3.1 复数的概念同步练习-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

3.1　复数的概念 一、必备知识基础练 1.设x+2i=1-yi(i是虚数单位,x∈R,y∈R),若复数z=x+yi,则z=(　　) A.1-2i B.1+2i C.-1+2i D.2-2i 2.(2025甘肃白银高一阶段模拟)若z=(x2+x-6)-(x-2)i是纯虚数,其中x∈R,则(　　) A.x=2或x=-3 B.x=2 C.x=-3 D.x≠2且x≠-3 3.若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.-1或1 4.(多选题)已知i为虚数单位,下列说法正确的是(　　) A.若a≠0,则ai是纯虚数 B.虚部为-的虚数有无数个 C.实数集是复数集的真子集 D.两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等 5.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a-bi为纯虚数”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 6.若(x-2y)i=2x+1+3i,则实数x,y的值分别为　　　　　　　　.  7.已知m∈R,复数(m2-5m-6)+(m2+m)i为纯虚数,则m=　　　　　.  8.设z=(m2-2m-2)+(2m2+3m+4)i(m∈R).若Re(z)≥Im(z),求实数m的取值范围. 9. (北师大版教材习题)求适合下列各方程的实数x,y的值: (1)(x+y)-xyi=6+7i; (2)(x2-4x-5)+(y2+3y-4)i=0; (3)2x-1+(y+1)i=x-y-(x+y)i. 二、关键能力提升练 10.已知复数z=a2-(2-b)i(a,b均为实数)的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是(　　) A.,1 B.,5 C.±,5 D.±,1 11.(多选题)已知i为虚数单位,下列说法正确的是(　　) A.若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1 B.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数 C.若=0,则z1=z2=0 D.当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数 12.已知关于x的方程x2+mx+2+(2x+2)i=0(m∈R)有实根n,且z=m+ni,则复数z=(　　) A.3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i 13.已知z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i,且z1=z2,则实数m=　　　　　,n=　　　　　.  14.(sin θ-)+(cos θ-)i是纯虚数,则tan θ=　　　　　.  15.方程(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0的实数解x=　　　　　.  16.(2025甘肃庆阳高一期末)已知复数z1=3-m2+(m-)i,z2=μ+sin θ+(cos θ-)i,其中i是虚数单位,m,μ,θ∈R. (1)若z1为纯虚数,求m的值; (2)若z1=z2,求μ的取值范围. 三、学科素养创新练 17.已知复数z=-x+(x2-4x+3)i>0,求实数x的值. 18.设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,当m分别为何值时: (1)z是实数? (2)z是纯虚数? 参考答案 1.A　因为x+2i=1-yi(i是虚数单位,x∈R,y∈R), 所以x=1,y=-2, 所以z=1-2i.故选A. 2.C　因为z=(x2+x-6)-(x-2)i是纯虚数,其中x∈R,所以解得x=-3.故选C. 3.A　由复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,知可得x=-1.故选A. 4.BCD　若a=i,则ai=i2=-1,不是纯虚数,故A错误; 虚部为-的虚数可以表示为m-i(m∈R),有无数个,故B正确; 根据复数的分类,判断C正确; 两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立,故D正确. 5.B　由“ab=0”得a=0或b=0,由“复数a-bi为纯虚数”得a=0且b≠0,那么“ab=0”是“复数a-bi为纯虚数”的必要而不充分条件. 6.-,-　依题意得所以 7.6　若复数(m2-5m-6)+(m2+m)i为纯虚数,则解得m=6. 8.解由题意可知Re(z)=m2-2m-2,Im(z)=2m2+3m+4. ∵Re(z)≥Im(z),∴m2-2m-2≥2m2+3m+4,即m2+5m+6≤0,解得-3≤m≤-2. 故实数m的取值范围为[-3,-2]. 9.解(1)由解得 (2)由解得 (3)由解得 10.C　因为复数z=a2-(2-b)i(a,b均为实数)的实部和虚部分别是2和3,所以a2=2,-(2-b)=3, 所以a=±,b=5.故选C. 11.BD　取x=i,y=-i,则x+yi=1+i,但不满足x=y=1,故A错误; ∀a∈R,a2+1>0恒成立,所以(a2+1)i是纯虚数,故B正确; 取z1=i,z2=1,则=0,但z1=z2=0不成立,故C错误; 当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i=42i是纯虚数,故D正确. 12.B　由题意,n2+mn+2+(2n+2)i=0. 所以解得所以z=3-i. 13.2　±2　由复数相等的充要条件有解得 14.-　∵(sin θ-)+(cos θ-)i是纯虚数, ∴解得 ∴tan θ==-. 15.2　由(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0,得解得x=2. 16.解 (1)因为z1为纯虚数, 所以解得m=-. (2)由z1=z2,得 因此μ=3-cos2θ-sin θ=sin2θ-sin θ+2=. 因为-1≤sin θ≤1,所以当sin θ=时,μmin=; 当sin θ=-1时,μmax=4.故μ的取值范围是[,4]. 17.解∵z>0,∴z∈R. ∴x2-4x+3=0,解得x=1或x=3. ∵z>0,∴-x>0. 对于不等式-x>0,x=1成立,x=3不成立, ∴x=1. 18.解(1)要使复数z是实数,需满足解得m=-2,或m=-1. 即当m=-2或m=-1时,z是实数. (2)要使复数z是纯虚数,需满足解得m=3.即当m=3时,z是纯虚数. 4 学科网（北京）股份有限公司 $