精品解析：安徽省合肥市第四十五中学2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

八年级数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，满分40分） 1. 下列各点中，在第四象限的点是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个商标图案中，属于轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列三条线段的长度能组成三角形的是（ ） A. 3，4，7 B. 1，1，2 C. 4，5，6 D. 5，6，12 4. 如图，和都是的外角，已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，若，，则的度数（ ） A. B. C. D. 6. 已知点为第一象限内的点，则一次函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，是的平分线，若，则点到距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 不超过10件时，单价是5元／件 B. 超过10件时，超出部分的单价是4元／件 C. 购买15件该文具，共需付款55元 D. 当付款136元时，共购买该种文具40件 10. 在平面直角坐标系中，点在第二象限，点在坐标轴上．若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 二、填空题（本人题共4小题，满分20分） 11. “两点之间线段最短”是______（填“真”或“假”）命题； 12. 直线与交于点，则关于，的二元一次方程组的解为______； 13. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角的度数为_________． 14. 我们定义：在平面直角坐标系中，点，，若，，且，则称点是点的“阶变换点”．例如，点是点的“3阶变换点” （1）若点，则点的“2阶变换点”为______； （2）已知点，点的“阶变换点”记为，点的“3阶变换点”记为，若直线经过点和点，则直线在轴上的截距为______． 三、解答题（本大题共9题，15-18题每题8分；19，20题每题10分，21，22题每题12分，23题14分） 15. 如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，．求证：． 16. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）在轴上找一点，使的值最小，请画出点的位置，并写出点的坐标______． 17. 如图，在中，，，，垂足为． （1）尺规作图：在线段上，求作一个点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，求的度数． 18. 如图，的延长线于，于，若，，求证：平分． 19. 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． （1）求，，的值； （2）不等式的解集为：______． 20. 如图，在中，，，，交于点，，点，分别在边上，连接． （1）的形状是：______； （2）若，求证：． 21. 如图，在四边形中，，，连接，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，交于点，连接，已知，． （1）求证：； （2）若，求证：． 22. 2025年11月16日晚，万架无人机点亮了天鹅湖的夜空，各种炫酷造型轮番上阵．已知，甲、乙两架无人机在同一平台竖直向上起飞，飞行的路径互相平行，当飞行高度达到300米时，无人机停止表演．甲从起点出发，乙在甲出发20秒后起飞，乙出发10秒后，与甲飞行的高度相差40米．如图，折线，线段分别表示甲，乙的飞行高度（米）与甲飞行时间（秒）之间的函数图象．请结合图象解答下列问题． （1）分别求出线段对应的函数表达式；（无需写出自变量的取值范围） （2）当两架无人机之间的高度差为10米时；表演效果最佳．求在甲乙同时飞行的过程中，能形成最佳表演效果的时刻的值． 23. 如图，中，，，为直线上一动点，连接，在直线的右侧作，且，过点作，垂足为． （1）如图1，当点在线段上时，求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点，判断与的数量关系，并说明理由； （3）当点在直线上时，连接交直线于点；当的面积为9，的面积为27时，则的面积为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，满分40分） 1. 下列各点中，在第四象限的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了各象限点的坐标符号特征，根据第四象限内点的横坐标为正数，纵坐标为负数即可判断求解，掌握平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征是解题的关键． 【详解】解：∵第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负， ∴在第四象限的点是， 故选：C． 2. 下列四个商标图案中，属于轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，进行分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 3. 下列三条线段的长度能组成三角形的是（ ） A. 3，4，7 B. 1，1，2 C. 4，5，6 D. 5，6，12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了组成三角形的条件，根据三角形的三边关系，任意两边之和必须大于第三边，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A．，不满足两边之和大于第三边，故不能组成三角形； B．，不满足两边之和大于第三边，故不能组成三角形； C．，满足两边之和大于第三边，故能组成三角形； D．，不满足两边之和大于第三边，故不能组成三角形； 故选：C． 4. 如图，和都是的外角，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质．根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得到，再利用求出，即可解题． 【详解】解：是的外角， ， ， ， 故选：D． 5. 如图，，若，，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，根据全等三角形的性质求出的度数，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 已知点为第一象限内的点，则一次函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了已知点所在的象限求参数，根据一次函数解析式判断其经过的象限，先理解第一象限的点的横纵坐标都是大于0，故，再分析得出一次函数经过第一、二、三象限，即可作答． 【详解】解：∵点为第一象限内的点， ∴ ∴一次函数经过第一、二、三象限， 故选：A 7. 如图，在中，，，是的平分线，若，则点到距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的性质以及直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握相应知识是解题的关键． 过点作于，由，可得，由是的平分线可得，则可得的长，再根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， 在中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵是的平分线，，， ∴． 故选：B． 8. 如图，在中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积及中线的性质，根据面积及高求出底边，再利用中线的性质解决问题是解题的关键．根据三角形的面积及高求得底边的值，再利用中线的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得， ， ， 又为的中线， ， ， ， 故选：B． 9. 某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 不超过10件时，单价是5元／件 B. 超过10件时，超出部分的单价是4元／件 C. 购买15件该文具，共需付款55元 D. 当付款136元时，共购买该种文具40件 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设这件商品每件的原价为a元，当购买的件数x超过10件时，所付的款数，再根据点在一次函数的图象上，由此解出a的值，再逐项判断即可得出答案． 【详解】解：设这件商品每件的原价为a元， 当购买的件数x超过10件时，所付的款数， 根据y（元）与x（件）之间的函数关系可知：点在一次函数的图象上， ∴， 解得：． 即这件商品每件的原价为4元．故选项A错误，不符合题意； 超过10件时，超出部分的单价是（元/件）．故选项B错误，不符合题意； 购买15件该文具，共需付款元，故选项C错误，不符合题意； 当付款136元时，则，解得，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 10. 在平面直角坐标系中，点在第二象限，点在坐标轴上．若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．分别以点O、A为圆心，以的长度为半径画弧，与坐标轴的交点以及的垂直平分线与坐标轴的交点即为所求的点P的位置． 【详解】解：如图，以点O、A为圆心，以的长度为半径画弧与坐标轴有6个交点，的垂直平分线与坐标轴的交点有2个， 综上所述，满足条件的点P有8个． 故选：C． 二、填空题（本人题共4小题，满分20分） 11. “两点之间线段最短”是______（填“真”或“假”）命题； 【答案】真 【解析】 【分析】本题考查了真命题与假命题，熟练掌握相关的性质是解题的关键．根据线段的性质进行解答即可得． 【详解】解：∵任意两点，连接它们的线段长度小于任何其他路径的长度， ∴两点之间线段最短， ∴该命题为真命题． 故答案为：真． 12. 直线与交于点，则关于，的二元一次方程组的解为______； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查两直线的交点坐标和方程组的解的关系，熟练掌握两直线的交点坐标与对应二元一次方程组的解的关系是解答的关键． 根据两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解求解即可． 【详解】解：∵ 直线 与交于点，且方程组可变形为 ， ∴ 方程组的解为． 故答案为：． 13. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角的度数为_________． 【答案】 或 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，分情况讨论，一种情况等腰三角形为锐角三角形，另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可得出结果． 本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解． 【详解】解：①如图1， 等腰三角形为锐角三角形， ∵， ∴， 即顶角的度数为． ②如图2， 等腰三角形为钝角三角形， ∵， ∴， ∴． 故答案为：或． 14. 我们定义：在平面直角坐标系中，点，，若，，且，则称点是点的“阶变换点”．例如，点是点的“3阶变换点” （1）若点，则点的“2阶变换点”为______； （2）已知点，点的“阶变换点”记为，点的“3阶变换点”记为，若直线经过点和点，则直线在轴上的截距为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，求一次函数的解析式以及一次函数图象与坐标轴的交点问题； （1）根据“阶变换点”的定义直接计算坐标； （2）先求两点坐标，待定系数法求得解析式，进而令，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，点的2阶变换点： ，， 故点为； 故答案为：． （2）解：点的阶变换点： ，， 即； 的3阶变换点： ，， 即； 将，代入 ， 解得： ∴ 当时， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9题，15-18题每题8分；19，20题每题10分，21，22题每题12分，23题14分） 15. 如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，可证明，再利用即可证明． 【详解】略 16. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）在轴上找一点，使的值最小，请画出点的位置，并写出点的坐标______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 如图所示，点即为所求，． 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质及利用轴对称性质求最短路径． （1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到； （2）作点点关于轴对称的点，连接，与轴交于点，此时的值最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在中，，，，垂足为． （1）尺规作图：在线段上，求作一个点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，求的度数． 【答案】（1） 如图，点即为所作； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）作的垂直平分线，交于点，连接，则； （2）由三角形内角和定理得，由等腰三角形的性质得，根据线段垂直平分线的性质得，则，从而得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，，， ∴，， 又， ∴， ∴． 18. 如图，的延长线于，于，若，，求证：平分． 【答案】证明：∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中，， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】利用证明，得出，根据角平分线的判定定理即可得出结论． 【详解】略． 19. 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为． （1）求，，的值； （2）不等式的解集为：______． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，解题的关键是： （1）将点代入，求出m，得到，把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）利用函数图象作答即可． 【小问1详解】 解：过点， ∴， ， 一次函数过点，， ， 解得， 一次函数表达式； 【小问2详解】 解：根据函数图象可知：不等式的解集为． 故答案为：． 20. 如图，在中，，，，交于点，，点，分别在边上，连接． （1）的形状是：______； （2）若，求证：． 【答案】（1）等边三角形 （2） 证明：由（1）知，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； （2）由是等边三角形，得出，证出，由证明，得出． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 故答案为：等边三角形； 【小问2详解】 略 21. 如图，在四边形中，，，连接，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，交于点，连接，已知，． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴； （2） 证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键． （1）首先推导出，然后根据证出； （2）求出，证，推出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 2025年11月16日晚，万架无人机点亮了天鹅湖的夜空，各种炫酷造型轮番上阵．已知，甲、乙两架无人机在同一平台竖直向上起飞，飞行的路径互相平行，当飞行高度达到300米时，无人机停止表演．甲从起点出发，乙在甲出发20秒后起飞，乙出发10秒后，与甲飞行的高度相差40米．如图，折线，线段分别表示甲，乙的飞行高度（米）与甲飞行时间（秒）之间的函数图象．请结合图象解答下列问题． （1）分别求出线段对应的函数表达式；（无需写出自变量的取值范围） （2）当两架无人机之间的高度差为10米时；表演效果最佳．求在甲乙同时飞行的过程中，能形成最佳表演效果的时刻的值． 【答案】（1）线段对应的函数表达式为，对应的函数表达式为 （2）t的值为45秒或55秒 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． （1）根据“段飞行的路程段飞行的路程”列关于a的方程并求甲的速度，根据“当时，甲飞行的高度-乙飞行的高度”列关于b的方程并求出乙的速度；再分别根据路程=速度×时间解答即可； （2）分别求出当两架无人机之间的飞行高度差为10米时对应的t的值． 【小问1详解】 解：设甲的速度为a米/秒，乙的速度为b米/秒，则 ， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴线段对应的函数表达式为， ， ∴对应的函数表达式为． 【小问2详解】 解：由（1）知，当时，解得， ∴， 根据题意得：， 解得：或； ∴在整个飞行过程中，能形成这种特定的表演效果时t的值为45秒或55秒． 23. 如图，中，，，为直线上一动点，连接，在直线的右侧作，且，过点作，垂足为． （1）如图1，当点在线段上时，求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点，判断与的数量关系，并说明理由； （3）当点在直线上时，连接交直线于点；当的面积为9，的面积为27时，则的面积为______． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 解：，理由如下： 由（1）知， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 由（1）知 ， ∴ ∵， ∴， ∴； （3）9或18 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确识别图形是解答本题的关键． （1）先求出，再根据证明，可得，由可得结论； （2）由（1）知，得，然后证明，可得，再证明可得结论； （3）设的面积为，的面积的面积，根据的面积为9，的面积为27，结合（2）知, 得, 得的面积的一半，然后列出关于和S的方程即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设的面积为，的面积的面积， ∵的面积为9，的面积为27， 如图， 由（2）知， ∴， ∴的面积的一半， ∴， ∵， ∴； ∴ 的面积=； 如图，， ∴（不符合题意，舍去） 如图，，， ∴， ∴的面积， 综上，的面积为9或18． 故答案为：9或18． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $