3.2 复数的四则运算 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

3.2　复数的四则运算 一、必备知识基础练 1.i为虚数单位,等于(　　) A.0 B.2i C.-2i D.4i 2.复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为(　　) A.a=-3,b=-4 B.a=-3,b=4 C.a=3,b=-4 D.a=3,b=4 3.已知(1-i)2z=3+2i,则z=(　　) A.-1-i B.-1+i C.-+i D.--i 4.(2025甘肃酒泉高一期中)下列复数中与复数z=相等的是(　　) A.2(cos+isin) B.2(cos+isin) C.-1-i D.-2+2i 5.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=　　　　　,ab=　　　　　.  6.已知复数z=(i是虚数单位),则z2=　　　　　.  7.设m∈R,复数z1=+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i.若z1+z2是虚数,求m的取值范围. 8.计算: (1)(-i)(2-i)(3+i); (2). 9.已知x=1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数). (1)求b,c的值; (2)试判断x=1-i是否为方程的根. 二、关键能力提升练 10.若复数z=为纯虚数(a∈R,i为虚数单位),则复数z+1+i的虚部为(　　) A.2i B.2 C.3i D.3 11.已知f(z+i)=3z-2i,则f(i)=　　　　　.  12.(2025甘肃张掖高一期中)已知复数z满足z2+2z+5=0,则z=　　　　　.  13. (人教B版教材例题)在复数范围内求方程x2+2x+3=0的解集. 三、学科素养创新练 14.设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2. (1)求z的实部的取值范围; (2)设u=,证明u为纯虚数. 参考答案 1.A　∵=-i,=i,=-i,=i,∴=0. 2.A　由题意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数, 故解得 3.B　由题意得z==-1+i. 4.B　z==-1+i,故C,D不正确; 2(cos+isin)=1+i,故A不正确; 2(cos+isin)=-1+i,故B正确.故选B. 5.5　2　由(a+bi)2=3+4i, 得a2-b2+2abi=3+4i,从而有 解得则a2+b2=5,ab=2. 6.2i　z==-1-i, ∴z2=(-1-i)2=2i. 7.解∵z1=+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i, ∴z1+z2=+[(m-15)+m(m-3)]i=+(m2-2m-15)i. ∵z1+z2为虚数,∴m2-2m-15≠0,且m≠-2, 解得m≠5,m≠-3,且m≠-2(m∈R),∴m的取值范围为(-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2,5)∪(5,+∞). 8.解(1)(2-i)(3+i)= (7-i)=i. (2)=-2-2i. 9.解(1)因为1+i是方程x2+bx+c=0的根, 所以(1+i)2+b(1+i)+c=0, 即(b+c)+(2+b)i=0, 于是解得 故b的值为-2,c的值为2. (2)由(1)方程可化为x2-2x+2=0, 把x=1-i代入方程左边得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立, 所以x=1-i也是方程的根. 10.B　∵为纯虚数,∴=0且≠0,解得a=1, ∴z=i,∴z+1+i=1+2i,其虚部为2.故选B. 11.-2i　设z=a+bi(a,b∈R),则f[a+(b+1)i]=3(a+bi)-2i=3a+(3b-2)i,令a=0,b=0,则f(i)=-2i. 12.-1+2i或-1-2i　设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi, 将z代入方程得,a2-b2+2abi+2a+2bi+5=(a2-b2+2a+5)+(2ab+2b)i=0, 则若b=0,则方程组无解,不合题意,故b≠0, 解得a=-1,b=±2, 所以z=-1+2i或-1-2i. 13.解 因为x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2, 所以原方程可以化为(x+1)2=-2, 从而可知x+1=i或x+1=-i, 因此x=-1+i或x=-1-i, 所求解集为{-1+i,-1-i}. 14.(1)解因为z是虚数,所以可设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0.所以ω=z+=x+yi+=x+yi+=x+i. 因为ω是实数且y≠0,所以y-=0, 所以x2+y2=1,此时ω=2x. 因为-1<ω<2,所以-1<2x<2,从而有-<x<1, 即z的实部的取值范围是. (2)证明设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0, 由(1)知,x2+y2=1, 所以u==-i.因为x∈,y≠0,所以-≠0,所以u为纯虚数. 3 学科网（北京）股份有限公司 $