4.3 平行线的性质（七大题型）（题型专练）数学新教材湘教版七年级下册

4.3平行线的性质 【题型一】两直线平行，同位角相等 【例1】如图，，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 【变式1-1】如图，直线，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据平行线的性质求出，，然后利用角的和差求解即可． 【详解】如图所示， ∵， ∴，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 【变式1-2】如图，直线，将三角尺的直角顶点放在直线上，若，则等于（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行同位角相等可得，再根据平角的定义求出的度数，即可得到最后的结果． 【详解】解：如图，    ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 【变式1-3】如图，正方形和矩形按如图的方式放置在直线上．若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据，即可得到，再根据可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等． 【题型二】两直线平行，内错角相等 【例2】如图，AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点E、F，若∠AEF=40°，则∠EFD的度数为（   ） A．20° B．40° C．50° D．140° 【答案】B 【详解】试题分析：根据AB∥CD可得∠EFD=∠AEF=40°． 考点：平行线的性质． 【变式2-1】如图，已知AB∥CD，EA是∠CEB的平分线，若∠BED=40°，则∠A的度数是（   ） A．40° B．50° C．70° D．80° 【答案】C 【详解】试题分析：根据邻补角性质可得∠BEC=180°-40°=140°，然后算出∠AEC的度数，再根据两直线平行，内错角相等可得答案： ∵∠BED=40°，∴∠BEC=180°-40°=140°. ∵EA是∠CEB的平分线，∴∠AEC=70°. ∵AB∥CD，∴∠A=∠AEC=70°. 故选C． 考点：平行线的性质． 【变式2-2】如图，把一块含有45°的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠2=15°，那么∠1的度数是（　　）    A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】D 【分析】如图（见解析），根据直尺的性质和平行线的性质得，再根据角的和差即可得. 【详解】如图，由直尺的性质和平行线的性质得： 故选：D.    【点睛】本题考查了平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、角的和差，利用平行线的性质得到是解题关键. 【变式2-3】已知：如图，由AD∥BC，可以得到 （    ） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠2＝∠3 D．∠1＝∠4 【答案】C 【分析】此题是AD与BC两条平行线被BD所截，截得的内错角为∠2与∠3；根据两直线平行，内错角相等，可得∠2=∠3． 【详解】A、∠1=∠2，因为它们不是两平行线被截得的同位角或内错角，故错误； B、∠3=∠4，因为它们不是两平行线被截得的同位角或内错角，不符合题意，故错误； C、∠3=∠2，因为它们是两平行线被截得的内错角，符合题意，故正确； D、∠1=∠4，因为它们不是两平行线被截得的内错角，不符合题意，故错误； 故选C． 【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．解题的关键是找到截线与被截线． 【题型三】两直线平行，同旁内角互补 【例3】如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角相等可得：，再根据平行线的性质可得：，求解即可． 【详解】解：根据对顶角相等可得： 由可得： 则 故选：C 【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的有关性质． 【变式3-1】如图，直线，的直角顶点A在直线上，边与相交于点D，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行同旁内角互补可得，再根据平角的定义可得结论． 【详解】解：∵， ∴ 又， ∴ 又且 ∴ 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握“两直线平行同旁内角互补”是解答本题的关键． 【变式3-2】如图，已知，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，即可作答． 【详解】∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是解答本题的关键． 【变式3-3】如图，已知直线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可得，由得，进而可求出的度数． 【详解】解：如下图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系． 【题型四】根据平行线的性质求角的度数 【例4】将一块含有角的三角尺按如图放在平行线上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平角定义求出的度数，由平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 【变式4-1】如图，是的平分线，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质得出，进而利用角平分线的定义得出，利用平行线的性质解答即可． 【详解】∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题综合考查平行线的性质，角平分线的性质，重点掌握平行线的性质． 【变式4-2】如图，平分交于点M，，求的度数． 【答案】 【分析】先根据“两直线平行同旁内角互补”可得，再根据角平分线的定义可得，再根据“两直线平行同旁内角互补”可得．本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：，， ． 又平分， ． 又， ， ∴． 【变式4-3】如图，，被所截，平分．若，则 ．    【答案】/54度 【分析】根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可． 【详解】∵， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的性质和角平分线的概念，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和角平分线的概念． 【题型五】平行线的性质在生活中的应用 【例5】一辆汽车在笔直的公路上，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则这两次拐弯的角度应是（　 　） A．第一次向左拐40°，第二次向右拐40° B．第一次向右拐40°，第二次向左拐140° C．第一次向左拐40°，第二次向左拐140° D．第一次向右拐40°，第二次向右拐140° 【答案】A 【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意得：两次拐的方向不相同，但角度相等． 【详解】如图，第一次拐的角是∠1，第二次拐的角是∠2，由于平行前进，可以得到∠1=∠2． 故选A． 【变式5-1】某城市几条道路的位置关系如图，道路AB与道路CD平行，道路AB与道路AF的夹角为45，城市规划部门计划新修一条道路CE，要使道路CE与道路AF平行，则DCE应为多少度？ 【答案】∠DCE==45°. 【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠AFC=∠BAF=45°，然后根据CE//AF得出∠DCE的度数． 【详解】解：∵AB//CD ∴∠BAF=∠AFC=45° ∵CE//AF ∴∠AFC=∠DCE=45° 【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 【变式5-2】平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被平面镜a反射后的光线为n，则．如图2，一束光线先后经平面镜反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式5-3】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，∠1+∠2＝103°，则∠3﹣∠4的度数为 ． 【答案】77°． 【分析】光在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，依据平行线的性质进行判断，即可得出图中∠3﹣∠4的度数． 【详解】解：如图， ∵AB∥CD， ∴∠5+∠2＝180°， ∴∠5＝180°﹣∠2， ∵AC∥BD， ∴∠3＝∠5， ∵AE∥BF， ∴∠1＝∠6， ∵EF∥AB， ∴∠4＝∠6， ∴∠3﹣∠4＝∠5-∠6=∠5-∠1=180°﹣∠2﹣∠1＝180°﹣（∠1+∠2）＝77°． 故答案为：77°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 【题型六】利用平行线的性质求折叠图形中的角 【例5】如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是（  ）    A．102° B．112° C．120° D．128° 【答案】A 【分析】根据两条直线平行，内错角相等，则∠BFE=∠DEF=26°，根据平角定义，则∠EFC=154°（图a），进一步求得∠BFC=154°-26°=128°（图b），进而求得∠CFE=128°-26°=102°（图c）． 【详解】解：∵AD∥BC，∠DEF=26°， ∴∠BFE=∠DEF=26°， ∴∠EFC=154°（图a）， ∴∠BFC=154°-26°=128°（图b）， ∴∠CFE=128°-26°=102°（图c）． 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换，平行线的性质和平角定义，根据折叠能够发现相等的角是解题的关键． 【变式6-1】如图，将一张长方形纸片沿折叠，使顶点C，D分别落在点、处，交于点G，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形的性质可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用平角定义求出，再利用折叠的性质可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， ， 由折叠得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【变式6-2】生活中，将纸带沿着翻折得到如图所示的图形．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质和平行线的性质可得，，，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵纸带沿着EN翻折得到如图所示的图形， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质和平行线的性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键． 【变式6-3】如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数是（    ）． A．50° B．60° C．65° D．70° 【答案】B 【分析】如下图所示：由折叠的性质可得∠3=∠1=30°，从而求得∠4=60°，再根据平行线的性质定理求出∠EBD=180°- ∠4=120°，最后再根据平行线性质定理求出∠2=60°． 【详解】解：如下图所示： 由折叠的性质，可得∠3=∠1=30°， ∴∠4=∠1+∠3=60°， ∵CD∥BE，AC∥BD， ∴∠EBD=180°-∠4=120°， 又∵CD∥BE， ∴∠2=180°-∠EBD=180°-120°=60°， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系． 【题型七】根据平行线的性质探究角之间的关系 【例7】如图，已知，则之间的数量关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过C点作CF∥AB，即可判断CF∥DE，根据“两直线平行，内错角相等，同旁内角互补”求解即可． 【详解】过C点作CF∥AB， ∵AB∥DE ∴CF∥DE ∴∠B=∠BCF，∠DCF+∠D=180° ∴∠B-∠BCD+∠D=180° 故选：B 【点睛】本题考查的是平行线的性质，掌握平行线的性质定理是关键． 【变式7-1】如图，如果，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，由可知，，再由平行线的性质可知，，，故可得出结论． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， 得，，即． 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． 【变式7-2】如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝145°，则∠BCD的值为（　　） A．20° B．30° C．40° D．70° 【答案】C 【分析】先延长ED交BC于F，利用平行线的性质可得∠MFC＝75°，再利用邻补角和外角的性质求解即可. 【详解】解：延长ED交BC于F，如图所示： ∵AB∥DE，∠ABC＝75°， ∴∠MFC＝∠B＝75°， ∵∠CDE＝145°， ∴∠FDC＝180°﹣145°＝35°， ∴∠C＝∠MFC﹣∠MDC＝75°﹣35°＝40°， 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，能够构造合适的辅助线是解题的关键. 【变式7-3】如图，已知AB//CD，M为平行线之间一点，连接AM，CM，N为AB上方一点，连接AN，CN，E为NA延长线上一点，若AM，CM分别平分∠BAE，∠DCN，则∠M与∠N的数量关系为（    ） A．∠M﹣∠N＝90° B．2∠M﹣∠N＝180° C．∠M+∠N＝180° D．∠M+2∠N＝180° 【答案】B 【分析】过点M作MO//AB，过点N作NP//AB，则MO//AB//CD//NP，根据平行线的性质可得∠AMC＝∠1+∠2，∠CNE＝2∠2﹣∠3，∠3＝180°﹣2∠1，即可得出结论． 【详解】解：过点M作MO//AB，过点N作NP//AB， ∵AB//CD， ∴MO//AB//CD//NP， ∴∠AMO＝∠1，∠OMC＝∠MCD， ∵AM，CM分别平分∠BAE，∠DCN， ∴∠BAE＝2∠1，∠NCD＝2∠2，∠2＝∠MCD， ∴∠AMC＝∠MCD+∠1＝∠1+∠2， ∵CD//NP， ∴∠PNC＝∠NCD＝2∠2， ∴∠CNE＝2∠2﹣∠3， ∵NP//AB， ∴∠3＝∠NAB＝180°﹣2∠1， ∴∠CNE＝2∠2﹣（180°﹣2∠1）＝2（∠1+∠2）﹣180°＝2∠AMC﹣180°， ∴2∠AMC﹣∠CNE＝180°， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，正确的添加辅助线是解题的关键． 1．如图，一条公路修到湖边时需绕道，第一次拐角，第二次拐角，为了保持公路与平行，则第三次拐角的度数应是 . 【答案】150° 【分析】先延长BC，ED交于点F，根据平行线的性质，得出∠F=∠B=120°，再根据∠BCD=150°，可得∠DCF=30°，根据∠CDE=∠F+∠DCF进行计算即可． 【详解】如图，延长BC，ED交于点F， ∵AB∥EF， ∴∠F=∠B=120°， ∵∠BCD=150°， ∴∠DCF=30°， ∴∠CDE=∠F+∠DCF=120°+30°=150°， 故答案为150゜． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识. 2 已知，直线，将含的直角三角板按照如图位置放置，，则等于（    ） A．56° B．54° C．66° D．65° 【答案】A 【分析】根据对顶角的性质可以得到，然后利用的直角三角板可得，最后利用平行线的性质； 【详解】如图， ∵，与是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 3如图，直线AB∥CD，EB平分∠AED，，求∠2的度数． 【答案】． 【分析】先根据对顶角相等可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据平行线的性质即可得． 【详解】， ， ， ， 平分， ， 又， ． 【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 4 如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（　　） A．42°、138° B．都是10° C．42°、138°或10°、10° D．以上都不对 【答案】C 【分析】如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．设一个角为x度．则另一个角为（4 x﹣30）度．依据上面的性质得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：如图1，∵AB∥EF， ∴∠3＝∠2， ∵BC∥DE， ∴∠3＝∠1， ∴∠1＝∠2． 设∠1为x°，则∠2也为x°， 则x＝4x﹣30， 解得：x＝10， ∴这两个角的度数是10°和10°； 如图2，∵AB∥EF， ∴∠3+∠2＝180°， ∵BC∥DE， ∴∠3＝∠1， ∴∠1+∠2＝180° 设∠1为x°，则∠2为(180-x)°， 180﹣x＝4x﹣30， 解得：x＝42， ∴这两个角的度数是42°和138°． ∴这两个角的度数是10°和10°或42°和138°． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，能根据题意得出两个方程是解此题的关键，注意：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 5．如图，将一条长方形彩带进行两次折叠，先沿折痕向上折叠，再沿折痕向背面折叠，若要使两次折叠后彩带的夹角，则第一次折叠时应等于 ．    【答案】77 【分析】如图所示，根据平行的性质可以得出答案． 【详解】解：如图：    ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∵彩带两边平行， ∴， ∵折叠，彩带两边平行， ∴， ∴， ∴． 故答案为：77． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 6 某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行的，即PQ∥MN． 如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动 秒，两灯的光束互相平行． 【答案】30或110/110或30 【分析】分两种情况讨论：两束光平行；两束光重合之后（在灯B射线到达BQ之前）平行，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：设灯转动t秒，两灯的光束互相平行，即AC∥BD， ①当0＜t≤90时，如图1所示： ∵PQ∥MN，则∠PBD＝∠BDA， ∵AC∥BD，则∠CAM＝∠BDA， ∴∠PBD＝∠CAM 有题意可知：2t＝30＋t 解得：t＝30， ②当90＜t＜150时，如图2所示： ∵PQ∥MN，则∠PBD＋∠BDA＝180°， ∵AC∥BD，则∠CAN＝∠BDA， ∴∠PBD＋∠CAN＝180°， ∴30＋t＋（2t－180）＝180 解得：t＝110 综上所述，当t＝30秒或t＝110秒时，两灯的光束互相平行． 故答案为：30或110 【点睛】本题主要考查补角、角的运算、平行线的性质的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意分两种情况谈论． 7 ．如图，已知，则的度数为 ． 【答案】． 【分析】分别求出有3个角，4个角时相应的值，从而可推导出∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n的度数． 【详解】解：当求∠1+∠2+∠3的度数时，如图1所示，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠1+∠GEF=180°，∠3+∠HEF=180°， ∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠GEF+∠HEF+∠3=360°=2×180°； 当求∠1+∠2+∠3+∠4的度数时，如图2所示，过点E作EF∥AB，MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥MN∥CD， ∴∠1+∠GEF=180°，∠MEF+∠NME=180°，∠4+∠HMN=180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=∠1+∠GEF+∠MEF+∠NME+∠HMN+∠4=540°=3×180°； ...， 同理可得：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n=180°（n-1）， 故答案为：180°（n-1）． 【点睛】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键． 8．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； (3)如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，解题的关键是利用已知的结论和使用动态的思想求解． （1）过点作，根据平行线定理及性质得出，，再根据角的和差即可得出答案； （2）设，则，设，则， 由（1）知，，，可列出，再代入化简即可得出答案； （3）将直线将直线的点M平移与直线的N点重合，根据运动的角度为，结合题意将角度转化为、、角度差，结合题意列出对应的角度和差关系求解即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ，， ， 即； （2）如图， 设，则，设，则， 由（1）知，， 同理可得， ， ， ， 由，得， 由，得， 将，代入， 可得； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，如图， 根据题意得，，， 则， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， ， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 综上所述，或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3平行线的性质 【题型一】两直线平行，同位角相等 【例1】如图，，，则（      ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，直线，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，直线，将三角尺的直角顶点放在直线上，若，则等于（    ）      A． B． C． D． 【变式1-3】如图，正方形和矩形按如图的方式放置在直线上．若，则（   ）    A． B． C． D． 【题型二】两直线平行，内错角相等 【例2】如图，AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点E、F，若∠AEF=40°，则∠EFD的度数为（   ） A．20° B．40° C．50° D．140° 【变式2-1】如图，已知AB∥CD，EA是∠CEB的平分线，若∠BED=40°，则∠A的度数是（   ） A．40° B．50° C．70° D．80° 【变式2-2】如图，把一块含有45°的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠2=15°，那么∠1的度数是（　　）    A．15° B．20° C．25° D．30° 【变式2-3】已知：如图，由AD∥BC，可以得到 （    ） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠2＝∠3 D．∠1＝∠4 【题型三】两直线平行，同旁内角互补 【例3】如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，直线，的直角顶点A在直线上，边与相交于点D，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-2】如图，已知，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】如图，已知直线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型四】根据平行线的性质求角的度数 【例4】将一块含有角的三角尺按如图放在平行线上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，是的平分线，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式4-2】如图，平分交于点M，，求的度数． 【变式4-3】如图，，被所截，平分．若，则 ．    【题型五】平行线的性质在生活中的应用 【例5】一辆汽车在笔直的公路上，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则这两次拐弯的角度应是（　 　） A．第一次向左拐40°，第二次向右拐40° B．第一次向右拐40°，第二次向左拐140° C．第一次向左拐40°，第二次向左拐140° D．第一次向右拐40°，第二次向右拐140° 【变式5-1】某城市几条道路的位置关系如图，道路AB与道路CD平行，道路AB与道路AF的夹角为45，城市规划部门计划新修一条道路CE，要使道路CE与道路AF平行，则DCE应为多少度？ 【变式5-2】平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被平面镜a反射后的光线为n，则．如图2，一束光线先后经平面镜反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，∠1+∠2＝103°，则∠3﹣∠4的度数为 ． 【题型六】利用平行线的性质求折叠图形中的角 【例5】如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是（  ）    A．102° B．112° C．120° D．128° 【变式6-1】如图，将一张长方形纸片沿折叠，使顶点C，D分别落在点、处，交于点G，若，则（    ）    A． B． C． D． 【变式6-2】生活中，将纸带沿着翻折得到如图所示的图形．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数是（    ）． A．50° B．60° C．65° D．70° 【题型七】根据平行线的性质探究角之间的关系 【例7】如图，已知，则之间的数量关系是（  ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，如果，那么（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝145°，则∠BCD的值为（　　） A．20° B．30° C．40° D．70° 【变式7-3】如图，已知AB//CD，M为平行线之间一点，连接AM，CM，N为AB上方一点，连接AN，CN，E为NA延长线上一点，若AM，CM分别平分∠BAE，∠DCN，则∠M与∠N的数量关系为（    ） A．∠M﹣∠N＝90° B．2∠M﹣∠N＝180° C．∠M+∠N＝180° D．∠M+2∠N＝180° 1．如图，一条公路修到湖边时需绕道，第一次拐角，第二次拐角，为了保持公路与平行，则第三次拐角的度数应是 . 2 已知，直线，将含的直角三角板按照如图位置放置，，则等于（    ） A．56° B．54° C．66° D．65° 3如图，直线AB∥CD，EB平分∠AED，，求∠2的度数． 4 如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（　　） A．42°、138° B．都是10° C．42°、138°或10°、10° D．以上都不对 5．如图，将一条长方形彩带进行两次折叠，先沿折痕向上折叠，再沿折痕向背面折叠，若要使两次折叠后彩带的夹角，则第一次折叠时应等于 ．    6 某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行的，即PQ∥MN． 如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动 秒，两灯的光束互相平行． 7 ．如图，已知，则的度数为 ． 8．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； (3)如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $