重庆2026届高三上学期一模数学试卷

数学参考答案 一、单选题 1 2 3 6 7 8 B A A 分 D 1.解析：z=(1+i)i=-1+i,则z+z=-2: 2.解析：因为M∈P∈U,所以M与CP没有公共元素，故M∩(C,P)=O: 3.解析：高中教师人数：初中教师人数：小学教师人数=3：8：11，所以小学教师应抽取二×44=22人： 4.解折：设焦距为2c,由e=台气-得c=1,所以焦距为2： 5.解析：由1og4x>log2x,得1og4x>1og4x2,所以x>0,且x>x2,解得0<x<1: 6.解析：因为AC∥AC,AD,∥BC且AC∩AD=A,AC∩BC=C,所以平面ACD∥平面ABC,: 7.解析：取a=0.04,b=0.01,则a>b,但a2=0.0016<0.1=√b:取a=√5，b=2,则 a2=3>√2=√b,但a<b.所以“a>b”是“a2>Vb”的既不充分也不必要条件： 8.解析：由条件，原问题即探求y=上sin()的图象与yx-cos01+sin日的图象有且只有一个公共点时， 0的取值范围.注意到yx-cosO|+siB的图象的顶点在单位圆x2+y2=1上，结合图象知，当 且仅当0受孕时，符合条件， 二、多选题 9 10 11 ABD AC BCD 9解折P0X0Y=0X-0Y心-5PV=0X)=心0X-6-2 n(Y=0) n(X=1)6923 Y2=4.881>3.841=xo,所以若取x=0.05,疗效与疗法不独立，X2=4.881<6.635=x01, 所以若取α=0.01，可以认为疗效与疗法独立： 10.解析：由f(-x)=f(x),g(-x)=e.f(-x)+e2x=e.f(x)+e2x=ex·f(x)+e2x=g(x), 所以f(x)=e*+e，g(x)=e2r+e2x+1,f(x)在(0，+o)单调递增，g(x)≥3， g(x)=f(2x)+1: 11.解析：设P(x。y%)(x>0,%>0),则AP=(x+1,%),OM=(1,1)(2>0)或OM=(-1,1)(亿>0)， 若0M=1,)(>0)且4P.0M=0,则x。+1+。=0，因为x号-y6=1,矛盾：若 OM=2(-1,1)(2>0)且AP.OM=0,则x。+1-y%=0,因为x-y好=1，矛盾.故A选项错误： 直线4P的方程为：y=0x+1),与x2-y2=0联立，化简得 x。+1 2x 【+02-61+2g-6=0,所以w+=G+护-6-1，+w=%: 即xM+1=-xw,yM=6-yw,故AM=严.故B选项正确： 由条体，B>&,mamB=为（之）=兰=-1，所似月-a=受故c选项正确： x+1x。-1-x6-1 因为tan(a+月=ana+amE=(五-为）=-。，=-】，又因为△P44的面积等于 1-tanatan B 2x+1 xo-1 x-1 o 1 y0,所以△PAA,的面积等于- 故D选项正确. tan(a+B) 三、填空题 12.5 13.3 14.12 3 12.解析：因为a⊥b,则2m-4=0,得m=2,a+b=(4,-3),|a+b上√42+(-3)2=5： 13.解析：轴截面是一个边长为2的正三角形，则圆锥底面半径为1，高为√5， 所以y=h=5=5元 3 3 3 14.解析：假设n个点时有a,个满足条件的三角形区域，则增加一个点后，无论这个点在原来的某个三角形内 部，还是在某个三角形的边上（不与顶点重合），都会增加两个三角形，即an+=an+2.因为a1=4, 所以a=12,即当n=5时，三角形区域的个数为12. 一般的，除A,B,C,D外，其余n个点，若一个顶点处有偶数条公共边，只需要2种颜色即可把以 该顶点为公共顶点的三角形区分开，若一个顶点处有奇数条公共边，只需要3种颜色即可把以该顶点 为公共顶点的三角形区分开，注意到图中有一个顶点处有5个三角形，故至少需要3种不同颜色. 四、解答题 15.(13分) 解：(1)设{an}的公比为q,因为aa4=a2a3,所以3a2=a243· 因为a,≠0，所以3=4，从而g= 3 .2分 又因为4=2，所以4=2=6.故a,= 3n-2’neN'. .5分 2》因为a,=3是，所以5=9- 2 3-2,n∈N. .7分 a,+139=(3a7+139- 3-a),令x= 3a'fy=(2x+13)9-. f)在(0，上单调递增，在（弓，3]上单调递减。 当n=1时，x=3,f3)=114:当n=2时，x=1,f(1)=120: 当n≥2时，x≤1，f(x)≤120 所以(an+13)Sn的最大值为120. ..13分 16.(15分) 解：（1)乙的得分不高于甲的得分的概率为： Pw2M=Pw=0+P0W=20-M=01=++-名 ..4分 (2)由题意可知随机变量X的可能取值有0、2、3、4、5分， .5分 P0x-0-Pu-aN-叭- P(X=2)=P(M=2,N=0)+P(M=0,N=2)=x3+2x2= 23433 P(x-3)-P(3. P(K=4)-P(M=2,N=2)=5x2= 233 P(X=5)-=P(M=3,N=2)=4x号6 1×2-1 .12分 因此所得X的分布列为： X 0 2 3 4 5 1 p 12 3 12 3 6 所以50X)=2写+3x司 +4×三+5× 137 612 .15分 3 17.(15分) 解：(1)由条件及正弦定理，sin Bcos2A+2 sin AcosAcos B=0, sin Bcos 2A+sin 2Acos B=0,sin(24+B)=0. 3分 因为0<2A+B<3π，所以2A+B=π或2A+B=2π. 因为A+B+C=π，若2A+B=2π，则A-C=π，与条件矛盾： 若2A+B=π，则A=C,符合条件.故A=C. …7分 (2)由条件及余弦定理，cosB=a2+c2-b2=V2 2 因为0<B<元，所以B= 4 。9分 2ac 又由(1)，知A=C=3π ..10分 8 在△ABD中，∠BAD=1∠BAC= 3 ∠ADB= 8 8 AD BD AB 由正弦定理，知 sin- 4 sin n sin 8 5π 8 8 5π AB.BD sin- sin 所以AD2 8_8=2sin5πg 8im3元 8 .15分 8 8 8 42 4 18.（17分) 解：(1)设M(xyo),由条件知，H(x,-1). 又由条件，MF例=M,所以V场+0。-1)2=y+,化简得x后=4%， 故C的方程为：x2=4y .4分 （2)由1)知M云)，因为直线m的斜率为 2 所以直线m的方程为：一-，即y马x场 2 24 x2 因为y= 4，y光所以y文在点山处的切践方程为：y4云- 4 2 即y= 2 所以，直线m是C的切线. 9分 条件，设圆C,的方程为：x-r}+0y-}=r严r>0),设G与C相交于点P 则方程6，-+（手-=只，即+8-32元+16=0有唯-解 令f)=2+8x+16,x>0.则f四=3x+816-3x-4+ x2 所以，当0<x< 25时，∫()<0，f)单调递减： 3 当x2 时，f>0,f)单调递增。由条件，r=2气-4 3 32f3)=1 9 所以C的方程为x-4。)2+0y-02=16 .17分 27 19.(17分) 解：(1)伴飞卫星P在xOy平面上的射影P的轨迹为圆，由点P运行一圈所需时间为2π， 且P的起始位置为0，)，设运行时间为，放Pco+孕sm+) 所以P(-sint,cost,t),故经过5秒后，P的坐标为(-sin5,cos5,5): .4分 (2)AP=(-sin6,cost-l,t),平面xOy的一个法向量为n=(0,0,1), .6分 设直线AP与平面xOy所成角为0， 则sin0=cos<A,n> sin2t+cos2t-2cost+1+t2 t .8分 2-2cost+2 sin- 令h(x)=x-sinx,可得当x>0时，h(x)>0,故0≤ <1，可得5<如9≤1， x 2 故直线P与平面x0所成角的取值范国为（宁，孕： .10分 (3)则Q的坐标是(0，a,t),则O0=(0,a,t),A证=(-sint,cost-l,t),O0与AP不能垂直， 即OQAP=0无解，即a(cost-1)+t2=0在(0，+oo)上无解， .11分 当a=0时，不符合题意.令函数f(t)=cost-1+-(t>0), ①当a<0时，了0=c0s1-1+仁s<0,故a<0符合题意， .12分 aa ②当a>0时，f'0=-sint+21,记g0=fg=-sint+21,则g'0=-cost+2, a a a ()当0<a≤2时，g0=-cost+2≥-c0st+1≥0， 故g(t)在(0，+∞)单调递增，故当t>0时，g(t)>g(0)=0即f'(t)>0, 故f(t)在(0，+∞)单调递增，故f(t)>f(0)=0, 所以f(t)在(0，+∞)没有零点，符合题意. ..14分 2 (i)当a>2时，当1e(0,2]时，存在4∈(0，受，使得cos4-子，且当0<1<4时，80单调 a 递减，故g(t)<g(0)=0,即t∈(0，t)时，f'(t)<0,故f(t)在(0，t)单调递减，f(t)<f(0)=0, 又f02m=cos2π+（2m}-1=4 1 >0,所以f()f(2π)<0， a 由零点存在性定理知f(t)在(，2π)上有零点，故a>2不符合题意； .16分 综上所述，a的取值范围为(-o,0)U(0,2]. .17分数学 数学共4页，满分150分。时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.已知z=(1+i)i,则z+z= A.-1 B.-2 C.2i D.-2i 2.已知全集为U,MEPEU,则Mn(CP)= A.0 B.M C.CP D.U 3.某地区有高中教师300人，初中教师800人，小学教师1100人，为调查某次教师培训的成 效，采用分层抽样的方法从这些教师中抽取一个容量为44的样本进行访问，则小学教师应 抽取 A.6人 B.16人 C.22人 D.28人 4. 已知椭圆芽+片=10<b<2)的离心率e=号， 则其焦距为 4 A.1 B.√5 C.2 D.25 5.若log4x>log2x,则 A.0<x<1 B.1<x<2 C.x>1 D.x>2 6.己知正四棱柱ABCD-AB,CD中，AB=AD=1,AA=2,则 A.BC,/1平面AAC B.平面ACD/I平面ABC C.A,C⊥平面BC,D D.平面ABCD⊥平面ABCD 7.已知a>0,b>0,则“a>b”是“a2>√b”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 &.已知0e(0,2x),若函数f()=2sin(x)-k-cos-sin0在区间[0,2]上有且只有一个零点， 则0的取值范围为 [到) c D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9.某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良，为分析两种疗法效果是否有差异，采取 有放回的简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到如下数据 疗效 附常用小概率值及其相应的临界值表为： 疗法 未治愈(Y=0) 治愈(Y=1) a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 甲(X=0) 15 52 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 乙(X=1) 6 63 计算得x2≈4.881.则下列说法正确的是： A以频率估计概率，有P(K=dy=0)-=引 B.以频率估计概率，有PY=0X=)三)3☐ C.若取a=0.05,可以认为疗效与疗法独立 D.若取a=0.01,可以认为疗效与疗法独立 10.已知函数f(x)和g(x)=e·f(x)+e2“均为R上的偶函数，则 A.f(x)在(0，+o)单调递增 B.g(x)≥4 C.g(x)=f(2x)+1 D.g(x)=[f(x)] 11.已知双曲线C:x2-y2=1的左右顶点分别为A,A,P为C在第一象限内的一点，线段AP 与C的渐近线分别相交于M,N两点，记∠PAA,=a,∠PA,A=B,则 A.存在点P,使得AP.OM=0 B.AM=NP C.B-a=T 1 D.△PAA,的面积等于- 2 tan(a+B) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(2,1),b=(m,-4),若a⊥b,则a+b= 13.若经过圆锥的轴的截面是一个边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为 14.在矩形ABCD内部（不包含矩形边界）有n个点，将这些点以及矩形的顶点作适当连接， 把矩形分割成没有公共部分的三角形区域，则当n=5时，三角形 区域的个数为：若对如图所示的三角形区域进行着色，要求 有公共边的区域不能同色，则至少需要种不同的颜色 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知等比数列{an}满足：a2=2,且3a=a,a4 (1)求数列{an}的通项公式： (2)记{an}的前n项和为Sn,求(an+13)Sn的最大值. 16.(15分) 甲、乙两位同学参加投篮练习，由他们的投篮位置和命中情况确定得分可能为3分、2分、 0分，根据以往练习统计数据，甲一次投篮得3分、2分、0分的概率分别为 424 ,乙不 投3分球，他一次投篮得2分、0分的概率分别为子、}，若甲、乙各投篮一次称为一轮投篮， 33 且甲、乙投篮相互独立，每次投篮也互不影响. (1)记一轮投篮后，甲的得分为M,乙的得分为N,求P(M≥N): (2)记一轮投篮后，甲乙所得分数之和为随机变量X,求X的分布列及数学期望. 17.(15分) 已知△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,有bcos2A+2 acosAcosB=0. (1)证明：A=C; (2)若a+c2-B=V2ac,D是BC边上一点，且∠BAC=3∠BAD,求4B-BD AD2 18.(17分) 已知点F(O,l),H是直线：y=-1上的一点，过H作1的垂线1'，线段FH的垂直平分线 m交'于点M.当H在1上运动时，记M的轨迹为C, (1)求C的方程； (2)证明：直线m是C,的切线； (3)已知圆C,的圆心在第一象限内，C与C,有唯一的公共点，且C,与y轴相切于点F, 求圆C,的方程. 19.(17分) 某学校天文社团设计了一种航天伴飞卫星，大致原理为：如图建立直角坐标系，在原点O 处沿z轴正方向发射一枚火箭，火箭升空速度为每秒1单位.在点A(01,0)处放置一枚伴飞 卫星P(视作质点)，当火箭升空时，伴飞卫星随火箭同时升空，且逆时针匀速绕火箭螺 旋转动，运行一圈所需时间为2π秒，其沿z轴正方向的速度与火箭相同. (1)求经过5秒，此时伴飞卫星P的坐标： (2)在伴飞卫星P运行过程中，求直线AP与平面xOy所成角的取值范围： (3)若在y轴上点B(0,α，0)处同时发射一枚监测卫星Q(视作质点)，其速度大小和运 行方向与火箭相同，若监测卫星Q和伴飞卫星P在运行过程中所成直线OQ与AP不垂直， 求实数a的取值范围. AZ