6.4.3.1&6.4.3.2　余弦定理、正弦定理讲义【八大题型】-2025-2026学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

6.4.3.1&6.4.3.2　余弦定理、正弦定理 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1)＝＝＝2R (2)a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝； cos B＝； cos C＝ 知识点二：角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． 知识点三：解三角形 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 【题型归纳】 题型一：正弦定理解三角形 【例1】．（25-26高一上·福建福州·自主招生）在中，和均为锐角，且．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理求解即可． 【详解】由题可知， 由正弦定理得， 即，解得． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25高一下·山东菏泽·月考）已知的内角所对的边分别为，若，则（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据正弦定理解三角形，求出角的正弦值，判断角的大小即可. 【详解】由正弦定理知，，即，解得， 又，所以，所以． 故选：A． 2．（25-26高三上·上海杨浦·期中）在中，，，，则边的长度为 . 【答案】 【分析】由正弦定理求解. 【详解】因为，所以， 由正弦定理，，所以， 故答案为：. 3．（24-25高一下·北京西城·期末）已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边.若，，，则 . 【答案】 【分析】根据正弦定理可求边. 【详解】因为，且为三角形的内角，所以. 由正弦定理，得：. 故答案为： 题型二：正弦定理判定三角形解的个数 【例2】．（25-26高三上·安徽·期中）在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理判断三角形解的情况. 【详解】A选项，三角形的三个角确定，一条边确定，则三角形只有一个解，故A错； B选项，，所以三角形无解，故B错； C选项，，所以三角形有两个解，故C正确； D选项，，所以,三角形只有一个解，故D错. 故选：C. 【举一反三】 1．（25-26高三上·海南·月考）在中，, ，则“”是“有两解”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据正弦定理以及三角形解的个数的判断方法，再结合必要不充分条件的定义求解即可. 【详解】若有两解，则， 即，所以， 所以有两解可以推出. 所以“”是“有两解”的必要不充分条件. 故选：B 2．（25-26高三上·河北保定·月考）在中，若，，，则解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【分析】应用正弦定理结合角的范围计算求解. 【详解】由正弦定理，得，所以，即，又， 所以，或， 所以解的个数为2． 故选：C． 3．（2025·江西·二模）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据正弦定理逐一判断各选项即可. 【详解】A：，，，为钝角且，有一解，故A错误； B：，，，为锐角，，则无解，故B错误； C：，，，为钝角且，则无解，故C错误； D：，，，为锐角，，因，故有两解，故D正确. 故选：D 题型三：正弦定理求外接圆的半径 【例3】．（25-26高三上·甘肃·月考）已知的三边长分别为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设最大边的对角为,利用余弦定理求出,进而求出，再利用正弦定理就可以求出外接圆半径,所以外接圆的面积为. 【详解】记长为4的边的对角为,则由余弦定理可以知道, 所以, 设的外接圆半径为,则由正弦定理,得,所以, 所以外接圆的面积为. 故选：A. 【举一反三】 1．（25-26高三上·内蒙古赤峰·月考）在中，已知，，则外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】先由题设求出，再由正弦定理即可求解. 【详解】因为，，所以. 设外接圆的半径为，则， 所以外接圆的半径为. 故选：D 2．（24-25高一下·重庆·期末）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】由余弦定理可求得，利用正弦定理可求得外接圆的半径. 【详解】因为，，， 所以由余弦定理可得， 所以，设外接圆的半径为， 又，，所以， 由正弦定理可得外接圆的半径为，解得. 故选：B. 3．（24-25高一下·安徽·期中）在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】利用正弦定理与三角函数的和差公式求得角，再利用的外接圆直径求得，从而得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得， ， 又在中，，， ，， 的外接圆直径为， . 故选：B. 题型四：正弦定理边角互化的应用 【例4】．（24-25高一下·北京石景山·期末）在中，，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】利用半角公式结合正弦定理、两角和的正弦公式化简计算得，根据三角形内角的范围计算可得，即可得出结论. 【详解】由题意，，化简整理得， 根据正弦定理，可得，即， 因为，所以， 则， 又，， 则. 所以的形状为直角三角形. 故选：B. 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）中，，则（    ） A．是等腰三角形 B．是直角三角形 C．是等腰三角形或直角三角形 D．是等腰直角三角形 【答案】C 【分析】利用切化弦及正弦定理边角转化，得，进而得或，即或，得解. 【详解】由，得， 由正弦定理，得，因为， 所以，则，又， 或，即或， 所以是等腰或直角三角形. 故选：C. 2．（24-25高一下·江苏南通·期末）在中，若，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】先利用正弦定理边化角，再利用两角差的正弦公式得到，最后结合正弦函数的性质得到，判断三角形形状即可. 【详解】在中，因为， 所以结合正弦定理可得， 则，可得， 由两角差的正弦公式得， 因为，，所以， 可得，解得， 即的形状是等腰三角形，故A正确. 故选：A 3．（23-24高一下·广东广州·期中）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助正弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理可得， 则、， 则. 故选：C. 题型五：余弦定理解三角形 【例5】．（25-26高一上·北京东城·期末）在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理可得出关于的方程，即可解得的长. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，整理得， 解得或（舍去），故. 故选：D. 【举一反三】 1．（2025高三上·江苏·学业考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用余弦定理求出角的余弦值，即可确定角. 【详解】由余弦定理，可得， 又因为，故. 故选：C. 2．（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理求解. 【详解】根据余弦定理得. 故选：C 3．（2025·陕西西安·模拟预测）在中，，，，则（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．2 【答案】B 【分析】在中利用余弦定理可解. 【详解】在中利用余弦定理可得，， 则由题意得，即，得（负值舍去）. 故选：B 题型六：余弦定理边角互化的应用 【例6】．（25-26高三上·安徽六安·月考）在中，角的对边分别为．若，为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理直接求解. 【详解】根据余弦定理， ， 所以. 故选：B 【举一反三】 1．（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 故选：A 2．（23-24高一下·重庆·期中）在中，内角所对边分别为，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】利用余弦定理角化边，然后整理化简即可得答案. 【详解】因为 所以， 整理得， 即的形状是等腰三角形. 故选：B. 3．（22-23高二上·陕西商洛·期末）在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【详解】根据余弦定理知， ，所以，则, 故三角形为直角三角形， 故选： 题型七：三角形面积公式问题 【例7】．（25-26高三上·上海松江·期中）在中，，，且，则的面积是 . 【答案】 【分析】根据题意，利用正弦定理得到，求得，再由三角函数的基本关系式，求得的值，结合面积公式，即可求解. 【详解】在中，由，即， 因为，由正弦定理得，可得， 又因为，且，可得， 所以的面积为. 故答案为：. 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】由余弦定理得出，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】由得，， 由余弦定理得，， 所以的面积为， 故答案为：． 2．（24-25高一下·浙江·月考）在中，若，且，则的周长为 ． 【答案】 【分析】利用三角形的面积公式，求得，再由余弦定理，列出方程求求得，进而求得的值，即可求解. 【详解】由中，，且， 可得，解得， 又由余弦定理得，即， 可得，则，所以， 所以的周长为． 故答案为：． 3．（2025·上海杨浦·模拟预测）在中，分别为角的对边.已知是一个面积为的锐角三角形，且，则的周长为 . 【答案】/ 【分析】先由面积求出正弦值，再用同角三角函数关系式求出，再用余弦定理得到，进而得到周长. 【详解】由于三角形的面积为，所以, 因为，故（锐角三角形）， 当时：， 则的周长为. 故答案为：. 题型八：正弦定理和余弦定理的综合应用 【例8】．（25-26高一上·北京东城·期末）在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角可求得，进而可求得. （2）由面积公式可求，由余弦定理可求，即可求得的周长. 【详解】（1）因为，得， 因为，，所以， 所以，所以，所以； （2）由，解得． 由余弦定理可得，， 所以，所以的周长为． 【举一反三】 1．（25-26高三上·天津和平·期末）在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若. （i）求的值； （ii）求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由正弦定理及二倍角公式可得， 又因为，所以，解得，由，可得. （2）（i）将代入余弦定理，得， 解得. （ii）因为，故，由正弦定理，解得， 由，故，代入. 2．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，因为，所以， 即，即，所以，因为，所以，； （2）由余弦定理及，得，即， 即，又，即，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以周长， 所以周长最大值为． 3．（25-26高二上·陕西西安·月考）在中，角所对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用正弦定理、和角的正弦公式以及诱导公式，即可得解； （2）运用余弦定理，再结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）由正弦定理可知，， 交叉相乘后可整理得， 即，，， 又因为在中，，因此可得，即. （2）由余弦定理可得，，即， 又因为，当且仅当时，等号成立， 因此，故， 即的面积的最大值为. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高三上·贵州·月考）在中，角所对的边分别为，若，，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】C 【分析】结合余弦定理可得为钝角，进而判断即可. 【详解】由，，,可知， 由余弦定理，， 所以为钝角，则为钝角三角形. 故选：C 2．（25-26高三上·甘肃白银·月考）已知在中，内角的对边分别为，且，则角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理求出，进而得到角的值. 【详解】在中，， 则． 又，则． 故选：C． 3．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）在中，角的对边分别是，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合已知等式求出边之间的比例，最后用余弦定理计算cosA的值即可. 【详解】因为，根据正弦定理，得，即：， 代入，得：，所以， 所以由余弦定理得： ， 故选：D . 4．（25-26高三上·云南昆明·月考）在中，，且，则的最小边长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】由正弦定理将角的正弦比转化为边长比，判断为直角三角形，根据面积公式建立关于比例系数的方程，解得比例系数，从而求得最小边. 【详解】由以及正弦定理可得，故， ，又，解得（舍）， 又因为最小的边长为，故. 故选：B 5．（25-26高三上·上海·期中）在中各角所对的边分别为a，b，c，下列结论错误的是（    ） A．则为等边三角形； B．已知，则； C．已知，，，则最小内角的度数为； D．在，，，解三角形有两解． 【答案】D 【分析】利用正弦定理和余弦定理，以及三角形的边、角的关系定理逐一判断即可. 【详解】对于A，由和正弦定理，可得，即， 因，，故，同理可得， 故可得为等边三角形，即A正确； 对于B，由可得，即， 由余弦定理，，因，故，即B正确； 对于C，因，则最小内角为角， 由余弦定理，， 因，则，故C正确； 对于D，由正弦定理，， 因为，则，故角只有一解.即D错误. 故选：D. 6．（25-26高三上·云南昆明·月考）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出，再应用面积公式得出，最后应用余弦定理计算求解. 【详解】因为， 整理可得：， 可得， 因为为三角形内角，，所以． 因为，所以， 因为，且，所以， 解得， 由余弦定理得， 解得．所以， 故选：A． 7．（25-26高二上·贵州黔南·开学考试）在中，角所对的边分别为，已知，且，则的形状为（   ） A．钝角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由可得，由可得，确定是等边三角形. 【详解】由得， 所以，又，所以. 由，根据正弦定理可得， 又，， 所以，又，所以， 由正弦定理可得.因为，所以是等边三角形. 故选：D. 二、多选题 8．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知的内角的对边分别为．若三角形有两解，则边的取值可以是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】BC 【分析】本题可根据余弦定理得到关于边的方程，再结合三角形有两解的条件，列出关于边的不等式，进而求出边的取值范围. 【详解】∵， ∴由余弦定理得：， 即， ∵三角形有两解， ∴方程有两个不相等的正根， ∴， 解得：， 结合选项可得B，C正确， 故选：BC. 9．（24-25高一下·云南文山·月考）已知的内角的对边分别为，已知，锐角满足，则（   ） A．的周长为12 B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用同角公式及余弦定理求解判定即可. 【详解】对于B，由为锐角，且，得，B正确； 对于AC，由余弦定理得， 得，则，A错误，C正确； 对于D，由余弦定理得，D错误. 故选：BC 10．（2026·陕西咸阳·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 【答案】BD 【分析】由正弦定理得到，再结合三角形面积公式逐项判断即可. 【详解】因为，，，所以 由正弦定理可得：，即， 则，得，则， 所以， 所以的周长， 所以 的面积为, 由上可知AC错误，BD正确， 故选：BD 11．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，在圆的内接四边形中，，下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D．四边形的面积为 【答案】AD 【分析】连接，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出判断A；利用数量积的定义、余弦定理、三角形面积公式求解判断BCD. 【详解】在圆内接四边形中，连接，，，    对于A，由余弦定理得，， 即，解得，而，则，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，解得，C错误； 对于D，四边形的面积，D正确. 故选：AD 12．（2025·河南·模拟预测）在中，内角的对边分别为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若满足的有两个，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】设，结合余弦定理即可判断A；利用两角和余弦公式即可判断B；由，结合正弦函数的单调性和诱导公式，可判断C；由满足的有两个，可得，即可求解. 【详解】对于A，由，设， 由余弦定理得，而，则，A正确； 对于B，由及正弦定理，得，则， 即，整理得，B错误； 对于C，由为锐角三角形，得，即， 由正弦函数的单调性，得，因此，C正确； 对于D，由满足的有两个，得，即，D正确. 故选：ACD 三、填空题 13．（25-26高三上·山东枣庄·月考）在中，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】根据题目条件，利用正弦定理求出的值，再结合角的范围，即可得解. 【详解】已知，，， 所以由正弦定理可得，解得. 因为，所以. 故答案为： 14．（25-26高三上·湖南长沙·月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则 . 【答案】 【分析】结合题干根据正弦定理化简得，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，则，由正弦定理可得， 又因为，可得，所以，所以， 又因为，可得. 故答案为： 15．（2025高三·全国·专题练习）如图，在中，已知点在边上，，，则的长为 . 【答案】 【分析】直接利用诱导公式和余弦定理及解直角三角形知识的应用求出结果． 【详解】中，已知点在边上，，， 则， 又因为， 所以， 在中，， 即，在直角三角形中， 得. 故答案为： 16．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，其外接圆半径R，内切圆半径r，. ①若面积为，则的周长为 ②若，则的内切圆半径r = 【答案】 18 【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，余弦定理求出，进而求出，再利用三角形面积公式求解即得. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 令，由余弦定理得， ①，由面积为，得， 解得，所以的周长； ②由①知，而，则， 由正弦定理，得，解得， 所以. 故答案为：18； 四、解答题 17．（25-26高一上·上海杨浦·期末）在中，角A、B、C所对应的边分别是a、b、c，已知，，. (1)求c的值； (2)求与的面积. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用余弦定理，建立方程，可得答案. （2）由正弦定理和三角形面积公式直接计算可得. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得，即， 整理可得，分解因式可得，由，解得. （2）在中，由正弦定理可得， 解得，所以. 18．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）中，内角A，B，C所对的边为，，边上的高为，. (1)求角； (2)求边. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求角； （2）由三角形面积公式可得，又，利用等式，可求边. 【详解】（1）已知，由余弦定理有， 得 ，故， 又，所以. （2）设边上的高为，则三角形面积， 面积也可表示为， 联立得，即， 由，得， 代入题目条件，得， 将代入上式，得，即， 得，解得. 19．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． (1)求； (2)设的面积为，，判断的形状． 【答案】(1) (2)为钝角三角形. 【分析】（1）根据正弦定理以及余弦定理可得，再根据以及求解即可. （2）由三角形面积公式可求得，求解与，再由，，的关系即可求解. 【详解】（1）由题意可得，，根据正弦定理可得， 即， 所以，由，可得， 因为，所以，可得. （2）因为的面积为，所以，所以，因为，， 所以，解得或，所以或， 当，时，根据余弦定理，即， 同理当，时，解得， 因为，可得为钝角三角形. 20．（25-26高二上·云南大理·月考）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)若，，求的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围． 【详解】（1）根据题意，以及正弦定理可得， 因为 ，因为，所以， 所以，又，所以， 由余弦定理可得，可得， 即，因为，所以， 所以. （2）由正弦定理可得，因为，所以， 因为角为钝角，所以，可得，则，，即， 所以的取值范围为. 21．（25-26高三上·福建泉州·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 (1)求A； (2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 又，所以，因为B为三角形内角，， 所以，可得，因为，所以； （2）由正弦定理可得，所以， 故，而因为为锐角三角形， 故，解得， 从而，所以， 故的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.3.1&6.4.3.2　余弦定理、正弦定理 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1)＝＝＝2R (2)a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝； cos B＝； cos C＝ 知识点二：角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． 知识点三：解三角形 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 【题型归纳】 题型一：正弦定理解三角形 【例1】．（25-26高一上·福建福州·自主招生）在中，和均为锐角，且．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25高一下·山东菏泽·月考）已知的内角所对的边分别为，若，则（　　） A． B． C．或 D．或 2．（25-26高三上·上海杨浦·期中）在中，，，，则边的长度为 . 3．（24-25高一下·北京西城·期末）已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边.若，，，则 . 题型二：正弦定理判定三角形解的个数 【例2】．（25-26高三上·安徽·期中）在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（25-26高三上·海南·月考）在中，, ，则“”是“有两解”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三上·河北保定·月考）在中，若，，，则解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 3．（2025·江西·二模）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型三：正弦定理求外接圆的半径 【例3】．（25-26高三上·甘肃·月考）已知的三边长分别为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（25-26高三上·内蒙古赤峰·月考）在中，已知，，则外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D． 2．（24-25高一下·重庆·期末）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D．9 3．（24-25高一下·安徽·期中）在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 题型四：正弦定理边角互化的应用 【例4】．（24-25高一下·北京石景山·期末）在中，，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）中，，则（    ） A．是等腰三角形 B．是直角三角形 C．是等腰三角形或直角三角形 D．是等腰直角三角形 2．（24-25高一下·江苏南通·期末）在中，若，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（23-24高一下·广东广州·期中）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 题型五：余弦定理解三角形 【例5】．（25-26高一上·北京东城·期末）在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2025高三上·江苏·学业考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）在中，，，，则（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．2 题型六：余弦定理边角互化的应用 【例6】．（25-26高三上·安徽六安·月考）在中，角的对边分别为．若，为中点，则（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 2．（23-24高一下·重庆·期中）在中，内角所对边分别为，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 3．（22-23高二上·陕西商洛·期末）在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 题型七：三角形面积公式问题 【例7】．（25-26高三上·上海松江·期中）在中，，，且，则的面积是 . 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为 ． 2．（24-25高一下·浙江·月考）在中，若，且，则的周长为 ． 3．（2025·上海杨浦·模拟预测）在中，分别为角的对边.已知是一个面积为的锐角三角形，且，则的周长为 . 题型八：正弦定理和余弦定理的综合应用 【例8】．（25-26高一上·北京东城·期末）在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【举一反三】 1．（25-26高三上·天津和平·期末）在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若. （i）求的值； （ii）求的值. 2．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 3．（25-26高二上·陕西西安·月考）在中，角所对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若，求的面积的最大值. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高三上·贵州·月考）在中，角所对的边分别为，若，，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 2．（25-26高三上·甘肃白银·月考）已知在中，内角的对边分别为，且，则角为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）在中，角的对边分别是，若，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·云南昆明·月考）在中，，且，则的最小边长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 5．（25-26高三上·上海·期中）在中各角所对的边分别为a，b，c，下列结论错误的是（    ） A．则为等边三角形； B．已知，则； C．已知，，，则最小内角的度数为； D．在，，，解三角形有两解． 6．（25-26高三上·云南昆明·月考）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·贵州黔南·开学考试）在中，角所对的边分别为，已知，且，则的形状为（   ） A．钝角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 二、多选题 8．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知的内角的对边分别为．若三角形有两解，则边的取值可以是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 9．（24-25高一下·云南文山·月考）已知的内角的对边分别为，已知，锐角满足，则（   ） A．的周长为12 B． C． D． 10．（2026·陕西咸阳·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 11．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，在圆的内接四边形中，，下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D．四边形的面积为 12．（2025·河南·模拟预测）在中，内角的对边分别为，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若满足的有两个，则的取值范围为 三、填空题 13．（25-26高三上·山东枣庄·月考）在中，已知，，，则 ． 14．（25-26高三上·湖南长沙·月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则 . 15．（2025高三·全国·专题练习）如图，在中，已知点在边上，，，则的长为 . 16．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，其外接圆半径R，内切圆半径r，. ①若面积为，则的周长为 ②若，则的内切圆半径r = 四、解答题 17．（25-26高一上·上海杨浦·期末）在中，角A、B、C所对应的边分别是a、b、c，已知，，. (1)求c的值； (2)求与的面积. 18．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）中，内角A，B，C所对的边为，，边上的高为，. (1)求角； (2)求边. 19．（25-26高一上·四川绵阳·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且． (1)求； (2)设的面积为，，判断的形状． 20．（25-26高二上·云南大理·月考）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)若，，求的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围． 21．（25-26高三上·福建泉州·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 (1)求A； (2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $