专题8.3 实数及其简单运算（寒假衔接讲义）（5大知识点预习+ 10大分层题型精练+巩固练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期

专题8.3 实数及其简单运算 知识点1：无理数的概念与常见形式 1.定义：无限不循环小数叫做无理数，这是无理数的本质特征。 2.常见形式：①开方开不尽的数的方根（如、）；②含的数（如）；③具有特殊结构的无限不循环小数（如，相邻两个1之间0的个数依次增加1）。 知识点2：实数的概念与分类 1.实数：有理数和无理数统称实数。 2.实数的分类： (1)按定义分类： (2)按正负分类： 知识点3：实数与数轴的关系 1.对应关系：实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反之数轴上的每一个点都表示一个实数。 2.几何意义：数轴上两点间的距离等于这两个点所表示实数的绝对值，即点与点的距离为。 知识点4：实数的核心性质 1.相反数：实数的相反数是，若与互为相反数，则，相反数的绝对值相等（）。 2.绝对值：正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即，绝对值具有非负性（）。 3.倒数：非零实数的倒数是，若与互为倒数，则，0没有倒数。 知识点5：实数的运算与大小比较 1.运算规则：有理数的运算法则、运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然适用；运算顺序为先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的。 2.大小比较：①数轴法：右边的点表示的实数大于左边的点表示的实数； ②性质法：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小； ③估算法：估算无理数的近似值后比较。 【基础必考题型】 【题型1】无理数的识别与判断 1.核心知识点 无理数的定义（无限不循环小数）。 有理数与无理数的本质区别（有理数可化为分数，无理数不能）。 2.解题方法技巧 先化简数的形式（如、），再判断是否为无限不循环小数。 排除法：先排除有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数），剩余的即为无理数。 【例题1】.（2025—2026学年上学期学生学业质量监测八年级数学试卷）下列各数中，属于无理数的是（    ） A．2 B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）下列情境中的数为无理数的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）下列各数中，属于无理数的是（   ） A．3.1415 B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·山东青岛·期末）在0，，，，，，0.12112111211112这些数中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2】实数的分类（按定义/正负性） 1.核心知识点 实数的双重分类标准（定义类、正负类）。 各类数的本质特征（如负分数是分数且为负数，正无理数是无理数且为正数）。 2.解题方法技巧 先化简各数（如、），再按分类标准归类。 注意“0”的特殊性：0是实数、有理数，既不是正实数也不是负实数。 【例题2】.（25-26八年级上·宁夏银川·期中）把下列各数的序号填在相应的括号内： ①，②，③，④…（相邻两个1之间多一个0），⑤0，⑥，⑦，⑧． 整数_______________； 分数_______________； 无理数_____________． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知下列个实数：，，，，，，． (1)将它们分别填入相应的圈内． (2)将这个实数用“”连接起来． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·江西萍乡·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） (1)整数集合：{____________…}； (2)分数集合：{____________…}； (3)负有理数集合：{____________…}； (4)无理数集合：{____________…}． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）把下列各数分别填到相应的横线上（只填编号即可）． ，，，，，，（每两个之间多一个），，． 属于整数的有：________________________； 属于有理数的有：________________________； 属于无理数的有：________________________． 【题型3】实数的相反数、绝对值与倒数求解 1.核心知识点 实数的相反数、绝对值、倒数的定义及性质。 绝对值的非负性和去绝对值符号的规则。 2.解题方法技巧 求相反数直接在数前加“-”（如的相反数是），求倒数需保证数不为0（如的倒数是）。 去绝对值先判断里面实数的正负（如，因）。 【例题3】.（2024七年级上·浙江·专题练习）填空： （1）的相反数是 ，绝对值是 ； （2）的相反数是 ，绝对值是 ； （3）若 ，则 ． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·广东河源·月考）如图所示的是嘉琪同学的答卷，她的得分应是（   ） 姓名：嘉琪得分：____ 填空题（每小题20分，共100分） ①的倒数是； ②的绝对值是； ③ ； ④平方根与立方根相等的数是； ⑤ ． A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 【变式题3-2】.（24-25七年级下·北京·期中）下列说法正确的是（    ） A．绝对值是的数是5 B．的相反数是 C．的绝对值是 D．的相反数是 【变式题3-3】.（24-25七年级上·江苏宿迁·月考）定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，是的差倒数，直接写出 ． 【题型4】实数的基本运算（含乘方、开方、加减乘除） 1.核心知识点 实数的运算法则和运算顺序。 开方运算的性质（、）。 2.解题方法技巧 先算乘方、开方（如、），再算乘除，最后算加减。 同类二次根式可合并（如），不同类根式直接保留。 【例题4】.（25-26八年级上·福建泉州·期中）计算： 【变式题4-1】.（25-26七年级上·湖北襄阳·月考）（1）计算：； （2）解方程：． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算： 【变式题4-3】.（25-26八年级上·江苏扬州·期末）（1）计算：； （2）求等式中的值：． 【培优高频题型】 【题型5】实数与数轴的综合应用（求点表示的数、化简代数式） 1.核心知识点 实数与数轴的一一对应关系。 数轴上两点间距离公式与绝对值的几何意义。 2.解题方法技巧 求数轴上点表示的数：利用距离公式列方程（如点表示，与点距离为，则表示）。 化简含绝对值的代数式：根据数轴确定实数的正负和大小关系，去绝对值符号后合并（如且，则）。 【例题5】.（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．数轴上的点表示的数都是有理数 B．每一个实数都可以用数轴上的点来表示 C．有理数有无限个，无理数有有限个 D．无理数不能在数轴上表示 【变式题5-1】.（25-26七年级上·浙江温州·期中）将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是），数轴上点A对应刻度尺上的“2”，数轴上的点B对应刻度尺上“4”，面积为的正方形其中一个顶点落在点B处，以点B为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点 （1）点C在刻度尺上对应的数为 ； （2）若点A与点C所表示的数是一对相反数，则点B在数轴上所对应的数为 ． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·浙江·月考）如图，将面积分别为和的两个正方形放在数轴上，使正方形的一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，则另一个顶点分别落在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为______；点表示的数为______． (2)一只蚂蚁以个单位长度/秒的速度从点沿数轴向右爬了秒到达点，设点表示的数为． ①则实数的值为______（用含的代数式表示）； ②当时，求的值． (3)在数轴上，还有，两点分别表示，，且与互为相反数，求的平方根． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·广西南宁·月考）阅读材料，完成任务． 材料一 数形结合是重要的数学思想．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图②和图③所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数． 材料二 实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图④，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 任务 （1）材料1中，无理数是________； （2）如图⑤，改变图④中正方形的位置，用类似的方法作图，图⑤中点表示的数为________，点表示的数为________； （3）若，，求代数式的值，并在图⑥的数轴上作出表示这个代数式的值对应的点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【题型6】无理数的估算（求整数部分、小数部分、取值范围） 1.核心知识点 无理数估算的原理（夹逼法：找相邻的两个有理数夹住无理数）。 整数部分与小数部分的关系（小数部分=原数-整数部分）。 2.解题方法技巧 估算：找整数，使，则的整数部分为（如，因，整数部分为4）。 求小数部分直接用原数减去整数部分（如的小数部分为）。 【例题6】.（25-26八年级上·江西抚州·月考）的整数部分是，小数部分是，则的值是 ． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·江西九江·期中）已知，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·河北承德·期末）观察：，即的整数部分为2，小数部分为． 根据上述规律，解决下面的问题： (1)如果的整数部分为的立方根是2，求和的值； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 【变式题6-3】.（2026七年级下·全国·专题练习）阅读下面的文字： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，所得的差，即就是其小数部分． 根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)的整数部分是________，小数部分是________； (3)若设的整数部分是，小数部分是，求的值． 【题型7】实数的大小比较（含多个无理数、负实数） 1.核心知识点 实数大小比较的多种方法（数轴法、性质法、估算法、求差法）。 负实数比较大小的规则（绝对值大的反而小）。 2.解题方法技巧 正数与无理数比较：估算无理数近似值（如，则）。 负实数比较：先求绝对值，再比较绝对值大小（如与，，则）。 【例题7】.（25-26七年级下·全国·课后作业）比较大小： 5．（填“>”“<”或“＝”） 【变式题7-1】.（2026·全国·模拟预测）若a为实数，则 ．（填“”“”或“”） 【变式题7-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小： (1)与． (2)与． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小： (1)和3． (2)与． 【例题8】.（2025·安徽滁州·三模）我国古代《九章算术》中记载，已知圆的周长求其面积时，用的公式是面积等于周长平方除以12．而现代根据圆的周长推导出的面积公式是．当时，比较大小： （填“”或“”）． 【压轴素养题型】 【题型8】实数运算的实际应用（面积、体积相关） 1.核心知识点 正方形面积、正方体体积公式与实数开方的结合。 实际问题中单位的统一与结果的精度要求。 2.解题方法技巧 由面积求边长：正方形边长（如面积为7的正方形边长为）。 由体积求棱长：正方体棱长，结果按要求保留精度（如保留两位小数）。 【变式题8-1】.（24-25七年级下·河北保定·期中）综合与实践 【问题发现】 （1）如图，将由5个面积都是的小正方形组成的图形沿虚线剪开，可以拼成一个大正方形（虚线所示正方形），则该大正方形的边长为_____． 【拓展延伸】 （2）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片（如图），使它的长与宽的比为．她正在发愁能否用这块纸片裁出符合要求的纸片，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”你同意小明的说法吗？请通过计算说明理由． 【变式题8-2】.（24-25八年级上·山东青岛·期中）提出问题： 单项式“”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．如何用数形结合的方法探究的近似值呢？ 探究方法： 面积为2的正方形边长为，可知，因此设，且． 画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即，另一方面，则，由于较小故略去，得，则，即． (1)仿照上述的方法，探究的近似值（结果只包含1位小数），要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程； (2)综合上述具体探究尝试计算：已知非负整数a、b、m，若，且，则___________（用含a、b的代数式表示）； (3)应用上探究结果，直接写出的近似值，___________（结果只包含2位小数）． ∵， 而， ∴， 略去，得方程，解得， ∵， 而， ∴， 略去，得方程，解得， 即． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·河南郑州·期中）（1）如图，展示了六个面积分别为，，，，，的正方形，根据正方形面积公式（其中表示正方形的边长，表示正方形的面积），则面积为的正方形的边长为______；（用二次根式表示） （2）观察图形中面积为和的两个正方形边长在数轴上的位置，请比较这两个正方形边长的大小，并借助数轴解释理由； （3）如果两个正数，那么．请借助下图进行解释． 【题型9】程序设计中的实数运算（按规则转化、循环运算） 1.核心知识点 实数的运算规则与程序逻辑的结合。 无理数与有理数的判断在程序中的应用。 2.解题方法技巧 按程序流程图逐步运算（如输入→取算术平方根→判断是否为无理数→输出）。 若“始终输不出”，则输入的经过运算后始终为有理数（如、、等完全平方数）。 【例题9】.（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数时，该程序无法输出值，则的值为 ． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是64时，输出的值是 ． （2）分析发现，当非负数取 时，该程序无法输出值． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是时，输出的值是 ． （2）分析发现，当实数取 时，该程序无法输出值．（写出所有的情况） 【变式题9-3】.（25-26八年级上·全国·月考）小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入x的值为64时，输出y的值为 （2）分析发现，当非负实数x取 时，该程序无法输出y的值． 【题型10】新定义下的实数运算（自定义规则、创新应用） 1.核心知识点 新定义运算的规则转化（将陌生规则转化为熟悉的实数运算）。 实数的相反数、绝对值、乘方等性质的灵活应用。 2.解题方法技巧 紧扣新定义（如“”，则）。 先化简再运算，注意新定义中对参数的限制（如分母不为0、被开方数非负）。 【例题10】.（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（定义新运算）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知[x]表示不超过的最大整数，例如，，现定义，例如，则 ． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·江苏南京·月考）我们已经学习了平方根、算术平方根以及立方根的概念，类似的我们可以定义次方根．例如，类比平方根，可以定义四次方根：若一个数的四次方等于，则叫做的四次方根，记作，其中叫作的算术四次方根． (1)类比立方根，可以定义五次方根：若一个数的五次方等于，则叫做的五次方根，记作__________． (2)的七次方根记作__________，结果是__________；64的六次方根记作__________，结果是__________； (3)解方程：① ② 【变式题10-2】.（24-25七年级上·四川绵阳·期中）对于有理数a，b，定义两种新运算“”与“”，规定：，例如，． (1)计算的值． (2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简． (3)若，求x的值． (4)对于任意有理数m，n，请你定义一种新运算“”，使得，直接写出你定义的运算：．（用含m，n的代数式表示） 【变式题10-3】.（25-26七年级上·北京通州·期中）我们学习过了有理数的五种运算和研究运算的方法，现在定义了一个新运算：，定义的内容被遮盖住了，请观察下列各式，回答问题：； ； ； ． (1)请你仿照上面各式的形式，再写出一个不同的式子；_____． (2)补全定义内容：_____，（用含、的代数式表示） (3)计算 (4)当时，这种新定义的运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由． 易错点 1.混淆无理数与有理数的概念，误将、等化简后为有理数的数归为无理数；认为“带根号的数都是无理数”。 2.去绝对值符号时未判断里面实数的正负，如误将算成（正确结果为）。 3.实数运算顺序错误，先算加减后算乘方开方，如误将算成（正确结果为）。 4.比较负实数大小时，忘记“绝对值大的反而小”，如误将与的大小关系写成（正确为）。 重点 1.无理数的定义与常见形式，实数的双重分类标准，能准确识别和分类各类实数。 2.实数的核心性质（相反数、绝对值、倒数），掌握去绝对值符号的方法和非负性的应用。 3.实数的运算法则和运算顺序，能熟练进行含乘方、开方、加减乘除的混合运算。 4.实数与数轴的一一对应关系，利用数轴解决点的表示、距离计算和代数式化简问题。 难点 1.无理数的估算，尤其是确定无理数的整数部分、小数部分，以及多个无理数的大小比较。 2.实数的综合运算，包括含绝对值、根式、乘方的混合运算，以及符号的正确处理。 3.新定义运算和规律探究题，需要将陌生规则转化为熟悉运算，或从特殊式子中总结通用规律。 4.跨学科和实际应用问题，需提取数量关系，结合几何、物理等知识转化为实数运算。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各数是无理数的是（    ） A． B．π C．3.14 D． 2．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．在，，，，，，，……（每两个1之间0的个数依次加1）中，无理数有（   ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 4．下列命题中，是真命题的是（） A．的平方根是 B．如果，那么m的取值范围是： C．相等的两个角是对顶角 D．如果，那么 5．估计的值应在（    ） A．8到9之间 B．7到8之间 C．6到7之间 D．5到6之间 二、填空题 6．若，则 ． 7．已知一个无理数m满足，则这个无理数m可以是 ．（写出一个即可） 8．有一个数值转换器，设计流程如图： 当输入的值为 时，该程序无法输出值 9．如图所示的数轴被墨迹覆盖，，，中被墨迹覆盖的是 ． 10．已知，是的整数部分，则的值为 ． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 12．把下列各数填入相应的集合内： ，，，，，，，， (1)有理数集合{ } (2)无理数集合：{ } (3)正实数集合：{ } (4)负实数集合：{ } 13．已知一个正数的平方根是和，的立方根是，是的整数部分，的平方根等于它本身． (1)_____，______，_____，_______； (2)求的平方根． 14．如图，一只瓢虫从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为．设点表示的数为． (1)实数的值为______； (2)数轴上还有，两点分别表示实数和，且与互为相反数．求的算术平方根． 15．对于任意有理数，，，，定义一种新运算：．例如． (1)，求的值； (2)若的值与的取值无关，求，的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.3 实数及其简单运算 知识点1：无理数的概念与常见形式 1.定义：无限不循环小数叫做无理数，这是无理数的本质特征。 2.常见形式：①开方开不尽的数的方根（如、）；②含的数（如）；③具有特殊结构的无限不循环小数（如，相邻两个1之间0的个数依次增加1）。 知识点2：实数的概念与分类 1.实数：有理数和无理数统称实数。 2.实数的分类： (1)按定义分类： (2)按正负分类： 知识点3：实数与数轴的关系 1.对应关系：实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反之数轴上的每一个点都表示一个实数。 2.几何意义：数轴上两点间的距离等于这两个点所表示实数的绝对值，即点与点的距离为。 知识点4：实数的核心性质 1.相反数：实数的相反数是，若与互为相反数，则，相反数的绝对值相等（）。 2.绝对值：正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即，绝对值具有非负性（）。 3.倒数：非零实数的倒数是，若与互为倒数，则，0没有倒数。 知识点5：实数的运算与大小比较 1.运算规则：有理数的运算法则、运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然适用；运算顺序为先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的。 2.大小比较：①数轴法：右边的点表示的实数大于左边的点表示的实数； ②性质法：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小； ③估算法：估算无理数的近似值后比较。 【基础必考题型】 【题型1】无理数的识别与判断 1.核心知识点 无理数的定义（无限不循环小数）。 有理数与无理数的本质区别（有理数可化为分数，无理数不能）。 2.解题方法技巧 先化简数的形式（如、），再判断是否为无限不循环小数。 排除法：先排除有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数），剩余的即为无理数。 【例题1】.（2025—2026学年上学期学生学业质量监测八年级数学试卷）下列各数中，属于无理数的是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是做题的关键．根据无限不循环小数叫无理数，即可得出答案． 【详解】解：A.2是有理数，不属于无理数，故本选项不符合题意； B.是有理数，不属于无理数，故本选项不符合题意； C.是有理数，不属于无理数，故本选项不符合题意； D.是无理数，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）下列情境中的数为无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键；因此此题可根据无理数是无限不循环小数进行求解即可． 【详解】解：由选项可知：是有理数，而是无理数； 故选C． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）下列各数中，属于无理数的是（   ） A．3.1415 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了无理数，算术平方根，无理数是无限不循环小数，首先计算算术平方根，然后根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：A．3.1415是有限小数，属于有理数； B．，是整数，属于有理数； C．是分数，属于有理数； D．是无限不循环小数，属于无理数． 故选：D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·山东青岛·期末）在0，，，，，，0.12112111211112这些数中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的定义进行判断；无理数是无限不循环小数，逐个判断给定数是否无理． 【详解】解：∵0是整数，是有理数； ∵ ，是有理数； ∵是分数，是有理数； ∵ 中是无理数，除以有理数2仍无理； ∵ 中是无理数； ∵是循环小数，是有理数； ∵ 0.12112111211112是有限小数，是有理数； ∴ 无理数有和，共2个． 故选：B． 【题型2】实数的分类（按定义/正负性） 1.核心知识点 实数的双重分类标准（定义类、正负类）。 各类数的本质特征（如负分数是分数且为负数，正无理数是无理数且为正数）。 2.解题方法技巧 先化简各数（如、），再按分类标准归类。 注意“0”的特殊性：0是实数、有理数，既不是正实数也不是负实数。 【例题2】.（25-26八年级上·宁夏银川·期中）把下列各数的序号填在相应的括号内： ①，②，③，④…（相邻两个1之间多一个0），⑤0，⑥，⑦，⑧． 整数_______________； 分数_______________； 无理数_____________． 【答案】整数：②⑤⑥；分数：①⑦；无理数：③④⑧ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解本题的关键． 根据整数、分数和无理数的定义，整数包括正整数、负整数和零；分数是有理数中的有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数。 【详解】解：②是负整数，⑤0是整数，⑥是正整数，因此整数为②⑤⑥； ①是有限小数，⑦（循环节为3）是无限循环小数，因此分数为①⑦； ③是无理数，④…（相邻两个1之间多一个0）（无限不循环）是无理数，⑧是无理数，因此无理数为③④⑧． 故答案为整数：②⑤⑥；分数：①⑦；无理数：③④⑧． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知下列个实数：，，，，，，． (1)将它们分别填入相应的圈内． (2)将这个实数用“”连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查实数的分类，根式的化简，实数的大小比较，准确识别无理数是解题关键． （1）根据无理数和整数的定义，先化简根式，再将，归入无理数，将，，​归入整数； （2）将各数化简或估算为小数，再按照“负数正数”的顺序排列，得到最终的大小关系． 【详解】（1）解：，，，，，，中， ，， 则无理数有：，； 整数有：，，． 故填数如下： （2）解：对个实数排序如下： ． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·江西萍乡·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） (1)整数集合：{____________…}； (2)分数集合：{____________…}； (3)负有理数集合：{____________…}； (4)无理数集合：{____________…}． 【答案】(1)③⑥⑧ (2)①②⑤⑦ (3)⑥⑦ (4)④⑨ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．分别根据整数、分数、负数和无理数的定义进行解答即可． （1）根据整数的概念求解即可； （2）根据分数的概念求解即可； （3）根据负有理数的概念求解即可； （4）根据无理数的概念求解即可． 【详解】（1）解：， 整数集合：③⑥⑧； （2）解：分数集合：①②⑤⑦； （3）解：负有理数集合：⑥⑦； （4）解：无理数集合：④⑨． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）把下列各数分别填到相应的横线上（只填编号即可）． ，，，，，，（每两个之间多一个），，． 属于整数的有：________________________； 属于有理数的有：________________________； 属于无理数的有：________________________． 【答案】；； 【分析】本题考查了实数的分类，解题的关键是掌握实数的分类，实数是有理数和无理数的统称，有理数是整数和分数的统称，无限不循环小数叫做无理数．根据整数、有理数、无理数的定义逐个数进行判断即可． 【详解】解：是无限循环小数，故不是整数，是有理数； ，是整数，也是有理数； 是有限小数，是有理数， 是无限不循环小数，所以也是无限不循环小数，故是无理数； ，是整数，也是有理数； 是整数，也是有理数； （每两个之间多一个）是无限不循环小数，故是无理数； 是分数，故是有理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，故是无理数． 综上，属于整数的有：； 属于有理数的有：； 属于无理数的有：． 故答案为：；；． 【题型3】实数的相反数、绝对值与倒数求解 1.核心知识点 实数的相反数、绝对值、倒数的定义及性质。 绝对值的非负性和去绝对值符号的规则。 2.解题方法技巧 求相反数直接在数前加“-”（如的相反数是），求倒数需保证数不为0（如的倒数是）。 去绝对值先判断里面实数的正负（如，因）。 【例题3】.（2024七年级上·浙江·专题练习）填空： （1）的相反数是 ，绝对值是 ； （2）的相反数是 ，绝对值是 ； （3）若 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数和求一个数的绝对值，根据相反数和绝对值的定义即可得出答案． 【详解】解：（1）的相反数是，绝对值是； （2）的相反数是 ，绝对值是 ； （3）∵ ， ∴ ． 故答案为：（1）；（2）；（3）． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·广东河源·月考）如图所示的是嘉琪同学的答卷，她的得分应是（   ） 姓名：嘉琪得分：____ 填空题（每小题20分，共100分） ①的倒数是； ②的绝对值是； ③ ； ④平方根与立方根相等的数是； ⑤ ． A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的性质，立方根和平方根，算术平方根，熟知相关知识是解题的关键．通过判断每个填空题的正确性，结合实数的性质、平方根、算术平方根和立方根的定义，计算得分． 【详解】解：①的倒数是，不是，计算错误； ②的绝对值是，计算正确； ③表示算术平方根，结果是2，不是，计算错误； ④0的平方根和立方根都是0，计算正确； ⑤，计算正确； ∴正确题数为3，得分：分， 故选：B． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·北京·期中）下列说法正确的是（    ） A．绝对值是的数是5 B．的相反数是 C．的绝对值是 D．的相反数是 【答案】C 【分析】本题考查了实数的性质：实数的绝对值与相反数，与有理数的绝对值、相反数的意义相同；根据绝对值与相反数的意义逐项解答即可． 【详解】解：A、绝对值是的数是，故说法错误； B、的相反数是，故说法错误； C、的绝对值是，故说法正确； D、的相反数是，故说法错误； 故选：C． 【变式题3-3】.（24-25七年级上·江苏宿迁·月考）定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，是的差倒数，直接写出 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的规律运算． 先分别计算，，，发现规律：这些数以这三个数为一组循环，由此得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 可以发现，这些数以这三个数为一组循环， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型4】实数的基本运算（含乘方、开方、加减乘除） 1.核心知识点 实数的运算法则和运算顺序。 开方运算的性质（、）。 2.解题方法技巧 先算乘方、开方（如、），再算乘除，最后算加减。 同类二次根式可合并（如），不同类根式直接保留。 【例题4】.（25-26八年级上·福建泉州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、绝对值的性质、立方根及实数的混合运算，先计算算术平方根，再计算绝对值部分，紧接着计算立方根，最后将三部分结果代入原式，合并同类项后即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·湖北襄阳·月考）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数的混合运算与一元一次方程的解法． （1）涉及乘方、绝对值的运算及有理数四则混合运算顺序； （2）涉及一元一次方程的去分母、去括号等求解步骤． 【详解】（1）解： ； （2）方程两边同时乘6，得； 去括号，得； 合并同类项，得； 移项，得，即； 系数化为1，得． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算： 【答案】1 【分析】本题考查乘方运算，算术平方根，绝对值，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算乘方运算，算术平方根和绝对值里面的运算，然后化简绝对值，最后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·江苏扬州·期末）（1）计算：； （2）求等式中的值：． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用平方根解方程，熟练掌握以上知识点是解题关键． （1）先进行去绝对值，开方运算，再进行加减运算即可； （2）利用平方根解方程即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原等式变形为， ∵， ∴． ∴或． 【培优高频题型】 【题型5】实数与数轴的综合应用（求点表示的数、化简代数式） 1.核心知识点 实数与数轴的一一对应关系。 数轴上两点间距离公式与绝对值的几何意义。 2.解题方法技巧 求数轴上点表示的数：利用距离公式列方程（如点表示，与点距离为，则表示）。 化简含绝对值的代数式：根据数轴确定实数的正负和大小关系，去绝对值符号后合并（如且，则）。 【例题5】.（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．数轴上的点表示的数都是有理数 B．每一个实数都可以用数轴上的点来表示 C．有理数有无限个，无理数有有限个 D．无理数不能在数轴上表示 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，解题的关键是掌握实数与数轴上的点一一对应的关系，根据实数与数轴上的点一一对应的关系即可得到答案． 【详解】解：A. 数轴上的点表示的数可能是有理数也可能是无理数，故错误； B. 每一个实数都可以用数轴上的点来表示，正确； C. 有理数有无限个，无理数有无限个，故错误； D. 无理数能在数轴上表示，故错误. 故选：B． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·浙江温州·期中）将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是），数轴上点A对应刻度尺上的“2”，数轴上的点B对应刻度尺上“4”，面积为的正方形其中一个顶点落在点B处，以点B为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点 （1）点C在刻度尺上对应的数为 ； （2）若点A与点C所表示的数是一对相反数，则点B在数轴上所对应的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握实数的性质和数轴知识 （1）利用数轴知识解答； （2）利用数轴知识和实数的性质解答． 【详解】解：（1）根据题意得点C在刻度尺上对应的数为 ； 故答案为：； （2）， 点A与点C所表示的数分别是，， ， 点B在数轴上所对应的数是， 故答案为：． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·浙江·月考）如图，将面积分别为和的两个正方形放在数轴上，使正方形的一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，则另一个顶点分别落在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为______；点表示的数为______． (2)一只蚂蚁以个单位长度/秒的速度从点沿数轴向右爬了秒到达点，设点表示的数为． ①则实数的值为______（用含的代数式表示）； ②当时，求的值． (3)在数轴上，还有，两点分别表示，，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)， (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质、数轴上点的表示、绝对值的化简、非负数的性质及平方根的计算，熟练掌握非负数的性质（几个非负数的和为0，则每个非负数均为0）是解题的关键． （1）根据正方形面积求边长，结合数轴上点的位置确定点、表示的数； （2）①根据蚂蚁爬行的速度、时间得到移动距离，结合点表示的数表示出点的数； ②代入的值得到，再计算绝对值表达式的值； （3）利用非负数的性质（算术平方根与绝对值的非负性）列方程，求解、后计算的平方根． 【详解】（1）解：∵面积为的正方形边长为，点在原点左侧， ∴点表示的数为； ∵面积为的正方形边长为，点在原点右侧， ∴点表示的数为． （2）解：①∵点表示，蚂蚁向右爬了个单位， ∴． ②当时，； ∵，， ∴． （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，① 且．② 解①得，则， ∴； 解②得，则， ∴． ∴， ∴的平方根为． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·广西南宁·月考）阅读材料，完成任务． 材料一 数形结合是重要的数学思想．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图②和图③所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数． 材料二 实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图④，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 任务 （1）材料1中，无理数是________； （2）如图⑤，改变图④中正方形的位置，用类似的方法作图，图⑤中点表示的数为________，点表示的数为________； （3）若，，求代数式的值，并在图⑥的数轴上作出表示这个代数式的值对应的点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【答案】（1）  （2），  （3），数轴表示见解析 【分析】本题考查了图形的变换、无理数、实数与数轴、绝对值化简、熟练掌握无理数的数轴上表示是关键． （1）根据正方形的面积，求出表示的数即可； （2）根据点在数轴上的位置，直接写出点和点表示的数即可； （3）根据的值代入所求代数式化简后，在数轴上表示出来即可． 【详解】解：（1）材料一中，， ∴，（负值舍去） 故答案为：； （2）根据点在数轴上的位置及范例计算方法可得：点表示的数是，表示的数是 ， 故答案为：，； （3）由（1）可知， ∴，， ， 在数轴上表示为点，如图所示： 【题型6】无理数的估算（求整数部分、小数部分、取值范围） 1.核心知识点 无理数估算的原理（夹逼法：找相邻的两个有理数夹住无理数）。 整数部分与小数部分的关系（小数部分=原数-整数部分）。 2.解题方法技巧 估算：找整数，使，则的整数部分为（如，因，整数部分为4）。 求小数部分直接用原数减去整数部分（如的小数部分为）。 【例题6】.（25-26八年级上·江西抚州·月考）的整数部分是，小数部分是，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，能够正确的估算出无理数的大小，是解答此类题的关键． 先估算的值，确定其整数部分a和小数部分b，再代入表达式进行计算． 【详解】解：，即 的整数部分是，小数部分是， ， 故答案为：． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·江西九江·期中）已知，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根及其非负性，立方根的计算，理解题意，掌握平方根，立方根的计算是关键． （1）根据算术平方根及其非负性，可得，可求出a的值，再由立方根的性质可得，可求出b的值，再估算出的大小，可求出c的值． （2）把代入，再根据平方根的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，解得：， ∵的立方根是， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴； （2）解：当时，， ∴的平方根为． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·河北承德·期末）观察：，即的整数部分为2，小数部分为． 根据上述规律，解决下面的问题： (1)如果的整数部分为的立方根是2，求和的值； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查无理数的估算，实数的混合运算，熟练掌握夹逼法进行无理数的估算是解题的关键： （1）夹逼法求出的值，立方根的定义求出的值即可； （2）夹逼法求出的值，再根据实数的混合运算法则和平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：， 的整数部分． 的立方根是2， ， ． （2）解：， ， 的整数部分的小数部分， ， 的平方根为． 【变式题6-3】.（2026七年级下·全国·专题练习）阅读下面的文字： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，所得的差，即就是其小数部分． 根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)的整数部分是________，小数部分是________； (3)若设的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)2   (2)4   (3) 【分析】本题考查了无理数的整数部分与小数部分的分离方法，掌握通过平方数比较确定无理数的取值范围是解题的关键． （1）通过平方数比较确定​的取值范围，从而得到其整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分； （2）先分别确定​和​的取值范围，相加后得到的范围，进而确定整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分； （3）先确定的取值范围，从而得到的范围，分离出整数部分和小数部分，再代入代数式计算． 【详解】（1）解：且 ∴的整数部分是；小数部分是． （2）解：，，且， ， ，，且， ， ， 的整数部分是，小数部分：． （3）解：， ， ，， ． 【题型7】实数的大小比较（含多个无理数、负实数） 1.核心知识点 实数大小比较的多种方法（数轴法、性质法、估算法、求差法）。 负实数比较大小的规则（绝对值大的反而小）。 2.解题方法技巧 正数与无理数比较：估算无理数近似值（如，则）。 负实数比较：先求绝对值，再比较绝对值大小（如与，，则）。 【例题7】.（25-26七年级下·全国·课后作业）比较大小： 5．（填“>”“<”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】本题考查了实数的大小比较，解题关键是掌握实数的大小比较方法． 通过比较平方值来判断大小即可． 【详解】解： ， ， ， ． 故答案为：＜． 【变式题7-1】.（2026·全国·模拟预测）若a为实数，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，无理数的估算．先估算，通过计算两式的差值并判断其正负，从而比较大小． 【详解】解：∵，即， ∴， ∵，且， ∴． 故答案为：． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小： (1)与． (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握作差法比较实数大小的方法是解题的关键． （1）使用作差法，计算两数之差，通过判断差的正负来比较大小； （2）使用作差法，计算两数之差，若差为正，则被减数大于减数． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小： (1)和3． (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握平方法比较正数大小和负数比较大小的规则是解题的关键． （1） 两个正数比较大小，可通过平方法，平方值大的原数更大．分别计算两数的平方，比较平方结果即可； （2） 两个负数比较大小，先比较它们的绝对值，用平方法比较绝对值的大小，再根据负数比较规则判断原数大小． 【详解】（1）解：，，， ． （2）解：，，， ， ． 【例题8】.（2025·安徽滁州·三模）我国古代《九章算术》中记载，已知圆的周长求其面积时，用的公式是面积等于周长平方除以12．而现代根据圆的周长推导出的面积公式是．当时，比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算、实数的大小比较，先估算，再利用比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【压轴素养题型】 【题型8】实数运算的实际应用（面积、体积相关） 1.核心知识点 正方形面积、正方体体积公式与实数开方的结合。 实际问题中单位的统一与结果的精度要求。 2.解题方法技巧 由面积求边长：正方形边长（如面积为7的正方形边长为）。 由体积求棱长：正方体棱长，结果按要求保留精度（如保留两位小数）。 【变式题8-1】.（24-25七年级下·河北保定·期中）综合与实践 【问题发现】 （1）如图，将由5个面积都是的小正方形组成的图形沿虚线剪开，可以拼成一个大正方形（虚线所示正方形），则该大正方形的边长为_____． 【拓展延伸】 （2）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片（如图），使它的长与宽的比为．她正在发愁能否用这块纸片裁出符合要求的纸片，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”你同意小明的说法吗？请通过计算说明理由． 【答案】（1）；（2）不同意小明的说法，见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，用代数式表示长方形的长、宽及正方形的边长是关键． （1）根据大正方形的面积为，由算术平方根即可求得正方形的边长即可； （2）设所裁长方形纸片的长为，则宽为，根据长方形的面积得出，求出，得出长方形纸片的长为，再进行比较即可判定． 【详解】解：（1）∵正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． （2）不同意小明的说法． 理由：设所裁长方形纸片的长为，则宽为， 依题意，得， 即， ， ∴长方形纸片的长为， ， 长方形纸片的长比正方形纸片的边长要大，即不能裁出满足条件的长方形． 【变式题8-2】.（24-25八年级上·山东青岛·期中）提出问题： 单项式“”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．如何用数形结合的方法探究的近似值呢？ 探究方法： 面积为2的正方形边长为，可知，因此设，且． 画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即，另一方面，则，由于较小故略去，得，则，即． (1)仿照上述的方法，探究的近似值（结果只包含1位小数），要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程； (2)综合上述具体探究尝试计算：已知非负整数a、b、m，若，且，则___________（用含a、b的代数式表示）； (3)应用上探究结果，直接写出的近似值，___________（结果只包含2位小数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查用几何方法求无理数的近似值，能够读懂题意是解题关键． （1）参照题目的过程解题即可； （2）把条件的过程中的数字换成对应的字母解题即可； （3）参照（1）中的过程，由，设，解题即可． 【详解】（1）解：面积是31的正方形的边长是， 设，如图，面积为31的正方形分成2个小正方形和2个矩形， ∵， 而， ∴， 略去，得方程，解得， 即； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：面积是31的正方形的边长是， ∵， 设， 如图，面积为31的正方形分成2个小正方形和2个矩形， ∵， 而， ∴， 略去，得方程，解得， 即． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·河南郑州·期中）（1）如图，展示了六个面积分别为，，，，，的正方形，根据正方形面积公式（其中表示正方形的边长，表示正方形的面积），则面积为的正方形的边长为______；（用二次根式表示） （2）观察图形中面积为和的两个正方形边长在数轴上的位置，请比较这两个正方形边长的大小，并借助数轴解释理由； （3）如果两个正数，那么．请借助下图进行解释． 【答案】（1）；（2）面积为的正方形边长小于面积为的正方形边长，理由见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了正方形的面积公式，实数大小的比较，算术平方根的应用，读懂图形是解答关键. （1）根据正方形面积公式求解； （2）观察图形，利用在数轴上右边的数总比左边的大,边长长的正方形面积也大来求解； （3）利用从图中可以看到，面积大的正方形，它的边长也长来求解. 【详解】解：根据正方形面积公式（其中表示正方形的边长，表示正方形的面积），则面积为的正方形的边长为. 故答案为：； （2）面积为的正方形边长小于面积为的正方形边长. 理由如下： 从图中可以看到，面积为的正方形在面积为正方形的左边，所对应的边长在数轴上的位置为在的左边. 在数轴上右边的数总比左边的大， 所以小于， 即， 所以面积为的正方形边长小于面积为的正方形边长； （3）从图中可以看到，面积大的正方形，它的边长也长. 设两个正方形的面积分别为和 ，根据正方形面积公式，它们的边长分别为和. 因为面积大于，所以对应的边大于， 所以两个正数，那么. 【题型9】程序设计中的实数运算（按规则转化、循环运算） 1.核心知识点 实数的运算规则与程序逻辑的结合。 无理数与有理数的判断在程序中的应用。 2.解题方法技巧 按程序流程图逐步运算（如输入→取算术平方根→判断是否为无理数→输出）。 若“始终输不出”，则输入的经过运算后始终为有理数（如、、等完全平方数）。 【例题9】.（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数时，该程序无法输出值，则的值为 ． 【答案】0或1或负数 【分析】本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． 根据最后都是无理数输出，可得的值为或或负数． 【详解】解：因为按照计算流程发现最后都是无理数输出，所以取或时该程序无法输出值， 因为负数没有算术平方根，所以取负数时该程序无法输出值， 故答案为：或或负数． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是64时，输出的值是 ． （2）分析发现，当非负数取 时，该程序无法输出值． 【答案】 0或1 【分析】本题考查了实数，立方根，算术平方根，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． （1）按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可． （2）按照计算流程，探索即可得出答案解： 【详解】解：（1）当x值为64时，则64的算术平方根得8， ∴8的立方根是2， ∴2的算术平方根得是，是无理数， ∴输出的数为； 故答案为：． （2）依题意，按照计算流程发现最后都是无理数输出， ∴当非负数取0或1时该程序无法输出值， 故答案为：0或1． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入的值是时，输出的值是 ． （2）分析发现，当实数取 时，该程序无法输出值．（写出所有的情况） 【答案】 或或负数 【分析】本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． ()按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可 ()按照计算流程，探索即可得出答案解． 【详解】解：()输入，则， 是有理数，的立方根是， 是有理数， 的算术平方根得是，是无理数， ∴输出的数为； 故答案为：； ()∵按照计算流程发现最后都是无理数输出， ∴①当能计算第一步的算术平方根时， 则陷入死循环，即不停的计算算术平方根和立方根， 计算结果一直是有理数， ∴此时 或，该程序无法输出值， ②当不能计算第一步的算术平方根时， ∵负数没有算术平方根， ∴取负数时该程序无法输出值， 故答案为：或或负数． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·全国·月考）小明设计了一个如图所示的电脑运算程序： （1）当输入x的值为64时，输出y的值为 （2）分析发现，当非负实数x取 时，该程序无法输出y的值． 【答案】 0或1 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把代入按程序计算即可求出值； （2）0的算术平方根和立方根都是0，1也是一样，不会是无理数，不能输出y值． 【详解】解：（1）当时，，， 当时，； 故答案为：； （2）当时，，，一直计算，0的算术平方根和立方根都是0，不会是无理数，不能输出y值， 当时，，，一直计算，1的算术平方根和立方根都是1，不会是无理数，不能输出y值， ∴当非负实数x取0或1，该程序无法输出y值， 故答案为：0或1． 【题型10】新定义下的实数运算（自定义规则、创新应用） 1.核心知识点 新定义运算的规则转化（将陌生规则转化为熟悉的实数运算）。 实数的相反数、绝对值、乘方等性质的灵活应用。 2.解题方法技巧 紧扣新定义（如“”，则）。 先化简再运算，注意新定义中对参数的限制（如分母不为0、被开方数非负）。 【例题10】.（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（定义新运算）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知[x]表示不超过的最大整数，例如，，现定义，例如，则 ． 【答案】3.8 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的加减计算，熟练掌握新定义是解题的关键． 先根据新定义求出，，据此代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：3.8 【变式题10-1】.（25-26八年级上·江苏南京·月考）我们已经学习了平方根、算术平方根以及立方根的概念，类似的我们可以定义次方根．例如，类比平方根，可以定义四次方根：若一个数的四次方等于，则叫做的四次方根，记作，其中叫作的算术四次方根． (1)类比立方根，可以定义五次方根：若一个数的五次方等于，则叫做的五次方根，记作__________． (2)的七次方根记作__________，结果是__________；64的六次方根记作__________，结果是__________； (3)解方程：① ② 【答案】(1)； (2)，，，； (3)①，②； 【分析】本题主要考查了n次方根的定义和运用n次方根解方程，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据n次方根的定义得到答案即可； （2）根据n次方根的定义算出答案即可； （3）运用n次方根解方程即可； 【详解】（1）解：由n次方根的定义可知：若一个数的五次方等于，则叫做的五次方根，记作． 故答案为：． （2）解：由n次方根的定义可得：的七次方根记作，结果是；64的六次方根记作，结果是； （3）解：① ， ② ， ． 【变式题10-2】.（24-25七年级上·四川绵阳·期中）对于有理数a，b，定义两种新运算“”与“”，规定：，例如，． (1)计算的值． (2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简． (3)若，求x的值． (4)对于任意有理数m，n，请你定义一种新运算“”，使得，直接写出你定义的运算：．（用含m，n的代数式表示） 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义化简，根据绝对值的代数意义得到结果即可； （3）原式利用题中的新定义化简； （4）根据题意只要写出一个符合要求的式子即可，这是一道开放性题目，答案不唯一． 【详解】（1）解：（1）根据题中的新定义得： ； （2）解：由在数轴上位置，可得， 则； （3）解：∵， ∴ 解得：； （4）解：∵， 故答案为：(答案不唯一)． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·北京通州·期中）我们学习过了有理数的五种运算和研究运算的方法，现在定义了一个新运算：，定义的内容被遮盖住了，请观察下列各式，回答问题：； ； ； ． (1)请你仿照上面各式的形式，再写出一个不同的式子；_____． (2)补全定义内容：_____，（用含、的代数式表示） (3)计算 (4)当时，这种新定义的运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)16 (4)不满足，见解析 【分析】（1）仔细观察等式的特点，写出一个符合规律的等式即可，答案不唯一． （2）根据式子的特点归纳新定义即可； （3）根据新定义解答即可计算； （4）根据定义，计算判断结果是否相等，相等，则满足，反之，不满足． 本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，熟练掌握定义和运算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，答案如下： ， 故答案为：． （2）解：根据式子的特点，得到， 故答案为：． （3）解： ． （4）解：根据题意，得，， 由， 故， 故新定义的运算不满足交换律． 易错点 1.混淆无理数与有理数的概念，误将、等化简后为有理数的数归为无理数；认为“带根号的数都是无理数”。 2.去绝对值符号时未判断里面实数的正负，如误将算成（正确结果为）。 3.实数运算顺序错误，先算加减后算乘方开方，如误将算成（正确结果为）。 4.比较负实数大小时，忘记“绝对值大的反而小”，如误将与的大小关系写成（正确为）。 重点 1.无理数的定义与常见形式，实数的双重分类标准，能准确识别和分类各类实数。 2.实数的核心性质（相反数、绝对值、倒数），掌握去绝对值符号的方法和非负性的应用。 3.实数的运算法则和运算顺序，能熟练进行含乘方、开方、加减乘除的混合运算。 4.实数与数轴的一一对应关系，利用数轴解决点的表示、距离计算和代数式化简问题。 难点 1.无理数的估算，尤其是确定无理数的整数部分、小数部分，以及多个无理数的大小比较。 2.实数的综合运算，包括含绝对值、根式、乘方的混合运算，以及符号的正确处理。 3.新定义运算和规律探究题，需要将陌生规则转化为熟悉运算，或从特殊式子中总结通用规律。 4.跨学科和实际应用问题，需提取数量关系，结合几何、物理等知识转化为实数运算。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各数是无理数的是（    ） A． B．π C．3.14 D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，熟记定义是解题关键，根据无理数的定义“不能写作两整数之比，也称为无限不循环小数”逐项判断． 【详解】解：A项：∵，是整数，∴不是无理数； B项：∵π是无限不循环小数，不能表示为分数，∴是无理数； C项：∵3.14是有限小数，可以写成分数，∴不是无理数； D项：∵是分数，是两个整数之比，∴不是无理数， 故选：B． 2．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴正确判断式子的正负是解题的关键． 根据数轴可得，，再逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：由数轴得，，， ∴，，， 结合选项可知，只有D选项结论正确． 故选：D． 3．在，，，，，，，……（每两个1之间0的个数依次加1）中，无理数有（   ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查无理数，无理数是指无限不循环小数．根据每个实数的性质，逐一判断是否为无理数． 【详解】解：， 在，，，，，，，……（每两个1之间0的个数依次加1）中，无理数是，，……（每两个1之间0的个数依次加1），共3个， 故选：D． 4．下列命题中，是真命题的是（） A．的平方根是 B．如果，那么m的取值范围是： C．相等的两个角是对顶角 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平方根， 无理数的大小估算，对顶角的定义等等，熟知相关知识是解题的关键． 通过逐一分析每个选项的真假，判断B为真命题即可． 【详解】解：对于A．∵，4的平方根是，不是，∴A错误，是假命题． 对于B．∵，即，∴，∴，B正确，是真命题． 对于C．∵相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角，∴C错误，是假命题． 对于D．∵反例∶，但，∴D错误，是假命题． 故选B． 5．估计的值应在（    ） A．8到9之间 B．7到8之间 C．6到7之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数取值范围的估计，判断无理数在有理数之间的范围是解题的关键．首先通过估算的近似值，再确定的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则， ∴估计的值应在6到7之间． 故选：C． 二、填空题 6．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数，绝对值的性质，掌握绝对值等于正数的数有两个，它们互为相反数是解题的关键． 根据绝对值的性质，化简等式，得到，从而求出的值． 【详解】解：，且， ∴原等式可化为． 解得： ． 故答案为：． 7．已知一个无理数m满足，则这个无理数m可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的定义，实数的大小比较． 由于无理数满足，即，因此可以是大于的任意一个无理数，如． 【详解】解：∵为无理数，且，即， ∴这个无理数可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 8．有一个数值转换器，设计流程如图： 当输入的值为 时，该程序无法输出值 【答案】负数或0或1 【分析】本题主要考查了算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根的意义是解答本题的关键，根据流程图求算术平方根，再根据无理数的定义判断即可求解． 【详解】解：∵负数没有算术平方根， ∴不能输出； 当输入时，算术平方根为0，不是无理数，继续取算术平方根，一直循环进行，不能输出； 当输入时，算术平方根为1，不是无理数，继续取算术平方根，一直循环进行，不能输出； 综上，当输入的值为负数或0或1时，该程序无法输出值 故答案为：负数或0或1． 9．如图所示的数轴被墨迹覆盖，，，中被墨迹覆盖的是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的点表示的数，解题的关键是能估算无理数的大小． 分别估算三个数的大小，即可得到答案． 【详解】解：，，， 被墨迹覆盖的数是， 故答案为：． 10．已知，是的整数部分，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了无理数整数部分的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过估算 的取值范围，计算 的值范围，从而确定其整数部分． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，即 ． ∴的整数部分 ． 故答案为：2． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握实数混合运算的法则是解题关键． （1）先计算算术平方根，乘方，立方根，再计算乘法，最后加减即可； （2）先利用立方根，算术平方根的定义及绝对值的性质化简，再加减得出答案；． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．把下列各数填入相应的集合内： ，，，，，，，， (1)有理数集合{ } (2)无理数集合：{ } (3)正实数集合：{ } (4)负实数集合：{ } 【答案】(1)，，，，，， (2)， (3)，，，，， (4)， 【分析】本题主要考查有理数、无理数、实数的分类，根据定义判断每个数所属集合． 【详解】（1）解：根据有理数、无理数、实数的定义分类． 有理数包括整数、分数、有限小数和无限循环小数，因此、、、、、、是有理数． （2）解：无理数是无限不循环小数，如开方开不尽的数或，因此（即）和是无理数． （3）解：正实数是大于的实数，因此、、、、、是正实数． （4）解：负实数是小于的实数，因此和是负实数． 13．已知一个正数的平方根是和，的立方根是，是的整数部分，的平方根等于它本身． (1)_____，______，_____，_______； (2)求的平方根． 【答案】(1)5，，6，0 (2)的平方根为 【分析】本题主要考查了平方根，立方根，无理数的估算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义，无理数的估算，进行计算即可； （2）先代入原式求值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：一个正数的平方根是和， ， 解得，； 的立方根是， ， 解得，； c是的整数部分，且， ； d的平方根是它本身， ． 故答案为：5，，6，0． （2）解：由（1）可得， ， 13的平方根为， 的平方根为． 14．如图，一只瓢虫从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为．设点表示的数为． (1)实数的值为______； (2)数轴上还有，两点分别表示实数和，且与互为相反数．求的算术平方根． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题综合考查数轴上点的移动规律、绝对值与算术平方根的非负性、相反数的定义及算术平方根的计算．解题关键是利用“非负数和为0则各非负数均为0”求出和，再逐步完成后续计算． （1）利用数轴上点向右移动时数值的变化规律（原数加移动单位长度）来确定的值； （2）先依据绝对值与算术平方根的非负性及相反数的性质求出和，再代入计算并求其算术平方根． 【详解】（1）解：因为瓢虫从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为， 所以点表示的数为， 故答案为：； （2）解：因为与互为相反数， 所以， 即， 解得． 所以， 故的算术平方根为2． 15．对于任意有理数，，，，定义一种新运算：．例如． (1)，求的值； (2)若的值与的取值无关，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一元一次方程，有理数的混合运算，利用新定义法则将待求项转化为一元一次方程是解题的关键． （1）利用新定义法则进行计算即可； （2）利用新定义法则将将表达式展开为关于的多项式，根据其值与的取值无关，可知项和项的系数均为0，由此列出关于的方程组求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． （2）解： ∵的值与x的取值无关， ∴，， 解得，． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $