第3章概率模拟测试卷- 2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第二册

第3章　概率 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2025湖南娄底高二期中)已知P(A|B)=,P(B)=,则P(AB)=(　　) A. B. C. D. 2.(2025河北沧州高二期中)已知离散型随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3,4,5),则P(X≥2)=(　　) A. B. C. D.1 3.已知随机变量X服从正态分布N(10,22),则D(3X-1)=(　　) A.6 B.11 C.18 D.36 4.夏季里,每天甲、乙两地下雨的概率分别为,且两地同时下雨的概率为,则夏季的一天里,在乙地下雨的条件下,甲地也下雨的概率为(　　) A. B. C. D. 5. 若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形,任何事件都对应样本空间的一个子集,且事件发生的概率对应子集的面积.如图所示的阴影部分的面积表示(　　) A.事件A发生的概率 B.事件B发生的概率 C.事件B不发生条件下事件A发生的概率 D.事件A,B同时发生的概率 6.某市学生参加“一模”考试的数学成绩X服从正态分布N(95,σ2),下列结论中不正确的是(　　) (附:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3) A.σ越大,学生数学成绩在区间(90,100)内的概率就越大 B.当σ=20时,P(75≤X≤135)≈0.818 6 C.无论σ为何值,学生数学成绩大于或等于95的概率为0.5 D.无论σ为何值,学生数学成绩小于75与大于115的概率相等 7.甲、乙、丙三人进行象棋比赛,每两人比赛一场,共赛三场.每场比赛没有平局,在每一场比赛中,甲胜乙的概率为,甲胜丙的概率为,乙胜丙的概率为,则甲获第一名且丙获第二名的概率为(　　) A. B. C. D. 8.小明参加某项测试,该测试一共3道试题,每道试题做对得5分,做错得0分,没有中间分,小明答对第1,2题的概率都是,答对第3题的概率是,则小明答完这3道题的得分的数学期望为(　　) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.(2025山东济宁高二期中)设A,B为一个随机试验中的两个事件,且P(B)=,P(|A)=,P()=,则下列选项正确的有(　　) A.P(A+B)= B.P(A)= C.P(|B)= D.P(AB)= 10.甲罐中有3个红球、2个黑球,乙罐中有2个红球、2个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”,再从乙罐中随机取出一球,以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”,则(　　) A.P(A)= B.P(B|A)= C.P(B)= D.P(A|B)= 11.已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”(即一台正常设备,两台备用设备)的配置,这三台设备中,只要有一台能正常工作,计算机的网络就不会断掉.如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9,且它们之间相互不影响,则(　　) A.三台设备都不能正常工作的概率是0.001 B.三台设备中至多有一台设备能正常工作的概率为0.028 C.计算机网络不会断掉的概率为0.997 D.能正常工作的设备数的均值为0.27 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.(2025新高考Ⅰ,14)一个箱子里有5个球,分别以1~5标号,若有放回取三次,记至少取出一次的球的个数X,则E(X)=　　　　　.  13.(2025福建三明高二期中)已知随机变量X~N(6,σ2),若P(X>3)=0.7,则P(3<X<9)=　　　　　.  14.若随机事件A在一次试验中发生的概率为p(0<p<1),用随机变量ξ表示A在一次试验中发生的次数,则的最大值为　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)我国国家统计局的数据显示,某月中国制造业采购经理指数(PMI)为50.3%,比上月上升0.2个百分点.以新能源汽车、机器人、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进,则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业为评估某设备M生产某种零件的性能,从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表: 直径/mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算μ=65,σ=2.2,以频率值作为概率的估计值,解决以下问题: (1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为X,并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的频率):①P(μ-σ<X<μ+σ)≥0.682 7;②P(μ-2σ<X<μ+2σ)≥0.954 5;③P(μ-3σ<X<μ+3σ)≥0.997 3.评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足①②,不满足③,则等级为乙;若仅满足①,不满足②③,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁.试判断设备M的性能等级. (2)将直径不大于μ-2σ或直径不小于μ+2σ的零件认为是次品,从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件,计算其中次品个数Y的数学期望E(Y). 16.(15分)甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率为.假设两人射击是否击中目标,互不影响. (1)记甲击中目标的次数为X,求X的分布列; (2)求甲击中目标3次且乙击中目标2次的概率. 17.(15分)某机构对于某地区的10 000户家庭中的年可支配收入的调查中,获得如下的统计数据:60%的家庭将年可支配收入购买银行结构性存款,20%的家庭将年可支配收入存入银行,其余家庭将年可支配收入用于风险投资.又已知银行结构性存款获得的年收益率为5%的概率为95%,获得的年收益率为-2%的概率为5%,存入银行的年收益率为2%,风险投资的平均收益率为3%,以下把频率当概率.假设该地区的每个家庭的年可支配收入为10万元. (1)求家庭的可支配收入不存入银行的概率; (2)设年可支配收入为10万元获得的年收益为X,求X的分布列和数学期望. 18.(17分)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率; (2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望. 19.(17分)(2023新课标Ⅰ,21)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率; (2)求第i次投篮的人是甲的概率; (3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E(Xi)=qi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y). 参考答案 1.B　因为P(A|B)=,P(B)=,所以P(AB)=P(A|B)P(B)=. 故选B. 2.C　由已知可得P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=.故选C. 3.D　∵随机变量X服从正态分布N(10,22), ∴D(X)=4,∴D(3X-1)=32D(X)=9×4=36. 故选D. 4.C　记事件A为甲地下雨,事件B为乙地下雨, ∴P(A)=,P(B)=,P(AB)=. 在乙地下雨的条件下,甲地也下雨的概率为P(A|B)=. 故选C. 5.A　由题意可知阴影部分面积为P(A|B)·P(B)+P(A|)·(1-P(B))=P(AB)+P(A|)·P()=P(AB)+P(A)=P(A),故选A. 6.A　对于A选项,σ越大,峰值低,正态曲线越“扁平”,随机变量X的分布比较分散,则学生数学成绩在区间(90,100)内的概率就越小,A错误; 对于B选项,当σ=20时,75=μ-σ,135=μ+2σ, 则P(75≤X≤135)=[P(μ-σ≤X≤μ+σ)+P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)]≈=0.818 6,故B正确; 无论σ为何值,学生数学成绩大于或等于95的概率P(X≥μ)=0.5,C正确; 因为=95,由正态曲线的对称性可得P(X<75)=P(X>115),D正确. 故选A. 7.D　设事件A表示“甲胜乙”,事件B表示“甲胜丙”,事件C表示“乙胜丙”, 甲获第一名且丙获第二名的情况为甲胜乙且甲胜丙且丙胜乙,∴甲获第一名且丙获第二名的概率为P=P(AB)=P(A)P(B)P()=×(1-)=.故选D. 8.C　设小明的得分为ξ,则ξ的可能取值为0,5,10,15. 所以P(ξ=0)= (1-)×(1-)×(1-)=,P(ξ=5)=×(1-)×(1-)+, P(ξ=10)=×(1-)+×(1-)×,P(ξ=15)=; 所以小明得分ξ的分布列为 ξ 0 5 10 15 P 所以小明答完这3道题的得分的数学期望为0×+5×+10×+15×,故选C. 9.AC　由P(B)=,P(|A)=,P()=,得P(B|A)=,P(B|)=, 由P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|),得P(A)+P()=P(A)+(1-P(A)), 解得P(A)=,故B错误; 对于D,由P(B|A)=,得P(AB)=P(A)P(B|A)=,故D错误; 对于A,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=,故A正确; 对于C,P(A|B)=,P(|B)=1-,故C正确.故选AC. 10.ACD　因为甲罐中有3个红球、2个黑球,所以P(A)=,P()=,故选项A正确; 因为P(B|A)=,P(B|)=,所以选项B不正确; 因为P(B)=P(A)·P(B|A)+P()·P(B|)=,所以选项C正确; 因为P(AB)=P(A)·P(B|A)=, 所以P(A|B)=, 因此选项D正确. 故选ACD. 11.AB　由题意,三台设备各自能正常工作的概率都为0.9,且相互独立, 则三台设备都不能正常工作的概率是(1-0.9)3=0.001, 至多有一台设备能正常工作的概率为×0.9×(1-0.9)2+0.001=0.028,故A,B正确; 计算机网络不会断掉的概率为1-0.001=0.999,故C错误; 根据题意,记能正常工作的设备数为X,则X~B(3,0.9),所以能正常工作的设备数的均值为E(X)=3×0.9=2.7,故D错误. 故选AB. 12.　由题意X=1,2,3,P(X=1)=; P(X=2)=×()2×; P(X=3)=×()3=. 故E(X)=×1+×2+×3=. 13.0.4　因为随机变量X~N(6,σ2),且P(X>3)=0.7, 所以P(3<X<6)=0.7-0.5=0.2. 又P(3<X<6)=P(6<X<9)=0.2, 所以P(3<X<9)=2×0.2=0.4. 14.0　随机变量ξ的可能取值为0,1,且有P(ξ=1)=p,P(ξ=0)=1-p, ∴E(ξ)=p,D(ξ)=p(1-p)=p-p2, ∴=4-(4p+). ∵0<p<1, ∴4p+≥4,当且仅当4p=,即p=时等号成立, ∴当p=时,取得最大值0. 15.解(1)由表格可知P(μ-σ<X<μ+σ)=P(62.8<X<67.2)=0.8>0.682 7, P(μ-2σ<X<μ+2σ)=P(60.6<X<69.4)=0.94<0.954 5, P(μ-3σ<X<μ+3σ)=P(58.4<X<71.6)=0.98<0.997 3. 因为设备M的数据仅满足不等式①,故其性能等级为丙. (2)易知样本中次品共6件,可估计设备M生产零件的次品率为0.06. 由题意可知Y~B(2,0.06),于是E(Y)=2×0.06=0.12. 16.解(1)由题意知X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)∵甲击中目标与乙击中目标为相互独立事件, ∴甲击中目标3次且乙击中目标2次的概率为. 17.解(1)由已知得家庭的可支配收入不存入银行的概率为1-20%=80%. (2)由已知得X的值分别为10×5%×95%+10×(-2%)×5%=0.465,10×2%=0.2,10×3%=0.3, 所以X的分布列为 X 0.465 0.2 0.3 P 0.6 0.2 0.2 所以数学期望为E(X)=0.465×0.6+0.2×0.2+0.3×0.2=0.379(万元). 18.解(1)设甲学校在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C,甲学校获得冠军的事件记为D, 所以P(D)=P(ABC)+P(BC)+P(AC)+P(AB)=P(A)P(B)P(C)+P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P()=0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6. (2)依题可知,X的可能取值为0,10,20,30,所以, P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16, P(X=10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44, P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.6×0.2+0.5×0.4×0.2=0.34, P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06. 即X的分布列为 X 0 10 20 30 P 0.16 0.44 0.34 0.06 期望E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13. 19.解(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai,“第i次投篮的人是乙”为事件Bi, 所以P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=P(A1)·P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6. (2)设P(Ai)=pi,依题可知,P(Bi)=1-pi,则当i≥2时,P(Ai)=P(Ai-1Ai)+P(Bi-1Ai)=P(Ai-1)·P(Ai|Ai-1)+P(Bi-1)P(Ai|Bi-1), 即pi=0.6pi-1+(1-0.8)×(1-pi-1)=0.4pi-1+0.2=pi-1+. 构造等比数列{pi+λ}, 设pi+λ=(pi-1+λ),解得λ=-,则pi-. 又p1=,p1-, 所以是首项为,公比为的等比数列, 即pi-,pi=,i∈N+. (3)因为pi=,i=1,2,…,n, 所以当n∈N+时,E(Y)=p1+p2+…+pn=, 故E(Y)=. 12 学科网（北京）股份有限公司 $