专题1.5 直角三角形（3大考点+7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级下册

本初中数学讲义聚焦直角三角形核心知识，系统梳理直角三角形两锐角互余的性质及判定，勾股定理与逆定理的应用，以及HL全等判定定理，构建从性质到判定再到综合应用的学习支架。 资料通过“即学即练”结合分层题型设计，如网格中判断直角三角形、实际情境问题（绿道修整、购物车支架），培养学生几何直观与推理能力，强化模型意识。课中助力教师高效授课，课后便于学生巩固练习，查漏补缺。

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.5直角三角形 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1：直角三角形的性质定理及推论 知识点2：勾股定理及逆定理 知识清单 知识点3：直角三角形全等的判定HL法 题型01直角三角形的两个锐角互余 直角三角形 题型02锐角互余的三角形是直角三角形 题型03判断三边能否构成直角三角形 题型04在网格中判断直角三角形 题型精讲 题型05利用勾股定理的逆定理求解 题型06利用HL判定直角三角形全等 题型o7直角三角形全等的性质和HL综合 强化训练 教学目标、教学重难点 1.掌握勾股定理及其逆定理，并能用于直角三角形的边长计算与形状判定。 教学目标 2.理解直角三角形全等判定定理“HL”(斜边、直角边)，掌握其证明与应用条件。 3.能综合运用勾股定理、逆定理及L定理，解决几何证明、计算及实际情境问题。 重点： 1.勾股定理及其逆定理的熟练运用，进行边长的准确计算与三角形的判定。 教学重难点 2.直角三角形全等判定“皿”的准确理解与在证明中的规范应用。 教学难点： 1.在实际问题中区分并选择勾股定理或其逆定理建立数学模型。 1/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.在复杂图形中识别直角三角形全等的“HL”条件，并完成规范推理。 知识清单 知识点1：直角三角形的性质定理及推论 定理1：直角三角形的两个锐角互余 定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形. 【即学即练】1.(25-26八年级上广东广州期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=26°，则∠B的度 数是() A.26° B.44° C.54 D.64° 2.(25-26八年级上·北京·期中)在下列条件中不能确定ABC是直角三角形的条件是() A.∠A+∠B=∠C B.∠A:∠B:∠C=1:2:3 C.∠A=90°-∠B D.LA=2LB=3∠C 知识点2：勾股定理及逆定理 图形 名称 定理 符号表示 边的定理 在直角三角形中，斜边大于直角边： 在Rt△ABC中，c>a,c>b 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边 在Rt△ABC中，.∠C=90°， 勾股定理 的平方. c2=a2+b3 勾股定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边 在Rt△4BC中，：c2=a2+b2, 逆定理 的平方和，那么这个三角形是直角三角形 ∴.∠C=90° 【即学即练】3.(25-26八年级上云南昆明期末)已知实数a,b,c满足(a-√7)2+Vb-5+c-3V2=0. (1)求实数a,b,c的值. (②)以a,b,c为边能否构成直角三角形？请说明理由. 4.(25-26八年级上陕西汉中·期中)如图，在ABC中，AB=AC,D为AB上一点，连接CD,若 BC=20,CD=16,BD=12. D B (①)判断△BCD的形状，并说明理由； (2)求△ADC的面积 2/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识点3：直角三角形全等的判定HL法 图形 定理 符号 如果两个直角三角形的斜边和一条直 在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中， 角边对应相等，那么这两个直角三角 .AC=A'C,AB=A'B', 形全等（简记：H.L) .RIAABC≌Rt△A'B'C'(H.L) 【即学即练】5.(2025八年级上·河北沧州专题练习)如图，CD平分∠BCA,DC平分∠BDA,∠A=90°，点 F在线段CB的延长线上，点E在线段CA上，且DF=DE. B E (I)求证：DB=DA: (②)试判断AE与BF的数量关系，并说明理由. 6.(25-26八年级上湖北荆州·期中)如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD,垂足为E,CF⊥AD,交 AD的延长线于点F,G是DA延长线上一点，连接BG. G (I)求证：DE=DF; (2)若BG=CA,DE=4,求AG的长 题型精讲 题型01直角三角形的两个锐角互余 【典例1】(25-26八年级上·上海奉贤·期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB,垂足为D,∠B=42°， 那么LACD的大小是 【变式1】(25-26八年级上·安徽六安期末)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,若∠A=44°， 3/14 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CD⊥AB于点D,则LDCB的度数为° 【变式2】(25-26九年级上·重庆月考)如图，AB∥CD,EF交AB于点G,过点F作FH⊥EF交AB于 点H,连接EH,若EH平分∠FED,∠1=20°，则∠2=一· D 【变式3】(25-26八年级上·江西南昌·期末)在钝角ABC中，∠B=40°，过点A作一条直线，将ABC分 成两个新的三角形.若这两个三角形中，一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则∠C的度数为 题型02锐角互余的三角形是直角三角形 【典例2】(2025八年级上全国专题练习)在ABC中，∠A=40°，∠C=50°，则∠B= ABC是 三角形， 【变式1】(2025八年级上全国专题练习)若A8C中，∠4=∠B=30,则∠C= ABC 是 三角形 【变式2】(2025八年级上全国专题练习)若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的)，且这个内角与 另一个内角互余，则这个三角形是」 三角形. 【变式3】(25-26八年级上·吉林白城期末)如图，AB⊥CD,垂足为B,E是线段AD上一点，CE交AB 于F,∠A=∠C.求证：△CED是直角三角形. F B 题型03判断三边能否构成直角三角形 【典例3】(25-26八年级上陕西西安期末)在ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,由下 4/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 列条件不能判定ABC为直角三角形的是() A.LA-LC=∠B B.∠A:∠B:∠C=3:4:5 C.b2=a2+2 D.a:b:c=5:l2:13 【变式1】(25-26八年级上·福建漳州·月考)下列条件中，不能判断ABC是直角三角形的是() A.a:b:c=3:4:5 B.∠A:∠B:∠C=3:4:5 C.∠A+∠B=∠C D.a:b:c=1:/2:3 【变式2】(25-26八年级上江苏无锡期中)下列条件中，哪个不能够判断一个三角形是直角三角形() A.∠A=∠B+∠C B.a2b22=3045 C.ab0c=50203 D.a=12,b=16,c=20 【变式3】(25-26八年级上·河北石家庄·月考)下列不能判定ABC是直角三角形的是() A.∠A:∠B:∠C=2:3:5 B.如果ABC的三边长分别为a,b,c,且满足b2=a2-c2 C.LA+∠C=LB D.如果ABC的三边长分别为a,b,c,且满足a:b:c=2:3:4 题型04在网格中判断直角三角形 【典例4】(24-25八年级下·福建三明期中)如图是由边长都为1的小正方形组成的网格，四边形ABCD的 四个顶点均在格点（小正方形的顶点）上. D (I)求四边形ABCD的面积； (2)求证：LBCD=90° 【变式1】(24-25八年级上福建宁德·月考)如图所示，图中每个小正方形的边长都为1，点A,B,C,D 在格点上. B (I)四边形ABCD的周长为 ,面积为 5/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)若△CBE是以BC为斜边的直角三角形，则满足条件的格点E有个. 【变式2】(25-26八年级上·江苏无锡期中)如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且每个小正方形 的边长都为1. (1)BC= (②)连接BD,判断△BCD是什么三角形？请说明理由； (3)求四边形ABCD的面积 【变式3】(25-26八年级上江苏扬州期中)如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，ABC的顶点 在格点上 (1)直接写出AB=-: (2)判断ABC的形状，并说明理由； (3)直接写出ABC的面积为_. 题型05利用勾股定理的逆定理求解 【典例5】(25-26八年级上四川巴中·期中)如图，在四边形ABCD中AB=√2，BC=√5，CD=3, AD=4,且AC⊥CD. O B (I)求证：AB⊥BC; (②)求四边形ABCD的面积. 【变式1】(25-26九年级上·重庆长寿·期中)如图，四边形ABCD为某街心花园的平面图，经测量 AB=BC=45V2m,AD=30N3m,CD=60V3m,且∠B=90°. 6/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D dB (1)求∠DAB的度数； (②)若射线BE为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置 来监控道路BE的车辆通行情况.已知摄像头能监控的最远距离为30√3m,请问在道路BE上，且与点B距 离105√2m的一辆车能否被摄像头监控到？请说明理由. 【变式2】(25-26八年级上·四川成都月考)第12届世界运动会于2025年8月7日至8月17日在四川成 都举行，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身.为了方便人们运动，现在对市郊区绿道进 行修整.绿道分布具体如下：己知AB=16km,AC=20km,BD=13km,点B在点C的正西方向，点D 在点C的正北方5km处. 北 西 一东 南 B 湖 (1)试判断AB与BC的位置关系，并说明理由； (②)修整好后，居委会派出无人机进行环境检测，无人机从A飞到D,求线段AD的长度. 【变式3】(2025八年级上·全国·专题练习)已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图， 现已测得购物车支架AC=80cm,BC=60cm,两轮轮轴的水平距离AB=100cm(购物车车轮半径忽略不 计)，DE,GF均与地面平行. B 图① 图② (I)猜想两支架AC与BC的位置关系并说明理由； 7/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若EM的长度为70cm,∠DEF=120°，求购物车把手点M到AB的距离. 题型06利用ⅢL判定直角三角形全等 【典例6】(25-26八年级上·浙江温州期中)如图，在四边形ACDB中，∠ABD=∠ACD=90°，连接AD, 若BD=CD.求证：△ABD≌△ACD. 【变式1】(25-26八年级上新疆伊犁期中)如图，A,E,B,D在同一直线上，FE⊥AD,CB⊥AD, AE=DB,AC=DF,若∠D=30°，求∠C的度数. ■ A B 【变式2】(25-26八年级上·吉林松原·期中)如图，点A、C、D、E在同一条直线上，BC1AE, FD⊥AE,且AB=EF,AD=CE,求证：△ABC≌△EFD, A 【变式3】(25-26八年级上山东德州月考)如图，△ABC中，AB=BC,∠ABC=90°，F为AB延长线上 一点，点E在BC上，且AE=CF. B (I)求证：Rt△ABE≌RtACBF (2)判断FE和AC的位置关系并证明. 题型07直角三角形全等的性质和L综合 8/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例7】(2026八年级上陕西西安·专题练习)如图，在ABC中，AB=CB,∠ABC=90°，F为AB延 长线上一点，点E在BC上，且AE=CF. (I)求证：∠FCB=∠EAB; (2)若∠CFE=25°，求∠CAE的度数， 【变式1】(25-26八年级上陕西榆林·期末)如图，在ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点， BD=CE,DF⊥BC于点F,EG⊥BC于点G,DF=EG. (I)求证：ABC是等腰三角形； (2)若LB=60°，AE=2BF=4,求FG的长. 【变式2】(25-26八年级上·湖北十堰期中)如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD是 ABC的角平分线 E Q D 图1 图2 (1)求∠ADC; (2)求证：AC+CD=AB; (3)如图2，E在BC上，过点E作AD垂线，垂足为点G,延长EG交AC的延长线于点F.若E是BD的中 点，求证：BD=2CF; 【变式3】(25-26八年级上海南省直辖县级单位·期末)飞镖是生活中常见的图形.数学课上，李老师和同 学们围绕着飞镖图形展开如下探讨：如图1，延长BD交AC于点E. 9/14 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 图4 【问题发现】(1)延长CD交AB于点F,如图2，若AB=AC,AE=AF,则BE、CF的数量关系为： ∠1、∠2的数量关系为： 【类比迁移】(2)延长CD交AB于点F,连接BC,如图3，若AB=AC,BE=BC,CF⊥AB,可在AB 上取一点M,使得AM=AE,连接CM,求证：AF=AE+BF. 【拓展应用】(3)如图4，若AE=DE,∠1=∠2，请判断AB、CD的数量关系，并加以证明. 强化训练 一、单选题 1.(25-26八年级上·陕西宝鸡·期末)下列命题的逆命题是真命题的是() A.如果两个角是直角，那么它们相等B.若a2>b2,则a>b C.两直线平行，内错角相等 D.全等三角形的对应角相等 2.(25-26八年级上·四川成都期中)ABC的三边长分别为a,b,c,由下列条件不能判断ABC为直角三 角形的是() A.a=5,b=6,c=7 B.∠B+∠C=90 C.a=6,b=8,c=10 D.c2-a2=b2 3.(25-26八年级上河南漯河期末)如图，AC=BC,AE=CD,AE⊥CD于点E,BD⊥CD于点D.若 AE=7,BD=2,则DE的长是(). A.7 B.5 C.3 D.2 4.(25-26八年级上山西临汾期末)下列选项中，正确的是（) A.在Rt△ABC中，己知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B.若三角形的三边之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形 C.在ABC中，若∠A:∠B:∠C=2:3:6,则ABC是直角三角形 10/14 专题1.5 直角三角形 教学目标 1. 掌握勾股定理及其逆定理，并能用于直角三角形的边长计算与形状判定。 2. 理解直角三角形全等判定定理“HL”（斜边、直角边），掌握其证明与应用条件。 3. 能综合运用勾股定理、逆定理及HL定理，解决几何证明、计算及实际情境问题。 教学重难点 重点： 1. 勾股定理及其逆定理的熟练运用，进行边长的准确计算与三角形的判定。 2. 直角三角形全等判定“HL”的准确理解与在证明中的规范应用。 教学难点： 1. 在实际问题中区分并选择勾股定理或其逆定理建立数学模型。 2. 在复杂图形中识别直角三角形全等的“HL”条件，并完成规范推理。 知识点1：直角三角形的性质定理及推论 定理1：直角三角形的两个锐角互余. 定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形. 【即学即练】1．（25-26八年级上·广东广州·期中）在中，，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余． 根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·北京·期中）在下列条件中不能确定是直角三角形的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，掌握三角形内角和是关键；通过三角形内角和为，分别验证各选项是否能推出一个角为；选项A、B、C均能推出直角三角形，选项D计算后无角，故不能确定． 【详解】解：选项A：∵ ，且 ， ∴， ∴，能确定直角三角形； 选项B：设，则， ∴， ∴，能确定直角三角形； 选项C：∵ ， ∴， 又， ∴ ，能确定直角三角形； 选项D：设，则，， ∴， ∴，，不能确定直角三角形； 故选：D． 知识点2：勾股定理及逆定理 图形 名称 定理 符号表示 边的定理 在直角三角形中，斜边大于直角边. 在中， 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 在中，， 勾股定理 逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 在中，， 【即学即练】3．（25-26八年级上·云南昆明·期末）已知实数a，b，c满足． (1)求实数a，b，c的值． (2)以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由． 【答案】(1) (2)能构成直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查非负数的性质，二次根式的乘方运算，勾股定理的逆定理，利用非负数的性质求得a、b、c的值是解题的关键． （1）由非负数的性质可分别求得a、b、c的值； （2）利用勾股定理的逆定理可进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：以a，b，c为边能构成直角三角形，理由如下： ∵ ∴， ∴， ∴以a，b，c为边能构成直角三角形． 4．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，在中，，D为上一点，连接，若，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积 【答案】(1)直角三角形；理由见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理进行判断即可； （2）由（1）可证得是直角三角形，根据勾股定理，求出的长度，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 在中，，， 则，即 因此是直角三角形； （2）解：由（1）可知 在中，， 根据勾股定理得， 即 解得 因此 答：的面积为． 知识点3：直角三角形全等的判定HL法 图形 定理 符号 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L） 在中，， 【即学即练】5．（2025八年级上·河北沧州·专题练习）如图，平分平分，点F在线段的延长线上，点E在线段上，且． (1)求证：； (2)试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用角平分线性质构造全等三角形． （1）由角平分线得角相等，结合公共边证三角形全等，得； （2）证，得 【详解】（1）证明：∵ 平分，平分， ∴ ，， 又∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：． 理由： ∵ ， ∴ ，即， 在和中，， ∴ ， ∴ ． 6．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，能够熟练运用和证明全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，即可得出； （2）利用证明，得出，从而解决问题． 【详解】（1）证明：是的中线， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， 在和中， ， ， ，                                                                ， ， ， ． 题型01 直角三角形的两个锐角互余 【典例1】（25-26八年级上·上海奉贤·期末）在中，，，垂足为，，那么的大小是 ． 【答案】/42度 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再由垂线的定义得到，则同理可求出的度数． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，垂足为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在等腰三角形中，，若，于点D，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及直角三角形两锐角互余，先利用等腰三角形的性质得出，再由直角三角形两锐角互余得出的度数，进而求得最终结果． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：22． 【变式2】（25-26九年级上·重庆·月考）如图，，交于点G，过点F作交于点H，连接，若平分，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义及垂线的定义，熟知平行线的性质、角平分线的定义及垂线的定义是解题的关键． 根据平行线的性质、角平分线的定义及垂线的定义进行计算即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江西南昌·期末）在钝角中，，过点作一条直线，将分成两个新的三角形．若这两个三角形中，一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，三角形外角性质等，解题的关键是综合运用这些性质和定理． 过点A作直线交于点D，分两种情况讨论：一是为直角三角形且为等腰三角形；二是为等腰三角形且为直角三角形，每种情况又分子情况，结合及三角形内角和即可求解． 【详解】解：设过点作的直线交于点D． 情况1：为直角三角形，为等腰三角形。 子情况：． 在中，，， ∴， 则中，， ∴； 子情况：． ∵， ∴， 则中，， ∴； 情况2：为等腰三角形，为直角三角形。 子情况：． ∵， ∴， 则中，， ∴，则与矛盾， ∴此种情况不存在； 子情况：． 在等腰中，若，即，则， ∴； 在等腰中，若，即， ∴， ∵， ∴与三角形内角和为矛盾， ∴此种情况不存在； 在等腰中，若，即，则， ∵， ∴与三角形内角和为矛盾， ∴此种情况不存在； 综上所述，可能为或或． 故答案为：或或． 题型02 锐角互余的三角形是直角三角形 【典例2】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，，则 ，是 三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查直角三角形的判定．由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：，直角． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）若中，，则 ，是 三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定． 利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角度关系判断三角形的类型． 【详解】解：在中，． ，， 则． 是直角三角形． 故答案为：，直角． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．本题通过外角与内角的关系及互余条件联立方程，求出各内角度数，进而判断三角形类型． 【详解】解：设这个内角为，则相邻外角为，而内角与外角的和为， ∴， 解得：， 设另一个内角为，根据互余条件：， ， 此时第三个内角为：， ∴这个三角形是直角三角形； 故答案为：直角． 【变式3】（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】证明：， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 题型03 判断三边能否构成直角三角形 【典例3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）在中，，，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定方法，涉及三角形内角和定理及勾股定理的逆定理，直角三角形的判定需满足一个角为或三边满足勾股定理，通过三角形内角和定理或勾股定理验证每个选项是否能判定直角三角形． 【详解】解：∵三角形内角和为， A项：由，代入得，解得，∴为直角三角形； B项：设，，，则，解得 ，得出，，，无角，∴不是直角三角形； C项：，符合勾股定理，∴为直角三角形，； D项：设，，，则，，∴，为直角三角形，， 综上所述，不能判定的是B， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·福建漳州·月考）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，掌握直角三角形的判定是解题的关键．根据直角三角形的判定方法，即可逐步判断答案． 【详解】解：A、设，则，， ， 是直角三角形，不符合题意； B、设，则，， ， 解得， ，，， 不是直角三角形，符合题意； C、，， ， 解得， 是直角三角形，不符合题意； D、设，则，， ， 是直角三角形，不符合题意； 故选B． 【变式2】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）下列条件中，哪个不能够判断一个三角形是直角三角形（   ） A． B． C． D．，， 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定方法，包括三角形内角和定理和勾股定理逆定理，解题的关键是掌握判定直角三角形的方法． 通过分析每个选项是否满足直角三角形条件，找出不能判断的选项． 【详解】解：∵ 在中，，且， ∴，即，， ∴是直角三角形，故A能判断，不符合题意； ∵，设， 则， ∴ 不满足勾股定理逆定理，故B不能判断，符合题意； ∵，设， 则， ∴ 满足勾股定理逆定理，故C能判断，不符合题意； ∵，，， 则， ∴，满足勾股定理逆定理，故D能判断，不符合题意； 故选：B． 【变式3】（25-26八年级上·河北石家庄·月考）下列不能判定是直角三角形的是（    ） A． B．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 C． D．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定方法，包括角的关系和边的关系，选项A、B、C均能判定三角形为直角三角形，而选项D不满足勾股定理，不能判定， 【详解】解：A项：设，，，则，解得， ∴，故是直角三角形； B项：由，得， ∴a为斜边，边长为a的边所对的角为，故是直角三角形； C项：∵，且， ∴，，故是直角三角形； D项：设，，， ∵在三边中c边最长，若为直角三角形，则c为斜边， ∴，，， ∴不满足勾股定理，故不是直角三角形， ∴不能判定是直角三角形的是D， 故选：D． 题型04 在网格中判断直角三角形 【典例4】（24-25八年级下·福建三明·期中）如图是由边长都为1的小正方形组成的网格，四边形的四个顶点均在格点(小正方形的顶点)上． (1)求四边形的面积； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及三角形的面积； （1）根据正方形的面积减去4个三角形的面积以及1个正方形面积即可求解； （2）根据已知边长得出，进而可得出． 【详解】（1）解：四边形的面积为：． （2）证明：如图，连接． ∵， ， ∴， 是直角三角形，且． 【变式1】（24-25八年级上·福建宁德·月考）如图所示，图中每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D在格点上． (1)四边形的周长为_______，面积为_______； (2)若是以为斜边的直角三角形，则满足条件的格点E有_______个． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题考查割补法求面积，勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用勾股定理求出各边长，然后相加即得四边形的周长；用割补法求四边形的面积； （2）根据勾股定理的逆定理找到满足条件的点即可． 【详解】（1）解：如图， 由勾股定理得：， ， ， ， ∴四边形的周长为：； 四边形的面积为：； 故答案为：，； （2）解：如图所示， 以为例： 由勾股定理可得： ， ， ， ， ， ∴是以为斜边的直角三角形， 同理可证得其他5个点满足题意， 故满足条件的格点E有6个， 故答案为：6． 【变式2】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． (1)______； (2)连接，判断是什么三角形？请说明理由； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形，见解析 (3)四边形的面积为7 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）利用勾股定理及其逆定理进行计算，即可解答； （3）利用割补法求面积即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图： 由题意得：，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （3）解：由题意得：四边形的面积 ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出 ； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出的面积为 ． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见详解 (3) 【分析】本题考查网格中求线段长、判断三角形是直角三角形及网格中求三角形面积等知识，熟练掌握在网格中由勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）由图可知，即可得到答案； （2）由图可知，、、，从而得到即可得到答案； （3）由（2）知，是直角三角形，根据三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，， 故答案为：； （2）解：直角三角形， 理由如下： 由图可知，、、， ， 则， 是直角三角形； （3）解：由（2）知，是直角三角形， ， 故答案为：． 题型05 利用勾股定理的逆定理求解 【典例5】（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在四边形中，，，，且． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求三角形的面积， 对于（1），先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理说明是直角三角形， 即可得出答案； 对于（2），根据可得答案． 【详解】（1）解：在中，， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴； （2）解：． 【变式1】（25-26九年级上·重庆长寿·期中）如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，，且． (1)求的度数； (2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况．已知摄像头能监控的最远距离为，请问在道路上，且与点B距离的一辆车能否被摄像头监控到？请说明理由． 【答案】(1) (2)这辆车不能被摄像头监控到，理由见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用勾股定理求出所需边的长度． （1）连接，易得，由勾股定理求出的长度，然后由勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，则，即可得到答案； （2）过点D作，交的延长线于M由（1）易得是等腰直角三角形，即，再由勾股定理求出，再根据车到点B离得出车到点A距离，对比车到点A距离和的长度即可得到结论． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴，， ∵，， 在中，有， ∴是直角三角形， ∴， ∴． （2）这辆车不能被摄像头监控到，理由如下： 过点D作，交的延长线于M， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 即点M为摄像头能监控的最远位置， 在中，， ∵车到点B离为，， ∴车到点A离为， ∵， ∴这辆车不能被摄像头监控到． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·月考）第12届世界运动会于2025年8月7日至8月17日在四川成都举行，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．为了方便人们运动，现在对市郊区绿道进行修整．绿道分布具体如下：已知，，，点B在点C的正西方向，点D在点C的正北方处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)修整好后，居委会派出无人机进行环境检测，无人机从A飞到D，求线段的长度． 【答案】(1)与的位置关系为，理由见解析； (2)线段的长度为． 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理． （1）由勾股定理可得，根据勾股定理的逆定理可得，从而可得与的位置关系； （2）作，交延长线于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可得线段的长度． 【详解】（1）解：与的位置关系为，理由： 根据题意可知，，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． （2）解：作，交延长线于点，则四边形是长方形， ∴，，， ∴， ∴ ∴线段的长度为． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，现已测得购物车支架，，两轮轮轴的水平距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由； (2)若的长度为，，求购物车把手点到的距离． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理内容是解题的关键． （1）根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，即可得到结论； （2）过点作交的延长线于点，延长交于点，求出，．即可得答案． 【详解】（1）解：．理由如下： ， ． ∴为直角三角形， ， ； （2）解：过点作交的延长线于点，延长交于点，如图， ， ∴． 又， ∴， ． ， ， 在中，， ∴， 根据勾股定理，得，， ∴ 解得：． ． 购物车把手点到的距离为． 题型06 利用HL判定直角三角形全等 【典例6】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，连接，若．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．根据全等三角形的判定定理，由，，以及公共边利用“斜边直角边”定理来证明． 【详解】证明： ， 与为直角三角形． 在与中 ． 【变式1】（25-26八年级上·新疆伊犁·期中）如图，A，E，B，D在同一直线上，，，，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，判定三角形全等的方法包括，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 此题中，先证明，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴，   ∴． 答：的度数为． 【变式2】（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，点A、C、D、E在同一条直线上，，，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，线段的和差，由题意可得，再由线段的和差得出，最后利用“”证明即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：，， ∴， ， ∴，即． 在和中， ， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·山东德州·月考）如图，中，，，F为延长线上一点，点E在上，且． (1)求证： (2)判断和的位置关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)和的位置关系是垂直，证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）直接利用即可求证； （2）延长交于点，根据全等三角形的性质以及等边对等角，即可求得，从而证得位置关系． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴； （2）解：和的位置关系是垂直，证明如下： 如图，延长交于点， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点、、在同一条线段上， ∴， ∴和的位置关系是垂直． 题型07 直角三角形全等的性质和HL综合 【典例7】（2026八年级上·陕西西安·专题练习）如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质与判定； （1）根据题意直接证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据已知得出，根据全等三角形的性质得出，则，进而求得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， 在中， ， ∴． ∴ （2）∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，点D、E分别是、边上的点，，于点F，于点G，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据证明可得，从而可判断是等腰三角形； （2）证明是等边三角形，得，求出，，从而求出． 【详解】（1）证明：，， ． 在和中，，， ， ， 是等腰三角形． （2）解：，是等腰三角形， 是等边三角形， ． ，， ，，则． ，， ，则 ，则 【变式2】（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图1，在等腰中，，，是的角平分线． (1)求； (2)求证：； (3)如图2，E在上，过点E作垂线，垂足为点G，延长交的延长线于点F．若E是的中点，求证：； 【答案】(1)67.5° (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了等角对等边、角平分线的性质定理、三角形外角的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键。 （1）根据等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，再根据三角形外角的性质求解即可； （2）如图：过点D作，垂足为点M，由角平分线的性质可得，易证可得，再证明可得，即；再根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）如图：过点D作，垂足为点M，连接，延长交于点N，易证，从而证明，再证明，然后运用等量代换即可证明结论。 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴。 （2）证明：如图：过点D作，垂足为点M， ∴， ∵平分，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）证明：如图：过点D作，垂足为点M，连接，延长交于点N， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴． 由（2）得，， ∴，即， ∵点E为中点，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）飞镖是生活中常见的图形．数学课上，李老师和同学们围绕着飞镖图形展开如下探讨：如图1，延长交于点E． 【问题发现】（1）延长交于点F，如图2，若，，则的数量关系为：__________；、的数量关系为：__________． 【类比迁移】（2）延长交于点F，连接，如图3，若，，，可在上取一点M，使得，连接．求证：． 【拓展应用】（3）如图4，若，，请判断的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用证明，再由全等三角形的性质可得答案； （2）在上取一点M，使得，连接，同理可证明，得到，再证明，得到，据此可证明结论； （3）延长到，使得，连接，证明，得到，，证明，得到，则可证明． 【详解】解：（1）在和中， ， ∴， ∴； （2）如图所示，在上取一点M，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3），证明如下： 如图所示，延长到，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】C 【分析】本题考查了判断命题的真假，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等，分别写出各命题的逆命题，再判断真假即可 【详解】解：A、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，该命题为假命题，不符合题意； B、若，则的逆命题为：若，则；，但，该命题为假命题，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等的逆命题为：内错角相等，两直线平行；该命题为真命题，符合题意； D、全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，该命题为假命题，不符合题意； 故选：C 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，三角形中，若两较小的边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可判断A、C、D，根据三角形内角和定理可判断B． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， 又∵， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意； B、∵，， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴， 又∵， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据直角边斜边判定，根据对应边相等得到，继而得到． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·山西临汾·期末）下列选项中，正确的是（   ） A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形 C．在中，若，则是直角三角形 D．的三边分别为，若，则是直角 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理和三角形内角和定理，对于A，要分两种情况：边长为8的边为直角边和边长为8的边为斜边，利用勾股定理可求出第三边的长；对于B、D，利用勾股定理的逆定理可进行判断；对于C，利用三角形内角和定理可进行判断． 【详解】解：A、当边长为8的边为直角边时，则第三边的长为，当边长为8的边为斜边时，则第三边的长为，原说法错误，不符合题意； B、设这个三角形的三边长分别为， ∵， ∴该三角形是直角三角形，原说法正确，符合题意； C、∵在中，，且， ∴，， ， ∴不是直角三角形，原说法错误，不符合题意； D、若，则是直角，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．点到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积计算及等面积法，掌握网格中用勾股定理求边长，用逆定理判断直角，用等面积法求高是解题的关键． 先利用勾股定理计算三边长度，再通过勾股定理逆定理判断直角，接着用直角三角形面积公式求面积，最后用等面积法求点到直线的距离，逐一验证选项． 【详解】解：∵，，， ， ，故A，B选项的结论正确，不符合题意； ，故C选项的结论错误，符合题意； 设点到直线的距离是，则， ，故D选项的结论正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·河南南阳·月考）命题“若，则的逆命题是 _________________ ，它是一个 _______ 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 若，则 假 【分析】根据逆命题的定义，交换原命题的条件与结论得到逆命题，再通过举反例判断逆命题的真假即可． 【详解】解：原命题若，则中，条件为，结论为． 交换原命题的条件和结论，可得逆命题为：若，则． 取反例，当，时，满足，但，说明逆命题不成立，因此逆命题是假命题． 7．（25-26八年级上·广西贵港·期末）在中，，，则的度数等于________． 【答案】/度 【分析】本题考查直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余，即可求得答案． 【详解】根据直角三角形两锐角互余，可得 ． 故答案为： 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准． 【答案】符合 【分析】先在中利用勾股定理求出，然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准． 9．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，平分，与边交于点D，是的边上的高，，交于点．已知，，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】由已知结合直角三角形的两个锐角互余，可得，由角平分线的定义可得，根据三角形的内角和定理，即可得的度数． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 10．（25-26九年级上·河南商丘·月考）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转角，且，点的对应点为，点的对应点为所在的直线交所在的直线于点．若，则的长为_____． 【答案】6或10 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，注意进行分类讨论，是解题的关键．先根据勾股定理求出，分两种情况讨论：当点F在上时，当点F在延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 根据旋转可得：，，， ∴， 当点F在上时，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 当点F在延长线上时，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 综上，或10． 故答案为：6或10． 三、解答题 11．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用， （1）由题所给条件可得，即得，即可得证； （2）证明，结合（1）可得，则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（25-26八年级下·河北保定·开学考试）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形． (1)经测量，，，，小明判断是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由； (2)若小明沿水平方向移动2m到点F处，此时风筝垂直下降到点处，测得，求风筝垂直下降的高度． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)风筝垂直下降的高度为 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理求解； （2）先求得，再利用勾股定理求得，从而可利用线段的差求得风筝垂直下降的高度． 【详解】（1）解：他的说法正确．理由如下： ∵，，， ∴， ， ∴， ∴是直角三角形，． （2）解：由题意得，， ∵， ∴． ∵， ∴在中，． ∴， 即风筝垂直下降的高度为． 13．（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图所示，E，F分别为线段上的两个动点，且于点E，于点F，若，，交于点M． (1)求证：，． (2)当E，F两点移动到如图所示的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)结论成立，理由见解析 【分析】（1）先证明，由全等三角形的性质得出，再证明，再由全等三角形的性质得出，． （2）同（1）求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； （2）解：结论成立，理由如下： 同（1）得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． 14．（25-26八年级上·重庆渝北·期末）如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了三角形中线的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由中线得到，然后证明出，即可得到； （2）首先证明出，得到，求出，然后由得到，进而证明即可． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 15．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图1，在中，，于点D，点F在上，连接与交于点G，且，过点A作与的延长线交于点E． (1)求证：平分； (2)如图2，若，求证：； (3)如图1，若的面积为5，，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)9 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边对等角，全等三角形的判定和性质，利用完全平方公式解决几何问题，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据对等边对等角得出相等的角，根据直角三角形的性质以及等量代换得出，即可得出结论； （2）延长、交于点，根据条件证明和，得出相等的边即可得出结论； （3）延长、交于点，设，，根据面积得出，，最后利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图1， ， ， ，， ， ， ， 即平分； （2）证明：如图2，延长、交于点， ， ， 在和中， ，，， ， ， ， ，， ，， ， ， 在和中 ，，， ， ； （3）证明：如图3，延长、交于点， 由（2）得：， ，， ， 设，， ，， ， （舍负）, 即． 16．（25-26八年级下·湖南长沙·开学考试）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)24 (3)1.2 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，即， ， ， ，即； （2）解：，，， 有勾股定理得，， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 17．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【概念】直角三角形中，过直角顶点和斜边上一点的线段将直角分成两个锐角，若这两个锐角的度数分别等于此直角三角形中的另外两个内角的度数，则称此线段为直角三角形的“等锐角线”． 【辨析】图1中有_________条“等锐角线”； 图2中若是的“等锐角线”，则_________； 【探究】如图3，中，，，的“等锐角线”交于点，画出示意图，写出线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】【辨析】1；70或20；【探究】或，图和理由见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质． 【辨析】根据“等锐角线”的定义可知的“等锐角线”是的平分线，所以有条“等锐角线”；当时，根据“等锐角线”的定义可知或； 【探究】当时，根据含角的直角三角形的性质，可得；当时，可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，根据等角对等边可得，所以可得． 【详解】【辨析】解：中，，， ， 的“等锐角线”是的平分线， 有条“等锐角线”； 如下图所示， 是的“等锐角线”， ； 如下图所示， 是的“等锐角线”， ， ； 综上所述，或； 故答案为：，或； 【探究】解：或 理由如下： 在中，，， ， 如下图所示，当时， ， ， ，， ， ； 如下图所示，当时， 可知， ， 是等边三角形， ， ， ； 综上所述，或. 18．（25-26八年级上·河南商丘·期末）【问题背景】（1）如图1，直线经过点，，，过点，分别向直线作垂线，垂足分别为，，求证：． 【问题探究】（2）如图2，在中，，为上一点，是上一点，且．若，求的长． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，，的面积为20，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）56 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得出直角三角形，根据直角三角形的性质得出，利用证明三角形全等即可； （2）过点作，垂足为，借助（1）证明，得出，利用等角对等边得出等腰三角形，然后根据三线合一即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，过点作于点，借助（1）证明，得出相等的边，根据给出三角形的面积求出，表示出相关线段的长度，然后求出相关图形的面积即可． 【详解】解：（1）证明：， ， ． ， ， ． 在和中， ； （2）如图1，过点作，垂足为． 同（1）得， ． ， ， ， ； （3）如图2，过点作，交的延长线于点，过点作于点． 同（1）得， ． ， 是等腰直角三角形， ． 的面积为20， ． ， ， ， ， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $