专题01 平面向量的线性运算7种题型归类（压轴题专项训练）数学湘教版必修第二册

专题01 平面向量的线性运算 目录 类型一、平面向量共线定理及其应用问题 类型二、平面向量的基本定理及应用 类型三、平面向量的数量积及其最值范围问题 类型四、与平面向量的模有关的最值范围问题 类型五、平面向量的夹角问题 类型六、投影与投影向量 类型七、平面向量中的新定义问题 压轴专练 类型一、平面向量共线定理及应用问题 解题技巧： 1、已知，若，则A，B，C三点共线，反之亦然. 2、若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 例1-1．已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 例1-2．已知，是两个不共线的向量. (1)若，，，证明：三点共线； (2)若向量，共线，求实数的值． 变式1-1．设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 变式1-2．已知是两个不共线的向量，向量 ， .若三点共线，则和满足的关系是（    ） A． B． C． D． 变式1-3．已知是两个不共线的向量，，，若，则（    ） A． B．2 C． D． 类型二、平面向量的基本定理及应用 解题技巧： 平面向量基本定理 1．定理：对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(e1，e2是两个不共线向量)． 2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3．注意点：(1)同一向量在不同基底下的表示是不同的； (2)由定理内容可知，对于一组基底e1，e2，若a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则 例2-1．已知为的重心，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 例2-2．在中，为线段的中点，过的直线分别与线段交于，且，则（    ） A． B． C． D． 变式2-1．在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（   ）    A． B． C． D． 变式2-2．如图，在等腰梯形ABCD中，，，，点E满足，AE与BD相交于点F，G是线段CD上的动点． (1)用与表示； (2)求； (3)设，求xy的取值范围． 变式2-3．（多选）已知，，分别为的边，，的中点，且，，交于点，令，，表示相应图形的面积，则（   ） A． B． C． D．，，可作为一个三角形的三边长 变式2-4．如图，在等腰梯形中，为线段的中点，与交于点为线段上的一个动点.    (1)用基底表示； (2)求的值； (3)设，求的取值范围. 类型三、平面向量的数量积及其最值范围问题 解题技巧： 1．数量积：a·b＝|a||b|cos θ(a与b为非零向量，θ为向量a，b的夹角) 2.非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其夹角为θ，则a·b＝x1x2＋y1y2. 3.坐标法 4.基底转化法 5.投影法 6.极化恒等式 例3-1．已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 例3-2．在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 变式3-1．在中，已知且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．青花瓷（blue  and  white  porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的最小值是（   ） A． B．2 C． D．3 变式3-3．已知为等腰直角三角形，为直角，直角边长为，点在三角形所在平面上，向量为单位向量，点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式3-4．如图，在等腰梯形中，是边上一点（含端点），与交于点，若，且设.    (1)若，求的值； (2)求的取值范围. 类型四、与平面向量的模有关的最值范围问题 解题技巧： 模：|a|＝＝. 例4-1．已知，，点，为坐标原点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 例4-2．平面向量，满足，，，若，则最小值为（　　） A．1 B． C． D． 变式4-1．已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 变式4-2．已知单位向量的夹角为锐角且的最小值为，若向量满足，则的取值范围是 ． 变式4-3．已知平面四边形满足，且，为的中点，则 ，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为 . 类型五、平面向量的夹角问题 解题技巧： 1.夹角：cos θ＝＝. 2.两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时a·b>0，但夹角不是锐角)； 3.两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时a·b<0，但夹角不是钝角)． 例5．已知两个非零向量，同时满足，则向量与的夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．已知正方形的边长为2，为边的中点，为边上一点，当时，（     ） A． B． C． D． 变式5-2．已知，则（　　） A． B． C． D． 变式5-3．已知平面向量，（），记与的夹角是，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式5-4．如图，在梯形中，，，，E是边上一点（含端点），与交于点F，设，.    (1)若E与点C重合，求x，y的值； (2)若，求的值； (3)若存在点E，使得，求的取值范围. 类型六、投影与投影向量 解题技巧： 1.投影向量：如图，＝a，＝b, MM1⊥ON，是向量a在向量b上的投影向量． 2.投影的定义与求法 据图：如果令为向量的单位向量，那么 向量在向量方向上的向量投影为：； 其中，实数（*）称为向量在向量方向上的数量投影 例6.已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量为（   ） A． B．或 C． D．或 变式6-1．已知点，，向量，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 变式6-2．已知平面向量，为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量为 ． 变式6-3．已知向量的夹角为，，，则在方向上的投影向量的模为 . 类型七、平面向量中的新定义问题 例7.设和是空间中的两个不同点，则，，三点共线的充要条件是存在实数，使得，并且每个实数唯一对应直线上的点.仿照上面定义，设，，是共线的三个不同点，定义点关于，的分比为. (1)设，为空间中任意取定的一点，求证：； (2)若，，，是共线的四个不同点，满足，求的值； (3)如图，设，和分别是的边，和上的点，若三条直线，和交于一点，求证：. 变式7-1．如图所示，在平面直角坐标系中，从原点出发，按或这两个方向进行，且每次只能走一步，若某点可以表示为（、为自然数），则称为鸿蒙点    (1)通过鸿蒙点中、满足的关系，判断是否为鸿蒙点，并说明理由； (2)证明：若是鸿蒙点，则也是鸿蒙点； (3)若某些鸿蒙点满足，求在所有满足条件的鸿蒙点中，最小的点及此时的值. 变式7-2．如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为Ox，Oy正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中．    (1)若向量，求． (2)已知向量，，证明：． (3)若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①证明：有且只有一个零点． ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 变式7-3．对于一组向量（且），令，如果存在，使得，那么称，是该向量组的“向量”． (1)设，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围； (2)若，向量组，，，，是否存在“向量”？若存在求出所有的“向量”，若不存在说明理由； (3)已知，，均是向量组，，的“向量”，其中，，求证：可以写成一个关于的二次多项式与一个关于的二次多项式的乘积． 压轴专练 1．如图，圆的半径为2，为圆的直径，为圆上的两点且.若，则的值为（   ）    A． B． C．2 D．3 2．已知平面向量，，，满足，，，则（   ） A． B．或 C．5 D．5或 3．在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则（    ） A．1 B． C．2 D．2 5．已知平面向量，，满足：①，是两个相互垂直的单位向量；②.若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在正八边形中，点为正八边形的中心，点分别是边的中点，且，点是正八边形内一动点（含边界），已知，，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 7．已知平面向量，且.已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．我们把由平面内夹角成的两条数轴、构成的坐标系，称为“广义坐标系”.如图所示，、分别为、正方向上的单位向量.若向量，则称有序实数对为向量的“广义坐标”，可记作，，，下面表述正确的个数（   ）    ①； ②； ③的充要条件是. A．0 B．1 C．2 D．3 9．（多选）已知向量，，，，，则下列说法正确的是（    ） A．存在，使得 B．任意正数a，b，与不共线 C．若，则 D．若，则 10．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 B．已知向量，向量，且与方向相反，若向量，则在上的投影向量为 C．已知向量，，若，则的取值范围为 D．若是的外心，，，的值为 11．如图，在中，已知，，且，若线段的中点分别为，则的最小值为 12．已知为的外接圆圆心，，给出下列四个说法中，其中所有正确结论的序号为 ． ①对于任意； ②存在，使得； ③时，是等腰直角三角形； ④的最大值是． 13．在中，，边上的两条中线，相交于点，若. (1)用表示； (2)求； (3)若，求四边形的面积. 14．如图所示，在△中，，，，，. (1)用、表示； (2)若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. (3)若是△内一点，且满足（），求的最小值. 15．在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充分必要条件为． (1)已知，求； (2)已知的夹角为的夹角为，证明：的充分必要条件是； (3)在中，为中的点，且，若，求． 16．已知在平面直角坐标系中，点，点，为坐标原点. (1)如图1，设为线段 的中点， 求的值； (2)如图2，设点 是线段的等分点， 其中，，，当时，求 的值； (3)若，求的最小值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量的线性运算 目录 类型一、平面向量共线定理及其应用问题 类型二、平面向量的基本定理及应用 类型三、平面向量的数量积及其最值范围问题 类型四、与平面向量的模有关的最值范围问题 类型五、平面向量的夹角问题 类型六、投影与投影向量 类型七、平面向量中的新定义问题 压轴专练 类型一、平面向量共线定理及应用问题 解题技巧： 1、已知，若，则A，B，C三点共线，反之亦然. 2、若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 例1-1．已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】先求出，再由三点共线，可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 因为三点共线，必存在一个实数，使得， 所以，而不共线， 所以，解得：. 故选：B. 例1-2．已知，是两个不共线的向量. (1)若，，，证明：三点共线； (2)若向量，共线，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】平面向量基本定理的应用、基底的概念及辨析、已知向量共线（平行）求参数、平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】（1）由平面向量共线定理，根据已知条件构造，得到，且直线与直线有公共点，因此三点共线； （2）由向量，共线，且向量为非零向量，所以存在实数，使得，进而变形求解出即可. 【详解】（1）因为， ， 所以，且直线与直线有公共点， 因此三点共线. （2）因为，不共线，所以向量为非零向量， 因为向量，共线， 所以存在实数，使得，即， 必有，由，不共线， 所以 解得 ， 因此，当向量，共线时，. 变式1-1．设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线定理列方程，解方程即可. 【详解】由已知，， 则， 又，，三点共线， 则与共线，， 即，解得， 故选：D. 变式1-2．已知是两个不共线的向量，向量 ， .若三点共线，则和满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】将三点共线问题转化为​向量平行条件​​，即可得解. 【详解】由三点共线，则存在实数使得， ，， 由共线性质，则有， 因为不共线，得系数关系，消去，得. 故选：B. 变式1-3．已知是两个不共线的向量，，，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】由向量平行可得出，列出方程求解即可. 【详解】因为，所以存在实数，使得， 即， 又因为不共线， 所以 解得． 故选：A 类型二、平面向量的基本定理及应用 解题技巧： 平面向量基本定理 1．定理：对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(e1，e2是两个不共线向量)． 2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3．注意点：(1)同一向量在不同基底下的表示是不同的； (2)由定理内容可知，对于一组基底e1，e2，若a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则 例2-1．已知为的重心，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、平面向量基本定理的应用 【分析】根据平面向量的线性运算求解，判断选项. 【详解】为的重心， . 故选：B． 例2-2．在中，为线段的中点，过的直线分别与线段交于，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、平面向量基本定理的应用、用基底表示向量 【分析】作出图形，由 可推得，利用条件将其化成，再运用平面向量基本定理得，解之即得. 【详解】 如图，因则,即（*）， 又,,代入（*）得，, 即，因三点共线，故，解得，. 故选：B. 变式2-1．在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、平面向量基本定理的应用、用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据平面向量的线性运算，建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题可知，点在上， ， 又， ，解得. 故选：C． 变式2-2．如图，在等腰梯形ABCD中，，，，点E满足，AE与BD相交于点F，G是线段CD上的动点． (1)用与表示； (2)求； (3)设，求xy的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、平面向量基本定理的应用、用基底表示向量 【分析】（1）利用向量的线性运算，结合向量的基底表示，即可得到结果； （2）根据题意，由共线以及共线，设出向量共线，代入计算，即可得到结果； （3）先将用表示，然后根据向量相等列出方程，从而得到的表达式，再由换元法结合二次函数的性质代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，则， 又，又，且， 所以， 则， 则， 所以. （2）因为共线，则存在实数，使得， 又因为共线，则存在实数，使得 ， 所以，解得，所以. （3）因为，， 设，则， 因为， 即， 所以，解得， 所以， 令，，则，， ， 令，则，其中， 其对称轴为，开口向下， 当时，，当时，， 所以xy的取值范围是. 变式2-3．（多选）已知，，分别为的边，，的中点，且，，交于点，令，，表示相应图形的面积，则（   ） A． B． C． D．，，可作为一个三角形的三边长 【答案】BCD 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量基本定理的应用 【分析】由平面向量的线性运算判断AB选项，由题意得为的重心，得到为三等分点以及分别为中点得到三角形的面积关系，判断C选项；由重心的性质得到，从而得到结果，判断D选项. 【详解】由题意可知为的重心，    ∵分别为中点，则，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项正确； ∵，∴，即， ∴可作为三角形三边，D选项正确. 故选：BCD. 变式2-4．如图，在等腰梯形中，为线段的中点，与交于点为线段上的一个动点.    (1)用基底表示； (2)求的值； (3)设，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、平面向量基本定理的应用、用基底表示向量、向量加法的法则 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可； （2）设，，从而可得，联立方程组，求得，即可得解； （3）设，代入中，可得，从而得，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为， ， 所以. （2）设，① 设，可得， 即，② 由①②得，，解得 所以， 所以. （3）由题意，可设， 代入中，可得. 又， 故，可得， 因为，且函数在上单调递减， 所以， ， 因为函数在上单调递减， 所以， 所以的取值范围为. 类型三、平面向量的数量积及其最值范围问题 解题技巧： 1．数量积：a·b＝|a||b|cos θ(a与b为非零向量，θ为向量a，b的夹角) 2.非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其夹角为θ，则a·b＝x1x2＋y1y2. 3.坐标法 4.基底转化法 5.投影法 6.极化恒等式 例3-1．已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、已知模求参数 【分析】依据题意可得与的夹角，然后表示，利用二次函数的性质计算即可. 【详解】由题可知：设，则， ， 又的最小值为，则的最小值为3， 所以当时，有，又，所以. 设，则， 所以， 当时，有最小值为. 故选：C 例3-2．在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】设，根据向量的线性运算及数量积可得，结合得到范围即可． 【详解】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是． 故选：D． 变式3-1．在中，已知且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】方法1：利用几何法，延长线段至点，使得，然后由数量积的几何意义求得结果；方法2：利用代数计算法，将等式展开得到，进而可求得结果. 【详解】法1：由题意得，延长线段至点，使得， 易知在以为直径的圆上（不含两点），由数量积的几何意义可知 故选：C. 法2：由可得. 设夹角为，得，故，解得，故. 故选：C. 变式3-2．青花瓷（blue  and  white  porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的最小值是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【知识点】数量积的运算律 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法，化简得到，即可求得的最小值. 【详解】连接，如图， ， 根据图形知，当点位于正六边形各边的中点时，此时最小值为，的最小值为， 所以的最小值是. 故选：B 变式3-3．已知为等腰直角三角形，为直角，直角边长为，点在三角形所在平面上，向量为单位向量，点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、数量积的坐标表示 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，可得，利用平面向量数量积的坐标运算以及正弦函数的有界性可求得的最小值. 【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、、， 因为为单位向量，所以点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 因为，则点为线段的中点， 设点，则点， 所以，， 故，故当时，取最小值. 故选：B. 变式3-4．如图，在等腰梯形中，是边上一点（含端点），与交于点，若，且设.    (1)若，求的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量共线定理的推论、数量积的运算律、用基底表示向量 【分析】（1）由三点共线、得，用表示出，根据向量共线可得，进而求得即可求解； （2）用表示出，根据平面向量数量积的运算律即可求解. 【详解】（1）由三点共线，且，可知， 在等腰梯形中，由，， 可得， 又，所以， 所以， 因为三点共线，所以向量共线， 可得，结合，解得， 所以. （2）由（1）知，又， 则， 分别过作的垂线，垂足分别为，    因为等腰梯形中，， 所以，可得， 又，得， 所以，， 可得 ， 又是边上一点（含端点），，则， 所以. 类型四、与平面向量的模有关的最值范围问题 解题技巧： 模：|a|＝＝. 例4-1．已知，，点，为坐标原点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、坐标计算向量的模 【分析】由可推导得到，结合可设，，利用向量坐标运算表示出，计算可得，可知当时，取得最小值，进而得到结果. 【详解】， ，则， ，两点在以为圆心，为半径的圆上， 设，由可取， ， ， 则当时，取得最小值，. 故选：C. 例4-2．平面向量，满足，，，若，则最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的运算律 【分析】由题意计算出，由整理得，由向量的数量积公式得到，即可得到最小值. 【详解】因为，，， ， 得，即， 即， 所以，即. 设与的夹角为，则，， ∴当时，最小值为. 故选：B. 变式4-1．已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量与几何最值 【分析】由，可得，则与垂直，设共起点，数形结合画出相应图象，结合向量减法的几何意义计算即可得解. 【详解】设共起点，由，可得， 所以与垂直，如图， 由向量减法的几何意义可知，向量的终点落在图中的圆上， 由题意可知的终点在图中所示的射线上， 所以是从圆上的点到射线上的点形成的向量， 要求的最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径， 故的最小值为． 故选：A． 变式4-2．已知单位向量的夹角为锐角且的最小值为，若向量满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】向量夹角的计算、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】由题可知单位向量的夹角为，解法1、设，根据可得，利用几何意义即可求解；解法2、设，，由代入可得，再利用零点存在定理即可；解法3、设，为的中点，根据极化恒等式，再根据几何意义可解. 【详解】设， 则 所以，解得，即单位向量的夹角为， 解法1：设，，， 则， 得， 整理得， 即， 所以． 解法2：设，，由， 得， 即， 从而有即 得． 解法3：极化定理法 设，为的中点，则， 则有：， 解得，所以点在以为圆心、为半径的圆上运动， 如图，则，所以． 故答案为：. 变式4-3．已知平面四边形满足，且，为的中点，则 ，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、基本不等式求和的最小值 【分析】推导出，，然后以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量的模长公式可求得的值；设点、，其中，，利用平面向量数量积的坐标运算得出，再结合基本不等式求得的最小值. 【详解】因为，可得， 因为，则， 因为，则，且，如下图所示： 以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如上图所示的平面直角坐标系， 则、、、、， ； 设点、，其中，， ，， 所以，，可得， 因为，则，则，， 所以，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：；. 类型五、平面向量的夹角问题 解题技巧： 1.夹角：cos θ＝＝. 2.两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时a·b>0，但夹角不是锐角)； 3.两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时a·b<0，但夹角不是钝角)． 例5．已知两个非零向量，同时满足，则向量与的夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量夹角的计算、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】利用两向量模长之间的关系计算可得，再由夹角的计算公式代入可得结果. 【详解】根据可得， 可得， 因此， 所以， 又，所以. 即向量与的夹角的大小为. 故选：C 变式5-1．已知正方形的边长为2，为边的中点，为边上一点，当时，（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、向量夹角的计算、数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，设，则，，利用平面向量数量积的运算性质可得出的值，利用向量的夹角公式求出的值，即可得，再利用同角三角函数关系求得的值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示， 则、，设，则，，故，. 所以， 当时，，即，则， 故， 则， 结合题意可知为锐角，则可得，则， 故. 故选：A 变式5-2．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】先由，得到，再结合，求出，进而得到，即可求解的值. 【详解】因为，所以， 即，所以； 因为，所以； 代入 ，得到，得到； . 故选：A. 变式5-3．已知平面向量，（），记与的夹角是，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、向量夹角的坐标表示 【分析】根据向量夹角公式表示出，再根据同角三角函数关系表示出，利用换元法和基本不等式即可求解． 【详解】∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 令， 则， ∴， 当且仅当，即2（此时）时等号成立． 即的最大值为． 故选：C． 变式5-4．如图，在梯形中，，，，E是边上一点（含端点），与交于点F，设，.    (1)若E与点C重合，求x，y的值； (2)若，求的值； (3)若存在点E，使得，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】用定义求向量的数量积、平面向量基本定理的应用、用基底表示向量 【分析】（1）利用向量的加法运算即可求解； （2）利用三点共线的向量性质来求解含参系数即可； （3）利用向量的数量积运算，结合函数求值域即可. 【详解】（1）由，根据平面向量基本定理，可知，. （2）由， 三点共线，，解得， 所以 设 三点共线，，解得， 即的值为. （3）记，设， 则， 由，因为，所以， 即， 则， 所以，构造，求导得：， 所以在上单调递增，即 ，. 类型六、投影与投影向量 解题技巧： 1.投影向量：如图，＝a，＝b, MM1⊥ON，是向量a在向量b上的投影向量． 2.投影的定义与求法 据图：如果令为向量的单位向量，那么 向量在向量方向上的向量投影为：； 其中，实数（*）称为向量在向量方向上的数量投影 例6.已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【知识点】求投影向量、坐标计算向量的模、数量积的坐标表示、数量积的运算律 【分析】根据投影向量计算公式及向量数量积运算律可得在上的投影向量为，设，由题意建立方程求解可得或，计算即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以，解得， 则在上的投影向量为， 设，则，解得或， 所以或， 即在上的投影向量为或. 故选：B 变式6-1．已知点，，向量，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求投影向量、坐标计算向量的模、数量积的坐标表示 【分析】首先求出的坐标，即可求出，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，，所以， 又，所以，， 所以向量在方向上的投影向量为. 故选：C. 变式6-2．已知平面向量，为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量为 ． 【答案】. 【知识点】求投影向量、坐标计算向量的模、垂直关系的向量表示 【分析】先利用向量垂直的性质，模长与数量积的关系等公式，逐步推导关键量（如）再计算向量的模长，最后将投影向量拆为“投影长度和方向单位向量”，代入已知量计算即可. 【详解】因为，为单位向量， 则，，所以，, 因为， 则 可得， 所以，向量在向量上的投影向量为： . 故答案为：. 变式6-3．已知向量的夹角为，，，则在方向上的投影向量的模为 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、求投影向量 【分析】首先求出，再根据投影向量的定义求出在方向上的投影向量，即可求出其模. 【详解】因为向量的夹角为，，， 所以， 所以在方向上的投影向量为， 所以在方向上的投影向量的模为. 故答案为： 类型七、平面向量中的新定义问题 例7.设和是空间中的两个不同点，则，，三点共线的充要条件是存在实数，使得，并且每个实数唯一对应直线上的点.仿照上面定义，设，，是共线的三个不同点，定义点关于，的分比为. (1)设，为空间中任意取定的一点，求证：； (2)若，，，是共线的四个不同点，满足，求的值； (3)如图，设，和分别是的边，和上的点，若三条直线，和交于一点，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数 【分析】（1）由题意得到，变形得到； （2）设，则，因为是共线的三个不同点，故，推出，即，同理可得，相减得到答案； （3）设，参照（1）证明可得：，根据三点共线得到，故，同理得到，，联立消去，，因为，和中任意两个向量互不共线，故有，由此推出，，得到结论. 【详解】（1）由题意得，故， ，故； （2）设，则，因为是共线的三个不同点，故， 所以，， ，即， ，故，因为是共线的三个不同点，故 所以，，，故. （3）设， 因为和三点共线，，参照（1）证明可得： ①， 又因为三点共线，所以存在，使得，代入①式可得： ②， 同理，利用，可以找到实数和，使得 ③， ④， 联立②③消去，联立②④消去，可得： ，， 又因为，和中任意两个向量互不共线， 故有， 由得，由得， 又，故，即， 所以.得证. 变式7-1．如图所示，在平面直角坐标系中，从原点出发，按或这两个方向进行，且每次只能走一步，若某点可以表示为（、为自然数），则称为鸿蒙点    (1)通过鸿蒙点中、满足的关系，判断是否为鸿蒙点，并说明理由； (2)证明：若是鸿蒙点，则也是鸿蒙点； (3)若某些鸿蒙点满足，求在所有满足条件的鸿蒙点中，最小的点及此时的值. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)，的最小值为50. 【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算解决最值和范围问题 【分析】（1）用向量的加法和向量的数乘运算可求得鸿蒙点满足可以被5整除，代入点计算即可判断； （2）构造，计算可得，即可证明结论； （3）利用向量的坐标运算可得，设，可得，计算即可求解. 【详解】（1）不是鸿蒙点，理由如下：     由， 得，即，. 即，所有鸿蒙点满足可以被5整除， 代入点，有不能被5整除，故不是鸿蒙点； （2）由为鸿蒙点可知，， 构造：， 将表达为的形式，有，解得， 故，即仍为鸿蒙点； （3）由（1）可知， 故，令，即， 由是整数可知，可以被3整除，即被3整除余2， 不妨设，，则有， 即， 为使尽可能小，即要求尽可能大，且，        解不等式有，时， ，.此时点坐标为，的最小值为. 变式7-2．如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为Ox，Oy正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中．    (1)若向量，求． (2)已知向量，，证明：． (3)若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①证明：有且只有一个零点． ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1) (2)证明解析. (3)，理由见解析 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】（1）（2）直接利用提干信息进行计算； （3）①先化简出，然后分别讨论在，，三个区间的正负，然后利用零点存在定理判断零点是否存在以及有多少个； ②利用①将化成，从而根据的范围判断与的大小. 【详解】（1）因为向量，所以，又因为，， 所以， 所以. （2）因为向量，，所以，， 所以 化简得. （3）①由（2）得， 化简得， 所以， 当时，单调递增，因为， 又因为，，所以， 又因为，所以， 由零点存在定理可得，存在，使得， 所以在上有一个零点. 当时，，，所以， 故在上没有零点. 当时，，， 所以，故在上没有零点. 综上可得，有且只有一个零点. ②. 理由如下：在上单调递减， 所以，即，所以. 变式7-3．对于一组向量（且），令，如果存在，使得，那么称，是该向量组的“向量”． (1)设，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围； (2)若，向量组，，，，是否存在“向量”？若存在求出所有的“向量”，若不存在说明理由； (3)已知，，均是向量组，，的“向量”，其中，，求证：可以写成一个关于的二次多项式与一个关于的二次多项式的乘积． 【答案】(1) (2)存在“向量”，分别为，， (3)证明见解析 【知识点】向量模的坐标表示、向量新定义 【分析】（1）根据题意分析可得，结合模长公式列式求解即可； （2）根据题意可得，，结合可得，即可分析证明； （3）根据题意分析可得，，结合模长公式分析证明即可. 【详解】（1）由题意可得：， 因为，则，， 则，即， 整理得，解得， 所以实数的取值范围为. （2）存在，理由如下： 假设存在“向量”， 因为， 且， 则由题意，只需要使得， 又因为， 则， 可得， 由，即， 整理得，解得， 又因为，即，6，10满足上式， 所以存在“向量”，分别为，，满足题意； （3）由题意得：，， 即，， 同理，， 三式相加并化简得：， 即，，所以， 由，可得， 可得 ， 所以可以写成一个关于的二次多项式与一个关于的二次多项式的乘积. 压轴专练 1．如图，圆的半径为2，为圆的直径，为圆上的两点且.若，则的值为（   ）    A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】先分解向量，用圆心出发的向量表示所有待处理向量（利用圆的半径、直径性质），再用数量积分配律展开化简，代入模长、夹角等已知条件，将式子转化为包含目标向量点积的形式，随后求解即可. 【详解】因为圆 半径 ，， 所以， 因为，所以， 所以 因为， 所以 又因为 ， 代入得， 所以， 即， 又因为 ， 所以 故选：D. 2．已知平面向量，，，满足，，，则（   ） A． B．或 C．5 D．5或 【答案】B 【分析】先根据已知条件，得到与的关系，再利用向量夹角公式建立关于的方程，最后求解即可. 【详解】由可得，则， 因为，故有，即， 又因为，两边同时平方得， 将与代入上式， 得，整理得， 解得或， 故选：B. 3．在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算法则，及三点共线，推得.利用基本不等式中“1”的妙用，求得的最小值. 【详解】，即，， ，，，， ，三点共线，则. ， 当且仅当，即时，等号成立，因此，的最小值为. 故选：B. 4．若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则（    ） A．1 B． C．2 D．2 【答案】C 【分析】由，得出数量积的关系，由投影向量得出夹角与模长关系，再求即可求出. 【详解】， ， ，即， 在上的投影向量为， ，即， 整理得：，化简得：， ， ， ， ， ， ， 令，则， 时，， ， 解得：. 故选：C 5．已知平面向量，，满足：①，是两个相互垂直的单位向量；②.若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先建立坐标系，用坐标表示向量，再求出的坐标并计算的值，最后通过换元求出的取值范围即可. 【详解】，是两个相互垂直的单位向量，设， ， 又，，，， 又，， ，， ， 令，则， 又，， ， 则，其中， 又在上单调递增， 当时，取最小值，即， 又恒成立，，即. 故选：C. 6．如图，在正八边形中，点为正八边形的中心，点分别是边的中点，且，点是正八边形内一动点（含边界），已知，，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由正八边形的对称性和向量的运算法则将转化为，根据数量积的几何意义，将问题转化为求解的最值，结合图形可得取得最值时的位置，最后结合平面几何知识求得结果. 【详解】由题，可知为的中点， 所以， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 所以的最大值为. 故选：D. 7．已知平面向量，且.已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对任意实数恒成立，两边同时平方化简整理得：对任意实数恒成立，故，解得.利用绝对值的三角不等式即可求解. 【详解】由题可知. 由，两边同时平方得，化简整理得. 因为对任意实数恒成立，所以对任意实数恒成立， 所以，所以. 所以， 当且仅当向量与方向相反时等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 8．我们把由平面内夹角成的两条数轴、构成的坐标系，称为“广义坐标系”.如图所示，、分别为、正方向上的单位向量.若向量，则称有序实数对为向量的“广义坐标”，可记作，，，下面表述正确的个数（   ）    ①； ②； ③的充要条件是. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据已知条件及向量的坐标运算即可判断①；利用向量的数量积公式及数量积的运算律即可判断②；根据已知条件及向量的共线定理即可判断③. 【详解】对于①，，故①正确； 对于②，， 故②错误； 对于③，对于充分性，若，当时，即，则； 若，必存在唯一实数，使得，即， 所以，两式相除得，即，故充分性成立； 对于必要性，若，当，满足， 当，不妨设，则， ， 所以，故必要性成立. 所以的充要条件是.故③正确. 故选：C 9．（多选）已知向量，，，，，则下列说法正确的是（    ） A．存在，使得 B．任意正数a，b，与不共线 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据向量共线的充要条件，即可判断选项、；根据向量垂直，数量积为零，可得，再根据向量加法和模长公式可得，再利用基本不等式即可得；根据，所以，化简可得，代入得：，结合基本不等式和换元法，即可计算出. 【详解】对于：由题意得，若，则，解得，因为，， 所以无解，故不存在，使得，所以选项错误； 对于：由选项可知，不存在，使得，所以选项正确； 对于：若，则，解得，， 所以，因为，， 根据基本不等式得：=2， 当且仅当=1时等号成立，所以；所以选项正确； 对于：，若，则， 即，化简得：， 因为，，所以，即，且， 所以，令， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，所以选项错误. 故选：. 10．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 B．已知向量，向量，且与方向相反，若向量，则在上的投影向量为 C．已知向量，，若，则的取值范围为 D．若是的外心，，，的值为 【答案】BCD 【分析】由向量坐标得到数量积，由题意得不等式，然后解得的取值范围，注意，判断A选项；设使得，解出的值，然后由投影向量得到结果判断B选项；由向量坐标得到数量积，由三角恒等变换化简整理后由范围求得数量积取值范围，判断C选项；由三角形外心可得关系，然后列出，通过二倍角公式，正弦定理，余弦定理化简数量积，判断D选项. 【详解】对于A，，由题意可知，则， 但当时，与的夹角为不为锐角，所以，A选项错误； 对于B，∵与方向相反，则存在使得，， 即，解得或， 当时，（舍去），所以，即， 所以在上的投影向量，B选项正确； 对于C，，，∴， ∴，C选项正确； 对于D，设，， ∴， ∵ 由正弦定理可知， ，， ∴， ∵， 由余弦定理，， ∴， D选项正确. 故选：BCD. 11．如图，在中，已知，，且，若线段的中点分别为，则的最小值为 【答案】/ 【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得，，再根据并结合，可得关于的函数式，由二次函数的性质即可求最小值. 【详解】在中，，则， 线段的中点分别为， ∴，， ∴， ∴两边平方得： ， ∵，，， ∴， 因为对称轴为，所以当时取得最小值， 最小值为，所以的最小值为. 故答案为：. 12．已知为的外接圆圆心，，给出下列四个说法中，其中所有正确结论的序号为 ． ①对于任意； ②存在，使得； ③时，是等腰直角三角形； ④的最大值是． 【答案】②③④ 【分析】利用向量的线性运算和三角形外接圆的性质，结合均值不等式和正弦定理等的相关知识，对每个说法逐一分析. 【详解】因为为的外接圆圆心， 所以（为外接圆半径）， 又，所以， 即， 因为，所以， 所以， 所以， 即， 展开并整理得：， 对于①，当时，，此时或， 因此存在，故①错误； 对于②④，因为 所以（当且仅当时取得等号）， 所以， 解得，或， 又为锐角，所以O与B在的同侧，所以， 所以存在，使得，故②正确，④正确； 对于③，当时， 代入中可得：， 此时是等腰直角三角形，故③正确； 故答案为：②③④ 13．在中，，边上的两条中线，相交于点，若. (1)用表示； (2)求； (3)若，求四边形的面积. 【答案】(1), (2) (3) 【分析】(1)由，为，边上的中线即可得出答案 （2）由，两边平方，设，化简计算后即可得出答案 （3）由是重心，得出，再由（2）即可得出答案 【详解】（1）因为为边上的中线，所以 因为为边上的中线，所以 （2）因为 所以 因为 所以设 所以 所以 又因为 所以 （3） 已知，设，结合， ，代入得： 解得 则 因为是重心,则 所以，同理 14．如图所示，在△中，，，，，. (1)用、表示； (2)若，，是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. (3)若是△内一点，且满足（），求的最小值. 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）结合条件，根据向量的线性关系，即可求解； （2）利用基底表示向量和，再结合垂直关系的向量运算，即可求解； （3）首先由向量的线性运算关系推出点三点共线，，再结合基本不等式求最值，并化简，求最值. 【详解】（1）， （2）设， ， ， ，， 解得， ∴存在点，使得 （3）， ∴， ， ， ， ，，三点共线， ， 当且仅当时，即为中点时等号成立， 而， 所以的最小值为. 15．在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充分必要条件为． (1)已知，求； (2)已知的夹角为的夹角为，证明：的充分必要条件是； (3)在中，为的中点，且，若，求． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题目给出的公式直接带入求解； （2）根据数量积公式及题目给出的定义可得，结合同角三角函数的关系可知，进而证得； （3）根据三角形中线的向量用法，求得，再用向量分解分别求出，，，结合（2）中结论求出的取值. 【详解】（1）因为，所以． （2）因为， 且，则， 所以． 因为等价于，即， 所以的充分必要条件是． （3）如图，因为为的中点，所以， 可得， 即，可得． 由，可知为的中点，则， 可得， 则， ， ， 可得， 所以． 16．已知在平面直角坐标系中，点，点，为坐标原点. (1)如图1，设为线段 的中点， 求的值； (2)如图2，设点 是线段的等分点， 其中，，，当时，求 的值； (3)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先根据图形用向量将向量表示出来，然后用将向量表示出来，进而可求出的值. （2）首先根据题意用向量将向量表示出来，进而可以发现向量相加的规律性，从而可以将结果求出来. （3）首先对原式进行化简，然后结合图形找出最小值的点的位置，进而可求出最小值. 【详解】（1）因为 ， 而 为线段 的中点，所以 得 （2）由题意得 ， ，所以 ， 事实上，对任意正整数，且，有 ， 所以 ， 所以 （3）线段AB 上存在一点M，使得 且存在点 则 所以 即线段上存在一点，其到点和点的距离之和最小， 作点关于线段 的对称点 如图所示， 则最小值为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $