专题1.4 等边三角形的性质与判定（3大考点+8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级下册

专题1.4 等边三角形的性质与判定 教学目标 1. 掌握等边三角形的性质（三边相等，三角均为60°）与判定（三个角相等或一个角为60°的等腰三角形）。 2. 探索并证明“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质。 3. 能综合运用等边三角形的性质、判定及含30°角的直角三角形性质，解决几何计算与证明问题。 教学重难点 重点： 1. 等边三角形判定定理的灵活应用，特别是“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”。 2. 掌握“30°角所对的直角边等于斜边的一半”及其逆命题，并用于线段关系的计算与证明。 教学难点： 1. 构造含30°角的直角三角形，并利用其性质解决线段倍分关系的证明问题。 2. 在复杂图形中识别等边三角形或含30°的直角三角形结构，并综合运用多个性质进行推理。 知识点1：等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 【即学即练】2．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．利用平行线的性质和等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ， 故选：B． 2．（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在等边中，点，分别在边，上，，过点作，交的延长线于点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)30° (2)4 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，含有角的直角三角形的性质，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键； （1）根据等边三角形性质得，再根据得，然后根据即可得出的度数， （2）证明△是等边三角形得，再根据含有角的直角三角形的性质即可得出的长． 【详解】（1）解：△是等边三角形， ， ， ， ， △是直角三角形， 在中，， （2）解：，， △是等边三角形， ， 在中，， ． 知识点2：等边三角形的判定 （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【即学即练】3．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，为线段上一动点．（不与重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，则有以下五个结论：；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；由得，加之，，得到，再根据 推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知正确；根据 中，可知③错误；根据可知，可知错误；由，得到，由，得到，故正确．熟记相关几何性质与判定，灵活运用是解决问题的关键． 【详解】解：和是等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ，故正确； ， ， 又， ，即， 又， ， ， 又，可知为等边三角形， ， ，故正确； ， ， ∴，故③错误； ，， ，即， ，， ，则，故错误； ， ， ， ，故正确． 故选：B． 4．（25-26八年级上·云南曲靖·月考）如图，在中，，，点是外一点，且，过点作分别交，于点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)5 【分析】本题主要考查的等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． （1）由，，得是等边三角形，根据平行线的性质及等边三角形的性质可得，即可得出结论； （2）连接，交于点，由，，得是线段的垂直平分线，根据等边三角形三线合一得，再根据平行线的性质得，根据等角对等边得，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ，， 是等边三角形． ． ， ，． ． 是等边三角形． （2）如图，连接，交于点， ，， 是线段的垂直平分线． ． 又， ． ， ． ． ． ． 由（1）知是等边三角形， ． ． 知识点3：含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【注意】 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 【即学即练】5．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，点为边的中点，于，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．先根据等边三角形的判定和性质得出，再根据直角三角形中两锐角互余得出，根据角的直角三角形性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴， 故． 故选：C． 6．（24-25八年级上·河南新乡·期中）已知定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，”下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种， 完成证明． 已知：如图1，在中，．求证：， 方法一：如图2，延长到点D，使得，连接． 方法二：如图3，在线段上取一点D，使 得，连接． 【答案】见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 若选择方法一：先根据直角三角形的两个锐角互余求出，再利用平角定义求出，从而可得，然后利用证明，从而可得，进而可得是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答； 若选择方法二：先根据直角三角形的两个锐角互余求出，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用等量代换可得，即可解答． 【详解】解：选择方法一： 如图：延长到点D，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 选择方法二： 如图，在线段上取一点D，使得，连接， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 题型01 利用等边三角形的性质求角 【典例1】（25-26八年级上·北京平谷·期末）如图，等边的周长是18，是的平分线，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，先根据等腰三角形的性质得，再根据等腰三角形三线合一的性质得，，最后由勾股定理求的长． 【详解】解：∵等边的周长是18， ∴， ∵是的平分线， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在等边三角形中，E为的中点，，点D在的延长线上，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的性质，解题的关键是利用三线合一的性质求解． 根据等边三角形的性质得出，，再由等腰三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：为等边三角形， ， ∵E为的中点，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式2】（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，在等边三角形中，是边上的中线，过点D作于点E．若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】根据等边三角形的性质，可知的长度，根据含有的直角三角形的性质即可求解． 本题考查了等边三角形的性质，含有的直角三角形的性质，灵活运用相关性质进行求解是解题关键． 【详解】在等边三角形中，,， ∵是边上的中线， ， ∵， ∴， 在中，，, ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）如图，是等边三角形，点，分别是，的中点，点是线段上任意一点，若，则最小值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质确定满足条件的P点． 连接交于点，连接，，根据两点之间线段最短，得出、、在同一直线上时，最小，即最小，根据等边三角形的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于点，连接，， ∵为等边三角形的中线， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴、、在同一直线上时，最小，即最小， ∵是的中点，是等边三角形， ∵，, ∴的最小值为， 故答案为：． 题型02 利用等边三角形的性质求边 【典例2】（25-26八年级上·吉林四平·期末）如图，是等边三角形，若∠BCA=∠EAD，BC=AE，∠E=130°，则 °． 【答案】130 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由等边三角形的性质得，再证明，即可得出结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：130． 【变式1】（25-26八年级上·北京石景山·期末）如图，在等边中，D为的中点，E为延长线上一点，且，则的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的外角的定义及性质，等边对等角，等边三角形的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先根据中点的意义得出，结合等边三角形的性质得出，再利用三角形外角的性质求得． 【详解】解：∵点D为的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又是的一个外角， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·吉林·期末）如图，将等边三角形的边向两边延长，使，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．由等边三角形的性质可得，，结合题意可得，，由等边对等角并结合三角形外角的定义及性质得出，，即可得出结果． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，是等边三角形，在中，，连接交于点E，则的度数为 ． 【答案】/105度 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 根据等边三角形的性质得，再根据得，由此得，再求出，由三角形内角和定理得，然后在中，再由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中， 即的度数为． 故答案为：． 题型03 利用等边三角形的性质求动点问题 【典例3】（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，等边边长为为上一点，．动点由出发以的速度沿边向点运动，同时动点由点出发以的速度沿边向点运动．若存在某一时刻使得与全等，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 设运动时间为，用含有t的式子将表示出来，再根据题意，分为和两种情况，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设运动时间为，则，，， 如图当时， 可得，， ，， ； 当时， 可得，， ， ， ； 综上所述，为或． 故答案为：或． 【变式1】（25-26八年级上·全国·假期作业）如图1所示，在边长为的等边中，动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动．设点P的运动时间为，．当 时，是直角三角形；如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段向点A运动，且动点P，Q均以的速度同时出发．那么当 时，是直角三角形． 【答案】 或 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，过点C作于点D，根据等边三角形性质得，，，由此得当点P与点D重合时，是直角三角形，此时点P运动的路程为，由此可得点P的运动时间t；依题意得，，则，根据得当是直角三角形时，有以下两种情况：①当时，在中，根据得，则，由此解得；②当时，在中，根据得，则，由此解得，综上所述即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：过点C作于点D，如图1所示： ∵是等边三角形，且边长为， ∴，， ∵点P在边上运动， ∴ ∴当是直角三角形时，只能是； ∵于点D， ∴，， ∴当点P与点D重合时，是直角三角形， 此时点P运动的路程为：， 又∵点P运动的速度为， ∴此时点P运动的时间； ∵动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动， ∴， 又∵动点Q从点C出发，以的速度沿线段向点A运动， ∴， ∴， ∵， ∴当是直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图2所示： 在中，， ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图3所示： 在中，， ∵， ∴， 解得：， 综上所述：当或时，是直角三角形． 故答案为：；或． 【变式2】（25-26八年级上·陕西榆林·月考）如图，等边的边长为8，点E在边上，，射线于点C．点P是射线上一动点，点F是边上一动点，连接，，当的值最小时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，能够确定当的值最小时，点的位置是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，，过作于点，可证得的值最小时，点位于处，再求出的长，进而即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，过作于点， 则， ， 即当的值最小时，点位于处． 是等边三角形， ， ， ， 等边的边长为8，， ， ， ， 当的值最小时，的长为， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·浙江金华·月考）我们规定对角互补的四边形称为对补四边形． （1）如图1，四边形为对补四边形，，则的度数为 ． （2）如图2，在等边三角形中，，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止．连结，交于点，当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为 ． 【答案】 4.8 【分析】本题属于四边形综合题，考查了对补四边形的定义、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，本题综合性强，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）利用同角的补角相等证明即可； （2）设运动时间为．由全等三角形的性质证明，再由此构建方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形为对补四边形，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，设运动时间为秒，则，， ， 当时，， ， 是等边三角形， ，， 四边形是对补四边形， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为． 故答案为：4.8 题型04 利用等边三角形的性质证明 【典例4】（25-26八年级上·河南安阳·月考）如图，和都是等边三角形，点、、在同一直线上，连接 (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的边和角的特征，以及利用判定三角形全等是解题的关键． （1）通过等边三角形的性质得到对应边相等、对应角相等，再推导出差角相等，利用证明三角形全等； （2）借助全等三角形的性质得到对应边相等，结合等边三角形的边长关系，计算得出的长度． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ． 即， 在与中，   ， （）； （2）解：由（1）， ． 是等边三角形， ． ． 【变式1】（25-26八年级上·广东汕头·月考）如图，为等边三角形，D、E分别是、上的点，且，与相交于点F． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点C作于点H，若，，求的长度． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）证明≌，得到，进而解题； （2）证明，进而结合全等三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质解题． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ∴≌， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵≌， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知是等边三角形，点是的中点，，两边分别交直线、于点、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当的两边分别交线段、延长线于点、时，作垂直于，求证： (3)如图3，当的两边分别交线段、延长线于点、时，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）取的中点，连接，可得是等边三角形，进而证明，即可得证； （2）取的中点，连接，同理可得，则，即可得证； （3）取的中点，连接，得出，设，则，，，得出，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，取的中点，连接， 同（1）可得是等边三角形， ∵ ∴ 同理可得， ∴， ∴ ∴ （3）解：如图，取的中点，连接， 同理可得， ∴， ∵，， 设，则，，， ∴ ∴ 解得： ∴ 【变式3】（25-26八年级上·广东汕头·期中）已知在等边中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】如图1，当E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”“”或“”）； (2)【特例启发，解答题目】如图2，当E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请判断和的大小关系，并给出证明；（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】在等边中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且．若的边长为3，，求的长．（利用备用图探究） 【答案】(1)= (2)，理由见详解 (3)7或1 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证明，得，即可得出结论； （2）过点E作，交于点F，证明为等边三角形，得，再证明，得，即可得出结论； （3）①过点E作，交于点F，同（2）得为等边三角形，，则，，即可得出答案； ②过点E作，延长交于点G，过点E作交于点F， 利用平行线的性质得到，随即证得为等边三角形，通过等腰三角形三线合一定理得出对应边的长度，再通过线段间的等量关系计算得出答案． 【详解】（1）解：∵在等边中，点E在上，点D在的延长线上，且， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：， 理由：如图，过点E作，交于点F， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）解：①如图，在等边中，点E在直线上，延长线段至D，且．过点E作，交的延长线于点F， 同（2）得，为等边三角形，， ∴， ∴， ∵的边长为3， ∴， ∴． ②如图，在等边中，点E在直线上，延长线段至D，且．过点E作，延长交于点G，过点E作交于点F， ∵为等边三角形 ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴，即等边的边长为7， ∵， ∴根据等腰三角形三线合一定理，， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， 同理可得：， ∴． 题型05 含30°角的直角三角形 【典例5】（25-26九年级上·江苏无锡·月考）在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键；在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴． ∴由勾股定理，得． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在直角三角形纸片中，，，折叠该纸片使得点落在边上的点处，折痕为（点在上），若，则的长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了翻折变换，含30度的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 由三角形内角和定理可得，根据折叠可得，则，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∵折叠该纸片使得点落在边上的点处， ， ， ， 故答案为：18． 【变式2】（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，作交于，则，结合题意可得，为等腰直角三角形，求出，，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：作交于， ， 则， ∵，， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，，，点是的中点，点是边上一个动点，将沿着折叠得到． （1）当时，的长为 ； （2）当时，的长为 ． 【答案】 或． 【分析】本题重点考查平行线的性质、轴对称的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、二次根式、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）根据题意求得，由折叠性质证得为等腰直角三角形，根据勾股定理即可计算出答案； （2）过点作，根据题意求得，，由折叠性质证得为等腰直角三角形，分在右侧和左侧两种情况解答即可． 【详解】解：当， ∵，点是的中点， ∴， ∵沿着折叠得到， ∴， ∴， ∵， ∴； 当，过点作，交于点，在右侧时， ∵中，，，，点是的中点， ∴， ∴，， ∵沿着折叠得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴, 设，则， ∵， ∴， 解得， 即 当，在左侧时： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为；或． 题型06 等边三角形的判定 【典例6】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，过点A作，交边于点D，且，延长使，连接． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及等边三角形的判定； （1）由题意易得，，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （2）由题意易得，，然后根据等边三角形的判定定理可进行求证． 【详解】（1）解：， ． ， ． ． ， ． ． ； （2）证明：， ， ， ． 是等边三角形． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，在中，，点、在边上（点在点的左侧），． (1)证明：≌； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定． （1）利用“等角对等边”得到，结合已知条件用证明全等； （2）由全等得，再证，从而判定为等边三角形． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴． 在和中，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∵是的外角，， ∴， ∴是等边三角形． 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，是等腰三角形，，是等边三角形，且点B，D，E，C在同一条直线上． (1)若，，求的长； (2)以为腰在下方作等腰三角形，使，连接，若．求证：是等边三角形． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查了全等的性质和综合（），全等的性质和（）综合（或者），等边三角形的性质，等边三角形的判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先根据等边对等角，得出，再根据等边三角形的性质，得出，，从而可得，再证明，从而可得，进而可求得． （2）先证明，从而可得，再求得，从而可得是等边三角形． 【详解】（1）解：∵是等腰三角形，， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． （2）∵，， ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴是等边三角形． 【变式3】（25-26八年级下·全国·周测）如下图，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，．，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：． (2)求直线，所夹锐角的度数． (3)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）如图，延长交于点．由全等三角形的性质可得到，由对顶角相等即可得到，即为直线，所夹锐角的度数； （3）由“”可证，可得，，可证是等边三角形． 【详解】（1）证明：和均为等边三角形， ，，， 在和中， ， ． （2）解：如图，延长交于点． 由（1）可知，， ． ， ，即直线，所夹锐角的度数为． （3）为等边三角形．理由如下： 由（1）可知，，． ，分别为，的中点， ． 在和中， ， ，， ， 是等边三角形． 题型07 等边三角形的性质和判定多结论题 【典例7】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，已知和均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与相交于点O，与交于点G，与相交于点F，连接，．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 首先判定，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；同理，得到是等边三角形，即可得到②正确，又由，可得④正确． 【详解】解：∵和是等边三角形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故②正确； 在和中， ， ， ，故③不正确； ， ， ， ， ， 故④正确； 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，在中，，以为腰向外部作等腰，，，于F，交AB于点E，连接CE．下列四个结论：①；②DE平分；③；④若，则为等边三角形．其中正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定，关键是通过全等三角形的对应角、对应边相等，结合角的关系推导结论，证明，可判断①；当平分时，证明，得到，则可证明，而为等边三角形，不一定成立，据此可判断②；证明，即可判断③；证明，即可判断④． 【详解】解：在和中， ，，， ， ，故①正确； 若平分，则， 在和中，， ， ， 又∵， ∴， ∴为等边三角形，不一定成立，故不一定平分．故②错误； ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴. ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形，故④正确． 综上可知，正确的结论为①③④，共有3个， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，已知，点是的平分线上的一个定点，点，分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的是（   ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，等边三角形 的判定和性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 过点作于点，于点，根据角平分线的性质得到，求得，根据全等三角形的判定和性质得到，根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，故①正确；根据全等三角形得到，求得，即，推出四边形的面积是一个定值，故②正确；根据垂线段最短，得到的值最小，当最小时，的周长最小，于是得到当时，最小，的周长最小，故③正确；根据平行线的性质得到，求得，得到一定与不平行，故④错误． 【详解】解：过点作于点，于点，如图所示： ， ∵点是的平分线上的一点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， 即， ∵点是的平分线上的一个定点， ∴四边形的面积是一个定值， ∴四边形的面积是一个定值，故②正确，符合题意； ∵， ∴点与重合， ∵垂线段最短， ∴的值最小， 当最小时，的周长最小， ∴当时，最小，的周长最小，故③正确，符合题意； ∵，，如图： ， ∵， ∴， ∴一定与不平行，故④错误，不合题意． 故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．有下列结论：①；②为等边三角形；③；其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．① C．①② D．②③ 【答案】A 【分析】连接，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质进行判断①，由三角形内角和定理求得，从而判断②，过点作，在上截取，证得，根据全等三角形的性质证得，据此判断③即可． 【详解】解：连接，如图， ，，D为的中点， ，，，， 是的垂直平分线， ， ∵， ， ，， ， ， 故①正确； ， ， ， ， 为等边三角形， 故②正确； 过点作，在上截取，如下图， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故③正确， 综上所述，正确的有①②③． 故选：A． 题型08 等边三角形的性质和判定综合题 【典例8】（25-26八年级上·陕西安康·期末）在中，，，，垂足为，且，，分别是边，上的点，且．    (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得，再由，即可得证； （2）根据等边三角形的性质得，，证明得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 【变式1】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，，交于点G，且，，其两边分别交边于点． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：； (3)若，，则四边形的周长为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)16 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （）由等腰三角形的性质可得，又，从而可证是等边三角形； （）由是等边三角形，则，所以，通过角度和差可得，证明， （3）由（2）知，得，又是等边三角形，得，最后通过四边形的周长为即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， （3）由（2）知， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴四边形的周长为 ． 故答案为：16． 【变式2】（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，在与中，，，，过点C作交于点E，交于点F，连接交于点H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 【答案】(1)等边三角形，见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质解答即可． （2）根据等腰三角形的三线合一性质证明平分即可． （3）根据等边三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，解答即可． 本题考查了线段的垂直平分线判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）证明：∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴平分． （3）解：∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴平分． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得， 故． 【变式3】（25-26八年级上·天津西青·期末）已知中，，点，E分别在边上，和相交于点，． (1)如图①，求证：为等边三角形； (2)如图②，过点B作于点H，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，请直接写出线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)16 【分析】本题考查等边三角形的证明性质，全等三角形的证明及性质，能够正确作出辅助线是解题关键． （1）先证，再证，进而为等边三角形； （2）先证，再证，进而； （3）在上取一点，使，求得，再证为等边三角形，再证，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26九年级上·云南曲靖·期末）在中，，则的长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，在直角三角形中，30度角所对的直角边的长为斜边长的一半，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·贵州黔南·期末）如图，在等边中，点D，E分别在上，且与相交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是关键． 根据题意，可证，得到，再根据三角形外角性质计算即可． 【详解】等边中，， 又， ， ． ． 故选：B． 3．（25-26八年级上·北京西城·期末）如图，在中，，，分别是边上的两个动点，连接．若当与的和最小时，的长为1，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】考查了轴对称-最短路径问题，等腰三角形三线合一的性质，含30度角的直角三角形的性质，如图，作点B关于直线的对称点，交于点D，过点作于点Q，交于点P，连接，此时，，，即与的和最小，，根据等腰三角形三线合一的性质得，根据含30度角的直角三角形的性质分别求出、即可求得的长． 【详解】解：如图，作点B关于直线的对称点，交于点D，过点作于点Q，交于点P，连接， 此时，，，即与的和最小， ∵在中，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在等边中，为边上的一点，若，为边上的一点，连接交的延长线于点，当时，，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】过作交于，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可． 【详解】解：过作交于． ∵是等边三角形， ∴ ， ∴， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ∵ ， 的周长为6， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 5．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）等边， 点 、分别是 、上的点且，连接、 相交于点 ，以下结论： ①；②；③；④； 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，找出对应的等量关系是解题的关键． 由为等边三角形，得出，，结合，可证结论①，由结论①可证出结论②，由角度和边长的等量关系，通过线段和差证出，即可证明结论③，由结论③证出结论④． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， 即，故结论②正确； ∵，， ，， ∴， ∵，， ∴，故结论③正确； ∵， ∴， ∴，故结论④正确； 综上，正确的结论有个， 故选D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，点D为等腰底边上一点，且，如果，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，推出为含30度角的直角三角形，进而得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵点D为等腰底边上一点，且，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 7．（25-26八年级上·云南昆明·期末）数学活动课上，同学们将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，点E，F表示的刻度分别为2，6，则线段的长为 ．    【答案】4 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和，等边三角形的判定和性质，两点间的距离；由得，由三角形内角和得，证得是等边三角形，再根据两点间的距离即可解答． 【详解】解：由图可知， ∴， ∵直角三角板中， ∴， ∴是等边三角形， ∵点E，F表示的刻度分别为2，6， ∴， ∴， 故答案为4． 8．（25-26八年级上·天津西青·期末）如图，已知等边△中，点D是的中点，点E是延长线上一点，且，作，垂足为M，连接，若，则的长度为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了等腰三角形与等边三角形，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．连接，根据等边三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质推出，从而得到为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质即可得点M是的中点，即可求解． 【详解】证明：如图，连接． ∵在等边中，点是的中点，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 又∵， ∴点是的中点， ∴． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·陕西西安·月考）在等边中，是边上的中线，点是边上一点，若为等腰三角形，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等边三角形的性质． 根据等边三角形的性质，可得垂直于，且．分类讨论为等腰三角形的三种情况：、、，其中不可能，故只考虑前两种情况，分别计算的度数． 【详解】解：∵为等边三角形，是边上的中线， ∴，，， 当时， 则， ∴； 当时， 计算得， ∴； 当时，点不在边上，舍去； 综上，或． 故答案为：或． 10．（25-26八年级上·天津·期中）如图，是边长为6的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动（与，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． （1）若设，则 ；（用含的式子表示） （2）当时，求 ； （3）在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由 ． 【答案】 不变， 【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角直角三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据题意得，然后得到，； （2）在中利用角直角三角形的性质列方程求解，根据即可求解； （3）过点作的平行线交于点，首先证明出是等边三角形，然后得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】解：（1）根据题意可得，， ∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． （3）当点、运动时，线段的长度不会改变，， 理由如下： 如图：过点作的平行线交于点，   ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ． 故答案为：不变，． 三、解答题 11．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，是等边三角形，点D是边上一点，延长至E，使．若点D是的中点． (1)求证：； (2)延长交于点F，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由等边三角形的性质及三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质即可证明； （2）首先易得，再由含度角直角三角形的性质得，，进而得，，由建立方程可求得． 【详解】（1）证明：是等边三角形，点D是的中点， ，，， ，， ， ， ， ， ； （2）解：是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 12．（2026八年级·全国·专题练习）将两个大小不同的含角的直角三角板和按右图所示的方式摆放，的平分线交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要运用三角形内角和定理、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质来求解，解题的关键是掌握上述知识点． （1）通过角度计算证明是等边三角形从而得出边相等； （2）利用含角的直角三角形的性质结合求出，再根据角度关系得出的长度即可． 【详解】（1）证明：由题意，得，． 平分， ， ， ， ， 是等边三角形， ． （2）解：由（1）可知，． ，， ． 又， ， ， ． ， ． 13．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，已知，，． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和三角形内角和定理，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据补角求出，通过互余求出，再运用内角和定理可求出三个角都为，即为等边三角形； （2）由（1）可得，运用三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形． （2）解：由（1）得， 又∵， ∴． 14．（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图1，是等边三角形，延长至点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是等边三角形． (2)如图2，延长至点，使得，连接，．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的证明及性质，全等三角形的证明及性质，能够证得三角形全等是解题关键； （1）通过等边三角形性质和平行线的基本性质可得，进而得证； （2）通过等边三角形性质和线段的和差关系得到，，再利用证得，进而可得证． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ，， ， 是等边三角形； （2）证明和是等边三角形， ，， ， 即， ∵， ∴， ， ， 在和中， ， ． 15．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，且是边上动点（不与重合），点E在边上，连接平分交于点F，连接． (1)当为等边三角形时，求的度数； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)．理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质． （1）根据等边三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，即，根据等边对等角得到，，根据三角形外角的性质即可求出的度数； （2）设，则，根据等边对等角得到，根据三角形内角和求出，根据余角的定义得到，根据角平分线的定义得到，即可得到． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， 又平分， ， ， ， ， 又， ； （2）解：．理由如下： ∵，， ， 设，则， ， ， ， ， 平分， ， ． 16．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，已知在等边三角形中，点D、E分别在直线AB、直线上，且． (1)当点D、E分别在边、边上时，如图1所示，与相交于点G，求的度数； (2)当点D、E分别在边CA、边的延长线上时，如图2所示，的度数是否变化？如不变，请说明理由．如变化，请求出的度数． 【答案】(1)60° (2)不变；60° 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到, 推出, 根据全等三角形的性质得到, 根据三角形外角的性质即可得到结论： （2）由三角形为等边三角形，利用等边三角形的性质得到, 利用等角的补角相等得到夹角相等，利用得到与 全等，利用全等三角形的对应角相等得到, 利用外角性质及等量代换即可得证 【详解】（1）证明：为等边三角形， , 在和中 , , , , , , , （2）证明：为等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 17．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当等于或或时，是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识. ()根据全等三角形的性质得到，再证明，即可证明是等边三角形； ()先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； ()分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：由题意得：，， ∴； ①若，则，即， ∴； ②若，则，即， ∴； ③若，则，即， ∴； 综上，当等于或或时，是等腰三角形． 18．（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，点、分别从点、点同时出发，沿的边运动，已知点的速度是，点的速度是，当点第一次到达点时，、同时停止运动．    (1)点、同时运动几秒后，、两点重合？ (2)点、同时运动几秒后，可得到等边？ (3)点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰，如果能，请求出此时、运动的时间． 【答案】(1)9秒 (2)3秒 (3)能；12秒 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）设点M、N运动t秒后，M、N两点重合，表示出M、N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多，列出方程求解即可； （2）设点M、N运动t秒后，得到等边三角形，表示出，的长，根据，只要，三角形就是等边三角形，列式计算即可； （3）根据证明得，列式计算即可． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，、两点重合，则：，解得， ∴点、同时运动9秒时，、两点重合； （2）解：设运动时间为秒， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点、同时运动3秒时，可得到等边三角形； （3）解：如图，∵， ∴，    ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 此时运动的时间为12秒． 19．（25-26八年级上·河北衡水·期末）操作探究：已知是等边三角形，点是边上一点． (1)如图1，过点作交于点，图中有 个等边三角形； (2)如图2，点在上运动(不与重合)，点是延长线上一点，且，过作于E，连接交于，试说明：在点运动的过程中，线段的长是定值(即)； (3)若将条件中“是等边三角形”改为“是等腰三角形，”，如图3所示，（2）中的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)还成立，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质的综合应用． （1）根据是等边三角形，，得出、是等边三角形即可； （2）作交于，先判定为等边三角形，再根据三线合一，得到，然后判定，得到，进而得到； （3）作于，先判定，得到，，再判定，得到，进而得到（2）中的结论还成立． 【详解】（1）解：如图1，是等边三角形 ， ， ， 为等边三角形， 、是等边三角形，共2个 故答案为：； （2）线段的长是定值，即，理由如下： 如图，作交于， 是等边三角形 ， ， ， 为等边三角形， ， 又， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， （3）（2）中的结论还成立． 理由：如图3，过点作于， 在与中， 在与中， 20．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）（1）在中，点D，E，F分别在边上，且满足，． ①如图（1），若为等边三角形，求证：； ②如图（2），若，，且，求的长； （2）如图（3），在四边形中，，．过点C分别作的垂线，垂足分别为M，N．若，求的值． 【答案】（1）①证明见解析；②的长为6；（2） 【分析】（1）①由等边三角形的性质得出，再由三角形外角的定义得出，即可证得，由全等三角形的性质即可得出． ②在取点G，使得，连接．同（1）得，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形性质得出，由三角形外角的定义和性质可得出，由等角对等边可得出，设 则，，．由含30度直角三角形的性质得出，代入即可求出x． （2）延长至点E，连接，使得，延长，交于点F，连接．先证明和为等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明，由全等三角形的性质可得出，，同理可证，，则，，设，，，，则，，由含30度直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】证明：（1）①∵是等边三角形 ∴， ∵，， ∴， 在与中， ∴， ∴ ②解：在取点G，使得，连接． 同（1）得， ∴，， ∵，且． ∴， ∵，即， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，，． ∵，， ∴， ∴， ∴，解得， ∴． （2）延长至点E，连接，使得，延长，与交于点F，连接，如图， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴ ∴，， 同理可证∶，， ∴，， ∵， 设，，， 则，，， ∵，，， ∴， ∴，， 即， 解得：， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.4等边三角形的性质与判定 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1：等边三角形及其性质 知识点2：等边三角形的判定 知识清单 知识点3：含0°角的直角三角形的性质 题型01利用等边三角形的性质求角 等边三角形的性质 题型02利用等边三角形的性质求边 与判定 题型03利用等边三角形的性质求动点问题 题型04利用等边三角形的性质证明 题型精讲 题型05含30角的直角三角形 题型06等边三角形的判定 题型07等边三角形的性质和判定多结论题 题型08等边三角形的性质和判定综合题 强化训练 教学目标、教学重难点 1.掌握等边三角形的性质（三边相等，三角均为60°）与判定（三个角相等或一个角 为60°的等腰三角形)。 教学目标 2.探索并证明“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质。 3.能综合运用等边三角形的性质、判定及含30°角的直角三角形性质，解决几何计算 与证明问题。 重点： 1.等边三角形判定定理的灵活应用，特别是“有一个角是60°的等腰三角形是等边三 教学重难点 角形”。 2.掌握“30°角所对的直角边等于斜边的一半”及其逆命题，并用于线段关系的计算 与证明。 1/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 教学难点： 1.构造含30°角的直角三角形，并利用其性质解决线段倍分关系的证明问题。 2.在复杂图形中识别等边三角形或含30°的直角三角形结构，并综合运用多个性质进 行推理。 知识清单 知识点1：等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° 【注意】 (1)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； (2)等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质. 【即学即练】2.(25-26八年级上河南洛阳·月考)如图，直线m∥n,等边ABC的顶点B在直线n上， 直线m交AB边于点D.若∠a=18°，则∠B的度数为() AD 07 B A.72° B.78 C.86 D.82° 2.(25-26八年级上，广东湛江·期中)如图，在等边ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，DE∥AB, 过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F. B D (1)求∠F的度数； (2)若CD=2,求DF的长. 知识点2：等边三角形的判定 (1)定义法：三边都相等的三角形是等边三角形 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形， (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 2/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【即学即练】3.(25-26八年级上河北邯郸期中)如图，C为线段AE上一动点.（不与A,E重合），在 AE同侧分别作等边ABC和等边△ECD,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连 接P9,则有以下五个结论：①AD=BE;②PQ∥AE;③AB=BQ;④DE=DP;⑤LAOB=60°.其中 正确的有() B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.(25-26八年级上·云南曲靖·月考)如图，在ABC中，BA=BC,∠B=60°，点D是ABC外一点，且 DA=DC,过点D作DE∥BC分别交AB,AC于点E,F. B (1)判断△AEF的形状，并说明理由； 2)若AB=15,DE=10,求DF的长。 知识点3：含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【注意】 (1)该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不 能应用。 (2)这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系， (3)该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切. (4)在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的 角转化后，再利用这个性质解决问题， 【即学即练】5.(25-26八年级上江苏盐城期中)如图，在ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的 中点，DE⊥BC于E,若BE=2,则AC的长为() 3/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B A.4 B.6 C.8 D.10 6.(24-25八年级上河南新乡.期中)已知定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直 角边等于斜边的一半，”下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证 明 知：如图1，在4BC中，∠C=90,∠A=30°，求证：BC)AB 方法一：如图2，延长BC到点D,使得CD=BC,连接AD· 方法二：如图3，在线段AB上取一点D,使得BD=BC,连接CD· D D 图1 图2 图3 题型精讲 题型01利用等边三角形的性质求角 【典例1】(25-26八年级上·北京平谷期末)如图，等边ABC的周长是18，AD是∠BAC的平分线，则 AD= D 【变式1】(25-26八年级上河南周口·期末)如图，在等边三角形ABC中，E为AB的中点，AB=2,点D 在CB的延长线上，且ED=EC,则BD=一 4/18 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2】(25-26八年级上·广东汕头期末)如图，在等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，过点D 作DE⊥BC于点E.若AB=I6,则CE的长为一· 【变式3】(25-26八年级上·辽宁丹东·期末)如图，△ABC是等边三角形，点D,E分别是AB,BC的中点， 点P是线段AE上任意一点，若AE=7,则BP+DP最小值是一 题型02利用等边三角形的性质求边 【典例2】(25-26八年级上·吉林四平.期末)如图，△ACD是等边三角形，若∠BCA=∠EAD,BC=AE,∠ E=130°，则∠B= D 【变式1】(25-26八年级上，北京石景山期末)如图，在等边ABC中，D为AC的中点，E为BC延长线上 一点，且BC=2CE,则∠E的大小为」 【变式2】(25-26八年级上·吉林期末)如图，将等边三角形APQ的边PQ向两边延长，使PB=QC=PQ, 5/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则∠BAC的度数为 B 【变式3】(25-26八年级上·浙江温州期中)如图，ABC是等边三角形，在△ACD中， AC=CD,LACD=90°，连接BD交AC于点E,则∠BEC的度数为 E D 题型03利用等边三角形的性质求动点问题 【典例3】(25-26八年级上河北秦皇岛期末)如图，等边ABC边长为10cm,D为AB上一点，AD=8.动 点P由B出发以lcm/s的速度沿BC边向点C运动，同时动点Q由点C出发以acm/s的速度沿CA边向点A运 动.若存在某一时刻使得aDBP与△PCQ全等，则a=_cm/s. D C 【变式1】(25-26八年级上全国假期作业)如图1所示，在边长为6cm的等边ABC中，动点P以1cm/s的 速度从点A出发，沿线段AB向点B运动.设点P的运动时间为(s),1>0.当t=一时，△PAC是直角 三角形；如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，且动点P,Q均以1cms的速度同时 出发.那么当t=时，△PAQ是直角三角形. B 图1 图2 【变式2】(25-26八年级上陕西榆林·月考)如图，等边ABC的边长为8，点E在BC边上，CE=3,射 线CD⊥BC于点C.点P是射线CD上一动点，点F是AB边上一动点，连接PE,PF,当PE+PF的值最 小时，AF的长为— 6/18 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 【变式3】(24-25八年级上浙江金华·月考)我们规定对角互补的四边形称为对补四边形. (1)如图1，四边形ABCD为对补四边形，∠A=75°，则∠DCE的度数为 (2)如图2，在等边三角形ABC中，AB=12cm,若动点P从点A沿着AB运动，速度为1cms,动点Q从 点A沿着AC运动，速度为1.5cm/s,两个动点同时出发，当点Q运动到点C时所有运动停止.连结PC, BQ交于点D,当四边形APDQ为对补四边形时，此时的运动时间为 题型04利用等边三角形的性质证明 【典例4】(25-26八年级上·河南安阳·月考)如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一 直线上，连接BE (I)求证：ACD≌BCE (2)若CE=6,BE=7,求AE的长. 【变式1】(25-26八年级上：广东汕头·月考)如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点， 且AD=BE,AE与CD相交于点F. D B E B E 图1 图2 (I)如图1，求LCFE的度数； (2)如图2，过点C作CH⊥AE于点H,若AE=5,HF=2,求DF的长度. 7/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2】(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨期中)已知△ABC是等边三角形，点D是BC的中点， ∠EDF=120°，∠EDF两边分别交直线AB、AC于点E、F. D 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：DE=DF; (②)如图2，当∠EDF的两边分别交线段AB、AC延长线于点E、F时，作DH垂直AB于H,求证： AF-AE=2EH (3)如图3，当∠EDF的两边分别交线段BA、AC延长线于点E、F时，AE=1,AF=7,求线段AB的长， 【变式3】(25-26八年级上·广东汕头期中)已知在等边ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上， 且ED=EC. D B 图1 图2 备用图 (I)【特殊情况，探索结论】如图1，当E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出 结论：AE DB（填“><”或“=”)； (②)【特例启发，解答题目】如图2，当E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请判断 AE和DB的大小关系，并给出证明；（提示：过点E作EF∥BC,交AC于点F) (3)【拓展结论，设计新题】在等边ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC .若ABC的边长为3，AE=4,求CD的长.（利用备用图探究） 题型05含30°角的直角三角形 【典例5X25-26九年级上江苏无锡月考)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=7,则BC的长为 【变式1】(25-26八年级上·陕西榆林期末)如图，在直角三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=30°，折 叠该纸片使得点A落在BC边上的点D处，折痕为BE(点E在AC上)，若BE=I2cm,则AC的长为 cm. 8/18 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A E C 【变式2】(25-26九年级上广西南宁·月考)如图，在ABC中，∠A=30°，∠C=45°，AB=6,则AC的 长为一 A C 【变式3】(25-26八年级上浙江杭州期中)如图，Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠C=90°，AB=4,点D 是AB的中点，点E是边AC上一个动点，将ADE沿着DE折叠得到△A'DE· (1)当AD⊥AB时，AA的长为一 (2)当AE⊥AC时，AE的长为 B 题型06等边三角形的判定 【典例6】(25-26八年级上·云南昆明期末)如图，在ABC中，AB=AC,过点A作AD⊥AB,交边BC 于点D,且DA=DC,延长DA使EA=DA,连接BE, B D (1)求∠ABC的度数： (②)求证：△EBD是等边三角形. 【变式1】(25-26八年级上江苏南京·月考)如图，在ABC中，LB=∠C=∠1=30°，点D、E在边BC上 (点D在点E的左侧)，BD=CE. 9/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)证明：△ABD≌△ACE: (2)求证：ADE是等边三角形. 【变式2】(25-26八年级上河南周口·月考)如图，ABC是等腰三角形，AB=AC,ADE是等边三角形， 且点B,D,E,C在同一条直线上. B (1)若AD=3,BC=15,求CE的长； (②)以AC为腰在AC下方作等腰三角形AFC,使AF=AC,连接EF,若BD=EF,求证：△ABF是等边三 角形 【变式3】(25-26八年级下·全国周测)如下图，ABC和ADE均为等边三角形，点A,D,C在同一条 直线上，连接BD,CE,M,N分别是BD,CE的中点，连接AM,AN,MN. (I)求证：BD=CE. (2)求直线BD,CE所夹锐角的度数. (3)试判断△AMN的形状，并说明理由. 题型7等边三角形的性质和判定多结论题 【典例7】(25-26八年级上·甘肃天水期末)如图，已知ABC和△DCE均是等边三角形，点B,C,E在 同一条直线上，AE与BD相交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD相交于点F,连接OC,FG,下列 结论：①AG=BF;②FG∥BE;③DF=DE;④LDOE=60°；其中正确的结论有()个. 10/18