7.2 平行线知识归纳与题型突破 学案 2025-2026学年人教版七年级数学下册

7.2平行线知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版七年级下册(15题型) 知识归纳： 1．平行线判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 注意： 根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 注意： 根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 注意： （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 题型突破： 题型1：平行的定义与识别 1.下列说法正确的是（　　） A．同一平面内，如果两条直线不平行，那么它们互相垂直 B．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相垂直 C．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相平行 D．同一平面内，如果两条直线不垂直，那么它们互相平行 2.同一平面内的两条直线的位置关系有 种，分别是 ． 3.在同一平面内，直线a，b相交于P，若a∥c，则b与c的位置关系是　 　． 题型2：平面内多条直线的位置关系 1.若a、b、c是同一平面内三条不重合的直线，则它们的交点可以有（　　） A．1个或2个或3个 B．0个或1个或2个或3个 C．1个或2个 D．以上都不对 2.在同一平面内，两条不重合直线的位置关系可能是（　　） A．垂直或平行 B．垂直或相交 C．平行或相交 D．平行、垂直或相交 3.在同一平面内有三条直线，如果使其中有且只有两条直线平行，那么这三条直线有且只有　 　个交点． 题型3：作已知直线的平行线 1.如图，过C点作线段AB的平行线，说法正确的是（　　） A．不能作 B．只能作一条 C．能作两条 D．能作无数条 2.如图中完成下列各题． （1）用直尺在网格中完成：①画出直线AB的一条平行线；②经过C点画直线垂直于CD． （2）用符号表示上面①、②中的平行、垂直关系． 3.如图所示，在∠AOB内有一点P． （1）过P画l1∥OA； （2）过P画l2∥OB； （3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？ 题型4：对平行公理及其推论的理解与应用 1.下列推理正确的是（　　） A．因为a∥d，b∥c，所以c∥d B．因为a∥c，b∥d，所以c∥d C．因为a∥b，a∥c，所以b∥c D．因为a∥b，d∥c，所以a∥c 2．下列说法正确的有（   ） ①不相交的两条直线是平行线;  ②在同一平面内,不相交的两条线段平行 ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;  ④若a∥b,b∥c,则a与c不相交. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 题型5：探究两直线平行的条件 1.如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　　） A．∠1＝∠A B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠A＝∠3 2.如图，下列条件①∠1＝∠2；②∠BAD＝∠BCD；③∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠4；④∠BAD+∠ADC＝180°．其中能判定AB∥CD的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图所示，在条件：①；②；③；④中，能判定的条件是 （填序号）． 题型6：利用两直线平行的条件解决实际问题 1.木工师傅用图中的角尺画平行线，他依据的数学道理是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等 2.学习平行线后，张明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的．观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P与已知直线a平行的直线．由操作过程可知张明画平行线的依据有（　　） ①同位角相等，两直线平行； ②两直线平行，同位角相等； ③内错角相等，两直线平行； ④同旁内角互补，两直线平行． A．①③ B．①②③ C．③④ D．①③④ 3.你知道潜水艇吗？它在军事上的作用可大呢．潜水艇下潜后，艇内人员以用潜望镜来观察水面上的情况，如图①．其实它的原理非常简单，（如图②，潜望镜中的两个平面镜与水平方向的夹角都为45°，光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4．你能解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行吗？ 题型7：通过阅读推理过程填空 1．在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，∠求证：c∥d． 证明：如图， ∵∠2+∠3＝180°（ 　　）， ∠1+∠2＝180° （ 　　）， ∴　　＝　　（同角的补角相等）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4 （ 　　）， ∴　　　　（ 　　）． 2.下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整．如图，已知于B，于D，，探究与的位置关系 解：∵，（已知） ∴________，________（垂直的定义） ∴________（__________________两直线平行） ∵（________） ∴________（__________________，两直线平行） ∴与的位置关系是________ （__________________） 3．如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 题型8：灵活运用判定方法说明两直线平行 1.如图，∠ABC＝∠ADC，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，且∠2＝∠3，求证：BC∥AD． 2.已知：如图∠1＝∠2＝∠E，∠3＝∠4． 求证：AB∥CD． 3.如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由． 题型9：利用平行的性质求角的度数 1.如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（　　） A．46° B．90° C．96° D．134° 2.如图，，，则的度数为 ． 3.如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM．当∠DCM＝60°时，求∠O的度数． 题型10：平行线之间的距离 1.在同一平面内，设、、是三条互相平行的直线，已知与的距离为，与的距离为，则与的距离为（    ） A． B． C．或 D．或 2.如图，，，，．则下列结论正确的是（    ）． A．A与B之间的距离就是线段AB B．AB与CD之间的距离就是线段AC的长度 C．与之间的距离就是线段CE的长度 D．与之间的距离就是线段CD的长度 3．如图，已知直线a // b // c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，若AB=2，AC=6，则平行线b、c之间的距离是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型11：利用平行的性质说明两直线垂直 1.已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB． 2.如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB． 3.如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE． 题型12：平行线的性质与判定的综合计算 1.如图，已知∠2+∠3＝180°，∠1＝120°，则∠4＝（　　） A．120o B．80o C．60o D．75o 2．如图，，．若平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3.如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD． 题型13：利用平行线的性质解决实际问题 1.某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45° C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120° D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127° 2.光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，反之亦然．如图，若水面和杯底是互相平行的，且，，则 ． 3.如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？ 题型14：利用平行线的性质解决折叠问题 1.如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（　　） A．58° B．64° C．72° D．60° 2.如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是 °．    3．如图，数学实验课上，小华将一张长方形纸条（两对边与平行）沿直线折叠，为折痕． (1)判断和的数量关系，说明理由； (2)若，求的度数． 题型15：借助三角形求角的度数 1．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，将一块直角三角板放于两条平行线上，若，则（   ） A． B． C． D． 3．把直角三角尺和长方形纸片按如图所示的方式摆放，使直角顶点C在纸片边缘上，，若，则的度数为 ． 【答案】 7.2平行线知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版七年级下册(15题型) 知识归纳： 1．平行线判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 注意： 根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 注意： 根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 注意： （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 题型突破： 题型1：平行的定义与识别 1.下列说法正确的是（　　） A．同一平面内，如果两条直线不平行，那么它们互相垂直 B．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相垂直 C．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相平行 D．同一平面内，如果两条直线不垂直，那么它们互相平行 【答案】C． 2.同一平面内的两条直线的位置关系有 种，分别是 ． 【答案】 三 相交、平行、重合 3.在同一平面内，直线a，b相交于P，若a∥c，则b与c的位置关系是　 　． 【答案】相交． 题型2：平面内多条直线的位置关系 1.若a、b、c是同一平面内三条不重合的直线，则它们的交点可以有（　　） A．1个或2个或3个 B．0个或1个或2个或3个 C．1个或2个 D．以上都不对 【答案】B． 2.在同一平面内，两条不重合直线的位置关系可能是（　　） A．垂直或平行 B．垂直或相交 C．平行或相交 D．平行、垂直或相交 【答案】C． 3.在同一平面内有三条直线，如果使其中有且只有两条直线平行，那么这三条直线有且只有　 　个交点． 【答案】2． 题型3：作已知直线的平行线 1.如图，过C点作线段AB的平行线，说法正确的是（　　） A．不能作 B．只能作一条 C．能作两条 D．能作无数条 【答案】B． 2.如图中完成下列各题． （1）用直尺在网格中完成：①画出直线AB的一条平行线；②经过C点画直线垂直于CD． （2）用符号表示上面①、②中的平行、垂直关系． 【答案】解：（1）如图所示： （2）EF∥AB，MC⊥CD． 3.如图所示，在∠AOB内有一点P． （1）过P画l1∥OA； （2）过P画l2∥OB； （3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？ 【答案】解：（1）（2）如图所示， （3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补． 题型4：对平行公理及其推论的理解与应用 1.下列推理正确的是（　　） A．因为a∥d，b∥c，所以c∥d B．因为a∥c，b∥d，所以c∥d C．因为a∥b，a∥c，所以b∥c D．因为a∥b，d∥c，所以a∥c 【答案】C． 2．下列说法正确的有（   ） ①不相交的两条直线是平行线;  ②在同一平面内,不相交的两条线段平行 ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;  ④若a∥b,b∥c,则a与c不相交. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 3.在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】A 题型5：探究两直线平行的条件 1.如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　　） A．∠1＝∠A B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠A＝∠3 【答案】A． 2.如图，下列条件①∠1＝∠2；②∠BAD＝∠BCD；③∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠4；④∠BAD+∠ADC＝180°．其中能判定AB∥CD的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B． 3．如图所示，在条件：①；②；③；④中，能判定的条件是 （填序号）． 【答案】①③④ 题型6：利用两直线平行的条件解决实际问题 1.木工师傅用图中的角尺画平行线，他依据的数学道理是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等 【答案】A． 2.学习平行线后，张明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的．观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P与已知直线a平行的直线．由操作过程可知张明画平行线的依据有（　　） ①同位角相等，两直线平行； ②两直线平行，同位角相等； ③内错角相等，两直线平行； ④同旁内角互补，两直线平行． A．①③ B．①②③ C．③④ D．①③④ 【答案】D． 3.你知道潜水艇吗？它在军事上的作用可大呢．潜水艇下潜后，艇内人员以用潜望镜来观察水面上的情况，如图①．其实它的原理非常简单，（如图②，潜望镜中的两个平面镜与水平方向的夹角都为45°，光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4．你能解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行吗？ 【答案】解：∵∠1=∠2=45°，∠3=∠4=45°， ∴∠5=180°-45°×2=90°， ∠6=180°-45°×2=90°， ∴∠5=∠6， 故进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的． 题型7：通过阅读推理过程填空 1．在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，∠求证：c∥d． 证明：如图， ∵∠2+∠3＝180°（ 　　）， ∠1+∠2＝180° （ 　　）， ∴　　＝　　（同角的补角相等）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4 （ 　　）， ∴　　　　（ 　　）． 【答案】邻补角的定义；已知；∠3；∠1；等量代换；c；d；内错角相等，两直线平行 2.下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整．如图，已知于B，于D，，探究与的位置关系 解：∵，（已知） ∴________，________（垂直的定义） ∴________（__________________两直线平行） ∵（________） ∴________（__________________，两直线平行） ∴与的位置关系是________ （__________________） 【答案】90；90；；在同一平面内，垂直于同一条直线的；已知；；同旁内角互补；平行；平行于同一条直线的两直线平行 3．如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 【答案】；角平分线的定义；；角平分线的定义；；；；同旁内角互补两直线平行 题型8：灵活运用判定方法说明两直线平行 1.如图，∠ABC＝∠ADC，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，且∠2＝∠3，求证：BC∥AD． 【答案】证明：∵BE、DF分别是∠ABC和∠ADC的平分线， ∴∠1∠ABC，∠2∠ADC， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠1＝∠2， ∵∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴BC∥AD． 2.已知：如图∠1＝∠2＝∠E，∠3＝∠4． 求证：AB∥CD． 【答案】证明：∵∠1＝∠2＝∠E， ∴AD∥BE，∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE， 即∠BAE＝∠DAC， ∴∠DAC＝∠3， ∴∠3＝∠BAE， ∵∠3＝∠4， ∴∠4＝∠BAE， ∴AB∥CD． 3.如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由． 【答案】解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知）， ∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的性质）， 所以∠BAG＝∠AGC（ 同角的补角相等）， 因为EA平分∠BAG， 所以∠1∠BAG（ 角平分线的性质）， 因为FG平分∠AGC，所以∠2∠AGC， 得∠1＝∠2（等量代换）， 所以AE∥GF（ 内错角相等，两直线平行）． 题型9：利用平行的性质求角的度数 1.如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度数为（　　） A．46° B．90° C．96° D．134° 【答案】C． 2.如图，，，则的度数为 ． 【答案】 3.如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM．当∠DCM＝60°时，求∠O的度数． 【答案】解：∵CD平分∠ACM， ∴∠ACM＝2∠DCM． ∵∠DCM＝60°， ∴∠ACM＝120°． ∵直线AB与OM交于点C， ∴∠OCB＝∠ACM＝120°（对顶角相等）， ∵AB∥ON， ∴∠O+∠OCB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠O＝60°． 题型10：平行线之间的距离 1.在同一平面内，设、、是三条互相平行的直线，已知与的距离为，与的距离为，则与的距离为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 2.如图，，，，．则下列结论正确的是（    ）． A．A与B之间的距离就是线段AB B．AB与CD之间的距离就是线段AC的长度 C．与之间的距离就是线段CE的长度 D．与之间的距离就是线段CD的长度 【答案】C 3．如图，已知直线a // b // c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，若AB=2，AC=6，则平行线b、c之间的距离是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 题型11：利用平行的性质说明两直线垂直 1.已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB． 【答案】证明：FH⊥AB（已知）， ∴∠BHF＝90°． ∵∠1＝∠ACB（已知）， ∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）． ∵∠2＝∠3（已知）， ∴∠3＝∠BCD（等量代换）， ∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行）， ∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等） ∴CD⊥AB． 2.如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB． 【答案】解： 过E作EF∥AD，交CD于F， 则∠ADE＝∠DEF， ∵DE平分∠ADC， ∴∠1＝∠ADE， ∴∠1＝∠DEF， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠DEC＝90°， ∴∠DEF+∠FEC＝90°， ∴∠2＝∠FEC， ∵CE平分∠DCB， ∴∠2＝∠BCE， ∴∠FEC＝∠BCE， ∴BC∥EF， ∴BC∥AD， ∵DA⊥AB， ∴BC⊥AB． 3.如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE． 【答案】证明：∵AD∥BE， ∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠B＝∠DCE， ∴AB∥CD， ∴∠CGF＝∠BAE， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE∠BAD， ∴∠CGF∠BAD， ∵CF平分∠DCE， ∴∠FCG∠DCE， ∴∠FCG∠B， ∴∠CGF+∠FCG（∠BAD+∠B）180°＝90°， ∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°， ∴CF⊥AE． 题型12：平行线的性质与判定的综合计算 1.如图，已知∠2+∠3＝180°，∠1＝120°，则∠4＝（　　） A．120o B．80o C．60o D．75o 【答案】C． 2．如图，，．若平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 3.如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD． 【答案】证明：∵AF⊥CE（已知）， ∴∠AOE＝90°（垂直的定义）． 又∵∠1＝∠B（已知）， ∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）， ∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等）， ∴∠AFB＝90°（等量代换）． 又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）， ∴∠AFC+∠2＝（90）°． 又∵∠A+∠2＝90°（已知）， ∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 题型13：利用平行线的性质解决实际问题 1.某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45° C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120° D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127° 【答案】D． 2.光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，反之亦然．如图，若水面和杯底是互相平行的，且，，则 ． 【答案】 3.如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？ 【答案】解： ∵AB∥CD（已知）， ∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 （已知）， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4 （等量代换）， ∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（平角定义）， 即：∠5＝∠6 （等量代换）， ∴l∥m． 题型14：利用平行线的性质解决折叠问题 1.如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（　　） A．58° B．64° C．72° D．60° 【答案】B． 2.如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是 °．    【答案】105° 3．如图，数学实验课上，小华将一张长方形纸条（两对边与平行）沿直线折叠，为折痕． (1)判断和的数量关系，说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【详解】（1）解：． 理由如下：∵， ∴． 由折叠可知， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知， ∵， ∴， ∴． 由折叠可知， ∴． 题型15：借助三角形求角的度数 1．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 2．如图，将一块直角三角板放于两条平行线上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 3．把直角三角尺和长方形纸片按如图所示的方式摆放，使直角顶点C在纸片边缘上，，若，则的度数为 ． 【答案】25° 学科网（北京）股份有限公司 $