第八章实数知识归纳与题型突破2025-2026学年人教版七年级数学下册（23题型）

第八章实数知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版七年级下册（23题型） 知识归纳： 知识点一：平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 知识点二：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001… （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2．实数与数轴上的点一 一对应． 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3．实数的三个非负性及性质： 　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； （2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4．实数的运算： 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5．实数的大小的比较： 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 题型突破： 题型一：平方根有关概念的理解 1.下列各数中，没有平方根的是（   ） A．2 B．0 C． D． 2.下列语句正确的是（   ） A．10的平方根是100 B．100的平方根是10 C．是的平方根 D．的平方根是 3.已知和是一个正数的平方根，则这个正数（　　） A． B．或 C． D．或 题型二：求一个数的平方根 1.36的平方根是（　　） A．﹣6 B．36 C．± D．±6 2．的平方根是（    ） A． B． C． D． 3．的平方根是（    ） A．4 B．4或 C．2 D．2或 题型三：求一个数的算术平方根 1.下列各数中，16的算术平方根为（　　） A． B．4 C． D．8 2.3的算术平方根是（　　） A．3 B．﹣3 C．9 D． 3.的算术平方根是（　　） A．±4 B．4 C．±2 D．2 题型四：算术平方根的非负性 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．若，为实数，且，则（   ） A．1 B． C． D．2023 3.已知：，那么 ． 题型五：估算算术平方根的范围 1．估计的值在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．8和9之间 D．7和8之间 2.估计的值在（　　） A．3与4之间 B．4与5之间 C．5与6之间 D．6与7之间 3．估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 题型六：立方根有关概念的理解 1.下列结论正确的是（    ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是 D． 2.下列说法中，错误的是（    ） A．1的平方根是1 B．0的立方根是0 C．3是9的一个平方根 D．的立方根是 3.下列说法错误的是（    ） A．0的算术平方根是0 B．的平方根是 C．0的立方根是0 D．式子有意义 题型七：求一个数的立方根 1.的值为（    ） A．2 B． C． D． 2.下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3.下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型八：无理数的判断 1．在实数中，无理数有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.以下六个数：，，3.14，，，0.100010001，无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．在实数，，，3.14，中，无理数共有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型九：实数的性质 1.下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣2与 B．|﹣2|与2 C．﹣2与 D．﹣2与 2.3的相反数是　 　． 3. ， ． 题型十：实数与数轴 1．如图，数轴上表示的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．如图，点P，Q在数轴上表示的实数分别是和，则P，Q两点之间表示的无理数可能是（   ） A． B． C． D． 3.如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 （填“A”或“B”或“C”或“D”）． 题型十一：无理数大小的估算 1．估算的值在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 2.估计的值应在（        ） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 3．估算的运算结果应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．1到2之间 D．4到5之间 题型十二：整数部分与小数部分 1.已知的整数部分是a，小数部分是b，则的值是 ． 2．已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 3．若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 题型十三：实数的大小比较 1.在实数0，，，|﹣2|中，最小的数是（　　） A． B．0 C． D．|﹣2| 2.在实数，，0，1中，最小的实数是 ． 3.比较大小：6 ． 题型十四：与算术平方根有关的规律探究 1.若，，则的值约为(      ) A． B． C． D． 2.若，，则的值为 ． 3.已知1.449，4.573，则的值是　 　． 题型十五：与立方根有关的规律探究 1.如果，，那么约等于（　　） A．287.2 B．28.72 C．13.33 D．133.3 2.已知：，则a＝（     ） A．2360 B．－2360 C．23600 D．－23600 3.若，则等于(    ) A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 题型十六：实数运算与流程图 1.有一个数值转换器，原理如下：当输入的为时，输出的是（    ）    A． B．2 C． D． 2．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的值是 ． 3．如图是一个数值转换器，当输入的值为256时，则输出的值是 ． 题型十七：实数背景下的自定义运算 1．设都是有理数，规定，，则 ． 2.用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b都有．例如，那么 ． 3.对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算*如下：那么 ． 题型十八：实数运算规律问题 1．观察下列数据：0，，，，，，，…．根据数据排列的规律，第个数据是 ． 2．观察下面的数据：，，，，，，……．寻找规律，第个数据应是 ． 3.小明做数学题时，发现；；；；…；按此规律，若（a，b为正整数），则 ． 题型十九：实数的分类 1.请将下列各数分别填入相应的括号内： （每两个6之间的5依次多一个），． 正数集合：｛      ，…}； 有理数集合：｛      ，…}； 负数集合：｛      ，…}； 无理数集合：｛      ，…}． 2．将下列各数填入相应的括号内： 0，，，，，，，，，9，，…（相邻两个3之间依次多一个0），． 有理数：{          }； 无理数：{            }； 正整数：{          }； 负整数：{          }． 3.把下面的实数填在相应的大括号里：（★友情提示：将各数用逗号分开） +20，，0，﹣128，﹣2.6，，﹣23%，，，3.1010010001……（每两个1之间多一个0） 整数集合{             }； 分数集合{             }； 无理数集合{             }． 题型二十：实数的混合运算 1.求下列各式的值． （1）．（2）． 2．计算． （1）；（2）． 3．计算： （1）（2）；（2）|1|+||+||． 题型二十一：利用平方根与立方根性质解方程 1.解方程 (1)； (2)． 2.解方程： (1)； (2)． 3.求下列各式中的值： (1) (2) 题型二十二：平方根与立方根的综合应用 1.已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣2．求的平方根． 2.已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b的算术平方根为4．求5a+2b的立方根． 3.已知（a﹣2）的平方根是±2，（2a+b+7）的立方根是3，求（a2+b2）的算术平方根． 题型二十三：实数运算的实际应用 1．物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式h＝5t2来估计，其中t（秒）表示物体下落所经过的时间． （1）把这个公式变形成用h表示t的公式． （2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒（精确到0.1秒）？ 2.如图，用两个面积为200cm2的小正方形拼成一个大的正方形． （1）则大正方形的边长是　 　； （2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为360cm2？ 3.如图，计划围一个长方形场地ABCD（AB＜BC），面积为50米2，一边靠墙（墙长为10米），另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为5：2．请判断这样的计划能实现吗，为什么？ 【答案】 第八章实数知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版七年级下册（23题型） 知识归纳： 知识点一：平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 知识点二：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001… （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2．实数与数轴上的点一 一对应． 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3．实数的三个非负性及性质： 　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； （2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4．实数的运算： 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5．实数的大小的比较： 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 题型突破： 题型一：平方根有关概念的理解 1.下列各数中，没有平方根的是（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 2.下列语句正确的是（   ） A．10的平方根是100 B．100的平方根是10 C．是的平方根 D．的平方根是 【答案】D 3.已知和是一个正数的平方根，则这个正数（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】D 题型二：求一个数的平方根 1.36的平方根是（　　） A．﹣6 B．36 C．± D．±6 【答案】D 2．的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 3．的平方根是（    ） A．4 B．4或 C．2 D．2或 【答案】D 题型三：求一个数的算术平方根 1.下列各数中，16的算术平方根为（　　） A． B．4 C． D．8 【答案】B 2.3的算术平方根是（　　） A．3 B．﹣3 C．9 D． 【答案】D． 3.的算术平方根是（　　） A．±4 B．4 C．±2 D．2 【答案】D． 题型四：算术平方根的非负性 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2．若，为实数，且，则（   ） A．1 B． C． D．2023 【答案】B 3.已知：，那么 ． 【答案】 题型五：估算算术平方根的范围 1．估计的值在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．8和9之间 D．7和8之间 【答案】B 2.估计的值在（　　） A．3与4之间 B．4与5之间 C．5与6之间 D．6与7之间 【答案】B 3．估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 题型六：立方根有关概念的理解 1.下列结论正确的是（    ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是 D． 【答案】D 2.下列说法中，错误的是（    ） A．1的平方根是1 B．0的立方根是0 C．3是9的一个平方根 D．的立方根是 【答案】A 3.下列说法错误的是（    ） A．0的算术平方根是0 B．的平方根是 C．0的立方根是0 D．式子有意义 【答案】B 题型七：求一个数的立方根 1.的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 2.下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 3.下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 题型八：无理数的判断 1．在实数中，无理数有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 2.以下六个数：，，3.14，，，0.100010001，无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 3．在实数，，，3.14，中，无理数共有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 题型九：实数的性质 1.下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣2与 B．|﹣2|与2 C．﹣2与 D．﹣2与 【答案】C． 2.3的相反数是　 　． 【答案】3． 3. ， ． 【答案】 题型十：实数与数轴 1．如图，数轴上表示的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 2．如图，点P，Q在数轴上表示的实数分别是和，则P，Q两点之间表示的无理数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 3.如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 （填“A”或“B”或“C”或“D”）． 【答案】D 题型十一：无理数大小的估算 1．估算的值在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 2.估计的值应在（        ） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 【答案】B 3．估算的运算结果应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．1到2之间 D．4到5之间 【答案】A 题型十二：整数部分与小数部分 1.已知的整数部分是a，小数部分是b，则的值是 ． 【答案】 2．已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 3．若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 【答案】 题型十三：实数的大小比较 1.在实数0，，，|﹣2|中，最小的数是（　　） A． B．0 C． D．|﹣2| 【答案】C． 2.在实数，，0，1中，最小的实数是 ． 【答案】 3.比较大小：6 ． 【答案】 题型十四：与算术平方根有关的规律探究 1.若，，则的值约为(      ) A． B． C． D． 【答案】C 2.若，，则的值为 ． 【答案】 3.已知1.449，4.573，则的值是　 　． 【答案】144.9． 题型十五：与立方根有关的规律探究 1.如果，，那么约等于（　　） A．287.2 B．28.72 C．13.33 D．133.3 【答案】C． 2.已知：，则a＝（     ） A．2360 B．－2360 C．23600 D．－23600 【答案】D 3.若，则等于(    ) A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 【答案】B 题型十六：实数运算与流程图 1.有一个数值转换器，原理如下：当输入的为时，输出的是（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】C 2．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的值是 ． 【答案】 3．如图是一个数值转换器，当输入的值为256时，则输出的值是 ． 【答案】 题型十七：实数背景下的自定义运算 1．设都是有理数，规定，，则 ． 【答案】 2.用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b都有．例如，那么 ． 【答案】23 3.对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算*如下：那么 ． 【答案】3 题型十八：实数运算规律问题 1．观察下列数据：0，，，，，，，…．根据数据排列的规律，第个数据是 ． 【答案】 2．观察下面的数据：，，，，，，……．寻找规律，第个数据应是 ． 【答案】 3.小明做数学题时，发现；；；；…；按此规律，若（a，b为正整数），则 ． 【答案】73 题型十九：实数的分类 1.请将下列各数分别填入相应的括号内： （每两个6之间的5依次多一个），． 正数集合：｛      ，…}； 有理数集合：｛      ，…}； 负数集合：｛      ，…}； 无理数集合：｛      ，…}． 【答案】；；（每两个6之间的5依次多一个），；（每两个6之间的5依次多一个） 2．将下列各数填入相应的括号内： 0，，，，，，，，，9，，…（相邻两个3之间依次多一个0），． 有理数：{          }； 无理数：{            }； 正整数：{          }； 负整数：{          }． 【答案】0，，，，，，，9，；，，，…（相邻两个3之间依次多一个0）；，，9；， 3.把下面的实数填在相应的大括号里：（★友情提示：将各数用逗号分开） +20，，0，﹣128，﹣2.6，，﹣23%，，，3.1010010001……（每两个1之间多一个0） 整数集合{             }； 分数集合{             }； 无理数集合{             }． 【答案】+20，0，﹣128，； ﹣2.6，﹣23%，； ，，3.1010010001……（每两个1之间多一个0）． 题型二十：实数的混合运算 1.求下列各式的值． （1）．（2）． 【答案】解：（1）原式＝5﹣4+2 ＝3； （2）原式＝0.01×100+6×0.2 ＝1+1.2 ＝2.2． 2．计算． （1）；（2）． 【答案】解：（1）原式＝0.61.2； （2）原式（）﹣7+3＝﹣4． 3．计算： （1）（2）；（2）|1|+||+||． 【答案】解：（1）原式22； （2）原式121． 题型二十一：利用平方根与立方根性质解方程 1.解方程 (1)； (2)． 【答案】 （1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 2.解方程： (1)； (2)． 【答案】 （1）解：， 整理，得：， 开平方，得：， ， ，； （2）解：， 整理，得：， 开立方，得：， ． 3.求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 题型二十二：平方根与立方根的综合应用 1.已知某正数的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，b的立方根是﹣2．求的平方根． 【答案】解：根据题意得：a﹣3+2a+15＝0， 解得：a＝﹣4， ∵b的立方根是﹣2， ∴b＝（﹣2）3＝﹣8， ∴4， ∴4的平方根为±2． 答：的平方根为±2． 2.已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b的算术平方根为4．求5a+2b的立方根． 【答案】解：∵2a﹣1的平方根为±3， ∴2a﹣1＝9， ∴a＝5， ∵3a+b的算术平方根为4， ∴3a+b＝16， 即15+b＝16， ∴b＝1， ∴5a+2b＝25+2＝27， ∴5a+2b的立方根为3． 3.已知（a﹣2）的平方根是±2，（2a+b+7）的立方根是3，求（a2+b2）的算术平方根． 【答案】解：∵a﹣2的平方根是±2， ∴a﹣2＝4， ∴a＝6， ∵2a+b+7的立方根是3， ∴2a+b+7＝27． 把a的值代入解得：b＝8， ∴a2+b2＝36+64＝100， ∵100的算术平方根为10， ∴（a2+b2）的算术平方根为10． 题型二十三：实数运算的实际应用 1．物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式h＝5t2来估计，其中t（秒）表示物体下落所经过的时间． （1）把这个公式变形成用h表示t的公式． （2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒（精确到0.1秒）？ 【答案】解：（1）∵h＝5t2， ∴t2， ∴t； （2）当h＝54.5时，t3.3（秒）， 答：落到地面约需3.3秒． 2.如图，用两个面积为200cm2的小正方形拼成一个大的正方形． （1）则大正方形的边长是　 　； （2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为360cm2？ 【答案】解：（1）大正方形的边长是20（cm）； 故答案为：20cm； （2）设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm， 则4x•3x＝360， 解得：x， 4x＝420， 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为360cm2． 3.如图，计划围一个长方形场地ABCD（AB＜BC），面积为50米2，一边靠墙（墙长为10米），另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为5：2．请判断这样的计划能实现吗，为什么？ 【答案】解：这样的计划不能实现． 设它的长与宽各为5x米和2x米， 得5x×2x＝50， ∴10x2＝50， 两边都除以10得， x2＝5， 解得x或x（不合实际，舍去）， ∵5x＝510， ∴这样的计划不能实现． 学科网（北京）股份有限公司 $