精品解析：广西南宁市2025-2026学年上学期期末质量检测高二数学试卷

高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知，则直线的斜率为（ ） A. B. -2 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点斜率公式进行求解. 【详解】直线的斜率为. 故选：C 2. 已知在等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用等差数列的通项公式列方程得到，即可得到. 【详解】由等差数列的性质得到，解得， 所以； 故选：B. 3. 方程表示双曲线时，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】方程表示双曲线，则，解得：, 即实数的取值范围为 故选：C 4. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 110 B. 150 C. 180 D. 210 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质即可解出答案. 【详解】若是等比数列，为其前项和，且，都不为0，则， 也成等比数列， 因为， 所以， 设，则， 所以，， ， ， 因此，. 故选：D 5. 在三棱锥中，点是的中点，点在线段上，且．用表示，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图结合空间向量线性运算知识可得答案. 【详解】如图， . 故选：B 6. 已知直线与直线平行，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 4 D. -2或1 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件列出方程，求解可得. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，即，所以，解得或. 当时，；，即与重合； 当时，；，即，与平行. 所以的值为. 故选：B. 7. 已知椭圆的右焦点为，焦距为．直线与椭圆在第一象限交于点，且轴，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴得出点的横坐标，代入直线方程得纵坐标，再将点坐标代入椭圆方程，结合椭圆中、、的关系求解离心率. 【详解】因为轴，右焦点的坐标为，所以点的横坐标为, 将代入直线得：，解得，因此点的坐标为, 因为点在椭圆上，代入得：， 又因为，代入上式得：， 整理得：， 两边除以得：， 解得或， 因为，所以. 故选：A. 8. 由曲线围成的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用方程说明曲线的对称性，再计算曲线在第一象限的部分，即弓形的面积，由对称性即得答案. 【详解】由于把方程中的分别用代换，方程没有发生变化， 所以方程表示的曲线关于轴和原点对称， 当时，方程， 所以该方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆在第一象限的部分，如图： 因该方程表示的曲线在第一象限部分是一个弓形，其面积为， 由曲线的对称性可知曲线在各象限的部分均全等，故面积都相等， 所以曲线围成的图形的面积为：， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分． 9. 已知数列是公差为的无穷等差数列，数列是公比为的等比数列，则下列说法正确的有（ ） A. 是与的等差中项 B. 依次取出数列中的所有偶数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列 C. 成等比数列 D. 当时，数列是递增数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用等差数列与等比数列的性质逐项计算可判断ABC；利用赋值法可判断D. 【详解】对于A，因为数列是公差为的无穷等差数列，所以，，是等差数列， 所以是与的等差中项，故A正确； 对于B，记数列的所有偶数项为，记， 因为， 所以是以为首项，为公差的等差数列，故B正确； 对于C，因为数列是公比为的等比数列，， 所以， 所以，所以成等比数列，故C正确； 对于D，若，公比，此时， 所以数列是递减数列，故D错误. 故选：ABC. 10. 设抛物线的焦点为，过上一点作两条直线与的另一个交点为与的另一个交点为，则（ ） A. B. 点到抛物线的准线距离为1 C. 以为直径的圆与轴相切 D. 若直线的斜率互为相反数，则直线的斜率为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的点求出抛物线方程，再求出焦点坐标及准线方程判断ABC；利用斜率坐标公式计算判断D. 【详解】对于A，由抛物线过点，得，解得，A正确； 对于B，抛物线的焦点，准线方程为， 因此点到抛物线的准线距离为，B错误； 对于C，线段的中点坐标为，该点到轴的距离为， 因此以为直径的圆与轴相切，C正确； 对于D，设，直线的斜率， 直线的斜率，由直线的斜率互为相反数，得， 则，直线的斜率，D错误. 故选：AC 11. 如图，在直三棱柱中，，，点满足，其中，则（ ） A. 当时，的最小值为 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，存在两个点使得平面与平面的夹角为 D. 当时，有且仅有一个点，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，点在线段上，故当两点重合时，取得最小值，求出最小值；B选项，等体积法得到；C选项，建立空间直角坐标系，设，求出，并得到两平面的法向量，根据面面角的夹角得到方程，方程无解，故C错误；D选项，表达出，令，解得，故有且仅有一个点，使得，D正确. 【详解】A选项，，，，故点在线段上， 故当两点重合时，取得最小值，最小值为，A正确； B选项，当时，，故，， 又，所以点在线段上，， 因为直三棱柱中，⊥平面，又平面，所以⊥， 又⊥，，所以⊥平面， 故点到平面的距离为1，故， 三棱锥的体积为定值，B正确； C选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 则， 因为时，，即， 所以，故，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，故， 平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 若平面与平面的夹角为，令，故， 方程无解，故不存在两个点使得平面与平面的夹角为，C错误； D选项，当时，，即， 故，，故， 又，令， 解得，故有且仅有一个点，使得，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的渐近线方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】直接由双曲线的方程求解即可 【详解】因为双曲线方程为， 所以双曲线的渐近线方程为，即， 故答案为： 13. 已知圆上恰有三个点到直线的距离为1，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为圆心到直线的距离为1即可. 【详解】因为半径为，所以结合题意可知，圆心到直线的距离为1，则，得. 故答案为：. 14. 已知数列的首项，且满足．若，则满足条件的最大整数___________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知条件递推公式，取倒数，变换为，则有是等比数列，从而得，分组求和求出，根据的单调性可求得解. 【详解】因为，所以， 所以，又，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 所以 ， 而当时，单调递增， 又因为，且， 所以满足条件的最大整数. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知动点在运动过程中总满足关系式 （1）请说明动点的轨迹是什么曲线，并求出轨迹的标准方程； （2）记点的轨迹为曲线，且曲线与轴交于两个不同的点，当动点与两点均不重合时，证明直线的斜率之积为定值，并求出此定值． 【答案】（1）动点的轨迹是椭圆，椭圆的标准方程为. （2）直线的斜率之积为定值. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义判断动点的轨迹，并求出椭圆的标准方程；（2）先求出曲线与轴的交点坐标，再根据直线的斜率公式求出直线的斜率，最后计算它们的斜率之积. 【小问1详解】 设，，， 则动点到定点，的距离之和为 ， 又，满足， 所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆. 因为焦点在轴上，设的轨迹方程为， ，，，所以， 则椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 令，解得， 所以，， 直线的斜率为， 直线的斜率为， . 因为点在椭圆上，满足， 所以， 将代入得：， 所以直线的斜率之积为定值. 16. 已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据之间的关系进行求解即可； （2）利用错位相减法、结合等比数列前项和公式进行求解即可. 【小问1详解】 由. 当时， ， 显然也适合上式， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，所以， 于是， ， 两式相减，得 . 17. 如图，在四棱锥中，点是的中点，平面，，，点、分别是线段、的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 因为，所以， 因为，点是的中点，所以， 则四边形为正方形，则， 因为平面，平面，所以， 以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 因为点、分别是线段、的中点，所以， 则， 又平面的法向量为，则，则， 又平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）先求证四边形为正方形，再以为原点建系，得出以及平面的法向量为，根据即可求证； （2）计算平面的法向量，根据求出直线与平面所成角的正弦值即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则， 则直线与平面所成角的正弦值为， 故直线与平面所成角的余弦值为. 18. 设抛物线的焦点为，过点且斜率为2的直线被截得的弦长为． （1）求抛物线的方程； （2）已知点为抛物线上的任意一点，以为圆心的圆过点，且与直线相交于两点，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出直线的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式求出值即得. （2）设点，求出圆的方程，进而求出点纵坐标关系，再利用两点间距离公式列出函数关系并求出范围. 【小问1详解】 依题意，直线的方程为，由消去得， 设直线与抛物线的交点为，则， 由直线被截得的弦长为，得， 因此，而，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）得抛物线的焦点，设， 由以为圆心过点的圆方程为， 当时，，而，， 则，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的取值范围是. 19. 已知双曲线，直线是的斜率为正数的渐近线，为的右顶点，过作轴的垂线，交于点，再过作轴的垂线，交的右支于点；过作轴的垂线，交于点，再过作轴的垂线，交的右支于点；依此类推，重复以上操作得到，，记． （1）求的坐标； （2）求证：数列是等差数列； （3）以为切点作的切线分别交的两条渐近线于点、，记，表示不超过实数的最大整数，求． 【答案】（1），， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据双曲线方程求出渐近线方程和右顶点坐标，再根据点和直线、双曲线的位置关系逐步求解出，，的坐标. （2）根据（1）求出的点的坐标规律，推导出与的递推关系，再根据等差数列的定义进行证明. （3）先求出以为切点的切线方程，再求出切线与渐近线的交点，的坐标，进而求出，得到，再求出，最后根据数列求和公式求出，进一步求出. 【小问1详解】 因为双曲线为，所以右顶点的坐标为 双曲线的斜率为正数的渐近线的方程为， 过作轴的垂线，交于点， 将代入，可得的坐标为， 过作轴的垂线，交的右支于点， 将代入，可得，即， 因为在双曲线的右支上，所以，则的坐标为， 过作轴的垂线，交于点， 将代入，可得的坐标为， 过作轴的垂线，交的右支于点， 将代入，可得，即， 因为点在双曲线的右支上，所以， 所以的坐标为. 【小问2详解】 双曲线的渐近线方程为， 由已知可得，又点在双曲线上，所以， 所以， 又因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 【小问3详解】 由（2）可知，，即， 设，则，当时 以为切点的双曲线的切线斜率存在，设斜率为， 则切线方程为，并代入双曲线的方程可得： ，显然，， 由可得，，求解可得， 所以双曲线在点的切线方程为， 当为切点时，双曲线的切线方程为也满足上式， 由可得， 即， 由可得， 即， 根据两点间距离公式可得， 又因为， 而， 所以， 所以，， ， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知，则直线的斜率为（ ） A. B. -2 C. D. 2 2. 已知在等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 3. 方程表示双曲线时，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 110 B. 150 C. 180 D. 210 5. 在三棱锥中，点是的中点，点在线段上，且．用表示，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与直线平行，则的值为（ ） A. -2 B. 1 C. 4 D. -2或1 7. 已知椭圆的右焦点为，焦距为．直线与椭圆在第一象限交于点，且轴，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 由曲线围成的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分． 9. 已知数列是公差为的无穷等差数列，数列是公比为的等比数列，则下列说法正确的有（ ） A. 是与的等差中项 B. 依次取出数列中的所有偶数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列 C. 成等比数列 D. 当时，数列是递增数列 10. 设抛物线的焦点为，过上一点作两条直线与的另一个交点为与的另一个交点为，则（ ） A. B. 点到抛物线的准线距离为1 C. 以为直径的圆与轴相切 D. 若直线的斜率互为相反数，则直线的斜率为 11. 如图，在直三棱柱中，，，点满足，其中，则（ ） A. 当时，的最小值为 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，存在两个点使得平面与平面的夹角为 D. 当时，有且仅有一个点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的渐近线方程是___________. 13. 已知圆上恰有三个点到直线的距离为1，则的值为___________． 14. 已知数列的首项，且满足．若，则满足条件的最大整数___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知动点在运动过程中总满足关系式 （1）请说明动点的轨迹是什么曲线，并求出轨迹的标准方程； （2）记点的轨迹为曲线，且曲线与轴交于两个不同的点，当动点与两点均不重合时，证明直线的斜率之积为定值，并求出此定值． 16. 已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，点是的中点，平面，，，点、分别是线段、的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 18. 设抛物线的焦点为，过点且斜率为2的直线被截得的弦长为． （1）求抛物线的方程； （2）已知点为抛物线上的任意一点，以为圆心的圆过点，且与直线相交于两点，求的取值范围． 19. 已知双曲线，直线是的斜率为正数的渐近线，为的右顶点，过作轴的垂线，交于点，再过作轴的垂线，交的右支于点；过作轴的垂线，交于点，再过作轴的垂线，交的右支于点；依此类推，重复以上操作得到，，记． （1）求的坐标； （2）求证：数列是等差数列； （3）以为切点作的切线分别交的两条渐近线于点、，记，表示不超过实数的最大整数，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $