2.5.1&2.5.2求轨迹的方程及简单的参数方程（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

2.5.1求轨迹的方程 2.5.2简单的参数方程 第二章 圆锥曲线 学习目标 教学重点：掌握求轨迹方程常用方法，能根据条件求解简单轨迹方程。 教学难点：轨迹纯粹性与完备性的检验，复杂条件下轨迹关系的转化与方程推导。 理解求轨迹方程核心思路，掌握基本步骤与常用方法； 能运用方法求解简单几何图形的轨迹方程； 强化数形结合思想，提升条件转化与逻辑推导能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：提炼求轨迹方程的通用逻辑； 逻辑推理：条件转化及方程推导的严谨性； 数学运算：轨迹方程的化简、求解运算； 直观想象：轨迹图形与方程对应关系感知； 数学建模：将几何条件转化为代数方程的建模能力。 新知引入 几何元素 几何特征（定义） 圆 阿氏圆： 椭圆 双曲线 圆锥曲线 统一定义 1、定义 动点P 定点O 动点P 定点A、B 动点P 定点F1、F2 动点P 定点F1、F2 动点P 定点F 定直线l（F不在l上） 距离 新知引入 名称 图形 几何元素 几何特征（点的性质） 圆 椭圆 双曲线 2、点的性质 角度 动点M 定点A、B （关于原点对称） 动点M 定点A、B （关于原点对称） 动点M 定点A、B （关于原点对称） 新知引入 在本章2.1节中我们给出了曲线方程的定义．根据此定义，要确认一个二元方程是一条平面曲线的方程，必须验证如下两个条件都满足： ①曲线上的点的坐标都是方程的解； ②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 在上一章和本章中给出直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线时，都强调过这样的验证 典例精讲 例1：（1）方程是圆心在坐标原点、半径为1的圆的方程吗？为什么？ （2）方程是过点与的直线的方程吗？为什么？ 解：（1）不是。不满足条件①，如点在此圆上， 但不是给定方程的解， （2）不是，不满足条件②，如是给定方程的解， 但点不在给定的直线上 练习巩固 练习1：已知，，若动点满足直线与直线的斜率之积为，求动点的轨迹方程。 解：设，因为，， 所以，， 又因为直线与直线的斜率之积为 所以，整理得 新知探究 求轨迹方程的基本步骤总结如下： 步骤1：根据轨迹的特征，建立适当的平面直角坐标系（如果平面直角坐标系在轨迹定义中已经给出，一般就采用给定的平面直角坐标系） 步骤2：轨迹上动点的坐标设为（，），将动点满足的条件表示为关于、的一个方程； 步骤3：验证以该方程的解为坐标的点都在给定的轨迹上．这里的步骤2与步骤3分别对应曲线方程的条件①与条件② 典例精讲 例2：已知点是距离为的两个定点，动点满足.建立适当的平面直角坐标系，求动点的轨迹方程。 解：如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴， 建立平面直角坐标系，则两定点为、。 设动点的坐标是，则， 因为，所以 化简，得 典例精讲 例2：已知点是距离为的两个定点，动点满足.建立适当的平面直角坐标系，求动点的轨迹方程。 解：这表明，动点轨迹上任意点的坐标都满足这个方程。 反过来，设平面上一点的坐标满足方程， 即有，则 从而，以方程的解为坐标的点都在轨迹上。 综上所述，方程就是所求的动点的轨迹方程 典例精讲 例3：求连接定点和曲线上动点的线段的中点的轨迹方程。 解：对平面上一点，条件“是线段的中点”的坐标表示是 即 由所求的轨迹的定义，点在轨迹上当且仅当点在曲线 即当且仅当.把点的坐标用点的坐标替换并化简，得 所以，点在轨迹上当且仅当它的坐标是方程的解 由此可见，所求的轨迹方程是 练习巩固 练习1：已知线段的端点的坐标是(4, 3), 端点在圆上运动, 求线段的中点的轨迹方程. • x O y A • • B(4,3) • M 1 3 4 解：(相关点代入法) 由于, 且是的中点 设点, 小结：体会“坐标法”的优势 新知探究 相关点法求动点的轨迹方程： 特征：多动点问题，已知一个（或多个）动点的轨迹方程，求另一个动点的轨迹方程，比如该题中点A与点M均为动点，点M随着点A的运动而运动 1.建立适当的平面直角坐标系 2.设动点坐标（求谁设谁） 3.寻找题干中的限制条件 4.代入化简 5.检验充要性（去杂点） 寻找限制条件时，要先找到所求点的相关点满足的关系式(1)，再找到和的坐标之间的关系(2)，再将(2)代入(1)，即得点P的轨迹方程. 新知探究 问题1：假设空气阻力忽略不计，你能求炮弹被击发后的运动轨迹的方程吗？ 即使建立平面直角坐标系，炮弹的运动规律也难以直接用炮弹的坐标与的方程表示出来。在物理学中，我们知道，当发射角、发射时的初速度确定后，炮弹位置只与运行时间有关，所以可以考虑引入时间作为第三个变量来求运动轨迹的方程． 其中，是重力加速度的值，是炮弹击中目标的时刻 新知探究 在这个实际问题中，炮弹运动的轨迹不可能是整条抛物线.首先，因为炮弹被击发前是静止的，必须．又因为炮弹击 中目标后也不再按原有轨迹运动，所以我们所讨论的炮弹运动轨 迹只是与炮弹击中目标前的一段抛物线．例如，设目标点 与发射点在同一水平线上，则恒有 因此，炮弹运动轨迹是上述抛物线 在 之间的部分． 新知探究 曲线的参数方程 由上述讨论可以看到，在求曲线方程时，我们可以先分别求出与某个随动点变化的变量所满足的方程， ，得到方程组： 其中在某个范围内变动．如果对于的每一个允许值，由上述方程组所确定的点 都在曲线上；反之，对于曲线上任意一点的坐标， 都存在的某个允许值使得上述方程组成立，那么上述方程组就叫做曲线的参数方程，变量叫做参变量 或参数。相对于参数方程而言，直接给出曲线上点的坐标之间关系的方程叫做曲线的普通方程 典例精讲 例4：求所有斜率为1的直线被椭圆所截得的线段的中点的轨迹。 解：如图，设直线被椭圆所截得的线段的两个端点的 坐标、是如下方程组的解： 消去，并整理得 当判别式， 即时，上述方程有两个不同的实数解，即直线被椭圆所截的线段存在 典例精讲 例4：求所有斜率为1的直线被椭圆所截得的线段的中点的轨迹。 并且线段两个端点的横坐标之和为 设的中点为，则 所以， 就是线段的中点的轨迹的参数方程 消去，得.由 及，可得 所以点的轨迹方程为，即点的轨迹方程是直线在椭圆内的部分 典例精讲 例5：已知点在椭圆上，求的最大值，并求取得最大值时点的坐标。 解：利用三角恒等式，可以验证 是椭圆的一个参数方程，所以点的坐标满足 因为，所以可以找到锐角，使得，，从而 当时，最大。要取得最大值，，即，这里。此时对应的点的坐标为 练习巩固 练习1：把下列参数方程化为普通方程． (1)(为参数)． (2)(为参数，) 解：(1)由已知得，代入中得． 即它的普通方程为x－y＋5－＝0. (2)因为，所以， 即.又因为， 所以其普通方程为． 练习巩固 消去参数的三种方法： (1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数． 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量和取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数和的值域，即和的取值范围． 练习巩固 练习2：如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数．求圆x2＋y2－x＝0的参数方程． 解：由圆的半径为， 记圆心为C(，0)，连接CP， 则∠PCx＝2θ，  故xP＝+cos 2θ＝cos2θ，yP＝sin2θ＝sin θcos θ， 所以圆的参数方程为 (θ为参数)． 小结 求轨迹方程的基本步骤总结如下： 步骤1：根据轨迹的特征，建立适当的平面直角坐标系（如果平面直角坐标系在轨迹定义中已经给出，一般就采用给定的平面直角坐标系） 步骤2：轨迹上动点的坐标设为（，），将动点满足的条件表示为关于、的一个方程； 步骤3：验证以该方程的解为坐标的点都在给定的轨迹上．这里的步骤2与步骤3分别对应曲线方程的条件①与条件② 小结 曲线的参数方程，变量叫做参变量或参数 叫做曲线的普通方程 直线 圆 椭圆 参数 方程 感谢聆听 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非。 ——华罗庚 $