.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则a的值为（   ） A．2 B．3 C． D．4 3.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（    ） A． B． C． D． 4.已知的内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（　　） A． B．2 C． D．2 5.在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6.在中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 7.（多选）在锐角三角形中，角 所对的边分别为且则（    ） A． B． C．的取值范围为 D．的取值范围为 8.（多选）的周长为6，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（   ） A．若，则 B． C． D．若的面积为，则 9.在中，角所对的边分别为．若，且，则面积的最大值为 ． 10.已知分别为的内角的对边，的面积为，且.，若恒成立，则实数的最小值为 . 11.已知a，b，c分别为中角A，B，C的对边，G为的重心，为边上的中线. (1)若的面积为，且，，求的长； (2)若，求的最小值. 12.数学中有很多相似的问题， 材料一：十七世纪法国数学家，被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，他的答案是：“当三角形的三个内角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角，当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点”，在费马问题中所求的点称为费马点. 材料二：布洛卡点，也叫“勃罗卡点”，定义为：已知内一点满足，则称为的布洛卡点，为的布洛卡角，1875年，三角形的这一特殊点，被一个数学爱好者——法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名. 已知，，分别是的内角，，的对边，且. (1)求； (2)若为的费马点，且，求的值； (3)若为锐角三角形，为的布洛卡点，为的布洛卡角，证明：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 正弦定理与余弦定理 目录 类型一、正余弦定理的边角互化问题 类型二、利用正余弦定理判断三角形的形状及个数问题 类型三、解三角形中的面积、周长与边长的最值与范围问题 类型四、解三角形中与中线、角平分线与高线结合的问题 类型五、几何图形中的解三角形问题 类型六、射影定理与张角定理在解三角形中的应用 类型七、解三角形中的新定义问题 压轴专练 类型一、正余弦定理的边角互化问题 解题技巧： 选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： 1. 若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； 2. 若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； 3. 若式子含有，可考虑余弦定理，“角化边”； 4. 含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； 5. 同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到. 例1-1．已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理可得， 则、， 则. 故选：C. 例1-2．在钝角中，内角的对边分别为，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理及，对题干式子进行化简得到，即，再利用余弦定理即可求出. 【详解】因为， 由正弦定理得， 又， 所以， 即， 因为为钝角三角形，则， 所以， 由正弦定理得，又，则， 又因为，由余弦定理得. 故选：A. 变式1-1．在中，角，，的对边分别为，，，，则下列选项一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换的知识化简已知条件，由此求得. 【详解】因为， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以，， 由得， 所以或（舍去） 所以，即， 由于，所以, 则， 所以一定成立的是：，； 故选：A 变式1-2．（多选）已知锐角中，角，，的对边分别为，，，满足，，且的面积为，则（   ） A． B． C． D．的周长为 【答案】BCD 【分析】由两角和与差的三角函数公式、正余弦定理逐项分析计算即可. 【详解】选项A：由，得， 两式相加得，整理得， 即，解得或， 因为锐角中，，所以，，故A错误； 选项B：由选项A得，，则， 所以，即， 整理得，即，因为，所以， 所以， 则，故B项正确； 选项C：由锐角的面积为，得，得， 设的外接圆半径为，则， 又，， 则，解得， 所以，，， 所以，故C项正确； 选项D：由选项C得，的周长为，故D正确. 故选：BCD. 变式1-3．在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别对各选项化简，分析是否能得出△ABC为直角三角形即可. 【详解】①由正弦定理，，则，即， 故或，即或， 故不能推出△ABC为直角三角形，故①错误； ②，则， 即，故. 因为，故或， 即（舍）或，则不能推出△ABC为直角三角形，故②错误； ③，则， 即， 故， 即， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故③正确； ④，则， 即， 故， 故， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故④正确. 综上有③④是△ABC为直角三角形的充分条件. 故选：B 变式1-4．记的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，. (1)求； (2)若的面积为2，求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为，由余弦定理得， 整理得，所以，则， 所以由余弦定理得. （2）因为，所以， 所以的面积为， 所以，解得（负值已舍去）， 所以. 类型二、利用正余弦定理判断三角形的形状及个数问题 解题技巧： 1.判断三角形形状 边与角互化：用正弦定理把边换成角，或把角换成边，再用三角公式化简，看角是否相等、是否有直角，或边是否相等、是否满足勾股关系。 余弦定理优先：已知三边或两边及夹角，用余弦定理算角的余弦值，判断角是锐角、直角还是钝角，确定三角形是锐角、直角或钝角三角形；若两边相等或两角余弦值相等，就是等腰三角形；同时是直角和等腰，就是等腰直角三角形。 特殊结论：若两个角的二倍正弦值相等，这两个角相等或互余；若两个角的余弦值相等，这两个角一定相等。 2. 判断三角形个数（解的个数） （1）核心方法：已知两边和其中一边的对角，用正弦定理算另一边所对角的正弦值，结合 “大边对大角” 和 “三角形内角和” 判断： ①若正弦值大于 1，无解； ②若正弦值等于 1，该角为直角，只有一解； ③若正弦值在 0 到 1 之间： 已知对边大于或等于另一边，该角为锐角，只有一解； 已知对边小于另一边，该角有锐角和钝角两种可能（需验证内角和），有两解。 （2）辅助方法：画草图，以已知角的顶点为圆心，已知对边为半径画弧，看与另一边的交点个数，直观判断解的个数。 （3）其他类型：已知两边及夹角、两角及一边、三边，都只有唯一解。 3. 通用注意事项 ①化简时不要随便约掉正弦、余弦值，要考虑其为 0 的情况，防止漏解； ②三角形内角都在 0 到 180 度之间，且内角和为 180 度，判断角的范围时要严格验证； ③边长都是正数，还要满足 “两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，排除不合理的解 例2-1．已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列命题中，真命题的个数是（    ） （1）若，则是等腰三角形； （2）若，则是直角三角形； （3）若，则是钝角三角形； （4）若，则是等边三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用三角形的性质、正弦定理、同角三角函数的基本关系进行计算求解. 【详解】中，，由正弦定理有： ，因为中， 所以，即，即， 所以或，故（1）错误； 中，因为，所以， 所以或，故（2）错误； 中，，当时， ，，，显然不满足； 当中有1为负，2个为正，不妨设， 则，，，所以是钝角三角形；故（3）正确； 中，，所以， 所以 因为， 所以，所以， 则是等边三角形，故（4）正确；故A，C，D错误. 故选：B. 例2-2．在△中，角、、所对的边分别为、、，若，，且该三角形有唯一解，则的取值范围为 【答案】 【分析】由正弦定理得，依题意得或，进而可得结果. 【详解】因为，，由正弦定理得， 要使三角形有唯一解，则或，所以或， 即或，解得或. 故答案为：. 变式2-1．在中，, ，则“”是“有两解”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据正弦定理以及三角形解的个数的判断方法，再结合必要不充分条件的定义求解即可. 【详解】若有两解，则， 即，所以， 所以有两解可以推出. 所以“”是“有两解”的必要不充分条件. 故选：B 变式2-2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由已知条件、正弦定理和余弦定理，二倍角公式可得，再结合正弦函数的性质即可判断. 【详解】由和余弦定理，可得， 即， 由正弦定理得， 又因为中，，， 所以，即， 所以或，即或， 即是等腰三角形或直角三角形， 故选：C. 变式2-3．在中，角所对应的边分别是，满足，则该三角形的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】根据正弦定理，可得，然后利用余弦定理可得，最后可得结果. 【详解】由正弦定理及， 得     ，， ， ， 又， 由余弦定理， 得， 即，， 为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形 变式2-4．在中，，，要使被唯一确定，那么的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据利用正弦定理，结合三角形有1个解的条件即可求解. 【详解】根据题意，，， 由正弦定理得：，则， 三角形只有一个解，则或， 则或，即或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 类型三、解三角形中的面积、周长与边长的最值与范围问题 解题技巧： 一、三角形面积和周长的最值、范围问题 （1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化 周长 （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） （3）求周长的模型： （4）基本不等式 ① ②(当且仅当时取“=”号) （5）利用三角恒等变换转化为内角有关的三角函数。 ①和差角公式：， ②辅助角公式： （其中）． 二、解题思路步骤 ①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用 ②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值 例3-1．记的内角，，的对边分别为，，，，. (1)求的值； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理角换边可得，进而利用正弦定理可得； （2）根据余弦定理和三角形面积公式得，进而可得最大值为. 【详解】（1）由题意： 则， 则， 则， 又由余弦定理得得， 所以 （2）由余弦定理得，又，所以 当即时取得最大值，即， 此时，又，满足构成三角形的条件， 故的最大值为. 例3-2．的三个内角对应的三条边分别为，且为的中点，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及二倍角公式求出，再利用数量积的运算律，结合基本不等式求出范围. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 而，则，即， 由，得，因此，，则， 由是的中点，得，两边平方得， 而，则，当且仅当时取等号， 因此，，，解得， 所以的取值范围为. 故选：D 变式3-1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，. (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理得到，由余弦定理得到； （2）由正弦定理得到，，故，由得到，进而得到，求出答案. 【详解】（1）因为，， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 因为，所以； （2）由正弦定理得， 所以， 由（1）得， 故 因为，所以，故， 所以，， 故， 则. 变式3-2．设内角的对边分别为，已知，． (1)求角； (2)若，求的面积； (3)求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式计算可得； （2）利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得； （3）由正弦定理将边化角，再化简得，再由求得的取值范围，即可得周长的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 即， 所以， 又，所以，则， 又，所以. （2）因为，，， 由余弦定理得， 即， 解得， 所以的面积. （3）因为，， 由正弦定理得， 因为， 所以 ， 因为， 所以，， 所以， 即， 所以周长的取值范围为. 变式3-3．已知的内角的对边为，且. (1)求； (2)若的面积为； （i）已知为的中点，求底边上中线长的最小值； （ii）求内角的角平分线长的最大值. 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）由正弦定理将角的关系转化为边的关系，再用余弦定理求出，进而求出的值即可； （2）由三角形的面积公式，可得，对向量表达式两边平方，应用基本不等式即可求得长的最小值； （3）由于，可得，由求出的值，应用基本不等式即可求出角平分线长的最大值. 【详解】（1）由正弦定理，得，即， 故，因为，所以， 所以； （2）（i）由（1）知，且的面积为， 由三角形的面积公式得：，解得， 由于为的中点，则，两边平方可得： 由基本不等式可得： （当且仅当时，等号取得到）， 所以，故长的最小值为； （ii）因为为角的角平分线，所以， 由于， 所以， 由于，所以， 由于， 又，所以， 由于（当且仅当时，等号取得到）， 故， 故，即角平分线长的最大值为. 变式3-4．在中，角所对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用正弦定理、和角的正弦公式以及诱导公式，即可得解； （2）运用余弦定理，再结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）由正弦定理可知，， 交叉相乘后可整理得， 即，，， 又因为在中，，因此可得，即. （2）由余弦定理可得，，即， 又因为，当且仅当时，等号成立， 因此，故， 即的面积的最大值为. 类型四、解三角形中与中线、角平分线与高线结合的问题 解题技巧： 一、中线问题 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. ② 向量法：,平方即可； ③ 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”则可以考虑方法②或方法③. 二、角平分线问题 △ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 ②等面积法 三、高线问题 ①等面积法： ② ③ 例4-1．在斜中，设角、、的对边分别为、、，已知，若是的角平分线，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正余弦定理可得，即可根据等面积法可得，利用余弦定理可得，由二倍角公式即可求解. 【详解】解：由正弦定理可得得，    由余弦定理可得， 由于所以， ， 由于，所以， 由于，， 由余弦定理可得， ， ，， ，， ， 故选：B 例4-2．在中，，，边上的中线，则的面积S为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长到点使，连接，根据可得面积等于的面积，利用余弦定理求出，再求出sin∠ACE，根据三角形面积公式即可求得答案． 【详解】如图所示， 延长到点使，连接， 又∵，∴(SAS)， ∴的面积等于的面积． 在中，由余弦定理得， 又，则， ∴． 故选：C． 例4-3．在中，角，，所对的边分别为，，c，若，是边上的高，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由余弦定理可得，根据重要不等式及三角形的面积公式即可求解. 【详解】因为， 所以由余弦定理得， 又，所以， 又因为，所以，即， 当且仅当时取等号， 又是边上的高，则， 所以，则的最大值为． 故答案为：. 变式4-1．在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简可求出角； （2）由及角的角平分线交于点，可得，再由余弦定理得，则求出，所以，由可得，从而可求得的面积． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以； （2）因为角的角平分线交于点， 所以， 因为，所以由，得 ， 所以， 由余弦定理得，所以， 所以，解得或（舍去）， 所以，解得， 所以， 因为角的角平分线交于点，所以， 因为，所以， 所以. 变式4-2．已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）由余弦定理、正弦定理结合两角差的正弦公式可得出，结合、的取值范围可得出、的关系，由此可得出角的值； （2）①由余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式即可求得面积的最大值； ②由平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算性质可得出，由余弦定理可得出，可得出、的表达式，结合基本不等式可得出关于的不等式，由此可解得的最大值. 【详解】（1）由余弦定理可得，所以，， 由得，整理可得， 由正弦定理可得， 即， 所以，， 所以，， 因为、、，所以，、、，有如下几种情况： ，即，矛盾； ，即，矛盾； ，可得，解得. （2）①由余弦定理、基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，， 故面积的最大值为； ②因为为边的中点，则，即， 所以，， 所以，， 又因为， 所以，，由①知， 可得，解得， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 变式4-3．在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C的值； (2)若，求周长的最大值； (3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理和三角形面积公式化角为边后，再运用余弦定理即可求得； （2）根据余弦定理化简后，利用基本不等式即可求得的最大值，即得周长最大值； （3）利用三角形面积相等得到，根据正弦定理，将边分别用角表示，利用三角恒等变换将三角形面积表示成，求得的取值范围，利用正弦函数的值域即可求得面积的取值范围. 【详解】（1）由和正弦定理，三角形面积公式可得，， 因，故得，， 由余弦定理，，因，则； （2）由余弦定理，，即， 整理得，，当且仅当时等号成立，即， 于是，，即当时，周长的最大值为； （3）由可得， 由正弦定理，，即得，，, 则 , 由为锐角三角形可得，，解得，， 则，由正弦函数的图象知，，故得， 即面积的取值范围为. 类型五、几何图形中的解三角形问题 解题技巧： 解决三角形图形类问题的方法 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化 例5-1．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，. (1)求线段AC的长度； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助面积公式可先求出，再借助余弦定理即可得解； （2）借助正弦定理可得，则可得，再利用正弦定理即可得. 【详解】（1），， ，， 在中，由余弦定理得： ，； （2）在中，由正弦定理得：， ，， ，， 在中，由正弦定理得：， ，. 例5-2．如图所示，鹅岭公园的瞰远楼是重庆历史悠久且非常出名的观景点.我校数学兴趣小组成员为测瞰远楼的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的三处进行测量，如图2已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则根据该测量方案可测得瞰远楼的高度（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】结合题意先分析出图形中的具体角度，设，然后表示出其余所有边长，最后利用余弦定理求解. 【详解】由题意可知，，，， 设，在中，，有； 在中，，有； 在中，，有， 又， 在中，根据余弦定理，， 在中，根据余弦定理，， 又，则， 即，解得，即米. 故选：B 变式5-1．已知四边形中，，设与的面积分别为，则的最大值为 . 【答案】14 【分析】根据余弦定理可得，继而根据面积公式可得表达式，结合二次函数的性质即可求解最值. 【详解】 四边形中，，， 则，． 在中，利用余弦定理：， 所以：． 在中，利用余弦定理：， 所以：． 所以：． 则 当时，最大值，最大值为14， 故答案为：14． 变式5-2．为助力第四届湖南旅游发展大会，提高游客舒适度，岳阳政府决定新增若干休闲区域.如图，某休闲区域是四边形，其四周是步道，中间是花卉种植区域，为方便观赏，中间穿插了步道，已知，，，. (1)求步道的长； (2)若________；求花卉种植区域总面积. 从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）在三角形中，由余弦定理求解即可； （2）若选①，先求出，再由展开可求出，再由面积公式得出结果，若选②，在中由余弦定理得，再由三角形面积公式得解. 【详解】（1）∵，∴， ∴. ∵，， ∴由余弦定理得： ， ∴. （2）若选①： 在中，由正弦定理得 ∵，∴. 由（1）知.代入上式可得， 解得， ∵ . ∴. ∵，∴. ∴. ∴花卉种植区域总面积为. 若选②：∵，∴. 在中，由余弦定理得： ∴① ∵，∴② ①-②得： ∴ ∵，∴. ∴. ∴花卉种植区域总面积为. 变式5-3．如图，在平面凸四边形中，. (1)求； (2)若，，求. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用同角三角函数之间的基本关系以及两角和的正弦公式计算可得，再由三角形内角的范围可求出结果； （2）利用正弦定理以及三角形内角的关系，结合余弦定理计算可得结果. 【详解】（1）由得， 故， 所以． 因为， 故，由三角形内角范围 所以； （2）由，，故为边长为4的等边三角形， 在中，， 由正弦定理得，故， 由于， 所以，故， 在中，由余弦定理得， 即， 得. 类型六、射影定理与张角定理在解三角形中的应用 解题技巧： 1、射影定理 ，， 将关系式转化为射影定理的形式，整体代换直接利用公式解决问题；反用公式时注意能否正确应用. 2、张角定理 在中，角，，所对的边分别为，，，若为上一点（如图），且，，则有． 证明：因为，所以，于是等式两边同除以得． 例6-1．在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据三角形中的射影公式，即可容易求得结果. 【详解】因为，即， 解得，又因为，故可得. 故选：B. 例6-2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC， AB，AD=3，则CD长度为_____________. 【答案】 【分析】先利用同角三角函数基本关系求出cos∠BAC，再利用张角定理进行求解. 【解析】如图： ∵sin∠BAC ∴cos∠BAC 由张角定理得： 即 即 即 解得 ∴ 变式6-1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（    ） A．30° B．90° C．45° D．60° 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角形射影定理及三角形面积公式分别求出即可. 【详解】在中，由三角形面积公式及，得， 则，而，解得，， 由三角形射影定理得，而， 则，又，解得，解得， 所以. 故选：B 变式6-2．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件，再利用基本不等式即可解出． 【详解】在与中，由正弦定理得． 在中，由正弦定理得． 所以，由正弦定理得，即，即， 因此 当且仅当时取等号，则的最小值为. 变式6-3．在中，角所对的边分别为，是的角平分线，若，，则的最小值为_____________. 【答案】 【分析】利用张角定理得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】如图： ∵是的角平分线，， ∴， 由张角定理得：， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 当且仅当，即时取“=” 类型七、解三角形中的新定义问题 解题技巧： 1.吃透定义，转化条件 ①先精准理解题目给出的新定义（如 “正余弦三角形”“等距三角形”“类直角三角形” 等），把新定义的文字描述，转化为三角形的边、角、面积等常规条件（等式 / 不等式）。 ②关键：抓住定义中的核心关系（如某边与某角的倍数、某角与某边的函数关系、面积与边长的特殊比例等），将陌生定义 “翻译” 成熟悉的解三角形条件。 2. 结合定理，建立模型 ①用正弦定理、余弦定理、面积公式（底乘高、两边及夹角正弦），把转化后的边、角条件，建立方程 / 不等式 / 函数模型。 ②若定义涉及 “最值、范围”，常转化为三角函数求值域（辅助角公式）或二次函数 / 基本不等式求最值；若涉及 “存在性、个数”，结合三角形内角和、大边对大角判断。 3. 分类讨论，严谨验证 ①新定义常含多情况（如 “某角为锐角 / 钝角”“某边为最大边 / 最小边”），需按定义的不同情形分类讨论，避免漏解。 ②求出结果后，验证是否满足三角形基本条件（内角和 180°、三边关系、角的范围 0°~180°），排除增根。 4. 特殊化 / 画图辅助 ①先取特殊值 / 特殊三角形（如等边、等腰、直角三角形）代入新定义，快速理解定义内涵，验证思路是否正确。 ②画草图标注已知边、角、新定义的几何特征，直观分析边、角关系，降低抽象难度。 5. 通用步骤读定义→转条件→用定理→建模型→求结果→验合理性 例7．射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作.    (1)若点分别是线段的中点，求； (2)证明：； (3)已知，点为线段的中点，，，求. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据条件，可求得，，即可求出结果； （2）根据条件，将边长之比转化成面积之比，再结合题设定义，即可证明结果； （3）方法一：根据条件得到，再利用几何关系得到，设，，利用有，再利用余弦定理和正弦定理，建立方程，即可求解；方法二：设，根据条件，得到，再利用及余弦定理，建立方程，即可求解. 【详解】（1）由已知，，所以. （2）在，，，中， ，同理， 所以， 又在，，，中， ，同理， 所以， 又，，，， 所以，所以. （3）方法一： 由，可得，即，所以， 又点B为线段AD的中点，即，所以， 又，所以，，， 又已知，所以. 设，，由，得， 即，解得，…① 在中，由正弦定理可得，得，…② 在中，由正弦定理可得，得，…③ 又， 得，即，…④ 由①④解得，（负值舍去），即，， 所以. 方法二： 因为，所以，设，则， 又B为线段AD的中点，所以， 又已知，，所以， 所以，得， 所以，， 由，得， 所以，设，则， 由，互补得 ，即， 解得，所以，， 所以. 变式7-1．定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”.如图，已知锐角三角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，角的对边分别为a，b，c，若.    (1)求角A的大小； (2)分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域D，求平面区域D的“直径”的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化边为角，再由内角范围，即可求得角； （2）作出经过AC，BC中点的直线,交两弧于点，任作一条直线,交两弧于点,证明PQ的长小于等于周长的一半，即得区域D的“直径”为的周长l的一半，继而只需由题意求周长的范围即得. 【详解】（1）由和正弦定理得， ， 在中，因，故，即， 因，故； （2）    如图，F，G是AC，BC的中点，设直线分别交于点E，交 于点. 设P，Q分别为、上任意一点，于是，， 则， 即PQ的长小于等于周长的一半，当PQ与HE重合时等号成立， 同理，三个半圆上任意两点的距离最大值等于周长的一半， 因此区域D的“直径”为的周长l的一半， 因A，B，C在半径为1的圆上，由正弦定理得：， 即，，， 则， 由为锐角三角形，可得，即， 则，，于是， 故平面区域D的“直径”的取值范围是． 变式7-2．设的外接圆半径为，内切圆半径为，定义的值为的“分离比”. (1)若为等腰直角三角形，求的分离比； (2)证明：； (3)探究的最值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)最小值2，没有最大值 【分析】（1）设等腰直接三角形边长，求出外接圆和内切圆半径，再计算比值即可； （2）由正弦定理可得外加圆半径，利用等面积法求得内切圆半径，代入计算，再利用正弦定理边角互化即可证明； （3）法一、根据，令，又，所以，得到，即，然后可直接分析没有最大值；法二、根据相交弦定理得，然后，同法一可直线分析没有最大值. 【详解】（1）设的两条直角边为，斜边为2，所以外接圆半径为1. 内切圆半径满足，所以. 所以. （2）证明：的面积 则 所以. 由正弦定理， 所以. 因此，. （3）先探究的最小值：注意到， 先证明对于任意的正数，，，均有. 因为， 所以得证，当且仅当时取等. 所以， 下考虑的取值范围. 因为， 所以. 当且仅当取等. 对于， 又（i） （ii）， 当且仅当取等. 由（i）式与（ii）的平方相乘，有， 所以，所以， 故，当且仅当取等. 再探究的最大值，当足够小时，的取值足够小， 而，所以的取值将足够大，也即没有最大值. 综上，有最小值2，没有最大值. 变式7-3．布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角．如图，在△ABC中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下各题： (1)若，且，求A和； (2)若求的值． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）根据题意可得，则，即，又，可得，，再在中，利用正弦定理求解； （2）先根据，得，结合余弦定理可得，由正弦定理可得，在中，由余弦定理以及三角形的面积公式可得，，进一步化简即可. 【详解】（1）∵，∴，∵，， ∴， ∴，∴，即，又， 由勾股定理得，则． 在中，设，则， 由正弦定理可得， 所以，化简可得． 综上，，． （2） ，所以． 在，，中，分别由余弦定理得： ，，， 三式相加整理得：， 由上面可得， 所以， 先求， 在中，由正弦定理可得， 所以， 同理可得，， 所以 再求． 在中，由余弦定理以及三角形的面积公式可得， ，， 三式相加可得：， 由（2）可知，所以； 所以 ． 压轴专练 1.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边上的中线长为（    ） A． B． C．6 D．10 【答案】B 【分析】根据余弦定理和数量积的定义得，然后利用中线向量表示及模的运算求解中线长即可. 【详解】中，由余弦定理得， 又，所以，所以，记边上的中点为M， 因为，所以，所以. 故选：B 4． 2.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则a的值为（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】在中，由及正弦定理得到，再利用余弦定理即可求出a的值. 【详解】在中，因为， 所以由正弦定理可得. 因为，所以，所以. 将及，代入余弦定理 可得，即，解得， 因为是三角形的边长，所以. 故选：A 3.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理对已知式化简变形可求得，再利用正弦定理表示出，，从而可得，求出的取范围，可求得范围． 【详解】因为 所以由正弦定理得，， 所以， 因为，所以． 因为，所以，， 所以 ． 因为，所以，． 故． 故选：C． 4.已知的内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（　　） A． B．2 C． D．2 【答案】A 【分析】根据题目条件，使用正弦定理转化为，代入计算出最大值，再使用余弦定理计算出，从而得出，使用面积公式计算出面积的最大值. 【详解】已知，由正弦定理化简得：， 代入得： ，当且仅当“”时取等， 由余弦定理可得：，， 由同角三角函数关系可得：， 则面积. 故选：A 5.在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和与诱导公式将已知条件转化为边角的三角函数关系，利用正弦定理由边化角，使用二倍角公式进行恒等变换以及利用同角的三角函数关系求出的三角函数值，再利用正弦定理和同角的三角函数关系根据的范围求出结果. 【详解】由得，即，即，又，故， 故， 因为，所以，故，得，， 因为， 因为，，所以， 故，所以，所以， 故选D． 6.在中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为的平分线，且， 在中，根据正弦定理可知， 在中，根据正弦定理可知， 而，，故将上述两个等式相除可得， 又，所以，则在中， 由余弦定理得， 所以，在中，由正弦定理得， 则. 故选：A. 7.（多选）在锐角三角形中，角 所对的边分别为且则（    ） A． B． C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】AD 【分析】先利用二倍角公式化简，结合基本不等式及三角函数的取值范围确定，的值，然后利用正弦定理将表示成的函数即可求出的取值范围，最后利用余弦定理，借助二次函数即可求出的取值范围. 【详解】对于A B， ， 整理得：， 是锐角三角形， ,则， , 由基本不等式得：， 当且仅当时等号成立， ，，又，， ，即时，，故A正确，B错误； 对于C， ，,, ， , 是锐角三角形，, ，，的取值范围为，故C错误； 对于D，由余弦定理得：， 即，的取值范围为， ， 当时，，当时，，故D正确. 故选：AD 8.（多选）的周长为6，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（   ） A．若，则 B． C． D．若的面积为，则 【答案】ABD 【分析】A选项，由正弦定理得，结合周长得到，得到；B选项，由基本不等式得到，求出，且，故，故，B正确；C选项，由余弦定理得到，故；D选项，由三角形面积公式得，结合B可知，，由正弦定理得到. 【详解】A选项，，由正弦定理得， 又，故， 所以，，A正确； B选项，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 又，故，即， 又，，故， 所以，即，解得， 又，故，故，B正确； C选项，由余弦定理得 ， 又，故，C错误； D选项，由题意得，即，解得， 由B可知，，故，解得， 故，由正弦定理得， 故，D正确. 故选：ABD 9.在中，角所对的边分别为．若，且，则面积的最大值为 ． 【答案】16 【分析】由两角差的正弦公式以及同角关系可得，再利用换元法令可求出的正、余弦值表示，根据三角形面积公式并利用基本不等式可得当时，面积的最大值为16. 【详解】依题意由可得， 即，因此； 令，易知，则； 因此可得，； 又因为， 所以，， 由正弦定理可得，又, 所以的面积为； 当且仅当时，即时，等号成立； 因此可知面积的最大值为16. 故答案为：16 10.已知分别为的内角的对边，的面积为，且.，若恒成立，则实数的最小值为 . 【答案】4 【分析】利用三角形面积公式和数量积的定义求出，然后由正余弦定理和诱导公式化简不等式，再分和两种情况讨论可得. 【详解】解析：因为，即，整理得， 所以，又，所以， 在中，， 则，则有， 由正弦定理可得， 当时，， 当时，， 因为，所以， 综上，则实数的最小值为4. 故答案为：4. 11.已知a，b，c分别为中角A，B，C的对边，G为的重心，为边上的中线. (1)若的面积为，且，，求的长； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据三角形的面积公式，判断的形状，再根据几何关系以及余弦定理求； （2）方法一，首先由是直角三角形，设，则，，在和和中，分别利用余弦定理，求解，最后利用基本不等式，即可求解； 方法二，以向量为基底，表示向量，，利用数量积，表示，再利用基本不等式求最值. 【详解】（1）由题可知：， 即，所以， 从而为等边三角形，则，， 因为为的重心，所以为线段的三等分点，所以 在中，由余弦定理得： ， 所以. （2）（方法一：）由，且为中点，则， 不妨设，则，， 在中，由余弦定理：①， 又因为， 易得：② 由①②解得： ，（当且仅当时取“=”） 故的最小值为. （方法二：）∵ ， 同理：， 由，得， 即 ， 即， ∴， 当且仅当时，取“=” 故的最小值为. 12.数学中有很多相似的问题， 材料一：十七世纪法国数学家，被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，他的答案是：“当三角形的三个内角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角，当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点”，在费马问题中所求的点称为费马点. 材料二：布洛卡点，也叫“勃罗卡点”，定义为：已知内一点满足，则称为的布洛卡点，为的布洛卡角，1875年，三角形的这一特殊点，被一个数学爱好者——法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名. 已知，，分别是的内角，，的对边，且. (1)求； (2)若为的费马点，且，求的值； (3)若为锐角三角形，为的布洛卡点，为的布洛卡角，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据三角恒等变换的化简和正弦定理计算即可求解； （2）由（1），根据余弦定理计算可得，设，由费马点的定义和三角形的面积公式，结合平面向量数量积的定义计算即可求解； （3）由余弦定理和三角形面积公式可得；设，由布洛卡点的定义、余弦定理和三角形面积公式可得，即可证明. 【详解】（1）， ， ，由正弦定理得 ，又， ，即，又， 所以； （2）由（1）知，由余弦定理得， 所以，又， 所以. 设，由知的三个角均小于， 所以，又， 所以，得， 所以； （3）在中，由余弦定理和三角形面积公式得 ， ， ， 三式相加得①； 设， 在中，，得， 在中，，得， 在中，，得， 所以， 即，即②， 由①②得，即证. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $