专题8.2 立体图形的直观图（高效培优讲义）数学人教A版高一必修第二册

本讲义聚焦立体图形直观图的斜二测画法，先系统梳理平面图形（如正三角形、矩形）直观图绘制步骤，再延伸至空间几何体（棱柱、棱锥等）画法，最后衔接直观图还原与度量计算，构建从平面到空间、从画法到应用的学习支架。 该资料通过“即学即练”（如等腰梯形、正四棱台直观图绘制）培养空间观念（数学眼光），结合还原计算题型（如面积转换）发展推理能力（数学思维），规范作图步骤强化数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后练习题助力学生巩固斜二测规则，弥补作图与还原薄弱点。

专题8.2 立体图形的直观图 教学目标 1.理解直观图的含义与绘制意义，掌握斜二测画法的核心规则，知晓平面图形与空间几何体直观图的绘制关联。 2.能熟练用斜二测画法绘制简单平面图形（正三角形、矩形、梯形等）和简单空间几何体（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等）的直观图，能根据直观图还原简单平面图形的实际形状。 3.体会“数形结合”“转化与化归”思想（将空间几何体转化为平面图形绘制），感悟“直观感知与规范作图”结合的几何研究方法。 教学重难点 1.重点 用斜二测画法绘制常见简单空间几何体（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥）的直观图。 2.难点 能根据直观图，结合斜二测画法规则还原原图的形状与度量，建立直观图与原图的度量关联。 知识点01 用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤 1、在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面． 2、已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． 3、已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段，长度变为原来地 ． 知识点诠释：用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段． 【即学即练】 1．画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 2．用斜二测画法画出下列图形的直观图（不写画法）. (1)正方形                    (2)直角梯形 (3)正 (4)平行四边形 知识点02 用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 1、画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可． 2、画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线（与原图高线 ，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图． 3、擦去辅助线，被遮线用虚线表示． 【即学即练】 1．画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图. 2．在初中，我们已经学习了一些空间几何体的三视图（正视图、侧视图、俯视图）．如图是某几何体的三视图（尺寸单位：cm），试画出它的直观图．    题型01 水平放置的平面图形直观图的画法 【典例1】用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，下列说法一定正确的是（   ） A．菱形的直观图还是菱形 B．矩形的直观图是平行四边形 C．平行四边形的直观图可能是梯形 D．正三角形的直观图是等腰三角形 画水平放置的平面图形的直观图的注意事项：在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段． 【变式1】利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2】如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 【变式3】如图，已知等腰三角形，则如图所示①②③④的四个图中，可能是的直观图的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 几何体的直观图画法 【典例1】水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（    ） A．2 B．6 C．快 D．乐 画空间几何体的直观图的注意事项 （1）首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直． （2）作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变． （3）平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半． （4）平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变． 【变式1】若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（    ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 【变式2】一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（　　） A．4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0.8 cm C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1.6 cm D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0.8 cm 【变式3】已知直三棱柱，的底面是等腰直角三角形，且，侧棱．在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图．（不要求写出画法，但要标上字母，并保留作图痕迹）    题型03 与直观图还原有关的计算问题 【典例1】如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，那么的面积为 ． 直观图还原注意事项 由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点． （1）直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的sin45°＝倍． （2）S直观图＝S原图． 由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换． 【变式1】如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（   ）    A．2 B．4 C． D．8 【变式2】如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【变式3】如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图是，若的中点在轴上，且，则（   ） A． B．4 C． D．2 1．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 2．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么的面积为（    ） A．3 B． C．6 D． 3．如图所示，水平放置的三角形的直观图是一个边长为的等边三角形，则原图形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积为 ． 5．如图所示，为的直观图，且的面积为，则中最长的边长为（    ） A． B． C． D． 6．如下图所示,梯形是水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法),若,,,,则四边形的面积是 . 7．如图，是由斜二测画法得到的水平放置的的直观图，其中，那么原平面图形中，OA边上的高为（   ） A． B． C． D． 8．已知是等腰直角三角形，且，用斜二测画法画出它的直观图，则的长可能是（　　） A． B． C． D． 9．由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是（   ）    A． B．2 C． D． 10．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为 .    11．用斜二测画法画出的直观图如图所示，在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且，则中AB边上的高为（   ） A． B． C． D． 12．已知在“斜二测”画法下，的直观图是一个边长为4的正三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.2 立体图形的直观图 教学目标 1.理解直观图的含义与绘制意义，掌握斜二测画法的核心规则，知晓平面图形与空间几何体直观图的绘制关联。 2.能熟练用斜二测画法绘制简单平面图形（正三角形、矩形、梯形等）和简单空间几何体（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等）的直观图，能根据直观图还原简单平面图形的实际形状。 3.体会“数形结合”“转化与化归”思想（将空间几何体转化为平面图形绘制），感悟“直观感知与规范作图”结合的几何研究方法。 教学重难点 1.重点 用斜二测画法绘制常见简单空间几何体（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥）的直观图。 2.难点 能根据直观图，结合斜二测画法规则还原原图的形状与度量，建立直观图与原图的度量关联。 知识点01 用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤 1、在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面． 2、已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． 3、已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来地一半． 知识点诠释：用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段． 【即学即练】 1．画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 【答案】答案见解析 【详解】画法：（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系，使． （2）以为中点在轴上取，在轴上取，以为中点画轴，并使． （3）连接，，所得的四边形就是水平放置的等腰梯形的直观图． 2．用斜二测画法画出下列图形的直观图（不写画法）. (1)正方形                    (2)直角梯形 (3)正 (4)平行四边形 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3)图象见解析 (4)图象见解析 【详解】（1）①作坐标系，如图， ②在轴上取，使得，在轴上取，使得， ③作轴且，连接， ④去掉轴，轴，得四边形，下右图，为正方形的直观图． （2）①作坐标系，如图， ②在轴上取，使得，在轴上取，使得， ③作轴且，连接， ④去掉轴，轴，得四边形，下右图，为梯形的直观图． （3）①作坐标系，如图， ②在轴上取，使得，设中点为，连接， 取中点，作轴，使得， ③连接，， ④去掉轴，轴，得三角形，下右图，为三角形的直观图． （4）①作坐标系，如图， ②在轴上取，使得，设轴，为垂足，在上取，使得，作轴，使得， ③作轴且，连接， ④去掉轴，轴，得四边形，下右图，为正方形的直观图． 知识点02 用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 1、画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可． 2、画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线（与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图． 3、擦去辅助线，被遮线用虚线表示． 【即学即练】 1．画出上、下底面边长分别为2cm和4cm.高为2cm的正四棱台的直观图. 【答案】直观图见解析 【分析】根据斜二测画法，画出水平放置的边长为4cm的正方形，再画出高和上底面，即可求解. 【详解】第一步，用斜二测画法，画出水平放置的边长为4cm的正方形； 第二步，取四边形对角线中点O，建立坐标系，作平面，且2cm； 第三步，建立平面坐标系，用斜二测画法画出水平放置的边长为2cm的正方形； 第四步，连接，得四棱台即为所求，如图：      2．在初中，我们已经学习了一些空间几何体的三视图（正视图、侧视图、俯视图）．如图是某几何体的三视图（尺寸单位：cm），试画出它的直观图．    【答案】作图见解析 【分析】由几何体的三视图可知，这个几何体是一个简单组合体．它的下部是一个圆柱，上部是一个球，且圆柱横截面的直径与球的直径相同．我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的球． 【详解】画法  （1）画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，使，． （2）画圆柱的直观图．如图（1），以点O为中点，在x轴上截取，借助椭圆模板画出下底面的直观图，在z轴上截取，过点分别作，．以点为中点，在轴上截取，借助椭圆模板画出上底面的直观图．连接与． （3）画球的直观图．如图（2），在轴上截取，以点为中心，分别沿三个方向（两两之间的夹角为120°）画半径为3cm的圆的直观图（三个椭圆）．以点为圆心画一个半径为3cm的圆． （4）成图．经过整理，就得到了所求几何体的直观图，如图（3）．    题型01 水平放置的平面图形直观图的画法 【典例1】用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，下列说法一定正确的是（   ） A．菱形的直观图还是菱形 B．矩形的直观图是平行四边形 C．平行四边形的直观图可能是梯形 D．正三角形的直观图是等腰三角形 【答案】B 【分析】根据斜二测法的原则，结合各选项中图形的性质，即可判断正误. 【详解】由斜二测法画图原则：平行改斜，垂直不变，横等纵半竖不变，可见为实，遮为虚， 对于选项A，菱形的直观图是平行四边形，所以A错误， 对于选项B，矩形的直观图为平行四边形，所以B正确， 对于选项C，平行四边形的直观图是平行四边形，所以C错误， 对于选项D，正三角形的直观图中高为原来的一半且与底边成，其不为等腰三角形，所以D错误， 故选：B. 画水平放置的平面图形的直观图的注意事项：在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段． 【变式1】利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用斜二测画法作出直观图，可得结果. 【详解】作出正方形的斜二测直观图如下图所示（单位：）：    故选：C. 【变式2】如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）利用斜二测画法画出直观图即可； （2）作，为垂足，求出即可求解． 【详解】（1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图①， ②画出对应的，轴，使， 在轴上取点，，使，， 在轴上取点，使， 连接，，则即为的直观图，如图②． （2）在图②中，作，为垂足， ，，， ． 【变式3】如图，已知等腰三角形，则如图所示①②③④的四个图中，可能是的直观图的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】按照直观图的概念依次判断即可. 【详解】等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，①②不正确， ③为的直观图，④为的直观图.    故可能是的直观图的有：③④.故选：B. 题型02 几何体的直观图画法 【典例1】水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是（    ） A．2 B．6 C．快 D．乐 【答案】B 【分析】将正方体平面展开图还原为正方体，根据已知条件“图中‘0’上方的‘2’在正方体的上面”，来确定正方体的下面对应的面. 【详解】在正方体的平面展开图中，相对的面在展开图中是间隔出现的， 观察此展开图可知，“2”与“6”是相对的面，“0”与“快”是相对的面，“1”与“乐”是相对的面； 已知图中“0”上方的“2”在正方体的上面，因为正方体中相对的面一个在上面时， 另一个就在下面，而“2”相对的面是“6”. 故选：B. 画空间几何体的直观图的注意事项 （1）首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直． （2）作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变． （3）平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半． （4）平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变． 【变式1】若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（    ）． A．平行于轴且大小为10cm B．平行于轴且大小为5cm C．与轴成且大小为10cm D．与轴成且大小为5cm 【答案】A 【分析】根据斜二测画法，即可判断选项. 【详解】平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致， 所以圆柱的高应画成平行于轴且大小为10cm. 故选：A 【变式2】一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（　　） A．4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0.8 cm C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1.6 cm D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0.8 cm 【答案】D 【分析】根据条件所给的比例结合斜二测画直观图的画法规则即可求解. 【详解】由比例可知，所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为2cm，0.5cm，1cm和0.8cm， 又因为斜二测画直观图的画法： 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于，保持长度不变； 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，长度变为原来的一半； 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，保持长度不变. 所以该建筑物按的比例画出它的直观图， 直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为2cm，0.25cm，1cm和0.8cm． 故选：D. 【变式3】已知直三棱柱，的底面是等腰直角三角形，且，侧棱．在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图．（不要求写出画法，但要标上字母，并保留作图痕迹）    【答案】作图见解析 【分析】根据斜二测画法的原则，可画出直观图. 【详解】如图所示．    题型03 与直观图还原有关的计算问题 【典例1】如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，那么的面积为 ． 【答案】 【分析】利用面积公式，求出直观图的高，求出，然后求出的长，即可得出三角形面积. 【详解】因为轴，所以的中，， 又三角形的面积为16，所以.∴， 所以. 如图作于， 因为，所以. 所以. 故答案为：. 直观图还原注意事项 由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点． （1）直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的sin45°＝倍． （2）S直观图＝S原图． 由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换． 【变式1】如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（   ）    A．2 B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】过作轴，交轴于，求出的长，由斜二测画法的规则可知，即为的边上的高. 【详解】如图，过作轴，交轴于， 在中，因为与轴垂直，且，， 所以， 由斜二测画法知：，所以的边上的高为8.故选：D. 【变式2】如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【答案】(1)答案见解析 (2)5，． 【分析】（1）利用斜二测画法的规则即可画出原四边形； （2）利用梯形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由题意得， 如图，建立平面直角坐标系， 在轴上截取，，， 在过点的轴的平行线上截取， 在过点的轴的平行线上截取， 连接，即可得到原四边形． （2）由题意得，原四边形是直角梯形，且，，， 故四边形的面积为， 又直观图中梯形的高为，，， 所以四边形的面积为． 【变式3】如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图是，若的中点在轴上，且，则（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】作，求得，然后作出原来图形，求得，为的中点，最后判断即可. 【详解】由题可知：为的中点，，则，作，如图： 作出原来图形： 所以，由，所以 又为的中点，所以. 故选：A 1．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【答案】BCD 【分析】斜二测画法对应的平行关系、长度关系还原平面图，然后逐一验算各个选项即可得解. 【详解】对于AB：还原平面图如下图，    则，，，故A错误，B正确； 对于C：过作交于点，则， 由勾股定理得，， 故四边形的周长为：，即C正确； 对于D：四边形的面积为：，即D正确. 故选：BCD． 2．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么的面积为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】根据直观图和原图形面积之间的关系求解即可. 【详解】直观图矩形的面积，则原图面积，故选：D． 3．如图所示，水平放置的三角形的直观图是一个边长为的等边三角形，则原图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出原图中到的距离后可求原图的面积. 【详解】 过作轴的平行线，交轴于，过作垂直于轴于， 则，而，故， 设对应的原图为，故，且到的距离为， 故其面积为. 故选：D . 4．如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】根据斜二测法，由直观图可作出原图形，再求面积即可. 【详解】根据题意可作出原图形， ，，，， ， 故答案为：2. 5．如图所示，为的直观图，且的面积为，则中最长的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意由斜二测画法长度的计算可得. 【详解】设， 由题意可得，则， 所以， 所以在中，， 由，所以，即中最长的边长为. 故选：B 6．如下图所示,梯形是水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法),若,,,,则四边形的面积是 . 【答案】5 【分析】根据斜二测画法知，四边形ABCD是上底为2下底为3，高的直角梯形，利用梯形公式即可求解. 【详解】由直观图知，四边形ABCD中，ABCD,,因为，所以，且,根据梯形面积公式，故填5. 7．如图，是由斜二测画法得到的水平放置的的直观图，其中，那么原平面图形中，OA边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等式确定，然后作辅助线，利用正弦定理求出的值，进而可求出边上的高. 【详解】因为，易知， 过作轴的平行线交轴于点，则， 由正弦定理可知，则， 由斜二测画法知原平面图形中，边上的高为. 故选：C. 8．已知是等腰直角三角形，且，用斜二测画法画出它的直观图，则的长可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意，分别以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，画出直观图，求得的长（范围），结合选项，即可求解. 【详解】以所在的直线为轴，画出的直观图，如图所示， 因为为等腰直角三角形，且，可得， 此时中，可得，所以B正确； 以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，如图所示， 可得，且， 过作轴于点，可得，则， 在直角中，可得，故正确； 以为坐标原点，以所在的直线为轴，此时， 所以得取值范围为，结合选项，可得B、D正确. 故选：BD. 9．由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是（   ）    A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】过作的平行线交于M点，解三角形计算结合斜二测画法的意义即可得出结果. 【详解】    过作的平行线交于M点，则易知， 由正弦定理可知，则， 由斜二测画法知：在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是. 故选：A 10．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为 .    【答案】4 【分析】将直观图还原为原图，如图所示，进而求解. 【详解】将直观图还原为原图，如图所示，    则是直角三角形，其中， 故的面积为． 故答案为：4. 11．用斜二测画法画出的直观图如图所示，在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且，则中AB边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】涉及余弦定理以及斜二测画法的相关知识.首先，根据已知条件，利用余弦定理求出角的大小.然后，由斜二测画法的性质，得到原三角形的相关信息，进而求出边上的高. 【详解】已知在中，，移项可得. 根据余弦定理，将代入可得： . 因为，所以. 已知，即，那么中边上的高. 根据斜二测画法的性质，在斜二测画法中，平行于轴的线段长度变为原来的一半， 那么原三角形中边上的高. 将代入可得. 所以中边上的高为. 故选：C. 12．已知在“斜二测”画法下，的直观图是一个边长为4的正三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直观图为正三角形，求出原三角形的高和底，即可求出的面积. 【详解】若轴，轴在直观图中的位置如图所示， 过作轴交轴于， 因为的边长为， 所以的高为， 因为，所以， 所以对应的高，底， 所以的面积. 故选：B. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $