第六章 平面向量及其应用（高效培优讲义）数学人教A版高一必修第二册

第六章 平面向量及其应用 教学目标 1. 理解平面向量的核心概念：明确向量是“既有大小又有方向”的量，能区分向量与数量（如温度、长度等仅含大小的量）；熟练掌握向量的几何表示（有向线段）、字母表示及相关概念（模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量），明确零向量“模为0、方向任意”的特殊性与单位向量“模为1”的标准化特征。 2. 掌握向量的运算体系：熟练运用三角形法则（首尾相接）、平行四边形法则（共起点）进行向量加减运算，理解其几何意义；掌握向量数乘运算的规则，方向由符号决定：理解向量数量积的概念、几何意义（投影乘积），能进行数量积的代数运算与坐标运算。 3. 把握核心定理与坐标体系：理解平面向量基本定理（不共线向量可作为基底表示任意向量），掌握向量的正交分解与坐标表示；熟练运用向量共线）、垂直的充要条件，能通过坐标判断向量关系；掌握余弦定理、正弦定理的向量推导过程及应用场景。 4. 具备实际应用能力：能将几何问题（平行、垂直、长度、角度计算）、物理问题（力的合成与分解、位移与速度合成）转化为向量问题，运用向量工具求解；能结合生活实例（如无人机飞行、帆船航行）解释向量的应用价值。 教学重难点 重点 1. 向量的核心概念与表示方法：重点掌握向量“大小与方向”的双重本质，明确相等向量、共线向量的定义，熟练运用有向线段与坐标表示向量。 2. 向量的运算规则与几何意义：重中之重是向量加法的三角形法则、平行四边形法则的适用条件与直观表征；向量数乘的伸缩与方向规律；数量积的几何意义（投影）与运算性质。 3. 核心定理与应用工具：平面向量基本定理的内涵（基底的任意性与唯一性）；向量共线、垂直的充要条件；余弦定理、正弦定理的向量推导与实际应用（解三角形）。 4. 数形结合的思维方法：掌握“几何图形→向量表示→代数运算→几何结论”的转化路径，能灵活运用向量工具解决几何问题。 难点 1. 抽象概念的精准理解：零向量的特殊性（方向任意、与任意向量共线）易被忽视；相等向量“与起点无关”的自由向量属性；向量不能比较大小的本质原因（方向无优劣之分）。 2. 运算意义的深层把握：向量减法“指向被减向量”的三角形法则；数量积运算中“a.b=0”与几何“垂直”的等价性；数乘运算中零向量的生成逻辑。 3. 易混淆概念的辨析：向量共线与直线平行的差异（向量共线允许起点不同、线段重合，直线平行不重合）；向量坐标与点坐标的区别（向量平移坐标不变，点平移坐标改变）；向量模的运算与实数绝对值的区别。 4. 实际问题的模型转化：难点在于将物理中的“力、速度”、几何中的“平行、垂直”等问题，抽象为向量语言，建立有效的向量模型并选择合适的运算求解。 知识点01 向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 【即学即练】 1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据向量的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】质量、密度、功是标量，不是向量； 速度、力、加速度、位移是向量； 所以向量共有个. 故选：A 2．定义：质点从位置A运动到位置B，位置的改变称为位移.位移只刻画起点A与终点B的位置的差别.如图，从A到B虽然有不同的路线，但只要是从A到B，其位移就都是相同的，都用带箭头的线段表示，其中箭头表示这条线段的方向是从A到B，与质点实际运动的路线无关.像这样具有方向的线段，称为 . 【答案】有向线段 知识点02 向量的线性运算和向量共线定理 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 【注意】 （1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． （2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． （3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件． （4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，． 【即学即练】 1．在中，，，，点在边上（不含端点），延长到，若．且，则线段的长度是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求出的值，分析可知为的中点，即可求出的长. 【详解】在中，，，，则， 因为， 则 ， 整理可得，解得或， 当时，则，此时点为的中点， 由题意可知点为线段与的交点，即点与点重合，不符合题意， 当时，，由题意可知，四边形为矩形， 因为为线段与的交点，则为的中点， 故， 故选：B. 2．化简： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】（1）； （2）. 故答案为：①；②. 知识点03 平面向量基本定理和性质 1．共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2．平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 推论1：若，则．推论2：若，则． 3.线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 4.三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得；存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得；存在，使得． 5.中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 【即学即练】 1．如图，在平行四边形ABCD中，，，设，．注：本小题几何方法求解不得分．    (1)用，表示，； (2)用平面向量证明：E，F，C三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）根据题意，求得，，得到，即可得证. 【详解】（1）由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以， （2）因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 2．在中，，，，D为BC中点，则 ． 【答案】 【分析】利用基底向量表示向量，然后由向量的数量积公式求得结果. 【详解】∵D为BC中点，∴， ∵，∴，即，∴， ∴. 故答案为：. 知识点04 平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． (2)．平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，．， （1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 即． （2），当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立． （3）特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立． （4）减法公式：，常用于向量式的化简． （5）、、三点共线，这是直线的向量式方程． 【即学即练】 1．已知向量，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标表示代入即可. 【详解】因为，，，所以， ，解得，所以. 故选：A 2．已知点，向量，，，则P点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出即可. 【详解】向量，，，可得：, 则, 因为点，则P点坐标为 故选：A 知识点05 平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积）， 记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0． 　　　　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． 【即学即练】 1．已知，，，则点的坐标为 【答案】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】设点， 则，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 故答案为：. 2．设向量绕点顺时针旋转得到向量，且，则向量（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，以所在直线为终边的一个角为，根据题意可得到的坐标，根据坐标运算列方程组可求出. 【详解】设，以所在直线为终边的一个角为， 则，且以所在直线为终边的一个角为， 的横坐标为，纵坐标为，即， ， 即，解得， . 故选：B. 知识点06 数量积的运算律及性质 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 【即学即练】 1．已知，向量，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】根据向量坐标运算法则求出，再结合倍角公式求解． 【详解】由题意知向量， 则， 故选：A. 2．已知向量，，若，则（   ） A． B．5 C． D．8 【答案】C 【分析】先根据向量垂直和向量数量积的坐标表示求出，进而根据向量的模的公式求出结果. 【详解】因为向量，，所以. 由于，所以， 所以，解得. 所以，所以. 故选：C. 知识点07 数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 (当且仅当时等号成立) 【即学即练】 1．向量，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，由可得，作出相应图象，结合图象利用二倍角公式计算即可求解. 【详解】设，则， 因为，所以， 即，即，所以． 如图，设，，，    则，， 因为是等腰直角三角形， 设边中点为，则， 所以边上的高，， 因为，所以三点共线， 所以， 则， 所以，， 所以． 故选：C． 2．平面向量满足，，则的值为 【答案】 【分析】根据平面向量的数量积与向量垂直的关系计算，再根据向量模长与数量积的关系求解的值即可. 【详解】由可得， 又，所以，所以， 所以． 故答案为：. 知识点08 向量中的易错点 （1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且. （2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有. 当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但. （3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项. （4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当且（或，且 方法技巧与总结 (1)在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0． (2)数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有． (3)根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题． (4)若、、是实数，则()；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量． (5)数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等． 【即学即练】 1．P是边长为2的正六边形ABCDEF的六条边上的一个动点，则的最大值是（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】利用数量积的几何意义，结合图形分析即可得解. 【详解】因为， 如图，过点作， 由图可知，当与点重合时，向量在上的投影取得最大值， 此时取得最大值，则， 因为，则，， 所以. 故选：C. 2．已知中，，，，则在方向上的投影为 ． 【答案】 【分析】借助向量投影定义与数量积公式计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 知识点09 基本定理公式 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； . 常见变形 (1)，，； (2)，，； ； ； . （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） 【即学即练】 1．记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用余弦定理得出，再应用面积公式计算求解. 【详解】由余弦定理得， 所以， 则的面积为. 故选：B. 2．在中，角所对的边分别为．已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】(1)利用正弦定理将已知条件转化为边的关系，再代入余弦定理，建立方程求解； (2)用正弦定理求解； (3)用三角函数的二倍角及和角公式求解. 【详解】（1）由正弦定理及， 得，得 由余弦定理，即， ，， . （2）由上一小问可知， 由正弦定理得， 从而. （3）因为，所以， ，， . 知识点10 解三角形相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，. ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列. 【即学即练】 1．在中，角的对边分别为，且，． (1)若，求的面积； (2)若，求a． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求得，进而得，最后由即可求解； （2）由得，进而得，即为直角三角形，利用勾股定理即可求解. 【详解】（1）由题意得：，所以， 由余弦定理得， 所以， 所以； （2）因为， 所以，所以，即， 所以为直角三角形， 所以，又， 所以，即，解得或， 所以. 2．已知中，内角、、所对的边分别为、、，且，． (1)求； (2)若内心为，求的周长范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式以及正弦定理化简得出，结合余弦定理可求出的值，再由角的取值范围可得出角的值； （2）解法一：求出，利用余弦定理结合基本不等式可求出的最大值，再利用三角形三边关系可得出的取值范围，即可得出周长的取值范围； 解法二：求出，设，求出的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，利用正弦函数的基本性质可求出的取值范围，进而可得出周长的取值范围. 【详解】（1）因为， 整理可得， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 因为，故. （2）方法一：因为的内心为，所以和分别平分和， 可得，则，    设，，在中，由余弦定理得， 即，即，整理得， 因为且，由基本不等式可得， 可得，即， 当且仅当时，即时等号成立， 又因为，所以，故， 综上所述，的周长的取值范围为； 方法二：因为的内心为，所以和分别平分和， 可得，则， 设，则有，则，， 由，可得， 在中，，由正弦定理得， 则，， 可得 ， 根据，，所以， 可得，所以， 所以的周长范围为． 知识点11 解三角形实际应用 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角． (1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)． (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)． (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比． 方法技巧与总结 1.方法技巧：解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2.在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到. 【即学即练】 1．如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯塔A在船的北偏东的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西的方向上，已知B，C相距6海里，．    (1)若，求的距离； (2)求面积的最小值． 【答案】(1)（海里） (2)（平方海里）． 【分析】（1）在和中反复使用正弦定理，用角度表示边长、、、，代入求值即可； （2）将面积表达式化简为关于的三角函数，利用和角公式、二倍角公式进行变形，通过三角函数的范围求解面积的最小值. 【详解】（1）因为，，所以， 又因为，所以，， 又，设， ∴，，． 在和中由正弦定理可得， ， 即，， ， ． 当时，则，， ∴，， ∴（海里）． （2） 令 ， ∴． 因为，∴，∴， 所以当时，（平方海里）． 2．如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上.    (1)求处与小岛之间的距离； (2)求两座小岛之间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中利用正弦定理计算可得； （2）在中利用余弦定理求出，再在中利用余弦定理求出； 【详解】（1）由题可知在中，，，所以， 由正弦定理可得：，及， 所以（海里）． （2）由题可知在中：，，所以． 所以（海里）， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）， 由题意可知，在中，， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）. 题型01 平面向量的基本概念 【典例1】下列说法不正确的有（    ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 【答案】AD 【分析】利用向量的平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量相关定义，逐项判断即可. 【详解】对于A：向量与平行，包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错误； 对于B：若两个向量长度相等，方向相同，则称两个向量为相等向量，故B正确； 对于C：零向量与任一向量平行，故C正确； 对于D：共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错误. 故选：AD. 【典例2】下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 【答案】D 【分析】根据相等向量的概念判断A；根据共线向量的定义判断B；由向量的性质判断C；根据空间向量模的定义判断D. 【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合， 若两个共线向量中含有零向量时，零向量所在直线不确定，故B错误； 对于C，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此C不正确； 对于D，向量的模指的是向量的长度，是一个非负实数，因此D正确. 故选：D. 准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键.共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量.共线向量或相等向量均与向量起点无关. 【变式1】若为任一非零向量，是模为1的向量，下列各式：①；②；③；④，其中正确的是（   ）. A．①④ B．③④ C．①②③ D．②③ 【答案】B 【分析】根据向量的定义依次判断即可. 【详解】在①中，的大小不能确定，故①错误， 在②中，两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向，故②错误， 在③中，为任一非零向量，则，故③正确， 在④中，由题意可知，故④正确. 故选：B. 【变式2】下列说法不正确的有（   ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等的非零向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 【答案】AD 【分析】利用向量的相关意义，逐项判断即可. 【详解】对于A：向量与平行，包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错误； 对于B：若两个向量长度相等，方向相同，则称两个向量为相等向量，故B正确； 对于C：零向量与任一向量平行，故C正确； 对于D：共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错误. 故选：AD. 【变式3】已知非零向量，则“与共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量共线的性质，运用特殊值法结合充分条件的判断规则分析充分性，结合余弦函数的性质结合必要条件的判断规则分析必要性． 【详解】已知非零向量， 若“与共线”： 当时，，则，故充分性不成立； 若： 则，即，化简得， ，，即， ，，即，与共线，必要性成立； 故“与共线”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 题型02 平面向量的线性表示 【典例1】在中，，在上，，，与的夹角为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】先利用与表示、 ，再将转化为与的计算，进而求解. 【详解】因为， 且， 则， 又因为，且与所成的夹角为， 则， 可得， 当且仅当时，的最大值为. 故答案为：. 【典例2】已知向量，满足，且，，则 ． 【答案】1 【分析】根据题意求模先平方再开方计算得到，再根据模长关系运算求解. 【详解】∵，∴， 又∵，，∴，∴， ∴． 故答案为：. （1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题． （2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解． （3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． 【变式1】已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件并结合模长求出，最后代入投影向量公式求解. 【详解】由，得，即， 将，代入上式可得：，即， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. 【变式2】已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积定义求解即得. 【详解】由是夹角为的两个单位向量，得， 由，得，即，所以. 故答案为：4 【变式3】已知向量，，，设向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的数量积求夹角的余弦值即可. 【详解】因为，即， 又，，向量与的夹角为， 所以，解得. 故选：D. 题型03 向量共线的运用 【典例1】设是非零向量，则是成立的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分、必要条件，以及向量共线等知识确定正确答案. 【详解】对于非零向量， 若，则同向，不一定有； 若，则同向，此时. 所以是成立的必要不充分条件. 故选：C 【典例2】(多选)关于非零向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】根据相等向量、向量的定义逐一判断即可. 【详解】A：两个非零向量相等除了它们的模相等之外还要方向相同，故本选项命题不正确； B：由，可以得到非零向量的方向相反，所以，因此本选项命题正确； C：两个向量不能比较大小，所以本选项命题不正确； D：由向量相等的定义可以判断本选项命题正确， 故选：BD 要证明A，B，C三点共线，只需证明与共线，即证=（）.若已知A，B，C三点共线，则必有与共线，从而存在实数，使得=. 【变式1】已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】根据方向相反的向量模长未必相等可知ABC错误；根据单位向量的方向与定义可知D正确. 【详解】对于A，方向相反，但模长未必相等，则未必成立，A错误； 对于B，方向相反，，但模长未必相等，B错误； 对于C，方向相反，但模长未必相等，则未必成立，C错误； 对于D，表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 方向相反，，则，D正确. 故选：D. 【变式2】下列说法正确的是（   ） A．若为单位向量，则 B．若为平行向量，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由向量相等的概念进行判断即可. 【详解】由向量相等的概念可知且方向相同. 对A：为单位向量可得，但方向未必相同，故未必成立，故A错误； 对B：为平行向量，不能说明，也不能说明方向相同，所以不能说明，故B错误； 对C：仅，不能说明，故C错误； 对D：若，则正确，故D正确. 故选：D 【变式3】在中，，若的面积为6，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由得，进而得，再由得，进而可得. 【详解】因为，所以，所以， 所以，又，所以， 所以，所以. 故选：B 题型04 平面向量的直角坐标运算 【典例1】已知向量，向量，则下列向量中与向量不垂直的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用平面向量的减法法则求出，再利用平面向量垂直的坐标表示逐个判断选项即可. 【详解】由平面向量的减法法则得， 对于A，由题意得， 则与不垂直，故A正确， 对于B，由题意得， 则与不垂直，故B正确， 对于C，由题意得， 则与不垂直，故C正确， 对于D，由题意得， 则与垂直，故D错误. 故选：ABC 【典例2】已知向量 ，，若 满足 且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，可求出，根据平行关系和垂直关系可建立方程组，即可解出. 【详解】设 ，， 由 ，可得， 由 得， 所以， 联立得 解方程组可得， 所以. 故选： （1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． （2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解． （3）两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若，，则的充要条件是；②若，则． （4）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解． 【变式1】已知平面向量，若，则 . 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算结合向量垂直可得，进而可得的坐标和模长. 【详解】因为向量，则， 若，则，解得， 则，所以. 故答案为：. 【变式2】已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】C 【分析】首先求出的坐标，依题意可得，根据向量数量积的坐标运算得到方程，解得即可； 【详解】因为，，，所以， 因为，所以，解得. 故选：C. 【变式3】向量，，，若，则k的值是（    ） A．4 B．－4 C．6 D．－6 【答案】D 【分析】运用向量的坐标运算公式和向量垂直的坐标表示，可直接求出的值. 【详解】向量，，则 因为， 所以， 故选：D 题型05 平面向量的数量积运算 【典例1】已知向量，，且，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】将垂直转化为数量积为零计算即可. 【详解】，， ， 故选：D 【典例2】起点重合，，则的取值范围为 【答案】 【分析】根据数量积公式，可得，根据求模公式，可得，根据题意，化简可得，根据，结合一元二次不等式的解法，即可得答案． 【详解】由题意， ，则， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 整理得且（恒成立）， 解得． 故答案为：． （1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路． （2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛． （3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量在向量方向上的投影为． （4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算） 同：；；公式都可通用 异：整式：，仅仅表示数；向量：（为与的夹角） ，使用范围广泛，通常是求模或者夹角． ，通常是求最值的时候用． 【变式1】已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的模长与数量积运算即可求解. 【详解】因为，所以， 展开得，又，所以. 因为，则，所以， 解得（负值舍去）. 故选： 【变式2】已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】C 【分析】根据向量数量积的定义求解即可 【详解】根据题意，. 故选：C 【变式3】设为单位向量，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量模的关系得，再计算即可. 【详解】因为为单位向量，所以， 因为，平方得，即， 所以，即. 故选：B． 题型06 平面向量的夹角 【典例1】在菱形中，，点满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据数量积的定义结合可判断A；由题意判断出的位置，利用反证的思想可判断B；根据向量线性运算可判断C；根据数量积的运算律可判断D. 【详解】对于A，在菱形中，由， 得，所以，故A正确； 对于B，由得是的中点，由，知是上靠近点的三等分点， 若，则F为的中点，与是的三等分点矛盾，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D， ,故D错误, 故选 ；AC 【典例2】已知平面向量，且. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中条件化简得到，结合先平方再开方计算向量的模； （2）先计算，，最后根据计算即可. 【详解】（1）由整理得，又， 代入得，解得， 则； （2）因为， 又， 所以. 求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角. 【变式1】已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据模的平方及数量积的运算求解夹角即可. 【详解】， , 又，， ，解得， 又，， 故选：C 【变式2】已知向量和为单位向量，且 ，则向量 和的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设单位向量与的夹角为，由，根据向量数量积的定义与计算公式，列出方程，即可求解. 【详解】设单位向量与的夹角为，可得 因为，可得， 解得，又因为，所以. 故选：B. 【变式3】已知平面向量，，，满足，，，则（   ） A． B．或 C．5 D．5或 【答案】B 【分析】先根据已知条件，得到与的关系，再利用向量夹角公式建立关于的方程，最后求解即可. 【详解】由可得，则， 因为，故有，即， 又因为，两边同时平方得， 将与代入上式， 得，整理得， 解得或， 故选：B. 题型07 平面向量的模长 【典例1】若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则（    ） A．1 B． C．2 D．2 【答案】C 【分析】由，得出数量积的关系，由投影向量得出夹角与模长关系，再求即可求出. 【详解】， ， ，即， 在上的投影向量为， ，即， 整理得：，化简得：， ， ， ， ， ， ， 令，则， 时，， ， 解得：. 故选：C 【典例2】已知向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】将的两边同时平方得，根据在上的投影向量为单位向量得到一个关于的方程，解方程即可. 【详解】将的两边同时平方得，展开得， 整理得， 由在上的投影向量为单位向量，可知其模长为1，即， 即，解得． 故选：A. 求模长，用平方，. 【变式1】已知都是单位向量，且，则下列结论正确的有（   ）. A． B． C．与的夹角为 D．存在，使得 【答案】ABD 【分析】根据向量的数量积，模长，求两向量的夹角公式计算即可. 【详解】对于，，故正确； 对于，，，所以，故正确； 对于，设与的夹角为，，则，所以，故错误； 对于，假设存在，使得，则，因为是单位向量，所以，所以假设成立，故正确. 故选：. 【变式2】已知与的夹角为，则的值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】运用向量模长的平方公式，然后代入计算. 【详解】由题意知，， 与的夹角为 ， 所以， ， ， 故选：A 【变式3】已知向量，，，其中，，，且，则（   ） A． B． C． D．与共线 【答案】ACD 【分析】根据已知及向量数量积的运算律得、、判断A、B，进而确定三个向量构成一个直角三角形，再应用向量加减的几何意义、数量积的运算律判断C、D. 【详解】由题设，A对， 由，，， 所以，则，B错， 由上知且，，，，如下图， 显然三个向量构成一个直角三角形，且 ， 所以，D对， 由， 所以，C对. 故选：ACD 题型08 平面向量的投影、投影向量 【典例1】已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用投影向量的意义计算即可求得的值. 【详解】， 由题意知，所以，所以，即=2， 解得. 故选：C. 【典例2】已知点，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求向量和， 然后根据投影向量公式计算. 【详解】已知点，，，则 ， ，投影向量为， ，， 所以. 故选：C 【变式1】设为单位向量.若向量满足：，向量与向量的夹角为，则在方向上的投影为 【答案】 【分析】由投影公式，代入已知条件即可求解. 【详解】向量在方向上的投影为：. 故答案为：. 【变式2】已知向量，，则（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 【答案】AC 【分析】对于ABC，根据平面向量的基本知识即可求解；对于D，求出在方向上的投影向量表达式，再根据表达式求解即可． 【详解】对于A，， ，故A正确； 对于B，， ， 因为， 所以与不平行，故B错误； 对于C，设向量与的夹角为， ， ， ， 又，所以，故C正确； 对于D，设和的夹角为， 则向量在方向上的投影向量为， ，， 则，故D错误． 故选：AC． 【变式3】已知向量，则下列结论错误的是（） A． B．向量在上的投影向量是 C． D．向量与的夹角为 【答案】C 【分析】由题知，，再根据向量坐标运算公式依次讨论各选项即可判断. 【详解】由，知， 对于A，，故，正确； 对于B，向量在上的投影向量，故正确 对于C，，显然不成立，故错误； 对于D，，故向量与的夹角为，正确. 故选：C 题型09 平面向量的垂直问题 【典例1】在中，，且满足，其中是外接圆的圆心，则 . 【答案】 【分析】设，由向量定义可知，在的角平分线上，结合条件可得是边长为2的等边三角形，再由向量数量积的定义计算即可． 【详解】设，则在的角平分线上， ， ，即， 又为角平分线，所以， ， 即是边长为2的等边三角形，设为中点， 是外接圆的圆心， 在的角平分线上，且， ，， ． 故答案为：． 【典例2】已知向量 满足： ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直的数量积表示求出，再由平面向量的夹角公式求解即可. 【详解】， 则， 即，解得， 所以， 又，所以. 故选：B 【变式1】已知向量满足，，，则 ． 【答案】 【分析】由平方及化简得，再由得出，联立解得即可. 【详解】因为，所以， 即， 又，所以，① 由， 所以，② 由①②得：， 故答案为：. 【变式2】已知非零向量满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过向量垂直的条件得出与的关系，再计算，最后开方得到的值. 【详解】已知，根据向量模长公式可得：， 因此， 因为，根据向量垂直的性质有：，即， 所以， 将和代入得：， 由，所以. 故选：A. 【变式3】若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【分析】通过向量模的平方与点积的关系求出，再依次验证向量夹角、向量垂直关系、向量差的模，确定正确选项. 【详解】对于A，由，代入，， ，，解得，故A正确. 对于B，设与的夹角为，由，得：， ，则，故B错误. 对于C，，故，故C正确. 对于D，由，得，故D正确. 故选：ACD 题型10 正余弦定理的应用 【典例1】在中，角所对的边分别为，已知，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据向量垂直得到，进而得到，结合的范围求解即可. （2）根据三角形面积公式求出，结合余弦定理求出，进而求出周长. 【详解】（1）因为，所以，则， 若，则，与矛盾，所以， 所以，又，所以. （2）由（1）知，. 由题意知，则， 由余弦定理， 则，即， 解得，则. 故的周长为6. 【典例2】在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B．20 C．16 D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理、余弦定理求解即可. 【详解】因为，，所以. 由正弦定理可知，，所以，， 又，所以，所以. 由余弦定理知，，所以，即. 又， 所以，所以. 故选：D. （1）已知两角及一边求解三角形； （2）已知两边一对角；. （3）两边一对角，求第三边. (1)已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边. (2)已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值， 若余弦值 【变式1】在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理可得出关于的方程，即可解得的长. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，整理得， 解得或（舍去），故. 故选：D. 【变式2】在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由大边对大角及余弦定理求最大内角. 【详解】因为三条边中最大，所以最大的内角为， 由余弦定理得， 由，所以. 故选：C 【变式3】在面积为的中，，则（    ） A． B． C． D．的外接圆半径为 【答案】AB 【分析】A利用正弦定理可得；B利用面积公式以及数量积的定义可求出；C由余弦定理以及正弦定理可得，结合取等条件可得；D根据C选项求出边长，再结合正弦定理即可. 【详解】对于A，由以及正弦定理得， 又，则，故A正确； 对于B，由得， 于是由面积得，得 于是，故B正确， 对于C，由余弦定理以及正弦定理得 ， 可知时取等，此时由得，即，故C错误； 对于D，由C可知，，则， 的外接圆半径，故D错误. 故选：AB 题型11 判断三角形的形状 【典例1】已知的内角，，满足，则下列说法错误的是（    ） A． B．是直角三角形 C． D．是钝角三角形 【答案】B 【分析】利用二倍角公式化简得，又由三角恒等变换得，即可判断A，进而得，结合即可判断BD， 再由余弦定理即可判断C. 【详解】由题意有：， 所以， 所以，即，故A正确； 由，所以或，而，即， 由，又， 又因为，所以，即，所以是钝角三角形，故D正确，B错误； 又，所以，故C正确； 故选：B. 【典例2】 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 特殊三角形的判定： （1）直角三角形 勾股定理：， 互余关系：，，； （2）等腰三角形 ，； 用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） （1）在中，； （2）在中，； （3）在中，； 【变式1】在中，内角所对的边分别为，则（   ） A．若，则 B．若为钝角，则 C．当时，若，且是钝角三角形，则 D．若，则满足条件的三角形有两个 【答案】ABD 【分析】对A：利用三角形内角性质结合余弦函数单调性计算即可得；对B：借助三角形内角性质与诱导公式计算即可得；对C：借助余弦定理的推论计算即可得；对D：借助余弦定理计算可得有两解，即可得解. 【详解】对A：由题意可得，又在上单调递减， 若，则，故A正确； 对B：若为钝角，则，故， 故，故B正确； 对C：由，则，故， 设，则，，， 故， 即，化简得， 则，又，有，则，故C错误； 对D：由余弦定理可得， 即，解得， 即有两解，故满足条件的三角形有两个，故D正确. 故选：ABD. 【变式2】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（   ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若为锐角三角形，且，则的最小值为8 【答案】BCD 【分析】A选项，C为锐角，但不确定A，B是否是锐角；B选项，由正弦定理和同角三角函数关系得到，所以，B正确；C选项，由正弦定理和大角对大边得到C正确；D选项，变形得到，令，得到，由基本不等式求出最小值. 【详解】A选项，，故C为锐角，但不确定A，B是否是锐角，A错误； B选项，，由正弦定理得， 因为，所以，故， 所以，B正确； C选项，，由大角对大边得，由正弦定理得， 故，C正确； D选项，， ， 故， 故， 为锐角三角形，故，所以， 令， 则， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：BCD 【变式3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．已知，则 B．若，，则的外接圆的面积为 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为等腰或直角三角形 【答案】ABC 【分析】对于A由余弦定理即可判断，对于B由正弦定理即可求的外接圆的半径即可判断，对于C利用正弦定理有，由余弦定理即可判断，对于D由正弦定理得即可判断. 【详解】对于A：由有， 由余弦定理得，又，所以，故A正确； 对于B：由正弦定理有，为的外接圆的半径，所以， 所以的外接圆的面积为，故B正确； 对于C：由正弦定理有，又由余弦定理有，即， 所以为钝角三角形，故C正确； 对于D：由正弦定理有， 所以或（舍去），所以，所以为等腰三角形，故D错误. 故选：ABC. 题型12 三角形解的个数 【典例1】在中，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理求出角的度数，再根据三角形内角和定理求出角的度数. 【详解】在中，根据正弦定理得，即， 所以，又，所以或， 当时， ，符合题意， 当时， ，符合题意； 所以的两个解均成立. 根据三角形内角和定理， 所以或. 故选：A 【典例2】在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】ABD 【分析】根据不同条件下三角形的解的个数分析判断即得. 【详解】在中，当已知边和锐角，判断三角形的个数时，若，有且只有一个解； 当时，有两个解；当时，有且只有一个解；当时，无解. 因为. 由，即，解得，故D正确； 由，可得，选项中，满足此条件，故A，B正确； 对于C，，此时三角形无解， 故C错误. 故选：ABD 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解一解 两解无解 ②若A为直角或钝角时： 【变式1】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为锐角三角形 C．在锐角三角形中，不等式恒成立 D．若，，且该三角形有两解，则b的范围是 【答案】ACD 【分析】对于A，根据正弦定理边化角即可判断；对于B，余弦定理可得，则角为锐角, 不能得到为锐角三角形；对于C，应用正弦单调性判断；对于D：由题意得到即可求解． 【详解】对于A，因为， 所以由正弦定理得， 又A，B 为的内角，，则，即，故A正确； 对于B，由余弦定理可得，则角为锐角，不能得到为锐角三角形，故B错误； 对于C，因为是锐角三角形，所以，所以， 又，所以， 又因为在单调递增，所以，C正确； 对于D，因为，，且该三角形有两解， 所以，即，故D正确． 故选：ACD 【变式2】已知中，，，若满足条件的有两个，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，由余弦定理结合已知条件代入计算，即可得到结果. 【详解】设的内角的对边分别为， 由余弦定理可得， 即， 因为满足条件的有两个， 则且两根之积大于零，即解得， 两根之积为，解得，且两根之和为恒成立， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 【变式3】在中，，，若角B有两个解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】法一：利用正弦定理得到，再根据有两个解，即可得到且，从而得到，即可求出的取值范围；法二：作出图形，结合图形可得出角有两个解时，满足的不等式，进而可求得的取值范围. 【详解】法一：由正弦定理，则，因为角有两个解，又，所以且，所以， 即，解得，即. 法二：在中，，，如下图所示：    若使得角有两个解，则，即. 故答案为：. 题型13 三角形中的面积与周长问题 【典例1】锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得，即可求解； （2）设外接圆的半径为，得到，得到，由为锐角三角形，求得，结合三角函数的性质，求得的范围，进而求得的周长的取值范围. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得. （2）解：设外接圆的半径为， 由（1）知，因为，可得， 所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 即，所以的周长， 所以的周长的取值范围为. 【典例2】已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)若的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2)2． 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，结合三角恒等变换求角； （2）利用三角形面积公式和余弦定理结合基本不等式求的最小值. 【详解】（1）由已知及正弦定理得， 由，得，得， 由，得，得，得， 得，得； （2）由，得， 由余弦定理得， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以，得．故的最小值为2． 【变式1】在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用辅助角法求解； （2）由，结合余弦定理得到，再利用基本不等式得到求解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以， 即，即， 所以， 因为，所以，； （2）由余弦定理及， 得，即， 即，又，即， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以周长， 所以周长最大值为． 【变式2】在中，为AC边上的动点，若AC边足够长，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题设结合余弦定理求出，接着将所求进行转化得到，再构造，过作，垂足为，过作，垂足为，数形结合即可分析求解. 【详解】因为，所以， 则， 由余弦定理，， 又，所以， 则. 如图，设，过作，垂足为，则， 过作，垂足为， 则. 故选：C 【变式3】记的内角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题可先根据向量数量积的定义将展开，再结合正弦定理进行化简，进而求出. （2）本题可根据正弦定理将用角表示，再结合三角形内角和为以及锐角三角形的条件，求出周长的范围即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，由正弦定理得：， 所以，又因为，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，所以，即. （2）由正弦定理得，所以， 所以， 又， 得， 因为为锐角三角形，即， 所以，， 即，， 则，所以的周长的取值范围为. 题型14 解三角形的实际应用 【典例1】如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，求出，，即可求出，再由余弦定理计算可得. 【详解】连接，因为，，所以为等腰直角三角形， 所以，， 又，所以， 又，在中由余弦定理， 即. 故选：C 【典例2】某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧两地相距50米，河对岸有两地，测得米，. (1)求的值； (2)若测量后发现，求两地的距离. 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）先利用三角函数的二倍角公式求出，然后求出，进而根据正弦定理求出结果即可. （2）先根据余弦定理求出，然后根据余弦定理求出，最后根据余弦定理求出结果. 【详解】（1）因为，所以. 所以，所以. 在中，根据正弦定理，，即， 解得. （2）在中，根据余弦定理，， 化简得，由于，所以解得米. 因为，在中，根据余弦定理， 化简得，解得米. 在中，根据余弦定理， 化简得，解得米. 解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是： （1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题． 【变式1】如图，施工队计划在一座大山中挖通一条隧道，需要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的A,B两点到C点的距离分别为，，且，则隧道的长度为（   ） A．km B．km C．km D．km 【答案】D 【分析】由余弦定理计算可得结果. 【详解】由余弦定理可知，，则隧道的长度为km. 故选：D. 【变式2】猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件先求出中的两边，再利用余弦定理求即可. 【详解】由题意，可得， 且，在中，可得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得： 所以． 故选：D． 【变式3】某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中，均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离，，且，用测角仪测得，的情况下，四名同学用测角仪各自测得下面一个角：①；②；③；④，其中一定能唯一确定之间的距离有 .（写出所有正确的序号） 【答案】②③④ 【分析】结合题目给出条件以及直角三角形的边角关系，可知均已确定，对于①②③，可先根据余弦定理判断是否确定，再根据勾股定理判断是否确定；对于④，可直接根据余弦定理进行判断. 【详解】设， 在中，， 同理可得， 由于均为已知量，故均为定值. 对于①：在中，由余弦定理可得，且均为定值，故该方程为关于的一元二次方程，可能有两解. 例如，若， 则可得，即，解得或， 由勾股定理可得，由于为定值，而有两解，故也有两解，故①错误； 对于②：在中，由余弦定理可得，且均为定值，故也为定值， 又因为，其中均为定值，故为定值，故②正确； 对于③：在中，由余弦定理可得，整理得且均为定值， 故该方程为关于的一元二次方程.又， 故，即有两解，设两解分别为， 由韦达定理可知，，即异号，因此该方程仅有1个正数解，即有唯一确定解， 又因为，其中均为定值，故为定值，故③正确； 对于④：在中，由余弦定理可知，，因为均为定值，故也为定值，故④正确， 故答案为：②③④. 1．记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． 【答案】(1)或． (2) 【分析】（1）先利用三角恒等变换的有关公式结合三角形内角和定理，得到，再根据求角. （2）确定角的值，根据正弦定理表示出边，利用三角形的面积公式，结合三角函数的性质，求的面积的取值范围． 【详解】（1）由， 得， 即，又， 所以，又，所以或． （2）因为为锐角三角形，所以，由正弦定理得，， 即， 则 ， 又，解得， 则，， 所以． 2．已知正方形ABCD的边长为2，点M，N分别为边AB，DA上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点，建立平面直角坐标系，设和，利用向量的数量积的坐标运算公式，得到，即可求解. 【详解】以点为原点，以和所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，设，， 可得，则． 故选C． 3．已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据平面向量的坐标运算可判断A，根据两向量垂直的坐标表示可判断B，根据模长的坐标表示可判断C，根据两向量共线的坐标表示可判断D. 【详解】对于A，，所以，解得，故A正确； 对于B，因为，所以，解得，故B错误； 对于C，，解得，故C正确； 对于D，因为，所以，解得，故D错误； 故选：AC. 4．已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量垂直求出m，再根据向量数量积公式求出两向量夹角的余弦，从而确定夹角的大小． 【详解】已知，则， ∵，∴，解得， ∴． ∴，， ∴， ∵，∴． 故选：C． 5．如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为 最大值为 ．    【答案】 1 【分析】设，由得到，再令，代入上式，结合判别式即可求解. 【详解】解：假设， 由已知可得， ， ，即， 令， 则，代入可得， 有，解得， ， 的最小值为1，最大值为， 故答案为：1； 6．如图，在中，已知，，且，若线段的中点分别为，则的最小值为 【答案】/ 【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得，，再根据并结合，可得关于的函数式，由二次函数的性质即可求最小值. 【详解】在中，，则， 线段的中点分别为， ∴，， ∴， ∴两边平方得： ， ∵，，， ∴， 因为对称轴为，所以当时取得最小值， 最小值为，所以的最小值为. 故答案为：. 7．在中，为的中点，，过点任作一条直线，分别交线段、于、两点，设，，若用、表示，则 ；若，，则的最小值是 . 【答案】 ； . 【分析】根据向量的线性运算法则，即可求得答案；根据线性运算法则，结合三点共线的性质，可得，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】因为为的中点，所以， 因为，所以； 因为，， 所以，所以， 因为F、E、G三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为.    故答案为：； 8．已知平行四边形，，点满足，记．用表示 ；若，则 ． 【答案】 ； 【分析】根据平面向量基本定理以及定比分点，结合向量运算法则可得，用表示出，再由平面向量数量积运算律计算可得结果. 【详解】如下图所示：    根据题意可知 ； 易知 ； 又； 因为可知； 所以 ； 故答案为：；； 9．正方形的边长为2，为的中点，为的中点，则 ． 【答案】0 【分析】用表示，再根据向量数量积运算求解. 【详解】在正方形中，，且， ，， . 故答案为：0. 10．在中，是线段的中点，点E满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据是线段的中点，得到，再根据，利用求解. 【详解】因为是线段的中点， 所以. 因为，所以， 则. 故选：A 11．在中，角的对边分别是，且. (1)求角B的大小； (2)若且的面积为为边上的中点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数恒等变换得到，从而求出； （2）由余弦定理得，再根据的面积得，进而有，由中线向量形式得，利用数量积的运算律即可求解. 【详解】（1）因为，可得， 故，故，可得， 因为，所以，所以，则. （2）在中，由余弦定理得， 又，所以， 又的面积为，所以， 所以，所以， 因为为线段的中点，所以， 所以， 则， 所以. 12．在中，，． (1)求A； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求BC边上的高h． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由正弦定理和三角形的内角和定理，求得，进而求得的大小； 又因为，所以，可得. （2）分别选择条件①②③，结合题意，利用正弦定理、余弦定理和面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 因为，且， 所以，得， 因为，即， 则，又因为，可得， 所以，可得，可得. （2）解：选择条件①：，因为且， 由余弦定理得， 即，解得， 所以为方程的根，解得或， 即或，所以三角形的元素不唯一，不符合题意. 选择条件②：，因为，可得, 由正弦定理，可得， 因为且，所以为锐角且唯一，所以存在且唯一， 又由， 由正弦定理可得，所以， 可得，即，解得，即边上的高为. 条件③：，由正弦定理，可得， 因为，所以， 又因为，所以为锐角，且唯一确定，所以存在且唯一， 又由， 因为， 所以， 又由正弦定理得，所以， 可得，即，解得，即边上的高为. 13．在中，角，，的对边分别为，，，若，且的面积为. (1)求的值； (2)若，求边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平方关系求得，结合三角形面积公式求解； （2）由已知条件结合正弦定理求得，再根据余弦定理求得，利用三角形面积公式求得答案. 【详解】（1）因为，，所以， 又的面积，所以， 所以. （2）由正弦定理得，则，所以， 由余弦定理，，解得， 即，又的面积， 解得，即边上的高为. 14．在中，内角的对边分别为，已知． (1)若，求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理列式计算即可； （2）由余弦定理可得，根据三角形面积公式计算即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得， 所以； （2）由余弦定理得，， 因为， 所以，所以． 所以的面积为． 15．如图，在中，，，点在上，， . (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角和差余弦公式可求得，根据余弦定理可求得结果； （2）利用两角和差正弦公式可求得，采用面积桥，结合三角形面积公式可构造方程求得结果. 【详解】（1），，， ， . （2）由（1）得：； ，， 即，解得：. 76 / 76 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量及其应用 教学目标 1. 理解平面向量的核心概念：明确向量是“既有大小又有方向”的量，能区分向量与数量（如温度、长度等仅含大小的量）；熟练掌握向量的几何表示（有向线段）、字母表示及相关概念（模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量），明确零向量“模为0、方向任意”的特殊性与单位向量“模为1”的标准化特征。 2. 掌握向量的运算体系：熟练运用三角形法则（首尾相接）、平行四边形法则（共起点）进行向量加减运算，理解其几何意义；掌握向量数乘运算的规则，方向由符号决定：理解向量数量积的概念、几何意义（投影乘积），能进行数量积的代数运算与坐标运算。 3. 把握核心定理与坐标体系：理解平面向量基本定理（不共线向量可作为基底表示任意向量），掌握向量的正交分解与坐标表示；熟练运用向量共线）、垂直的充要条件，能通过坐标判断向量关系；掌握余弦定理、正弦定理的向量推导过程及应用场景。 4. 具备实际应用能力：能将几何问题（平行、垂直、长度、角度计算）、物理问题（力的合成与分解、位移与速度合成）转化为向量问题，运用向量工具求解；能结合生活实例（如无人机飞行、帆船航行）解释向量的应用价值。 教学重难点 重点 1. 向量的核心概念与表示方法：重点掌握向量“大小与方向”的双重本质，明确相等向量、共线向量的定义，熟练运用有向线段与坐标表示向量。 2. 向量的运算规则与几何意义：重中之重是向量加法的三角形法则、平行四边形法则的适用条件与直观表征；向量数乘的伸缩与方向规律；数量积的几何意义（投影）与运算性质。 3. 核心定理与应用工具：平面向量基本定理的内涵（基底的任意性与唯一性）；向量共线、垂直的充要条件；余弦定理、正弦定理的向量推导与实际应用（解三角形）。 4. 数形结合的思维方法：掌握“几何图形→向量表示→代数运算→几何结论”的转化路径，能灵活运用向量工具解决几何问题。 难点 1. 抽象概念的精准理解：零向量的特殊性（方向任意、与任意向量共线）易被忽视；相等向量“与起点无关”的自由向量属性；向量不能比较大小的本质原因（方向无优劣之分）。 2. 运算意义的深层把握：向量减法“指向被减向量”的三角形法则；数量积运算中“a.b=0”与几何“垂直”的等价性；数乘运算中零向量的生成逻辑。 3. 易混淆概念的辨析：向量共线与直线平行的差异（向量共线允许起点不同、线段重合，直线平行不重合）；向量坐标与点坐标的区别（向量平移坐标不变，点平移坐标改变）；向量模的运算与实数绝对值的区别。 4. 实际问题的模型转化：难点在于将物理中的“力、速度”、几何中的“平行、垂直”等问题，抽象为向量语言，建立有效的向量模型并选择合适的运算求解。 知识点01 向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：_______________________． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 【即学即练】 1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．定义：质点从位置A运动到位置B，位置的改变称为位移.位移只刻画起点A与终点B的位置的差别.如图，从A到B虽然有不同的路线，但只要是从A到B，其位移就都是相同的，都用带箭头的线段表示，其中箭头表示这条线段的方向是从A到B，与质点实际运动的路线无关.像这样具有方向的线段，称为 . 知识点02 向量的线性运算和向量共线定理 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 【注意】 （1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． （2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． （3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件． （4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，． 【即学即练】 1．在中，，，，点在边上（不含端点），延长到，若．且，则线段的长度是（ ） A． B． C． D． 2．化简： （1） ； （2） ． 知识点03 平面向量基本定理和性质 1．共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有________）． 2．平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的________． 注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础． 推论1：若，则．推论2：若，则． 3.线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 4.三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中________，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得；存在唯一的实数，使得________________； 存在唯一的实数，使得；存在，使得． 5.中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 【即学即练】 1．如图，在平行四边形ABCD中，，，设，．注：本小题几何方法求解不得分．    (1)用，表示，； (2)用平面向量证明：E，F，C三点共线． 2．在中，，，，D为BC中点，则 ． 知识点04 平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标________始点坐标． (2)．平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， ，．， （1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 即． （2），当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立． （3）特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立． （4）减法公式：，常用于向量式的化简． （5）、、三点共线，这是直线的向量式方程． 【即学即练】 1．已知向量，，，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知点，向量，，，则P点坐标为（   ） A． B． C． D． 知识点05 平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的________（或内积）， 记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0． 　　　　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是________；当为钝角时，它是________；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的________． 【即学即练】 1．已知，，，则点的坐标为 2．设向量绕点顺时针旋转得到向量，且，则向量（   ） A． B． C． D． 知识点06 数量积的运算律及性质 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，________________． 特别地，或． ④．⑤． 【即学即练】 1．已知，向量，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．已知向量，，若，则（   ） A． B．5 C． D．8 知识点07 数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 (当且仅当时等号成立) 【即学即练】 1．向量，且，则（     ） A． B． C． D． 2．平面向量满足，，则的值为 知识点08 向量中的易错点 （1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且. （2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有. 当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但. （3）数量积不满足________，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项. （4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当且（或，且 方法技巧与总结 (1)在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0． (2)数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有． (3)根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、________的问题． (4)若、、是实数，则()；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量． (5)数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等． 【即学即练】 1．P是边长为2的正六边形ABCDEF的六条边上的一个动点，则的最大值是（   ） A．4 B． C．6 D． 2．已知中，，，，则在方向上的投影为 ． 知识点09 基本定理公式 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； . 常见变形 (1)，，； (2)，，； ； ； . （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） 【即学即练】 1．记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．在中，角所对的边分别为．已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 知识点10 解三角形相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理：________________ ① 同理有：，. ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列________________. 【即学即练】 1．在中，角的对边分别为，且，． (1)若，求的面积； (2)若，求a． 2．已知中，内角、、所对的边分别为、、，且，． (1)求； (2)若内心为，求的周长范围． 知识点11 解三角形实际应用 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角． (1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)． (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的________(如图④，角θ为坡角)． (2)坡度：坡面的________高度与________长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比． 方法技巧与总结 1.方法技巧：解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2.在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑________________； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到. 【即学即练】 1．如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯塔A在船的北偏东的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西的方向上，已知B，C相距6海里，．    (1)若，求的距离； (2)求面积的最小值． 2．如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上.    (1)求处与小岛之间的距离； (2)求两座小岛之间的距离. 题型01 平面向量的基本概念 【典例1】下列说法不正确的有（    ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 【典例2】下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键.共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量.共线向量或相等向量均与向量起点无关. 【变式1】若为任一非零向量，是模为1的向量，下列各式：①；②；③；④，其中正确的是（   ）. A．①④ B．③④ C．①②③ D．②③ 【变式2】下列说法不正确的有（   ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等的非零向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 【变式3】已知非零向量，则“与共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型02 平面向量的线性表示 【典例1】在中，，在上，，，与的夹角为，则的最大值为 ． 【典例2】已知向量，满足，且，，则 ． （1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题． （2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解． （3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． 【变式1】已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 【变式3】已知向量，，，设向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 题型03 向量共线的运用 【典例1】设是非零向量，则是成立的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】(多选)关于非零向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 要证明A，B，C三点共线，只需证明与共线，即证=（）.若已知A，B，C三点共线，则必有与共线，从而存在实数，使得=. 【变式1】已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是（   ） A． B．且 C． D． 【变式2】下列说法正确的是（   ） A．若为单位向量，则 B．若为平行向量，则 C．若，则 D．若，则 【变式3】在中，，若的面积为6，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 题型04 平面向量的直角坐标运算 【典例1】已知向量，向量，则下列向量中与向量不垂直的有（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知向量 ，，若 满足 且 ，则 （    ） A． B． C． D． （1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． （2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解． （3）两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若，，则的充要条件是；②若，则． （4）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解． 【变式1】已知平面向量，若，则 . 【变式2】已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．1 D．5 【变式3】向量，，，若，则k的值是（    ） A．4 B．－4 C．6 D．－6 题型05 平面向量的数量积运算 【典例1】已知向量，，且，则（   ） A． B．3 C． D． 【典例2】起点重合，，则的取值范围为 （1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路． （2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛． （3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量在向量方向上的投影为． （4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算） 同：；；公式都可通用 异：整式：，仅仅表示数；向量：（为与的夹角） ，使用范围广泛，通常是求模或者夹角． ，通常是求最值的时候用． 【变式1】已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B． C． D．12 【变式3】设为单位向量，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 题型06 平面向量的夹角 【典例1】在菱形中，，点满足，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知平面向量，且. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角. 【变式1】已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知向量和为单位向量，且 ，则向量 和的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知平面向量，，，满足，，，则（   ） A． B．或 C．5 D．5或 题型07 平面向量的模长 【典例1】若与是平面内的两个非零向量，，在上的投影向量为，且当时，， 则（    ） A．1 B． C．2 D．2 【典例2】已知向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（   ） A． B． C．3 D．2 求模长，用平方，. 【变式1】已知都是单位向量，且，则下列结论正确的有（   ）. A． B． C．与的夹角为 D．存在，使得 【变式2】已知与的夹角为，则的值为（ ） A．2 B． C． D． 【变式3】已知向量，，，其中，，，且，则（   ） A． B． C． D．与共线 题型08 平面向量的投影、投影向量 【典例1】已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知点，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式1】设为单位向量.若向量满足：，向量与向量的夹角为，则在方向上的投影为 【变式2】已知向量，，则（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 【变式3】已知向量，则下列结论错误的是（） A． B．向量在上的投影向量是 C． D．向量与的夹角为 题型09 平面向量的垂直问题 【典例1】在中，，且满足，其中是外接圆的圆心，则 . 【典例2】已知向量 满足： ，则 （    ） A． B． C． D． 【变式1】已知向量满足，，，则 ． 【变式2】已知非零向量满足，，则（ ） A． B． C． D． 【变式3】若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D． 题型10 正余弦定理的应用 【典例1】在中，角所对的边分别为，已知，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 【典例2】在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B．20 C．16 D． （1）已知两角及一边求解三角形； （2）已知两边一对角；. （3）两边一对角，求第三边. (1)已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边. (2)已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值， 若余弦值 【变式1】在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 【变式3】在面积为的中，，则（    ） A． B． C． D．的外接圆半径为 题型11 判断三角形的形状 【典例1】已知的内角，，满足，则下列说法错误的是（    ） A． B．是直角三角形 C． D．是钝角三角形 【典例2】 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 特殊三角形的判定： （1）直角三角形 勾股定理：， 互余关系：，，； （2）等腰三角形 ，； 用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） （1）在中，； （2）在中，； （3）在中，； 【变式1】在中，内角所对的边分别为，则（   ） A．若，则 B．若为钝角，则 C．当时，若，且是钝角三角形，则 D．若，则满足条件的三角形有两个 【变式2】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（   ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若为锐角三角形，且，则的最小值为8 【变式3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．已知，则 B．若，，则的外接圆的面积为 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为等腰或直角三角形 题型12 三角形解的个数 【典例1】在中，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【典例2】在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（   ） A．1 B． C． D．4 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论． 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： 一解一解 两解无解 ②若A为直角或钝角时： 【变式1】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为锐角三角形 C．在锐角三角形中，不等式恒成立 D．若，，且该三角形有两解，则b的范围是 【变式2】已知中，，，若满足条件的有两个，则的取值范围为 . 【变式3】在中，，，若角B有两个解，则的取值范围是 . 题型13 三角形中的面积与周长问题 【典例1】锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【典例2】已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)若的面积为，求的最小值． 【变式1】在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 【变式2】在中，为AC边上的动点，若AC边足够长，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】记的内角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 题型14 解三角形的实际应用 【典例1】如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（   ） A．3 B． C． D． 【典例2】某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧两地相距50米，河对岸有两地，测得米，. (1)求的值； (2)若测量后发现，求两地的距离. 解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是： （1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题． 【变式1】如图，施工队计划在一座大山中挖通一条隧道，需要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的A,B两点到C点的距离分别为，，且，则隧道的长度为（   ） A．km B．km C．km D．km 【变式2】猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式3】某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中，均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离，，且，用测角仪测得，的情况下，四名同学用测角仪各自测得下面一个角：①；②；③；④，其中一定能唯一确定之间的距离有 .（写出所有正确的序号） 1．记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． 2．已知正方形ABCD的边长为2，点M，N分别为边AB，DA上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为 最大值为 ．    6．如图，在中，已知，，且，若线段的中点分别为，则的最小值为 7．在中，为的中点，，过点任作一条直线，分别交线段、于、两点，设，，若用、表示，则 ；若，，则的最小值是 . 8．已知平行四边形，，点满足，记．用表示 ；若，则 ． 9．正方形的边长为2，为的中点，为的中点，则 ． 10．在中，是线段的中点，点E满足，则（   ） A． B． C． D． 11．在中，角的对边分别是，且. (1)求角B的大小； (2)若且的面积为为边上的中点，求. 12．在中，，． (1)求A； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求BC边上的高h． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 13．在中，角，，的对边分别为，，，若，且的面积为. (1)求的值； (2)若，求边上的高. 14．在中，内角的对边分别为，已知． (1)若，求； (2)若，求的面积． 15．如图，在中，，，点在上，， . (1)求； (2)求. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $