20.1勾股定理及其应用（第2课时 勾股定理在实际生活中的应用）课件-【满分全攻略备课系列】2025-2026学年人教版数学八年级下册

八年级人教版数学下册 第二十章 勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第二课时勾股定理在实际生活中的应用 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1.识别勾股定理实际应用的典型场景，掌握将实际问题抽象为直角三角形模型的基本方法，能准确梳理实际问题中的数量关系并转化为数学条件。 2.初步学会运用勾股定理结合方程思想，解决含未知量的实际应用问题。 a、b、c 为正数 a b c 勾股定理 公式变形 直角三角形的_________________，等于____________. 如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么___________. 两条直角边的平方 斜边的平方 a2 + b2 = c2 复习引入 勾股定理有广泛的应用，下面我们用它解决两个问题. 教材P26 例题 例2 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 分析：可以看出，木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过. 门框对角线 AC 的长度是木板斜着能通过的最大长度. 求出 AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过. 解：连接 AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理， AC² = AB² + BC² = 1² + 2² = 5， AC = ≈ 2.24. 因为AC大于木板的宽 2.2 m，所以木板能从门框内通过. 1.有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 解：设水深为 x 尺，则这根芦苇的高为 (x+1) 尺，根据题意和勾股定理可列方程： x2+52 = (x+1)2，解得 x = 12. 变式训练 2. 如图，有两棵树，一棵高 8 米，另一棵高 2 米，两棵树相距 8 米. 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少米？ A B C 解：如图，过点 A 作 AC⊥BC 于点 C. 由题意得 AC = 8 (米)，BC = 8 - 2 = 6 (米)， 答：小鸟至少飞行 10 米. 变式训练 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 转化 构建 利用 决解 将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出图形，分析已知量、待定量，这是利用勾股定理解决实际问题的一般思路. 方法技巧 例3 如图，一架长为 2.5 m 的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点 A 处，底端位于地面的点 B 处，点 B 到墙面的距离 BO 为 0.7 m. 如果将梯子底端沿 OB 向外移动 0.8 m，那么梯子顶端也沿墙 AO 下滑 0.8 m 吗？ 解：当梯子底端沿 OB 向外移动 0.8 m 时， 设梯子的底端由点 B 移动到点 D，顶端由点 A 下滑到点 C. 可以看出，AC = OA－OC. 在 Rt△AOB 中，根据勾股定理，OA2 = AB2－OB2 = 2.52－0.72 = 5.76，OA = 2.4. 在 Rt△COD 中，根据勾股定理，OC2 = CD2－OD2 = 2.52－(0.7 + 0.8)2 = 4，OC = 2.所以，AC = OA－OC = 2.4－2 = 0.4. 因此，当梯子底端向外移动 0.8 m 时，梯子顶端并不是下滑 0.8 m，而是下滑 0.4 m. 教材P26-27 例题 3.一架5 m 长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端距墙脚3 m，若梯子顶端下滑1 m，求梯子底端滑动的距离. 解：根据题意，建立如图所示的模型. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴ AC＝＝4. 在Rt△A1B1C中，∠A1CB1＝90°， A1C＝AC－AA1＝4－1＝3，A1B1＝5 ， ∴ B1C＝＝4. ∴ BB1＝B1C－BC＝1.因此，梯子底端滑动的距离是1 m. 变式训练 教材P27 练习 课内练习 1. 如图，A，B 是池塘边上的两点，点 C 是与 BA 方向成直角 的方向上一点，测得 BC = 60 m，AC = 20 m. 求 A，B 两点间的距离（结果取整数）. 解 2. 如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度. 位于地面上 点 A 处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点 B， 仪器显示 AB = 23.1 m；再将激光射向楼顶端的点 C，仪器显示 AC = 31.9 m；最后仪器自动显示出楼高 BC = 22 m. 你能说出其中的数学道理吗？ 解：根据勾股定理， 3. 电视机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以 英寸（1 英寸= 2.54 cm）为单位. 王芳测得自家电视机 的屏幕宽为 71 cm，高为 40 cm，这台电视机的屏幕尺寸是多少英寸（结果取整数）？ 解：根据题意知，屏幕对角线的长度为 ， 答：这台电视机的屏幕尺寸是 32 英寸. 基础巩固题 知识点1 利用勾股定理解决实际问题 1.【2025河北邢台质检】如图，将一根长 的筷子置于底面直 径为，高为 的圆柱形水杯中，若筷子露在水杯外部的长 度为，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 【解析】如图，当筷子的底端在 点时，筷子露在水杯外部的长度最短，在 中，, 此时 ; 当筷子的底端在点时，筷子露在水杯外部的长度最长，此时 ， ．故选B. 2.【2025北京西城区期中】如图，在离水面点高度为 的岸 上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为 ， 此人以的速度收绳，后船移动到点 的位置，则船向 岸边移动了（假设绳子始终是直的）( ) A A. B. C. D. 【解析】在中， ，， ， 此人以的速度收绳，后船移动到点 的位 置，.在 中，由勾股定理得 ， ，即 船向岸边移动了 ，故选A. 15 3. 传统文化【2024四川巴中期末】在《算法统宗》中有一道 “荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐， 五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出 索长有几.”此问题可理解为如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离 14.5 【解析】设秋千的绳索长为尺,即尺.由题意知 尺，尺，尺.在中， ， ，解得 ，故答案为14.5. 地距离为1尺.将它往前水平推送10尺，即 尺，则此时秋千的踏板离地距 离就和身高5尺的人一样高.若秋千的绳索始终拉直，则绳索 长为______尺. 16 能力提升题 4.如图，钓鱼竿AB的长为5．4 m，露出水面上的鱼线BC长为1．8m．当钓鱼者把钓鱼竿AB转到AB′的位置时，露出水面上的鱼线B′C′长为4．2 m，则CC′的长为________． 5 5.如图是一架秋千的示意图，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0．5 m，将它往前推送3 m(水平距离BC＝3 m)时，踏板离地的垂直高度BF＝1．5 m，绳索始终拉得很直，则秋千的绳索AD的长为______m． 18 6.消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援．如图，云梯最多能伸长到25 m(即AB＝CD＝25 m)，消防车高4 m，救人时云梯伸长至最长，在完成从19 m(即BE＝19 m)高的B处救人后，还要从24 m(即DE＝24 m)高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？(延长AC交DE于点O，AO⊥DE，OE的长即为消防车的高) 解：在Rt△ABO中， ∵∠AOB＝90°，AB＝25 m，OB＝19－4＝15(m)， ∴AO＝＝ ＝20(m)． 在Rt△COD中， ∵∠COD＝90°，CD＝25 m，OD＝24－4＝20(m)， ∴OC＝ ＝ ＝15(m)， ∴AC＝OA－OC＝20－15＝5(m)． 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为5 m. 19 7.数学课上，老师提出如下问题：如图①是一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为20，32．点A处有一只蚂蚁要沿着台阶爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短路程是多少？ (1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接AB，经过计算得到AB的长为________，就是最短路程． (2)如图③是一个圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路程为________cm． (3)如图④是一个圆柱形玻璃杯，高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁正好在外壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？(杯壁厚度忽略不计) 25 17 解：如图，作出玻璃杯侧面展开图的一半，作B关于EF的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE的延长线于点D，连接AB′，交EF于点C，连接BC，易得BC＋CA＝AB′，则AB′的长即为最短路程． 由题意得DE＝B′F＝BF＝1 cm，AE＝9－4＝5， ∴AD＝AE＋DE＝6 cm. ∵底面周长为16 cm，∴B′D＝×16＝8， ∴AB′＝＝10 cm， ∴蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为10 cm. 20 实际应用 确定直角三角形的已知边和未知边 分析实际情境，找出直角三角形 运用勾股定理列式求解 结合实际情境判断结果的合理性 课堂小结 教科书第27页练习 第1,2,3题 布置作业 m　 $