精品解析：辽宁省朝阳市建平县实验中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

建平县实验中学2024~2025学年度上学期高二期末考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：人教B版必修第四册，选择性必修第一册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则复数虚部为（ ） A. B. C. 4 D. 2. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线l方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线平面α，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知圆柱的底面半径，母线长l是底面直径的2倍，则该圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆C的长轴的顶点分别为A、B，点F为椭圆C的一个焦点，若，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（ ） A B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（ ） A. B. C. 12 D. 14 10. 如图，在正三棱柱中，P为空间内一动点，若，则（ ） A. 若，则点P轨迹为线段 B. 若，则点P的轨迹为线段 C. 存在，，使得平面 D. 存在，，使得平面 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的一点，且满足为坐标原点，线段的中点为，直线与双曲线交于另一点，与双曲线的另一条渐近线相交于点．则（ ） A. B. 点的坐标为 C. 是中点 D. 是的中点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若圆被直线平分，则_________． 13. 如图，在正四面体中，，D为中点，则的值是______． 14. 已知抛物线的焦点为，则抛物线的准线方程为______；抛物线的焦点为，若直线分别与，交于，两点，且，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，的面积为，求． 16. 如图，在四棱柱中，平面，底面是平行四边形，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为等边三角形，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的长轴长为，短轴长为2. （1）求椭圆C的焦点坐标； （2）直线与椭圆C相交于A､B两点，点F为椭圆C的左焦点，若为锐角，求实数m的取值范围. 19. 如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线，的斜率分别为，，求的值； （3）证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平县实验中学2024~2025学年度上学期高二期末考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：人教B版必修第四册，选择性必修第一册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用利用复数乘除运算求出复数即可得解. 【详解】依题意，复数，所以复数的虚部为. 故选：A 2. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将抛物线方程化成标准方程求出，得解. 【详解】由抛物线的标准方程为，有，得， 所以抛物线的焦点到准线的距离为. 故选：B. 3. 已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线平面α，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，根据空间向量的坐标表示建立方程，解之即可求解. 【详解】由直线平面，可得， 所以，得. 故选：D. 4. 已知圆柱的底面半径，母线长l是底面直径的2倍，则该圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出母线长，然后代入圆柱的表面积公式求解即可. 【详解】因为圆柱的底面半径，所以母线长， 所以圆柱的表面积为. 故选：D 5. 已知椭圆C的长轴的顶点分别为A、B，点F为椭圆C的一个焦点，若，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题可得，即可得出离心率. 【详解】设长轴为，焦距为， 由题意有，得. 故选：C. 6. 已知点，点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点斜率公式，即可结合图形，结合斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】由于, 结合图形关系可知：要使直线过点且与线段相交， 则直线的斜率或， 故选：B 7. 已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出直线l的方程，与抛物线方程联立，结合中点坐标求出直线l的方程. 【详解】显然直线l不垂直于，设直线l的方程为， 由消去得，，由弦的中点为， 得，此时方程有两个不等实根， 所以直线的方程为，即. 故选：D 8. 在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据条件得到，从而将问题转化成与圆有交点，再利用两圆的位置关系即可求出结果. 【详解】设，则由，得到， 整理得到，又点在圆上，所以与圆有交点， 又的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 所以，解得， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（ ） A. B. C. 12 D. 14 【答案】BD 【解析】 【分析】将直线化为，代入两平行线间距离公式分析求解. 【详解】将直线化为， 则，之间的距离， 即，解得或． 故选：BD． 10. 如图，在正三棱柱中，P为空间内一动点，若，则（ ） A. 若，则点P的轨迹为线段 B. 若，则点P的轨迹为线段 C. 存在，，使得平面 D. 存在，，使得平面 【答案】AB 【解析】 【分析】由共面向量定理可得点在侧面内（含边界），利用共线向量判断AB；借助向量数量积判断CD. 【详解】在正三棱柱中，由，得点在侧面内（含边界）， 对于A， 由，得，点的轨迹为线段，A正确； 对于B，由，得，则， 即，又，因此点的轨迹为线段，B正确； 对于C，，，则与不垂直， 即直线与直线不垂直，从而不存在，使得平面，C错误； 对于D，平面的法向量为，由选项C知，与不垂直， 因此不存在，使得平面，D错误. 故选：AB 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的一点，且满足为坐标原点，线段的中点为，直线与双曲线交于另一点，与双曲线的另一条渐近线相交于点．则（ ） A. B. 点的坐标为 C. 是的中点 D. 是的中点 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到A正确；B选项，求出渐近线方程，设出，由勾股定理列出方程，求出，得到；C选项，求出直线方程，联立渐近线方程，得到，C正确；D选项，联立直线方程与双曲线方程，得到，得到D正确. 【详解】A选项，因为，为的中点，所以，A正确； B选项，渐近线方程为，设， 则，解得，故，B错误； C选项，由B选项知，，，故， 直线方程为，即， 联立，解得， 故， 由于，故是的中点，C正确； D选项，联立，即， 解得，负值舍去， 故，故， 由于， 故是的中点，D正确. 故选：ACD 【点睛】结论点睛：双曲线渐近线方程求解，焦点在轴的双曲线方程，渐近线为，焦点在轴上的双曲线方程，渐近线方程为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若圆被直线平分，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的性质，结合配方法、代入法进行求解即可. 【详解】由， 所以该圆的圆心坐标为， 因为圆被直线平分， 所以圆心在直线上， 因此有， 故答案为： 13. 如图，在正四面体中，，D为中点，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量线性运算用已知向量表示，再根据向量数量积运算得解. 【详解】 . 故答案为：. 14. 已知抛物线的焦点为，则抛物线的准线方程为______；抛物线的焦点为，若直线分别与，交于，两点，且，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出准线方程；设，利用抛物线定义求出，运算得解. 【详解】由抛物线，可得，抛物线的准线方程为. 设， 则， 故，所以， 所以，解得. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化得，进而得，在求解即可得答案； （2）由面积公式得，进而根据题意得，，再根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，则， 所以，即， 因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，， 所以，即， 因为，所以， 所以，解得. 所以. 16. 如图，在四棱柱中，平面，底面是平行四边形，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明出平面，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，，求出，再利用角三角函数的基本关系求解即可； （2）直接利用空间向量求解点到面的距离即可． 【小问1详解】 连接，相交于点O，连接，相交于点， 由，可得等边三角形， 又由O为的中点，可得，，， 因为，， 所以， 又因为平面，所以平面， 由上知，，两两垂直，以O为坐标原点，，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 有，，，，，，， 设平面的法向量为， 由，， 有， 取，，，可得平面的一个法向量为， （1）由， 有，，， 有， 故直线与平面所成角的正弦值为； 小问2详解】 由，有， 可得点到平面的距离为． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为等边三角形，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合勾股定理的逆定理，利用线面垂直的判定推理即得. （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用线面垂直的向量求法求解即得. 【小问1详解】 在四棱锥中，正方形的边长为2，取的中点，连接，， 由，，得，由为的中点，得， 由为等边三角形，得，于是，即， 又，则，而，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，平面，则平面， 而平面，于是平面平面，在平面内过点作， 又平面平面，因此平面，即直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 有， 在中，由，，得，， 设平面的法向量为，，， 则，取，得， 设平面的法向量为，，， 则，取，得， 因此， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆长轴长为，短轴长为2. （1）求椭圆C的焦点坐标； （2）直线与椭圆C相交于A､B两点，点F为椭圆C的左焦点，若为锐角，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）由长轴长为，短轴长为2得，直接求出c，写出焦点坐标； （2）设A､B坐标为，用“设而不求法”联立方程组，得到由为锐角，利用，求出实数m的范围. 【详解】（1）∵椭圆长轴长为，短轴长为2 ∴ 即可得：， ∴焦点坐标为. （2）设A､B坐标为，椭圆的左焦点F(-1,0), 联立，消去x的： ∴ ∴ ∵为锐角，∴，即 ∴ 解得：. ∴实数m的范围 【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程，可以直接写出焦点坐标； （2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题. 19. 如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线，的斜率分别为，，求的值； （3）证明：直线过定点. 【答案】（1） （2） （3）直线过定点,证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线上的点求标准方程； （2）利用韦达定理运算求解即可； （3）利用联立方程组，结合韦达定理求得的坐标，猜想过定点，并用三点共线与斜率的关系证明求解. 【小问1详解】 因为点和点在双曲线上， 所以，解得，所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由题可知，直线的斜率不等于零，故可设直线的方程为， 设， 联立，整理得， 若，即，直线的斜率为，与渐近线平行， 此时直线与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以， 所以 ， ， 因为,所以 ，所以. 【小问3详解】 （i）当轴时，且， 所以，则， 联立，整理得， 即，解得或， 当时，，所以， 由于对称性，，此时直线过定点； （ii）当不垂直于轴时，以下证明直线仍过定点设为， 因为，所以联立， 即，所以， 解得或， 当时，， 所以, 同理，将上述过程中替换为可得， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以三点共线，即此时直线恒过定点， 综上直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $