第13讲 解析几何讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦解析几何核心考点，涵盖直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程、性质及位置关系，按“公式-关系-应用”逻辑构建知识体系，通过考点梳理、真题分类训练、解题模板总结，帮助学生系统突破难点。 资料以真题为载体，按考点分层设计选填与大题训练，创新采用“特殊到一般”解题模板（如定点问题先求特殊值再证明），培养学生数学思维与逻辑推理能力，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应试效率。

第12讲 解析几何 知识核心 一、直线距离公式 1、点线距：点P0(x0，y0)到直线Ax+By+C=0(A，B不同时为0)的距离 d=. 2、线线距：两条平行直线1：Ax+By+C1=0与2：Ax+By+C2=0(A，B不同时为0，C1≠C2)间的距离 d=. 二、直线与圆的位置关系：设圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线：Ax+By+C=0(A，B不同时为0). 圆心C(a，b)到直线的距离d=. 由消去y(或x)，得到二次方程，判别式为Δ 公共点个数 2 1 0 几何法 d<r d=r d>r 代数法 Δ>0 Δ=0 Δ<0 三、直线与圆相交的弦长 几何法 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长之间的关系r2=d2+求解 弦长公式 将直线方程代入圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得弦长|x1-x2|== （k≠0） 四、椭圆的标准方程与性质 焦点位置 在x轴上 在y轴上 图形   标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 性 质 焦点 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) 离心率 e== (0<e<1) 1、焦半径：椭圆上的点与焦点之间的线段叫做椭圆的焦半径. 已知P(x0，y0)为椭圆上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，记r1=|PF1|，r2=|PF2|，则 ①当焦点在x轴上时，r1=a+ex0，r2=a-ex0； ②当焦点在y轴上时，r1=a+ey0，r2=a-ey0. 2、点与椭圆的位置关系：已知点P(x0，y0)，椭圆+=1(a>b>0)的焦点为F1，F2，则 ①|PF1|+|PF2|=2a⇔点P在椭圆上⇔+=1；②|PF1|+|PF2|<2a⇔点P在椭圆内部⇔+<1； 3. 椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦叫做椭圆的通径，其长度为. 4. 焦点弦：过焦点的直线与椭圆相交形成的弦. 焦点弦中通径最短. 5.椭圆上一点到焦点的最小距离为：a-c，最大距离为：a+c； 五、双曲线的标准方程与性质 焦点位置 在x轴上 在y轴上 图形   标准方程 -=1(a>0，b>0) -=1(a>0，b>0) 性 质 焦点 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) 轴 实轴(线段A1A2)的长：2a；虚轴(线段B1B2)的长：2b； 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e== (e>1) 1、双曲线定义： 2. 等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线，其标准方程为x2-y2=±a2 (a≠0)，等轴双曲线的离心率e=，两条渐近线互相垂直. 3.当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 4. 双曲线的焦点到渐近线的距离d==b. 5. 双曲线-=1(a>0，b>0)，右支上任意一点到左焦点的最小距离为c+a，到右焦点的最小距离为c-a. 6. 双曲线的通径：过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线被双曲线所截得的弦叫做双曲线的通径，其长度为. 六、椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 七、抛物线的标准方程与性质 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线 2. 通径：通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴的直线交抛物线于A，B两点，线段AB称为抛物线的通径，通径是所有焦点弦中长度最短的弦，其长度为2p. p越大，通径越长，抛物线的“张口”越大；反之，p越小，通径越短，抛物线的“张口”越小. 真题选填精做 考点01直线与直线的夹角 1．（2021·上海·高考真题）求直线与直线的夹角为 . 【详解】解：直线的斜率不存在，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为， 故直线与直线的夹角为， 考点02求点到直线的距离 2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.故选：D. 考点03求圆的方程 3．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ． 【详解】[方法一]：三点共圆∵点M在直线上，∴设点M为，又因为点和均在上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴， ，解得，∴，，的方程为. [方法二]：圆的几何性质 由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为. 考点04由圆的方程确定圆心和半径 4．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则 ． 【详解】圆化为标准方程为：，圆的面积为，圆的半径为， ，解得． 考点05直线与圆的位置关系 5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． 【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上， 所以所在直线即为直线，所以直线为，即； 圆，圆心，半径， 依题意圆心到直线的距离，即，解得，即； 考点06圆的弦长问题 6．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则     A． B． C． D． 【详解】由题可得圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离， 则弦长为，则当时，取得最小值为，解得.故选：C. 7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径，；当时，的最小， 此时.故选：C 8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.   故选：C 9．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以，圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得；故答案为：2. 10．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为，由勾股定理可得，因为，解得. 11．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ． 【详解】设直线的方程为，则点，由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，则，解得或，所以， 因为，故.故答案为：. 12．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以）． 考点07圆的切线问题 13．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 【详解】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是，故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，，填一条即可 考点08圆的对称问题 14．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．选：A． 考点9圆的最值问题 15．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【详解】法一：令，则，代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得，故 的最大值是， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得故选：C. 16．（2025·全国一卷·高考真题）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意，在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知，当时，圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.故选：B. 真题选填 圆锥曲线（选填题）考点01求椭圆的标准方程 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【详解】设点，则，因为为的中点，所以，即， 在圆上，所以，即，点的轨迹方程为选A 2．（2022·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：因为离心率，解得，，分别为C的左右顶点，则，B为上顶点，所以.所以，因为 所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.故选：B. 考点02椭圆的焦点三角形 3．（2023·全国甲卷·高考）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【详解】方法一：因为，所以， 从而，所以．故选：B. 方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又，平方得： ，所以．故选：B. 4．（2023·全国甲卷）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 方法一：设，所以，由，解得：，由椭圆方程可知，， 所以，，解得：，即，因此．故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：．故选：B． 5．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C． 6．（2021·全国甲卷·高考真题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ． 【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形， 设，则，所以， ，即四边形面积等于.故答案为：. 考点03椭圆的离心率问题 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由，得，因此，而，所以.故选：A 8．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】[方法一]：设而不求设，则；则由得：， 由，得，所以，即，所以椭圆的离心率A. [方法二]：第三定义，设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：，故， 由椭圆第三定义得：，故，所以椭圆的离心率，故选A. 9．（2021·全国乙卷·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】设，由，因为 ，，所以 ， 因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．故选：C． 10．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 . 【详解】如图所示：不妨假设，设切点为，，所以, 由，所以，，于是，即，所以．答案， 考点04直线与椭圆的位置关系 11．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，因为直线与椭圆相交于点，则，解得，设到的距离到距离，易知， 则，，，解得或（舍去），故选：C. 12．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ． 【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法，令的中点为，设，，利用点差法得到， 设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解； 解：令的中点为，因为，所以，设，，则，， 所以，即 所以，即，设直线，，， 令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去）， 所以直线，即；故答案为： [方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法，解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点， 设，，设直线，，， 则，，，因为，所以 联立直线AB与椭圆方程得消掉y得其中， ∴AB中点E的横坐标,又，∴ ∵，，∴,又，解得m=2，所以直线，即 考点05椭圆的最值问题 13．（2021·全国乙卷·高考真题）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【详解】设点，因为，，所以 ，而，所以当时，的最大值为．故选：A． 考点06求双曲线的标准方程 14．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】，则，，则双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，双曲线的方程为.选B 15．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得，由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，，所以双曲线的方程为.选：A 16．（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】抛物线的准线方程为，则，则、， 不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点， 因为且，则为等腰直角三角形，且，即，可得， 所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.故选：D. 17．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距， 由双曲线的离心率为，得，解得，则，所以双曲线的方程为. 考点07双曲线的基本量的计算 18．（2022·上海·高考真题）双曲线的实轴长为 ． 【详解】由知，，所以，所以实轴长.故答案为：6 19．（2021·全国乙卷·高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为 ． 【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为， 所以右焦点到直线的距离为. 考点08双曲线的离心率 20．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【详解】由得，，所以， 即，所以，故选：B． 21．（2025·全国一卷·高考真题）若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为，由题知，， 于是，则，即.故选：D 22．（2021·全国甲卷·高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，； 因为,由余弦定理可得，可得，所以，即.选A 23．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【详解】由题意，设、、，则，，， 则，则.故选：C. 24．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为， 则抛物线的准线为，令，则，解得，所以, 又因为双曲线的渐近线方程为，所以， 所以，即，所以，所以双曲线的离心率.故选：A. 25．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得，故，即，所以.故答案为： 26．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【详解】方法一：依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则，故， 所以在中，，整理得，故. 27．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线，则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知，易知，即， 整理得，∴，即离心率为2.故选： 28．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ． 【详解】过且斜率为的直线，渐近线， 联立，得，由，得 而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.故答案为：． 考点09双曲线的渐近线 29．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ． 【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为， 则，，又双曲线的渐近线方程为，所以，即，解得； 30．（2021·全国乙卷·高考真题）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 ． 【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.故答案为：4. 31．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由，则，解得，所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长.故选：D 32．（2021·全国甲卷·高考真题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即， 结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.故选：A. 33．（2022·全国甲卷·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ． 【详解】解：双曲线的渐近线为，即， 不妨取，圆，即，所以圆心为，半径， 依题意圆心到渐近线的距离，解得或（舍去）． 考点10直线与双曲线的位置关系 34．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 【详解】联立，化简并整理得：， 由题意得或，解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：（或，答案不唯一）. 35．（2022·全国甲卷·高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ． 【详解】解：，所以C的渐近线方程为,结合渐近线的特点，只需，即， 可满足条件“直线与C无公共点”所以，又因为，所以， 故答案为：2（满足皆可） 36．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 考点11抛物线定义的应用 37．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，所以到准线的距离为， 又到直线的距离为，所以，故.故选：D. 38．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【详解】对，令，则，所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得.所以.故选：C 39．（2022·全国乙卷·高考）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【详解】由题意得，，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入得，，所以.故选：B 40．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为 ； 的面积为 ． 【详解】因为抛物线的方程为，故且.因为，，解得，故， 所以，故答案为：5；. 41．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ． 【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得， 代入抛物线方程，得，解得，则点到轴的距离为． 考点12根据抛物线方程求焦点或准线 42．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ． 【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为. 43．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【详解】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，(舍去).B. 44．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ． 【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故， 45．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为， 准线方程为，点到的准线的距离为. 46．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 【详解】圆的圆心为，故即，由可得，故或（舍），故，故直线即，故原点到直线的距离为， 47．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 . 【详解】抛物线： ()的焦点,∵P为上一点，与轴垂直， 所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,不妨设, 因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，又， 因为，所以,，所以的准线方程为 48．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ． 【详解】易知圆和曲线均关于轴对称，不妨设切线方程为，， 所以，解得：，由解得：或， 所以，解得：．当时，同理可得．故答案为：． 真题大题 考点01圆锥曲线的面积问题 1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【详解】（1）设，由可得，，所以， 所以， 即，因为，解得：． （2）因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线：，， 由可得，，所以，，， 因为，所以，即， 亦即，将代入得， ，，所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积，而或，所以， 当时，的面积． 2．（2021·全国乙卷·高考真题）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； 【详解】（1）【最优解】：利用圆的几何意义求最小值，抛物线的焦点为，， 所以，与圆上点的距离的最小值为，解得； 3．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求． 【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故，故，故椭圆方程为：. （2）由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得，故即， 且，故， 解得，故. 4．（2022·天津·高考真题）椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足． (1)求椭圆的离心率； (2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且的面积为，求椭圆的方程． 【详解】（1）解：，离心率为. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为，易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立得，由，① ，，由可得，②由可得，③ 联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为． 5．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 【详解】（1）如图，  由题意得，解得，所以， 所以椭圆的方程为，离心率为. （2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，设直线的方程为， 联立方程组，消去整理得：， 由韦达定理得，所以，所以，. 所以,,，所以， 所以，即，解得，所以直线的方程为. 考点02圆锥曲线的斜率问题 6．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率；(2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 【详解】（1）由题意，从而，所以椭圆方程为，离心率为； （2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，，联立，化简并整理得，由题意，即应满足， 所以，若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令，得， 所以，此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 考点03圆锥曲线的证明问题 7．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； 【详解】（1）依题意，设椭圆的半焦距为，则左焦点，右顶点，离心率，即，因为为上一点，设，又直线的斜率为，则，即， 所以，解得，则，即，因为的面积为，，高为， 所以，解得，则，，所以椭圆的方程为. . 模板01 定点问题 过定点问题常用方法：从特殊入手，求出定值；再证明这个值与变量无关； 当题中的直线既无斜率，又不过定点线，就要设成“双变量”型：，得讨论k是否存在。 当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了。 （1） （2），此时直线不包含水平，也要适当的补充讨论。 （3）设“双变量”时，第一种设法较多。因为一般情况下，没有了定点在x轴上，那么第二种设法实际上也没有特别大的计算优势。 1.（24-25甘肃白银）已知离心率为的椭圆的右焦点为，点为椭圆上第一象限内的一点，满足垂直于轴，且. (1)求椭圆的方程； (2)直线的斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于直线对称，证明：直线过定点. （1）因为椭圆的离心率为，所以，点在椭圆上，代入椭圆方程，有，解得，且，可得 所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，由消去，整理得， 因为直线交椭圆于两点，所以，设，所以，因为直线和直线关于直线对称， 所以，所以，所以，解得.所以直线的方程为，所以直线过定点. 2.（23-24江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． （1）由已知得，，所以，又点在上，故，解得，， 所以双曲线的方程为：． （2）当斜率不存在时，显然不满足条件．当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，消去得，由已知得，且， 设，，则，， 直线，的斜率分别为，，由已知，故，即， 所以， 化简得，又已知不过点，故，所以，即，故直线的方程为，所以直线过定点． 3、（24-25湖北·开学考试）已知平面内一动圆过点，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若过点的直线l与曲线C交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由. （1）设动圆圆心，当时，依题意，，即； 当时，点C的轨迹为点，满足，所以点C的轨迹方程为. （2）依题意，直线不垂直于轴，设直线l方程为：，，由消去x并整理得，恒成立，则，令圆心为，则，，，直径， 则圆的方程为，当时，，因此对于，圆恒过原点， 所以存在定点，以MN为直径的圆过定点. 4．（2023·福建福州）已知椭圆的左、右焦点分别为，，A，B分别是C的右、上顶点，且，D是C上一点，周长的最大值为8. (1)求C的方程； (2)C的弦过，直线，分别交直线于M，N两点，P是线段的中点，证明：以为直径的圆过定点. 【解析】（1）依题意，， 周长，当且仅当三点共线时等号成立，故，   所以，所以的方程； （2）设，直线，代入，整理得， ，， 易知，令，得，同得，从而中点， 以为直径的圆为， 由对称性可知，定点必在轴上，令得，， ， 所以，即，因为， 所以，即， 解得，所以圆过定点.   模板02 定直线问题的答题模板 (1)设定点法：设定点的轨迹，利用已知的点轨迹信息，消去其中的参数。 (2)待定系数法：设包含未知参数的直线方程，然后运用待定系数法来求解这些系数。 (3)验证法：选取特殊点的位置来求解直线方程，随后对一般情况下的位置进行验证。 1．（2024·湖南娄底·一模）若抛物线的方程为，焦点为，设是抛物线上两个不同的动点. (1)若，求直线的斜率； (2)设中点为，若直线斜率为，证明在一条定直线上. 【详解】（1）， ，将代入得，，所以； （2）设，，即，代入，得， 由韦达定理，有，故，在定直线上. 2．（2024·北京·三模）已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点． (1)求椭圆的方程；(2)求证：点在定直线上. 【详解】（1）依题意，，半焦距，则，所以椭圆的方程为. （2）显然直线不垂直于y轴，设直线， 由消去x并整理得， ，设， 则，且有， 直线，直线， 联立消去y得，即， 整理得， 即， 于是，而， 则，因此， 所以点在定直线上. 3．（2023·安徽阜阳）已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为. (1)求C的方程； (2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由已知C：，点A的坐标为，得， 焦点，，. 所以，，故C：. （2）设l的方程为，则，故， 由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，故. 与双曲线方程联立得：，由已知得，，设，， 则，①由，得：，， 消去得：，即②；由①②得：，由已知， 故存在定直线l：满足条件. 4.（2023·河南洛阳）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值； (3)在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上. 【解析】（1）依题可得，解得，所以，所以椭圆的方程为． （2）设，，因为直线过点且斜率不为，所以可设的方程为，代入椭圆方程得，其判别式，所以，. 两式相除得，即． 因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为， 所以，． 从而． （3）由（1）知，设，则，所以直线的方程为，直线的方程为，联立可得， 所以直线与直线的交点的坐标为，所以点在定直线上. 5、（2023·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. （1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，，双曲线方程为. （2）由(1)可得，设，显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，与联立可得，且， 则，   直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ，由可得，即，据此可得点在定直线上运动. 模板03 定值问题 求解定值问题,从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； 1．（2024高三·全国）已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点．    (1)求证：；(2)求证：为定值，并求出该定值； 【详解】（1）联立与消y得：， 由直线与椭圆有一个公共点可知：，化简得：； （2）由题意得：，因为，所以∥，故， 其中，，所以。 3．（2021·全国·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 【详解】(1) 因为，所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹的方程为，则，可得，， 所以，轨迹的方程为. （2）如图所示，设,设直线的方程为．  ；联立,化简得，，则．故．则．设的方程为，同理． 因为，所以， 化简得，所以，即．因为，所以． 4．（2023·河南·校联考）在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆过，. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在，证明：为定值. 【解析】（1）将，代入到，可得，解得，， 所以椭圆的方程为：. （2）由题意可知，蒙日圆方程为：. （ⅰ）若直线斜率不存在，则直线的方程为：或. 不妨取，易得，，，，. （ⅱ）若直线斜率存在，设直线的方程为：. 联立，化简整理得：， 据题意有，于是有：. 设（），（）.化简整理得：， ，，. 则， ，所以.综上可知，为定值.  学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 解析几何 知识核心 一、直线距离公式 1、点线距：点P0(x0，y0)到直线Ax+By+C=0(A，B不同时为0)的距离 d=. 2、线线距：两条平行直线1：Ax+By+C1=0与2：Ax+By+C2=0(A，B不同时为0，C1≠C2)间的距离 d=. 二、直线与圆的位置关系：设圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线：Ax+By+C=0(A，B不同时为0). 圆心C(a，b)到直线的距离d=. 由消去y(或x)，得到二次方程，判别式为Δ 公共点个数 2 1 0 几何法 d<r d=r d>r 代数法 Δ>0 Δ=0 Δ<0 三、直线与圆相交的弦长 几何法 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长之间的关系r2=d2+求解 弦长公式 将直线方程代入圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得弦长|x1-x2|== （k≠0） 四、椭圆的标准方程与性质 焦点位置 在x轴上 在y轴上 图形   标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 性 质 焦点 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) 离心率 e== (0<e<1) 1、焦半径：椭圆上的点与焦点之间的线段叫做椭圆的焦半径. 已知P(x0，y0)为椭圆上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，记r1=|PF1|，r2=|PF2|，则 ①当焦点在x轴上时，r1=a+ex0，r2=a-ex0； ②当焦点在y轴上时，r1=a+ey0，r2=a-ey0. 2、点与椭圆的位置关系：已知点P(x0，y0)，椭圆+=1(a>b>0)的焦点为F1，F2，则 ①|PF1|+|PF2|=2a⇔点P在椭圆上⇔+=1；②|PF1|+|PF2|<2a⇔点P在椭圆内部⇔+<1； 3. 椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦叫做椭圆的通径，其长度为. 4. 焦点弦：过焦点的直线与椭圆相交形成的弦. 焦点弦中通径最短. 5.椭圆上一点到焦点的最小距离为：a-c，最大距离为：a+c； 五、双曲线的标准方程与性质 焦点位置 在x轴上 在y轴上 图形   标准方程 -=1(a>0，b>0) -=1(a>0，b>0) 性 质 焦点 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) 轴 实轴(线段A1A2)的长：2a；虚轴(线段B1B2)的长：2b； 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e== (e>1) 1、双曲线定义： 2. 等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线，其标准方程为x2-y2=±a2 (a≠0)，等轴双曲线的离心率e=，两条渐近线互相垂直. 3.当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 4. 双曲线的焦点到渐近线的距离d==b. 5. 双曲线-=1(a>0，b>0)，右支上任意一点到左焦点的最小距离为c+a，到右焦点的最小距离为c-a. 6. 双曲线的通径：过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线被双曲线所截得的弦叫做双曲线的通径，其长度为. 六、椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 七、抛物线的标准方程与性质 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线 2. 通径：通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴的直线交抛物线于A，B两点，线段AB称为抛物线的通径，通径是所有焦点弦中长度最短的弦，其长度为2p. p越大，通径越长，抛物线的“张口”越大；反之，p越小，通径越短，抛物线的“张口”越小. 真题选填精做 考点01直线与直线的夹角 1．（2021·上海·高考真题）求直线与直线的夹角为 . 考点02求点到直线的距离 2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 考点03求圆的方程 3．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ． 考点04由圆的方程确定圆心和半径 4．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则 ． 考点05直线与圆的位置关系 5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． 考点06圆的弦长问题 6．（2021·北京·高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则     A． B． C． D． 7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．    9．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． . 10．（2022·天津·高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 11．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ． 12．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 考点07圆的切线问题 13．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 考点08圆的对称问题 14．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 考点9圆的最值问题 15．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 16．（2025·全国一卷·高考真题）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D．    真题选填 圆锥曲线（选填题）考点01求椭圆的标准方程 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2．（2022·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 考点02椭圆的焦点三角形 3．（2023·全国甲卷·高考）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 4．（2023·全国甲卷）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 6．（2021·全国甲卷·高考真题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ． 考点03椭圆的离心率问题 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（2021·全国乙卷·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 . 考点04直线与椭圆的位置关系 11．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 12．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ． 考点05椭圆的最值问题 13．（2021·全国乙卷·高考真题）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 考点06求双曲线的标准方程 14．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 15．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 16．（2022·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 17．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 考点07双曲线的基本量的计算 18．（2022·上海·高考真题）双曲线的实轴长为 ． 19．（2021·全国乙卷·高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为 ． 考点08双曲线的离心率 20．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 21．（2025·全国一卷·高考真题）若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 22．（2021·全国甲卷·高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 23．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 24．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 25．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 26．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 27．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 28．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ． 考点09双曲线的渐近线 29．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ． 30．（2021·全国乙卷·高考真题）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 ． 31．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 32．（2021·全国甲卷·高考真题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 33．（2022·全国甲卷·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ． 考点10直线与双曲线的位置关系 34．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 35．（2022·全国甲卷·高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ． 36．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 考点11抛物线定义的应用 37．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 38．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 39．（2022·全国乙卷·高考）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 40．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为 ； 的面积为 ． 41．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ． 考点12根据抛物线方程求焦点或准线 42．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ． 43．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 44．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ． 45．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 46．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 47．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 . 48．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则 ． 真题大题 考点01圆锥曲线的面积问题 1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 2．（2021·全国乙卷·高考真题）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； 3．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求． 4．（2022·天津·高考真题）椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足． (1)求椭圆的离心率； (2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且的面积为，求椭圆的方程． 5．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 考点02圆锥曲线的斜率问题 6．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率；(2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 考点03圆锥曲线的证明问题 7．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； 模板01 定点问题 过定点问题常用方法：从特殊入手，求出定值；再证明这个值与变量无关； 当题中的直线既无斜率，又不过定点线，就要设成“双变量”型：，得讨论k是否存在。 当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了。 （1） （2），此时直线不包含水平，也要适当的补充讨论。 （3）设“双变量”时，第一种设法较多。因为一般情况下，没有了定点在x轴上，那么第二种设法实际上也没有特别大的计算优势。 1.（24-25甘肃白银）已知离心率为的椭圆的右焦点为，点为椭圆上第一象限内的一点，满足垂直于轴，且. (1)求椭圆的方程； (2)直线的斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于直线对称，证明：直线过定点. 2.（23-24江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点． 3、（24-25湖北·开学考试）已知平面内一动圆过点，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若过点的直线l与曲线C交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由. 4．（2023·福建福州）已知椭圆的左、右焦点分别为，，A，B分别是C的右、上顶点，且，D是C上一点，周长的最大值为8. (1)求C的方程； (2)C的弦过，直线，分别交直线于M，N两点，P是线段的中点，证明：以为直径的圆过定点. 模板02 定直线问题的答题模板 (1)设定点法：设定点的轨迹，利用已知的点轨迹信息，消去其中的参数。 (2)待定系数法：设包含未知参数的直线方程，然后运用待定系数法来求解这些系数。 (3)验证法：选取特殊点的位置来求解直线方程，随后对一般情况下的位置进行验证。 1．（2024·湖南娄底·一模）若抛物线的方程为，焦点为，设是抛物线上两个不同的动点. (1)若，求直线的斜率； (2)设中点为，若直线斜率为，证明在一条定直线上. 2．（2024·北京·三模）已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点． (1)求椭圆的方程；(2)求证：点在定直线上. 3．（2023·安徽阜阳）已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为. (1)求C的方程； (2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由. 4.（2023·河南洛阳）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值； (3)在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上. 5、（2023·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 模板03 定值问题 求解定值问题,从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； 1．（2024高三·全国）已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点．    (1)求证：；(2)求证：为定值，并求出该定值； 3．（2021·全国·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 4．（2023·河南·校联考）在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆过，. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在，证明：为定值. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $