8.3实数及其简单运算知识归纳与题型突破2025-2026学年人教版七年级数学下册（十二题型）

8.3实数及其简单运算知识归纳与题型突破2025-2026 学年人教版七年级下册（十二题型） 知识归纳： 知识点一：无理数 无限不循环小数称为无理数。（开方开不尽的数；含有π的数；有规律但不循环的数。） 如，等 知识点二：实数： 有理数和无理数统称实数。 知识点三：实数与数轴：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。 题型突破： 题型一：无理数的判断 1．在实数中，无理数有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.以下六个数：，，3.14，，，0.100010001，无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．在实数，，，3.14，中，无理数共有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．在0.7，，，，，2.010010001六个实数中，无理数的个数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 5.在（每两个1之间依次多1个0）这几个数中，无理数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型二：实数的性质 1.下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣2与 B．|﹣2|与2 C．﹣2与 D．﹣2与 2.3的相反数是　 　． 3. ， ． 题型三：实数与数轴 1．如图，数轴上表示的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．如图，点P，Q在数轴上表示的实数分别是和，则P，Q两点之间表示的无理数可能是（   ） A． B． C． D． 3.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|b﹣a|﹣b的结果为（　　） A．a B．a﹣2b C．﹣a D．﹣a﹣2b 4.如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 （填“A”或“B”或“C”或“D”）． 5．数轴上点A表示的数是，点B在点A的左边，且，那么点B表示的数是 ． 题型四：实数的分类 1.把下列各实数填在相应的大括号内； ，﹣|﹣3|，，，1.1010010001… 整数：{　 　…}； 分数：{　 　…}； 无理数：{　 　…}； 负数：{　 　…}； 2.将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内： 1，﹣0.25，2.3，，0，，2，，； 负实数集合{　 　…}； 有理数集合{　 　…}； 无理数集合{　 　…}； 3．把下列各数填到相应的集合内（只填序号）： ①2；②；③； ④0.54：⑤0.1；⑥；⑦0；⑧﹣23；⑨（）2；⑩0.3020020002…（相邻两个2之间0的个数逐次加一） 有理数集合：{　 　…}； 无理数集合：{　 　…}； 正实数集合：{　 　…}； 负实数集合：{　 　…}； 4.把下列各数的序号填在相应的横线上： ①﹣3.14，②2π，③，④0.618，⑤，⑥0，⑦﹣1，⑧+3，⑨，⑩﹣0.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1）． 整数集合：{           }； 分数集合：{           }； 无理数集合：{           }. 5.把下列各数填在相应的横线上： 0，，﹣2，，﹣3.14，+9，π，1.212212221……（两个1之间依次多1个2）． 整数：{             }； 负分数：{           }； 无理数：{            }． 题型五：实数的混合运算 1.计算： （1）；（2）． 2.（1）计算：；（2）． 3．计算： （1）；（2）． 4．计算： （1）；（2）． 5．计算： （1）；（2）． 6．计算：． 题型六：实数运算的实际应用 1.某新建学校计划在一块面积为256m2的正方形空地上建一个面积为150m2的长方形花园（长方形花园的边与正方形空地的边平行），要求长方形花园的长是宽的2倍．请你通过计算说明该学校能否实现这个计划． 2.电流通过导线时会产生热量，且满足Q＝I2Rt，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为5Ω，2s时间导线产生90J的热量，求电流的值． 3.从理论上讲，人眼能看清楚无限远处的物体，但受光线等外在条件和人的眼球本身的健康程度等影响，实际上无法做到．天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s可用经验公式s2＝17h来估计，其中h是眼睛离海平面的高度（公式中s的单位是千米，h的单位是米）．某游客站在海边一处观景台上，眼睛距离海平面的高度约为34米，他能看到大海的最远距离约是多少千米？（结果保留整数，1.4） 4.小李同学想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为2：3，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小于同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．” （1）长方形纸片的长和宽是分别多少cm？ （2）你是否同意小于同学的说法？说明理由． 题型七：无理数大小的估算 1．估算的值在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 2.估计的值应在（        ） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 3．估算的运算结果应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．1到2之间 D．4到5之间 4.若，且、为连续正整数，则= 题型八：整数部分与小数部分 1.已知的整数部分是a，小数部分是b，则的值是 ． 2．已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 3．若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 4．的整数部分是 ．小数部分是 ． 题型九：实数的大小比较 1.在实数0，，，|﹣2|中，最小的数是（　　） A． B．0 C． D．|﹣2| 2.在实数，，0，1中，最小的实数是 ． 3.比较大小：6 ． 4．比较大小： （填“>”、“<”或“=”）． 5.比较大小： ． 题型十：实数运算与流程图 1.有一个数值转换器，原理如下：当输入的为时，输出的是（    ）    A． B．2 C． D． 2. 如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的是（  ） A．输入值为16时，输出值为4 B．输入任意整数，都能输出一个无理数 C．输出值为时，输入值为9 D．存在正整数，输入后该生成器一直运行，但始终不能输出值 3．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的值是 ． 4．如图是一个数值转换器，当输入的值为256时，则输出的值是 ． 5．如图所示的是一个数值转换器． （1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为 ； （2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为 ． 题型十一：实数背景下的自定义运算 1．设都是有理数，规定，，则 ． 2.用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b都有．例如，那么 ． 3.对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算*如下：那么 ． 4.对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ． 题型十二：实数运算规律问题 1．观察下列数据：0，，，，，，，…．根据数据排列的规律，第个数据是 ． 2．观察下面的数据：，，，，，，……．寻找规律，第个数据应是 ． 3.如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（    ） A． B． C． D． 4.小明做数学题时，发现；；；；…；按此规律，若（a，b为正整数），则 ． 【答案】 8.3实数及其简单运算知识归纳与题型突破2025-2026 学年人教版七年级下册（十二题型） 知识归纳： 知识点一：无理数 无限不循环小数称为无理数。（开方开不尽的数；含有π的数；有规律但不循环的数。） 如，等 知识点二：实数： 有理数和无理数统称实数。 知识点三：实数与数轴：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。 题型突破： 题型一：无理数的判断 1．在实数中，无理数有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 2.以下六个数：，，3.14，，，0.100010001，无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 3．在实数，，，3.14，中，无理数共有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 4．在0.7，，，，，2.010010001六个实数中，无理数的个数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 5.在（每两个1之间依次多1个0）这几个数中，无理数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 题型二：实数的性质 1.下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣2与 B．|﹣2|与2 C．﹣2与 D．﹣2与 【答案】C． 2.3的相反数是　 　． 【答案】3． 3. ， ． 【答案】 题型三：实数与数轴 1．如图，数轴上表示的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 2．如图，点P，Q在数轴上表示的实数分别是和，则P，Q两点之间表示的无理数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 3.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|b﹣a|﹣b的结果为（　　） A．a B．a﹣2b C．﹣a D．﹣a﹣2b 【答案】C 4.如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 （填“A”或“B”或“C”或“D”）． 【答案】D 5．数轴上点A表示的数是，点B在点A的左边，且，那么点B表示的数是 ． 【答案】/ 题型四：实数的分类 1.把下列各实数填在相应的大括号内； ，﹣|﹣3|，，，1.1010010001… 整数：{　 　…}； 分数：{　 　…}； 无理数：{　 　…}； 负数：{　 　…}； 【答案】﹣|﹣3|，0；，﹣3.1，；，，1.1010010001…；﹣|﹣3|，﹣3.1． 2.将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内： 1，﹣0.25，2.3，，0，，2，，； 负实数集合{　 　…}； 有理数集合{　 　…}； 无理数集合{　 　…}； 【答案】﹣0.25，，2；1，﹣0.25，2.3，0，；，，2，． 3．把下列各数填到相应的集合内（只填序号）： ①2；②；③； ④0.54：⑤0.1；⑥；⑦0；⑧﹣23；⑨（）2；⑩0.3020020002…（相邻两个2之间0的个数逐次加一） 有理数集合：{　 　…}； 无理数集合：{　 　…}； 正实数集合：{　 　…}； 负实数集合：{　 　…}； 【答案】②③④⑤⑦⑧⑨，①⑥⑩，①④⑤⑥⑨⑩，②③⑧． 4.把下列各数的序号填在相应的横线上： ①﹣3.14，②2π，③，④0.618，⑤，⑥0，⑦﹣1，⑧+3，⑨，⑩﹣0.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1）． 整数集合：{           }； 分数集合：{           }； 无理数集合：{           }. 【答案】解：⑤⑥⑦⑧；①③④⑨；②2⑩． 5.把下列各数填在相应的横线上： 0，，﹣2，，﹣3.14，+9，π，1.212212221……（两个1之间依次多1个2）． 整数：{             }； 负分数：{           }； 无理数：{            }． 【答案】0，﹣2，，+9；，﹣3.14；π，1.212212221……（两个1之间依次多1个2）． 题型五：实数的混合运算 1.计算： （1）；（2）． 【答案】解：（1） ＝﹣1+（﹣3）﹣6 ＝﹣4﹣6 ＝﹣10； （2） ＝22﹣2（﹣4） ＝22﹣24 ＝3． 2.（1）计算：；（2）． 【答案】解：（1） ＝5﹣2+2 ＝5． （2） ＝2+（）﹣（2） 2 ． 3．计算： （1）；（2）． 【答案】解：（1） ＝﹣1+51﹣2﹣3 ； （2） 2 ＝2． 4．计算： （1）；（2）． 【答案】解：（1） ＝﹣1+5 ＝4； （2） ＝2﹣（﹣2） ＝4． 5．计算： （1）；（2）． 【答案】解：（1） ＝5+（﹣2）﹣6 ＝﹣3； （2） ＝33 ＝6． 6．计算：． 【答案】解：原式＝﹣64÷（﹣32）+2﹣（1﹣3）1 ＝2+2+21 ＝5． 题型六：实数运算的实际应用 1.某新建学校计划在一块面积为256m2的正方形空地上建一个面积为150m2的长方形花园（长方形花园的边与正方形空地的边平行），要求长方形花园的长是宽的2倍．请你通过计算说明该学校能否实现这个计划． 【答案】解：长方形花坛的宽为xm，长为2xm． ∵建一个面积为150m2的长方形花园， ∴2x•x＝150， ∴x2＝75， ∵x＞0， ∴x＝5，2x＝10， ∵正方形的面积为256m2， ∴正方形的边长为16m， ∵1016， ∴当长方形的边与正方形的边平行时，学校不能实现这个愿望． 2.电流通过导线时会产生热量，且满足Q＝I2Rt，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为5Ω，2s时间导线产生90J的热量，求电流的值． 【答案】解：由题意可得R＝5Ω，t＝2s，Q＝90J， ∴90＝I2×5×2， ∴I2＝9， ∴I＝±3（负值不符合实际情况，舍去） ∴电流的值是3A． 3.从理论上讲，人眼能看清楚无限远处的物体，但受光线等外在条件和人的眼球本身的健康程度等影响，实际上无法做到．天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s可用经验公式s2＝17h来估计，其中h是眼睛离海平面的高度（公式中s的单位是千米，h的单位是米）．某游客站在海边一处观景台上，眼睛距离海平面的高度约为34米，他能看到大海的最远距离约是多少千米？（结果保留整数，1.4） 【答案】解：∵眼睛距离海平面的高度约为34米， ∴s2＝17h＝17×34＝578， ∴s24（千米）． 答：他能看到大海的最远距离约是24千米． 4.小李同学想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为2：3，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小于同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．” （1）长方形纸片的长和宽是分别多少cm？ （2）你是否同意小于同学的说法？说明理由． 【答案】解：（1）解：设长方形纸片的长为3x（x＞0）cm，则宽为2x cm，依题意得， 3x•2x＝300， 6x2＝300，x2＝50， ∵x＞0， ∴x5， ∴长方形纸片的长为15 cm， 答：长方形纸片的长是15cm，宽是10cm； （2）不同意小于同学的说法． 理由：∵50＞49， ∴5 7， ∴1521． ∴长方形纸片的长大于20cm，由正方形纸片的面积为400cm2，可知其边长为20cm， ∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长， ∴不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片． 题型七：无理数大小的估算 1．估算的值在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 2.估计的值应在（        ） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 【答案】B 3．估算的运算结果应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．1到2之间 D．4到5之间 【答案】A 4.若，且、为连续正整数，则= 【答案】 题型八：整数部分与小数部分 1.已知的整数部分是a，小数部分是b，则的值是 ． 【答案】 2．已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 3．若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 【答案】 4．的整数部分是 ．小数部分是 ． 【答案】 3 题型九：实数的大小比较 1.在实数0，，，|﹣2|中，最小的数是（　　） A． B．0 C． D．|﹣2| 【答案】C． 2.在实数，，0，1中，最小的实数是 ． 【答案】 3.比较大小：6 ． 【答案】 4．比较大小： （填“>”、“<”或“=”）． 【答案】 5.比较大小： ． 【答案】 题型十：实数运算与流程图 1.有一个数值转换器，原理如下：当输入的为时，输出的是（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】C 2. 如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的是（  ） A．输入值为16时，输出值为4 B．输入任意整数，都能输出一个无理数 C．输出值为时，输入值为9 D．存在正整数，输入后该生成器一直运行，但始终不能输出值 【答案】D 3．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的值是 ． 【答案】 4．如图是一个数值转换器，当输入的值为256时，则输出的值是 ． 【答案】 5．如图所示的是一个数值转换器． （1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为 ； （2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为 ． 【答案】 100 0或1/1或0 题型十一：实数背景下的自定义运算 1．设都是有理数，规定，，则 ． 【答案】 2.用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b都有．例如，那么 ． 【答案】23 3.对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算*如下：那么 ． 【答案】3 4.对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ． 【答案】/0.4 题型十二：实数运算规律问题 1．观察下列数据：0，，，，，，，…．根据数据排列的规律，第个数据是 ． 【答案】 2．观察下面的数据：，，，，，，……．寻找规律，第个数据应是 ． 【答案】 3.如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 4.小明做数学题时，发现；；；；…；按此规律，若（a，b为正整数），则 ． 【答案】73 学科网（北京）股份有限公司 $