2.5简单的参数方程（第2课时）(课件）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选择性必修第一册）

2.5简单的参数方程 （第2课时） 第 2章 圆锥曲线 沪教版2020选修第一册 在求轨迹的方程时，有时根据条件很难直接建立曲线上的动点坐标（x，y）所满足的方程，但如果引入合适的第三个变量，分别建立x、y与第三个变量的联系，问题常常会比较容易得到决． 我们先来看一个熟悉的问题：炮弹被击发后的运行轨迹的方程？（空气阻力忽略不计） 即使建立平面直角坐标系，炮弹的运动规律也难以直接用炮弹位置的坐标x与y的方程表示出来，但在物理学中，我们知道炮弹的运行轨迹与发射角α、发射时的初速度v０ 以及运行时间t有关．其中炮弹发射后，发射角α、发射时的初速度v０ 都是常数，因此炮弹的位置随时间t的变化而变化．不妨引入时间t作为第三个变量来求运动轨迹的方程 以炮口所在位置O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为ｙ 轴，建立平面直角坐标系，如图２- ５ -２．设炮弹发射t秒后的位置在点P（x，y）处．由于炮弹的初速度v０ 可分解为水平方向和竖直方向的两个速度，其中在水平方向上的初速度为v０ｃｏｓα，在竖直方向上的初速度为v０ｓｉｎα，由于忽略了空气阻力，炮弹运动过程只在竖直方向受到重力作用，容易求得，炮弹的位置坐标（x，y）与间t 之间的关系： 其中g是重力加速度的值． 由于v０、α、g都是确定值．炮弹运动的轨迹是一条抛物线． 在这个实际问题中，炮弹运动的轨迹不可能是整条抛物线．首先，因为炮弹击发前是不运动的，必须x≥０．又因为炮弹击中目标后也不再运动，所以炮弹运动轨迹只是x≥０与弹着点之间的一段抛物线．例如，设弹着点与发射点在同一水平线上，则恒有x≥０， 由上述讨论可以看到，在求曲线方程时，我们可以先分别求出x、y与某个随动点变化的变量t所满足的方程x＝f（t）、y＝g（t），得到 方程组： 其中t在某个范围内变动． 如果对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点P（x，y）都在曲线C上；反之，对于曲线C上任意一点的坐标，都存在t的某个允许值使得方程组①成立，那么方程组①就叫做曲线C的参数方程．变量t叫做参变量或参数． 相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标x、y间关系的方程F（x，y）＝０叫做曲线的普通方程．如果可以消去参数方程中的参数t，就可以将参数方程化为普通方程． 但在不少情况下，由曲线的参数方程并不一定能够化为曲线 的普通方程．举一个通俗的例子．假设有一个小虫在直角坐标平面 内爬行，小虫的位置坐标（x，y）是时间t的函数： 这揭示了小虫随时间t变化的运动规律，就是小虫运动轨迹的一个参数方程．由于小虫爬行的轨迹不似炮弹那样一直向前，可以倒退及自身相交，不可能化为普通方程来表示，这时，用参数方程来表示这一复杂的运动轨迹就成了唯一合理的选择了。 由此可见，用参数方程来表示一个曲线，不仅有具体的物理或 几何意义，而且更具有一般性，应用起来有时也更为简便． 解　如图２- ５ -３，设直线y＝x＋b被椭圆所截得的线段的两个端点A、B的横坐标为x１、x２，线段AB中点M（xM，yM）．联立直线方程和椭圆方程得方程组 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 课本练习 宋老师数学精品工作室 随堂检测 宋老师数学精品工作室 1.参数方程 （t为参数），化为一般方程为_______________． 宋老师数学精品工作室 2.　设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程． （参数法）：设动弦PQ的方程为y＝kx，代入圆的方程，得(x－1)2＋k2x2＝1，即(1＋k2)x2－2x＝0. ∴x＝＝，y＝kx＝，消去k即可． 宋老师数学精品工作室 THANKS “ ” 参数法求曲线方程主要有两个难点：一是参数的选取，可以根据问题的实际情况，选取直线的斜率、截距或点的坐标等作为参数，遵循的原则是选取的参数能够表达题目中其他的一些条件；二是消参，消参的方法常见的有代入法、平方法等，这需要根据实际情况灵活处理，一般通过得到的式子把参数用x，y表示出来，代入另一个式子中即可消参，如该题就是把eq \f(1,k)－k看成一个整体，由②式将其表示出来，然后代入①式即可． $