精品解析：四川自贡市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

2025-2026学年高二年级上期期末考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线的焦距长为12，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在三棱柱中，若 ，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 依次投掷硬币3次，至少有一次出现正面的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 我市读书爱好者协会有6名成员，暑假期间这6名协会成员每个人阅读的书本数分别如下：3，2，5，4，3，1，则这组数据的方差为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6. 已知曲线C的方程为则“”是“曲线C为双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 平行六面体中，底面为正方形，，，为的中点，则异面直线和所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为6 B. 的最小值为 C. 方程6有两解 D. 方程7无解 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线， ，则下列说法正确的是（ ） A. 恒过定点 B. 不存在实数a使得 C. 当时， D. 当时，点到直线的距离为1 10. 在正方体中，动点P满足则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 异面直线与所成的角的最小值是 C. D. 直线与平面所成最大角的正弦值为 11. 在平面直角坐标系中，过抛物线焦点F的直线与C相交于两点，过点A作抛物线C的切线PA，下列说法正确的是（ ） A. 直线OA与OB的斜率之积为定值 B. 当最小时，切线PA与x轴交点为 C. 当时， D. 的取值范围是 三、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的一个焦点为，则______. 13. A与B是相互独立的随机事件，若，，则______. 14. 已知圆锥的底面半径为，侧面积是，在其内部有一个正方体可以任意转动，则正方体的体积的最大值是__________． 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 若直线是圆 的一条对称轴. （1）求a的值； （2）求与直线l平行的圆C的切线方程. 16. 为普及宪法知识，某社区对青年人举行了一次宪法知识竞赛，满分100分（90分以上为认知度高），结果认知度高的有n人，按照年龄分成以下5组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）请估计这n人的平均年龄（同一组数据用该组区间的中点值作代表）并计算上四分位数； （2）现从以上各组中采用按比例分层抽样的方法抽取20人，担任该社区宪法宣传使者，现在计划从两组宣传使者中随机抽取2人作为组长，求2人来自不同两组的概率. 17. 已知抛物线的焦点为F，是抛物线C上的点，且 （1）求抛物线C的方程； （2）直线交抛物线C于M，N两点，求. 18. 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）直线与底面所成角为，. （ⅰ）求F到平面的距离； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 离心率为椭圆的左、右焦点分别为、，过作垂直于x轴的直线被圆所截的弦长为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）P是圆O上任意一点，过P作椭圆C的两条切线PM、PN，M、N为切点. （ⅰ）证明：PM⊥PN； （ⅱ）作PQ⊥MN于Q，判断是否为定值？若是求出其定值，若不是请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二年级上期期末考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在空间直角坐标系中，一个点关于平面对称的点的坐标为，据此即可得到答案． 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为. 故选：C 2. 已知双曲线的焦距长为12，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，根据焦点在轴上的双曲线渐近线方程即可求出答案. 【详解】双曲线的焦距长为，即，所以， 又，所以，所以， 因为双曲线的焦点在轴上， 故双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 3. 在三棱柱中，若 ，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，利用空间向量的线性运算即可表示出. 【详解】如图所示， 因为，，， 所以. 故选：D. 4. 依次投掷硬币3次，至少有一次出现正面的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对立事件可求概率. 【详解】依次投掷硬币3次，观察是否出现正面，样本空间共有个样本点， 记“一次正面都没有出现”为事件，则中有1个样本点， 故，故至少有一次出现正面的概率为， 故选：D. 5. 我市读书爱好者协会有6名成员，暑假期间这6名协会成员每个人阅读的书本数分别如下：3，2，5，4，3，1，则这组数据的方差为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出均值，再根据方差公式求解即可. 【详解】由题设有， 所以这组数据的方差 故选：C. 6. 已知曲线C的方程为则“”是“曲线C为双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由方程为为双曲线可得，解得，再根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】方程为为双曲线， 则，解得， 所以“”是“曲线C为双曲线”的充要条件. 故选：C 7. 平行六面体中，底面为正方形，，，为的中点，则异面直线和所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量法证明，即可求出答案. 【详解】如图，由题意得， 因为，，， 所以， ， 又， 所以， 所以异面直线和所成角的大小为. 故选：A. 8. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为6 B. 的最小值为 C. 方程6有两解 D. 方程7无解 【答案】B 【解析】 【分析】将函数变形为，分析出其几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，求出的最小值，即可判断A，B，C，D. 【详解】因为，所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，，作点关于轴的对称点，，当，，三点共线时，取得最小值， ，所以，故A错误，B正确， 因为，所以无解，故C错误，因为，所以有两解，故D错误. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线， ，则下列说法正确的是（ ） A. 恒过定点 B. 不存在实数a使得 C. 当时， D. 当时，点到直线的距离为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：直线的方程可化为，即可判断定点；对于B：根据直线垂直列式求解即可；对于C：根据直线平行列式求解，并代入检验即可；对于D：直接代入即可求点到直线的距离. 【详解】因为直线， ， 对于选项A：直线的方程可化为，所以恒过定点，故A正确； 对于选项B：若，则，解得， 即时，，故B错误； 对于选项C：若，则，解得， 当时，直线， ，满足； 当时，直线， ，满足； 综上所述：，故C正确； 对于选项D：当时，点到直线的距离为，故D正确； 故选：ACD. 10. 在正方体中，动点P满足则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 异面直线与所成的角的最小值是 C. D. 直线与平面所成最大角的正弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，证明平面，直线上的点到平面的距离为定值；对于选项B，异面直线与所成的角转化为与所成的角求解；对于选项C，证明面即可；选项D，建立空间直角坐标系，向量法求解. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面. 因为点在线段上运动， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离为定值， 又△的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值. 故选项A正确； 因为， 所以异面直线与所成的角即为与所成的角， 当点位于点或点时，因为△为正三角形， 与所成的角最小为， 故选项B不正确； 因为面，面， 所以⊥. 故选项C正确； 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， ，，，，，， ， 所以， ， 设面的法向量为， ，， 即， 令，，，所以， 设直线与平面所成的角为， ， 令，， 当，时，最大，最大，此时. 故选项D不正确. 故选：AC. 11. 在平面直角坐标系中，过抛物线焦点F的直线与C相交于两点，过点A作抛物线C的切线PA，下列说法正确的是（ ） A. 直线OA与OB的斜率之积为定值 B. 当最小时，切线PA与x轴交点为 C. 当时， D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】先设直线的方程为，再联立直线与抛物线方程，得到，，代入斜率公式即可判断A；根据抛物线的定义及基本不等式求得最小时的坐标，设切线PA的方程，再联立抛物线方程，由得到切线方程即可判断B；先结合A得到，，再根据题意得，利用焦点弦长求解即可判断C；利用两点距离和焦半径公式求得，然后利用换元法，利用函数的单调性求解范围即可判断D． 【详解】对于A，依题意可设直线的方程为，，， ，， 联立，消整理得， 则，代入得， 则直线OA与OB的斜率之积为，故A正确； 对于B， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，不妨取，则可设切线的方程为， 联立，消整理得， 则，解得，所以切线的方程为， 联立，解得，，即切线与准线的交点坐标为，故B正确； 对于C，结合A可得，， 由，得，解得，所以，故C错误； 对于D，， 令，则， 因为，所以，则，所以， 所以，故D正确． 故选：ABD． 三、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的一个焦点为，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用双曲线方程结合直接计算作答. 【详解】因双曲线的一个焦点为，则有，解得. 故答案为：1 13. A与B是相互独立的随机事件，若，，则______. 【答案】0.6## 【解析】 【分析】根据独立事件的概率乘法公式可得，再结合事件的运算性质求解即可. 【详解】因为事件A与B是相互独立的随机事件，且，， 则， 所以. 故答案为： 14. 已知圆锥的底面半径为，侧面积是，在其内部有一个正方体可以任意转动，则正方体的体积的最大值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件求出圆锥的内切球半径，再求出此球的内接正方体的棱长即可作答. 【详解】正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，则当正方体棱长a最大时，正方体的外接球恰为圆锥的内切球， 设圆锥的母线长为，底面半径为，则， 所以 如图圆锥轴截面为等边三角形，其内切圆O是该圆锥的内切球O大圆截面， 的高，则内切圆O的半径即球半径， 于是得球O的内接正方体棱长a满足：，解得：， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键. 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 若直线是圆 的一条对称轴. （1）求a的值； （2）求与直线l平行的圆C的切线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由圆的方程得到圆心坐标，直线为圆的对称轴则直线经过圆心，把圆心代入直线方程即可求出. （2）设与直线平行的直线方程为，再根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径求出,再代回方程即可. 【小问1详解】 圆：的圆心坐标为. 因为直线：是圆C的一条对称轴，所以圆心在直线上. 可得，即. 移项可得，解得. 【小问2详解】 设与直线平行的直线方程为. 由（1）可知圆的圆心坐标为，半径. 可得圆心到直线的距离,. 则，即或. 所以与直线平行的圆的切线方程为或. 16. 为普及宪法知识，某社区对青年人举行了一次宪法知识竞赛，满分100分（90分以上为认知度高），结果认知度高的有n人，按照年龄分成以下5组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）请估计这n人的平均年龄（同一组数据用该组区间的中点值作代表）并计算上四分位数； （2）现从以上各组中采用按比例分层抽样的方法抽取20人，担任该社区宪法宣传使者，现在计划从两组宣传使者中随机抽取2人作为组长，求2人来自不同两组的概率. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中的数据，利用平均数公式和上四分位数的运算公式计算即得； （2）先根据分层抽样原理确定两组中抽取的人数，再按照古典概型概率公式分别计算总样本空间中样本点数和所抽取的样本点数即得. 【小问1详解】 设这n人的平均年龄为， 则（岁）. 第五组的频率为，第四组与第五组的频率之和为， 所以上四分位数在第四组，设上四分位数为， 由，解得. 【小问2详解】 由题意，因第四组的人数占比为，第五组的人数占比为， 现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人， 则应在第四组抽取人，记为， 应在第五组抽取人，记为， 计划随机抽取2名作为组长，其对应的样本空间为： ， 共15个样本点. 设事件“两位组长来自不同组”， 则共有8个样本点. 所以. 17. 已知抛物线的焦点为F，是抛物线C上的点，且 （1）求抛物线C的方程； （2）直线交抛物线C于M，N两点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义可得，可得，进而求解即可； （2）联立直线交抛物线C的方程求出M，N，再根据两点间距离公式求解即可. 【小问1详解】 对于抛物线，其准线方程为. 已知是抛物线C上的点，且， 根据抛物线的定义，可得，解得， 则抛物线C的方程为. 【小问2详解】 联立，解得或， 则，， 所以. 18. 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）直线与底面所成角为，. （ⅰ）求F到平面的距离； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）设G为PB中点，连接GE，，通过证明四边形为平行四边形可完成证明； （2）由题意知，以D为原点，构建空间直角坐标系. （i）由题可计算出平面的法向量，然后由空间向量知识可得答案； （ii）求出平面，平面的法向量，然后由空间向量知识可得答案. 【小问1详解】 证明：设G为PB中点，连接GE，，又，分别是、中点， 所以，，，又底面是正方形， 所以，，故四边形为平行四边形，则， 又不在平面内，平面，所以平面. 【小问2详解】 由题意知，如图以D为原点，构建空间直角坐标系， 因，则， 所以，，，，， 所以，，，. （i）令为平面的一个法向量， 则，取， 又，则到平面距离为：； （ii）令为平面的一个法向量， 则，取， 又由（i）可得平面法向量可为 所以平面与平面夹角的余弦值为：. 19. 离心率为椭圆的左、右焦点分别为、，过作垂直于x轴的直线被圆所截的弦长为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）P是圆O上任意一点，过P作椭圆C的两条切线PM、PN，M、N为切点. （ⅰ）证明：PM⊥PN； （ⅱ）作PQ⊥MN于Q，判断是否为定值？若是求出其定值，若不是请说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由圆的弦长公式求出，结合离心率求出，可得椭圆标准方程； （2）（i）设，切线，联立切线方程与椭圆方程，消元后由 得，从而得PM⊥PN；当切线的斜率有一个不存在时，求出此时的点以及直线，同样得证； （ii）先求得切线方程为，利用切线都过得直线的方程，由垂直得直线方程，从而可得点坐标，再利用在圆上，可得点轨迹方程，判断其为椭圆，焦点也是，得定值．当切线的斜率有一个不存在时，求出点坐标后也在上述椭圆上，从而证得结论． 【小问1详解】 由题意，弦长为，则 由于，则. . 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 （i）设，则，过点P的直线方程为，即. 联立直线与椭圆方程，消去y得：，展开并整理得. 因为直线与椭圆相切，所以，化简得. 设直线PM、PN的斜率分别为，，则，是上述方程的两个根，根据韦达定理 ，所以. 当直线PM、PN中有一条直线的斜率不存在时，不妨设直线PM的斜率不存在，则PM的方程为. 当时，代入圆的方程得，此时或. 若，则直线PN的斜率为0，满足； 若，同理可得. 当时，同理可证. 综上，得证. （ii）当切线的斜率都存在时，设 ， 切线方程为 ， 由（i）得， 又点在椭圆上，得 ， 代入得 ， 即， 切线方程为 ， 又过点，则， 所以直线方程为， 由 得直线方程为， 联立直线方程与直线方程，， 解得， 代入直线方程得， 由得Q点轨迹方程为， 则Q点恰好在以为焦点，半长轴长为的椭圆上， 当切线的斜率有一个不存在时， 如斜率不存在，则， 直线方程为 方程为 ， 可解得点也在椭圆上， 若，同理， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $