解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题专项训练 解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题专项训练 考点目录 周长问题 周长最值问题 面积问题 面积最值问题 考点一 周长问题 例1.(25-26高三上·北京海淀·期末)在ABC中，∠B为锐角，a=10,a sin B+bsiA=10√5 (1)求∠B; (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使ABC存在，求ABC的周长 条件①：sinA= 5v5 14 条件②：b=7; 条件③：c-b=2 【答案】（①）∠B= 3 (2)ABC的周长为40 sinsinB'所以asin B=bsinA, 【详解】(1)在aABC中，由正弦定理a=6 因为asin B+bsin A=10V3,所以asin B=bsin A=5V3, 又a=10,所以simB=55=5, 因为∠B为锐角，所以∠B= 3: (2)选择条件O:imA=5V5, 14 由(1)得bsin A=5√3，所以b=14, 由余弦定理b2=a2+c2-2 accos B, 得142=102+c2-2×10×c×2, 所以c=16,c=-6(舍)，△ABC的周长为a+b+c=10+14+16=40. 选择条件③：c-b=2, 由余弦定理B=a2+c2-2 aceos B,得b2=102+c2-2x10xc×2 所以2=102+b+2-2x10×b+2×7,所以b=14,所以c=16, 解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题专项训练 △ABC的周长为a+b+c=10+14+16=40. 选择条件②：b=7, 由1)得∠B=等 由正弦定理得：107 10x3 sinA sinB→sinA= -5y5、1'此时三角形不存在 7 7 例2.(25-26高三上重庆月考)已知函数f(x)=2W5sim0c0 ①x 2 +c0sox(其中0>0)的最小正周期为T=元. (1)求ω的值及函数y=∫(x)图象的对称轴方程： (②)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c=V5,且角C满足f(C)=1,若sinB=2sinA,求ABC的周 长 【答案】0o=2,-受后e2 (2)3+V5 【详解】(1)f(x=2V5 sinc0 J5simox+2im 2 因为T=T,所以o=2,故f(x)=2sim2x+ 6 令2x+名=k+受e2得对称轴方程为：x=经+ +kEZ. 6 26 2》由1G1,得2c+}分因为0<c<,所2C+三 6 66元， 所以2C+亚=5红，可得C=π， 66 又sinB=2sinA,由正弦定理得b=2,① 由余弦定，得c=d+b-2 o写，可得：3=G+-ab,② 由①②：3=a2+4a2-2a2,解得a=1,b=2, 所以周长a+b+c=3+√5. 例3.(2026黑龙江大庆二模)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b.cos4+ V -a.sinB =c. 3 (I)求B: (2)若a+c=6,且ABC的面积为√5，求ABC的周长. 【答案】08=月 (2)6+2√6 2 解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题专项训练 【详解】G1D由正弦定理：6c04,5.58=c→5ncos4十 3 sinBsind=sinC, 在三角形中C=-(A+8),所以sin8cos4+ -sinBsinA sin(A+B), 3 即sinBcos4+V5 sinBsinA=sindcosB+cosn 3 -sinBsinA=sinAcosB, 因为Ae0,,sin4≠0，所以y5sinB=cosB→tan8=5, 3 因为8e0,小，所以B-号 (2)uesin 1 4ac=V5,所以ac=4, 由余弦定理得b2=a2+c2-2acc0sB=(a+c)2-3ac=36-12=24,所以b=2V6, 则a+c+b=6+2V6, 所以ABC的周长为6+2√6 变式1.(25-26高三上·福建厦门期中)己知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinC+acosC=b (1)求A; (2)若b=2,csin2B=√5 bsinC,求ABC的周长. 【答案】0子 (2)3W2+V6+2 【详解】(l)解：因为asinC+acosC=b,由正弦定理得sin AsinC+sin AcosC=sinB, 又因为A+B+C=π，可得sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cos Asin C, 所以sin AsinC+sin AcosC=sin AcosC+cos Asin C,可得sin AsinC=cos A sin C, 因为C∈(0，)，可得sinC>0,所以sinA=cosA,即tanA=l, 又因为4∈0，，所以4普 (2)解：因为csin2B=√3 bsinC,由正弦定理得sin Csin2B=√3 sin BsinC, 又因为C∈(0，)，可得sinC>0,所以sin2B=√3sinB,可得2 sin B cos B=√3sinB, 因为8e0,,可得simB>0,所以cosB=5,所以B=天 2 6】 又因为C=元-(A+)=π-（任+马=7， 4612 7π 可得sinC=sin 元，元521√26+V2 12 sn+4=22+2x2 =sin(-+-)= 4 解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题专项训练 又由正弦定理。=6 sin A sin B sin C' bsin A 2xsin2x 6+V2 _bsinc 2xsin 2x- 可得a= =4=2=22,c 12 4=6+V2, sin B 1 1 sin sin B 62 s咖 6 2 所以ABC的周长为a+b+c=2√2+2+V6+√2=3V2+√6+2： 变式2.(25-26高三上.福建龙岩期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且m=tanA,tanB) ,n=b,b-2c,m⊥i. (1)求A; (2)若b+c=4, ABC的面积为3V5,求4BC的周长 4 【答案】04=号 (2)ABC的周长为4+√万 【详解】(1)：m=（tanA,tanB),元=(b,b-2c,且m1i, =btan A+(b-2c)tan B=0, 在48C中，由正弦定理可得sisin+(simB-2 2sin C)s =0, cos4 cos B sin B(sin Acos B+sin Bcos A-2sin Ccos A)=0, 又在ABC中，sinB≠0， sin A cos B+sin B cos A-2 cos Asin C =0, 所以sinA+B)=2 cos Asin C,即sinC=2 cos Asin C, 1 又sinC≠0，所以2cosA=1,即cosA= 又0<4<，则4-子 (2)5.uc=besin A-besinc 1 -bc= ,bc=3, 2 2 34 4 又b+c=4, a2=b2+c2-2 becos A=(b+c2-3bc=7,.a=√万， 故ABC的周长为4+√7 B 变式3.(25-26高三上·湖南月考)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,asin2=c-bcos A, 2 4 解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题专项训练 (1)求B: (2)若∠ABC的角平分线交AC边于点D,BD=2,b=2V6,求ABC的周长 【答案】)8=胃 (2)4V5+2V6 【详解）由asn号c-bc0sA及图弦家理，得sinsin?sinC--sin BeosA. .sin C=sin(+B)=sin Acos B+sin Bcos A,..sin Asin B =sin Acos B, B B A∈(0，π)，sinA≠0，∴.sin =cosB,.sin 1-2sin?B =-1 2 2 22 8e0a号e0,m号-分小号名博9-号 3 (2)如图： SMABC=SAABD+SACBD D C acxsin 1 π1 2 x2 xcxsin+,×2 x axsin,5ac=2a+e0)①， 62 又在ABC中，由余弦定理可得a2+c2-2 ac cos=24,即：(a+c2-3ac=24②， 3 将①代入②得(a+c)2-23(a+c)-24=0,a+c=4V5或-25（舍），a+c+b=45+26 :ABC的周长为4V5+2√6 解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题专项训练 考点二 周长最值问题 例1.(25-26高三上河南信阳·月考)己知ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、C,且a=2, cos 2B+cos 2C+2sin B sin C=2-2sin24. (1)求A; (②)若ABC内心为I,求aIBC的周长范围. 【答案】（①）A= 3 + 【详解】(1)因为cos2B+cos2C+2 sin BsinC=1-2sin2B+1-2sin2C+2 sin BsinC=2-2sin2A, 整理可得sin2B+sin2C-sin2A=sin BsinC, 由正弦定理可得b2+c2-a2=bc, 由余弦定理可得cosA=+2-a2-1, 因为4e0小，故4=号骨 (2)方法一：因为ABC的内心为I,所以IB和IC分别平分∠ABC和∠ACB, 可得∠1Bc+21C8-<8c+4c-）号则∠sc-经 B 2π 设IC=m,IB=n,在△IBC中，由余弦定理得BC2=IC2+IB2-2IC·IB cos 3 即m2+n2-2 nn cos 2T=22=4,即m2+n2+mn=4,整理得(m+n川°=4+mn, 3 因为m>0且>0，由基本不等式可得m+n'=4+m≤4+m+川， 4 可得a+≤华耳m+ng45. 3 当且仅当m=n= 25时，即1B=1c-2 时等号成立， 3 3 又因为m+1>a=2,所以2<m+n≤45，故4<m+n+a≤2+ v3 3 3 6 解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题专项训练 综上所述，△BC的周长的取值范围为 方法二：因为ABC的内心为I,所以IB和IC分别平分∠ABC和∠ACB, 可得8c+4c8=48c+L4c8-a-骨引-则2Bc否 3 设∠ABC=0,则有∠ACB=20-日，则∠BC=9, 3 ,∠1CB=”0 32 [0<0<π 由 0<2经-9<元 可得0<0<2 3 , BC IC IB 在a1BC中，BC=2,由正弦定理得sin 2π :0=- 3 2 sin sin π0）， 32 (32 可得B+1C=45[sm-0+1 3 sin+sin 0=4v33cos0-1 -COS- 232 22 2 2 根据0<0<2π，<9+元<2 3’32 ,所以sin 33 +引 所以4<B+1C+BCs2+4N5 所以△IBC的周长范围为 4,2+ 4v5 3 例2.(25-26高三上·重庆月考)己知 ABC 的外接圆半径为1,0为其外心，角A,B,C的对边分别为 a,bc、 若4=号b=1,求c: (②)若ABC为锐角三角形，且 ,1一·OC+cosB.CB+cos1.C=0,求ABC周长的最大值 2cosC a b 【答案】(1)2 (2)V8+4√2+√2 【详解】(1)由正弦定理有。=6- sin4 sinB"sinc=2R=2. 解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题专项训练 所以有a=2sinT=V5,由余弦定理b+c2-a2=2 bccos A得， 3 c2-c-2=0,解得c=2 (2) 23dc0c+g8o-d+4o-0)-0, 则有3c0C+005-0c)+0i-0-6, 两边同乘0c则化简有：0sCR+cos8R2 (cos0C-)+9R-(osZ0C-0=0, sin A sin B 所以c+-2m利+合-2n8=0, sin B 所以、1 cosC=2sin4cosB+2 sin=2sinC,所以sin2C=1,所以C=交， 4’c=V2, 则有：a+b=2sin4+2sinB=2sinA+2sin(证-0=(2+2)sin4+2c0s4, 则有a+b=V8+4V2sin(A+p)≤V8+42,其中tan0=V2-1. 其中仅当A+p=无时取等，所以周长的最大值为√8+42+V2 例3.2526商三上上海月考)已知函数f到=5cn2ex-2aos0x+2oeN)在()上单调 (1)求f(x)的单调区间； ②若4BC的内角4，B,C的对边分别是a,b,(,且a=3,f（-2,求48C周长的最大值 【答案】0单调递猫区间足[红名红+引k:Z,单调造诚区间为红+号a+]e7: (2)9 【详解】(1)因为f(x)=V3sin2ox-2cos2o.x+2 =3 sin 2@x-cos2@x+1=2 xin2ax-cos2as+1-2sin2o1 2 因为f()在元，3 π】 上单调，且o∈N,即o>0, [1×2π≥4 所以2^2 ≥9元，解得0<0 0>0 2 又因为aeN,所以。=1，所以1-22r君1： 令2-受s2r-君2a+keZ.解得红-若5xsa+keZ: 2 6 Γ6 令2版+号52-名2+keZ,朝得a+号5≤a+keZ: 2 6 3 6 6 解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题专项训练 所以八的单阴迷结区间无红-音红+号引e2,单递减区饲为红+骨红+}：eZ, 6 3 6 2因为/)-2，所以2sn4-}+1-2. 6 所以sinA-π）=1 -62 因为0<A<r,所以-五<A-工<5， 6 66 所以4-天=及，则A=及， 66 3 由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccosA, 即b+c2-bc=9,即3bc=(b+c2-9, 因为bc≤ b+c 2 当且仅当b=c时，等号成立， 所以3b+之h+e-9且6+e>a=3,解得3<b+e≤6，当且仅当b=c=3时等号成立. 4 所以6<a+b+c≤9，即ABC周长的最大值为9. 变式1.(25-26高一上四川成都月考)记ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 AB.AC+BA.BC=2c2cosB,b=3. (I)求∠ABC; (2)若ABC为锐角三角形，求ABC的周长的最大值. 【答案】0写 (2)9 【详解】(1)因为AB.AC+BA.BC=2c2cosB, 所以bccos A+accos B=2c2cosB, 所以b cos A+acos B=2cc0sB,由正弦定理得： sin B cos A+sin A cos B=2sin CcosB, 所以sin(A+B)=2 sin CcosB, 又因为A+B=π-C,.sinC=2 sin Ccos B, 又因为CeQ,所以sinC>0,所以eosB 又因为8e(0,,所以B-号即∠ABC 3 (2)由正弦定理得insincs店25 2 解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题专项训练 所以a=2V3sinA,c=2V3sinC, 所以a+c=2V3sinA+2V3sinC=2V3(sinA+sinC) 又n4:snC=n4+n-4=m4+-小-54+g a+c=23(sin 4+sin C)=6sin(4+) 61 因为ABC为锐角三角形，即 0<A< 2 0<C= 2π 3 A< 2 所以<A<,<A+”2红 6 2’3 63 即3 <sin(4+s1,35<a+cs6, 则3√3+3<a+b+c≤9，所以ABC的周长的最大值为9 变式2.(2026四川攀枝花一模)在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足 2a-2bcosC+c=0. (I)求角B: (2)若b=2√5，求ABC周长的取值范围. 【答案】⑩子 (2)4v5,25+4 【详解】1)因为2a-2bc0sC+c=0, 所以由余弦定理得2b×Q2+b2-c2 =2a+c, 2ab 即a2+c2-b2=-ac,即cosB=a+C2-b-1」 2ac 21 又B∈(0，，则B= 3 (2由1)如8=径又6=25， a=c=b-25 =4 由正弦定理可得sinA sinC sin B√3 2 则a+6+c=4如4+血C+25=4sm4+sm[GAj+25 10解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题专项训练 解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题专项训练 考点目录 周长问题 周长最值问题 面积问题 面积最值问题 考点一 周长问题 例1.(25-26高三上·北京海淀·期末)在ABC中，∠B为锐角，a=10,a sin B+bsinA=10√5 (1)求∠B; (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在，求ABC的周长 条件O:sinA=5V3, 14 条件②：b=7; 条件③：c-b=2 例2.(2526高三上重庆月考)已知函数了d=2W5sin0cos0+coso(其中0>0)的最小正周期为T=元. 2 2 (I)求ω的值及函数y=∫(x图象的对称轴方程； (2)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c=√5，且角C满足f(C)=1,若sinB=2sinA,求ABC的周 长 解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题专项训练 例3.(2026：黑龙江大庆二模)在ABC中，角4，B,C的对边分别为a,hc,且6-cos4+5 .sinB=c (1)求B: (2)若a+c=6,且ABC的面积为√5，求ABC的周长 变式1.(25-26高三上·福建厦门期中)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinC+acosC=b (1)求A; (2)若b=2,csin2B=V3 bsinC,求ABC的周长 2 解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题专项训练 变式2.(25-26高三上·福建龙岩期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且m=(tanA,tanB), n=(b,b-2c),i⊥元. (1)求A; ②若6+c=4,4BC的面积为35，求4BC的周长 4 B 变式3.(25-26高三上湖南月考)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asi =c-bcos A. 2 (1)求B; (2)若∠ABC的角平分线交AC边于点D,BD=2,b=2√6，求ABC的周长 解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题专项训练 考点二 周长最值问题 例1.(25-26高三上河南信阳·月考)己知ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、C,且a=2, cos 2B+cos 2C+2sin B sin C=2-2sin24. (1)求A; (2)若ABC内心为I,求△IBC的周长范围. 例2.(25-26高三上·重庆月考)已知ABC的外接圆半径为1,0为其外心，角A,B,C的对边分别为 a,b,c、 若4=号b=1求c: (②若ABC为锐角三角形，且，L0C+osB.CB+os4.C=0,求ABC周长的最大值 2cosC a 解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题专项训练 例3.2s26商三上上海月考)已知函数f刻=5cn2ax-2as0x+2oeN)在（上单调 (1)求∫(x)的单调区间； ②若4BC的内角么，B,C的对边分别是a,b,,且a=3,f)2,求BC周长的最大值 变式1.(25-26高一上四川成都月考)记ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 AB.AC+BA.BC=2c2cosB,b=3. (1)求∠ABC; (②)若ABC为锐角三角形，求ABC的周长的最大值. 解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题专项训练 变式2.(2026·四川攀枝花一模)在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足 2a-2bcosC+c=0. (1)求角B: (2)若b=2√3，求ABC周长的取值范围. 变式3.(25-26高三上·湖北黄冈月考)在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且 (2a-c)cosB bcosC. (1)求角B的大小； (②)求sinAsin C取值范围； (3)若b=√3，设角A的大小为x,ABC的周长为y,求y=f(x)的最大值. 6 解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题专项训练 考点三 面积问题 例1.(2025安微二模)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知ab=bcosA+V3 asinB,且a=2 (1)求A; ②)若点D在线段BC上，且满足D=G+AC 丽4C,求48C的面积 例2.(2026陕西西安模拟预测)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C已知2 a cosC+2 ccos A=a+c (1)证明：2b=a+c; ②设4=行，a=7,求4BC的面积 解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题专项训练 例3.(25-26高二上·贵州遵义·月考)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A为锐角，D为BC边的 中点，且sn8+C+2os(B+C)=； 2 (1)求A; (2)若AD=√5，c=2,求ABC的面积 变式1.(25-26高三上河北唐山期中)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,向量币=(a,c-2b), =(cosC,cosA),+=p-q. (1)求角A的值； ②若c=3,0是8C边上的中线，D-9,求45C的面积 6 解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题专项训练 变式2.(25-26高二上广东期中)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=3,√5sinA+cosA=2 (1)求角A; (2)若a sin A+csinC=6sinB,求ABC的面积 变式3.(25-26高三上湖北黄冈月考)已知ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中a=2, (ab-c)cos A=2cosC (1)求角A; ②若点D在边BC上，且满足D:DC,0-手，求ABC的面积. 9 解三角形：周长与周长最值问题、面积与面积最值问题专项训练 考点四 面积最值问题 例1.(25-26高三上·江苏苏州期中)已知a,b,c分别是ABC三个内角A,B,C的对边，且csinB+√5 ccosB=√5a+b (1)求角C的大小： (2)若D,E分别为ABC的边AB,AC上的点，且AD=DB,CE=2EA,C=2,求ADE面积的最大值和此时ADE的 周长 例2.(25-26高一上·湖南衡阳期末)己知锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、C,且满足 sind-1=sin'4-sinC C sinC sin2B (1)求证：B=2C; ②求心C+号的取值范国： (3)若a=2,求三角形ABC面积的取值范围. ⊙