专题6.4 实践与探索 一元一次方程的应用（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

本讲义聚焦二元一次方程组解决实际问题，系统梳理从解法到应用的脉络，以“基本步骤（审题-设元-列方程组-求解-检验-作答）、核心等量关系（和差倍分、行程、工程等）、设元技巧（直接与间接）”为学习支架，帮助学生构建数学建模思想。 资料特色在于情境化题型设计与分层训练，涵盖古代数学（如《孙子算经》问题）、方案决策（如租车方案）等11类题型，通过典例+变式培养抽象能力与模型意识。课中助力教师高效授课，课后学生可通过即学即练与题型训练查漏补缺，提升用数学思维解决实际问题的能力。

专题6.4 实践与探索 教学目标 1.理解二元一次方程组解决实际问题的建模思想，掌握“审题-设元-列方程-求解-检验-作答”基本步骤。 2.能准确提炼常见实际问题的等量关系，熟练列出二元一次方程组。 3.会根据题意选择直接或间接设元，提升解题灵活性。 4.能检验方程解的合理性，确保符合实际意义。 5.能解决和差倍分、行程、工程等常见题型，培养分析和解决问题的能力。 教学重难点 重点 （1）二元一次方程组应用的基本步骤。 （2）常见实际问题的等量关系提炼。 （3）直接设元与间接设元的灵活运用。 （4）方程解的双重检验（方程成立+实际意义）。 难点 （1）复杂问题中隐藏等量关系的挖掘（如分段收费、图表信息题）。 （2）间接设元的合理选择与运用。 （3）方案决策类问题的多解分析与最优方案筛选。 （4）几何图形与实际问题结合的建模过程。 知识点01：二元一次方程组应用的基本步骤 1.审题：梳理题目中的已知量、未知量，明确核心 。 2.设元：根据题意设直接 或间接未知数（含单位）。 3.列方程组：根据 列出两个独立的二元一次方程，组成方程组。 4.求解：用代入法或加减法解方程组，得到数学解。 5.检验：验证解是否满足方程组，且符合实际意义（如人数、长度为正）。 6.作答：规范写出答案，注明单位。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）某商场销售品牌羽毛球和篮球，其中羽毛球进价为20元/筒，售价为30元/筒；篮球进价为50元/个，售价为80元/个．现商场用13000元购进羽毛球和篮球并全部售出，羽毛球和篮球的总利润为7500元，求该商场购进羽毛球和篮球的数量． 知识点02：常见实际问题的核心等量关系 1.和差倍分问题：总量=部分量之和，差量= - ，倍数量= × 。 2.行程问题：路程= × ；相遇问题： = ；追及问题：路程差=初始距离；航行问题：顺流速度= + ，逆流速度= - 。 3.工程问题：工作量= × ；总工作量=各部分工作量之和（通常设总工作量为1）。 4.销售利润问题：利润=售价-进价；利润率=（利润÷进价）×100%；总利润= × 。 5.配套问题：配套部件数量比=产品配套比例（如1个部件A配2个部件B，则A的数量×2=B的数量）。 6.几何问题：利用图形的边长、面积、体积公式，结合题意建立等量关系（如长方形周长=2×(长+宽)）。 【即学即练】 1．（2026七年级下·全国·专题练习）某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，租用的每辆车都坐满时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． (1)1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次性将全部学生送达，且恰好每辆车都坐满．请你设计出所有的租车方案． 【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，由题意正确列出二元一次方程（组）并求解是解题关键． 知识点03：设未知数的技巧 1.直接设元：问什么设 （适用于未知量直接关联的简单问题）。 2.间接设元：当直接设元列方程困难时，设 为未知数（如数字问题设数位上的数字）。 3.注意事项：设元时需注明单位，多个未知数需明确区分（如设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时）。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）某文具店为满足学生需求计划购进一批修正带和笔袋．已知购进3个修正带和2个笔袋共需44元；购进2个修正带和1个笔袋共需26元． (1)求修正带和笔袋的进价分别是多少元/个？ (2)若该文具店准备用200元购进一批修正带和笔袋（两种文具都有），且将200元用完，求该文具店共有几种进货方案？ 题型01和差倍分问题 方法技巧：抓住“和、差、倍、分”关键词（如“比…多”“是…的几倍”），直接建立未知量与已知量的数量关系，列出方程组。 【典例1】. （25-26八年级上·甘肃白银·期末）某停车场共设小型车位和车位300个，其中小型车位每小时2元，车位每小时3元，若全部满位1小时，总收费700元，则停车场共设小型车位和车位各多少个？ 【变式1】. （25-26八年级上·广东河源·月考）某班同学计划购买足球和跳绳，已知购买2个足球和3根跳绳共需70元，购买1个足球和2根跳绳共需40元．求足球和跳绳的单价． 【变式2】. （25-26八年级上·陕西咸阳·月考）学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．已知一包A食品含热量和蛋白质，一包B食品含热量和蛋白质，若要从这两种食品中恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【变式3】. （25-26九年级上·陕西咸阳·月考）编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购A，B两种不同材质的编钟配件，A配件每个20元，B配件每个40元，采购这两种配件的预算为100元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 题型02数字问题 方法技巧：两位数表示为（为十位数字，为个位数字），三位数表示为，根据数位关系或数字变换规律列方程。 【典例2】. （25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮做两个数的加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数中较小的加数是 ． 【变式1】. （24-25七年级下·全国·课后作业）一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数． 【变式2】. （25-26七年级上·重庆·期中）在数的学习过程中，有一类自然数具有的特性和“七”有关． 定义：对于四位自然数，若其千位数字与个位数字之和等于7，百位数字与十位数字之和也等于7，则称这个四位自然数为“七巧数”． 例如：3254是“七巧数”，因为，所以3254是“七巧数”；1456不是“七巧数”，因为但，所以1456不是“七巧数”． (1)最大的“七巧数”是 ，最小的“七巧数”是 ； (2)若将一个“七巧数”的个位数字和千位数字交换位置，十位数字和百位数字交换位置得到一个新的“七巧数”，并记，求证：无论取何值，为定值，并求出这个值； (3)若是一个“七巧数”，且的百位数字加上个位数字的和，是千位数字减去十位数字的差的2倍，请求出满足条件的所有“七巧数”． 【变式3】. （25-26八年级上·四川成都·月考）小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 题型03年龄问题 方法技巧：年龄差始终不变，设现在年龄为未知数，根据“过去/未来年龄关系”表示出对应年龄，利用年龄差或题目条件列方程。 【典例3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 【变式1】. （2025七年级上·全国·专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 【变式2】. （25-26七年级上·福建福州·期中）若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 【变式3】. （24-25七年级下·湖南张家界·期末）小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？ 题型04行程问题 方法技巧： 核心公式；相向相遇： 路程和=总距离； 同向追及：路程差=初始距离（环形跑道需乘圈数）； 顺逆（风/水）：顺速=静速+辅助速度，逆速=静速-辅助速度； 火车过桥：总路程=车长+桥长； 分段/往返：总路程=各段路程和，总时间=各段时间和。 【典例4】. （25-26八年级上·山东青岛·周测）一列匀速行驶的火车通过一座160米的铁路桥用了30秒，而它以同样的速度穿过一段200米长的隧道用了35秒，求这列火车的速度和长度？ 【变式1】. （25-26八年级上·陕西咸阳·月考）从甲地到乙地的路程为9千米，其中一段为平路，另一段为山路．小刚骑自行车从甲地出发，以的速度通过平路，再以的速度通过山路到达乙地，共用了，求平路和山路的长各为多少千米． 【变式2】. （24-25七年级下·甘肃武威·月考）甲、乙两码头相距60千米，某船往返两地，顺流时用3小时，逆流时用4小时，求船在静水中的航速及水流速度． 【变式3】. （25-26八年级上·全国·课后作业）新情境  高铁是当代重要的交通工具．如图，某列复兴号动车组由2节车头和若干节车厢组成，车头的长度相等，每节车厢长度也相等．李华在观测点进行测量记录，该动车组若挂6节车厢以41米/秒的速度通过观测点需5秒，该动车组若挂14节车厢以45米/秒的速度通过观测点需9秒，求该动车组每节车头及每节车厢的长度分别为多少米？ 题型05工程问题 方法技巧：设工作效率为未知数，总工作量设为1（或具体数值），合作效率=各单独效率之和，根据“工作量=效率×时间”列方程。 【典例5】. （2026七年级下·全国·专题练习）某工程队承包了两项工程．第一项工程甲组做了10天、乙组做了8天完成，共获报酬12800元；第二项工程甲组做了8天、乙组做了12天完成，共获报酬13600元．甲、乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？ 【变式1】. （25-26七年级上·湖南岳阳·月考）汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可提前6天完成；若每天处理120吨，将延误3天完成．设原计划天完成，这批废铜共有吨． (1)根据题意列出方程组； (2)求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数． 【变式2】. （25-26八年级上·四川成都·月考）修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【变式3】. （2026七年级下·全国·专题练习）某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 题型06古代数学问题 方法技巧：翻译古文题意，将“牛五羊二值金十两”等表述转化为现代数学语言，提炼等量关系，设未知数列方程组。 【典例6】. （25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）列二元一次方程组解应用题： 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木绳各几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子比木条长7尺；将绳子对折再量木条，（对折后的绳子）比木条短1尺，问木条和绳子各长多少尺？” 【变式1】. （25-26七年级下·全国·课后作业）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 【变式2】. （24-25七年级下·辽宁大连·月考）华夏文明源远流长，在算术方面有很多成就，其中《算法统宗》是中国古代数学名著之一，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳四折测之，绳多三尺；若将绳五折测之，绳多二尺，绳长、井深各几何？”其大意是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成四等份，井外余绳尺（尺厘米）；如果将绳子折成五等份，井外余绳尺，问绳长、井深各是多少尺？” 【变式3】. （25-26八年级上·福建三明·月考）今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问：雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？ 题型07销售利润问题 方法技巧：利润=售价-进价，总利润=（售价-进价）×销量，利润率=（利润÷进价）×100%，根据成本、售价、利润的关系列方程。 【典例7】. （25-26八年级上·广东深圳·期末）为推进校园智慧体育建设，某校计划采购体育测训一体机（A型机）和智能划船机（B型机），相关数据如下：采购2台A型机和4台B型机，总费用为6万元；采购3台A型机和1台B型机，总费用为万元． (1)求每台A型机和每台B型机的价格分别是多少万元？ (2)学校计划用7万元采购A型机和B型机（两种设备均需采购），若采购资金全部用完，学校共有多少种符合条件的采购方案？并列出所有方案． 【变式1】. （25-26八年级上·陕西咸阳·期末）某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进3辆种型号的新能源汽车比购进1辆种型号的新能源汽车多24万元；购进1辆种型号和1辆种型号的新能源汽车共56万元． (1)求A，B这两种型号的新能源汽车每辆的进价； (2)该品牌新能源汽车店计划用560万元购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），该品牌新能源汽车店有几种购进方案？请写出所有可行的方案． 【变式2】. （25-26八年级上·广东深圳·期末）2025年11月第十五届全国运动会在大湾区举行，大会吉祥物“A种纪念品”和“B种纪念品”受到追捧，某纪念品商店用6000元购进两种纪念品，按标价售出后可获得毛利润3800元，这两种纪念品的进价、标价如表所示： A种纪念品 B种纪念品 进价（元/件） 60 100 标价（元/件） 100 160 (1)“A种纪念品”和“B种纪念品”各购进的件数； (2)如果“A种纪念品”按标价的8折出售，“B种纪念品”按标价的7折出售，那么这批纪念品全部售完后，该纪念品商店能获利多少元？ 【变式3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍．现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂．第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（ km·t），铁路运费为1元/（ km·t）． (1)该食品厂到A地、B地的距离分别是多少千米？ (2)该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？ (3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨的售价（利润＝总售价－总成本－总运费）． 题型08配套问题 方法技巧：先明确配套比例（如1个盒身配2个盒底），设生产各部件的数量或人数为未知数，根据“配套比例=部件数量比”列方程。 【典例8】. （24-25七年级下·全国·课后作业）用铁皮做水桶，每张铁皮能做1个桶身或8个桶底，而1个桶身，1个桶底正好配套成1个水桶．现在有63张这样的铁皮，则需要用 张铁皮做桶身， 张铁皮做桶底，才能正好配套． 【变式1】. （25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； (2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 【变式2】. （25-26七年级上·全国·期末）一工厂有名工人，要完成套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套． (1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？ (2)现在工厂要在天内完成套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每名新工人每天只能加工4个A型零件．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？ 【变式3】. （25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位的某厂某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件． (1)求某班同学一共带去了多少件礼品？ (2)该车间的工人每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ (3)在（2）的条件下，车间将当天生产的零件配套后出售，有几个销售商想合伙购买全部的成套零件后平分，在决定购买时有5个销售商退出，剩下的每个销售商都需要多分担480元，在交款时，又有4个销售商临时退出，剩下的每个销售商还需要再多分担600元，如果销售商每套零件想获得10元的利润，那么每套零件的售价是多少？ 题型09几何图形问题 方法技巧：利用长方形周长/面积、正方形边长、立体图形体积等公式，结合题意中的长度关系（如拼接、折叠）建立等量关系。 【典例9】. （25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在长方形中放入个形状大小相同的小长方形（不重叠），其中，求小长方形的长与宽．（用方程组的知识解答） 【变式1】. （25-26八年级上·内蒙古包头·期末）小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形． (1)每个小长方形的长和宽分别是多少？ (2)图（）正方形的边长是多少？ 【变式2】. （25-26八年级上·河南郑州·月考） 项目主题 制作仿古灯笼 素材1 灯笼、又统称为灯彩，是中国的一种传统工艺品，如图①是一款仿古灯笼． 素材2 用如图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，可制成如图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼． 素材3 用现有的纸板裁成如图②的长方形和正方形作为侧面与底面已知一张纸板的裁剪方式有两种（均有余料）、方式一：裁成个长方形与一个正方形：方式二：裁成个长方形与个正方形、现将张硬纸板用方式一裁剪、张硬纸板用方式二裁剪 任务一 设做成的竖式灯笼个，横式灯笼个，根据题意完成表格； 竖式灯笼个 横式灯笼个 长方形宣纸的数量（张） ①__________ 正方形宣纸的数量（张） ②___________ 任务二 若使用长方形宣纸张，正方形宣纸张，试求出两种灯笼一共做了多少个？（用含、的代数式表示） 任务三 若两种灯笼共做了个，且所用长方形宣纸的数量是正方形宣纸的，两种灯笼都制作，则两种款式的灯笼分别做了多少个？ 竖式灯笼个 横式灯笼个 长方形宣纸的数量（张） 正方形宣纸的数量（张） 【变式3】. （25-26七年级上·吉林长春·期中）综合与实践：如何利用闲置纸板箱制作储物盒 根据以下素材，探索完成任务：如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小琴家想要设置的储物盒样式，放置它的区域可以近似看成一个长方体，区域底面尺寸如图2所示． 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为的长方形纸板． 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒（如图5）． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒（如图6）． 目标1 熟悉材料 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全填满储物区域底面，则长方形纸板的宽为_______． 目标2 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 （2）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，求当储物盒的底面周长为时储物盒的高． 储物收纳 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面周长．家里一个玩具机械狗的尺寸如图所示，请通过计算判断该机械狗能否按图示的姿态完全放入储物盒． 题型10图表信息问题 方法技巧：从表格、图形中提取数据（如单价、数量、路程），找出隐藏的等量关系（如总费用=各部分费用之和），列出方程组。 【典例10】. （25-26八年级上·浙江温州·期中）新BA城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，下表是10月11日，温州队所在的组比赛积分表的部分信息： A组积分 排名 队伍 胜负 积分 2 温州队 7胜0负 4 金华队 6胜2负 14分 5 余姚队 5胜3负 13分 6 台州队 4胜4负 12分 (1)求温州队的积分． (2)温州队所在的组共有11支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计小组赛结束后，积分达到37分，会获得小组冠军，问温州队要获得组第一至少还要胜几场？ 【变式1】. （25-26七年级上·四川绵阳·期末）某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 【变式2】. （25-26七年级上·江苏淮安·月考）为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 【变式3】. （2026七年级下·全国·专题练习）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现小票有几个数据不清楚，如下表所示： 单位 数量 单价 金额 篮球 个 6 100.00 600.00元 钢笔 支 15.00 元 笔记本 本 5.00 元 合计 — 46 — 900.00元 请根据现有的信息，帮助采购员复原并求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 题型11方案决策问题 方法技巧：根据题意列出含未知数的等式，求出所有正整数解，结合限制条件（如经费上限、数量要求）筛选可行方案，对比得出最优解。 【典例11】. （24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）某文体书店销售A，B两种跳绳，购买2条A种跳绳和3条B种跳绳共计35元，购买6条A种跳绳和4条B种跳绳共计80元． (1)求A种跳绳和B种跳绳每条的价钱． (2)现该文体书店对A，B两种跳绳开展促销活动，活动方案如表（两种促销方案不能同时使用）： 方案 内容 促销方案一 买一条A种跳绳，赠送一条B种跳绳 促销方案二 买A种或B种跳绳都打八折 某校为了准备跳绳比赛，计划购买A，B两种跳绳，且B种跳绳比A种跳绳多买20条．请根据购买A种跳绳的条数x的不同范围，说明该校选择哪种促销方案合适． 【变式1】. （25-26八年级上·广东梅州·月考）综合与实践 某学校组织爱心义卖，八（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 (1)若班委购买了钥匙扣和玩偶各30个，一共花费多少元？ (2)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ (3)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 【变式2】. （25-26七年级上·贵州毕节·期末）毕节市织金洞被誉为“溶洞之王”，为了吸引大量游客前来参观．国庆节期间织金洞推出了两种购票方案： 方案一：成人票每张120元，儿童票每张50元； 方案二：团体票（10人及以上）每张80元． (1)小明一家7口人去织金洞旅游共花费630元，请求出小明一家有几个成年人和几个儿童？ (2)织金洞内太壮观了，小明回来后介绍了朋友小军家去旅游，小军家成年人有4人，儿童有6人，请你帮小军一家计算选择哪种方案旅游最划算； (3)现有外省朋友7个成人，4个儿童来织金洞旅游，请你帮助外省朋友设计一种最省钱的购票方案？并说明理由． 【变式3】. （25-26八年级上·浙江金华·开学考试）根据以下素材，探索完成任务． 有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子面． (1)求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子． (2)由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸． A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做面小旗子． ①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用． ②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做小灯笼个．已知一张A、B卡纸可分别做小灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼，采购费用低于元）． 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于元 仅一种卡纸有余料剩余 2分 合格 低于元 两种卡纸均有余料剩余 1分 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，“方程术”是《九章算术》的重要内容，《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十七两；牛三、羊一，直金十两．问：牛、羊各直金几何？”意思如下：“假设有5头牛、2只羊，值金17两；3头牛、1只羊，值金10两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？” 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）学校阅览室整理一批图书，如果一个人单独做，要用才能完成．现由两组同学共同参与此项工作，第一组整理了，第二组整理了，恰好完成工作．如果每个人的工作效率都相同，且第二组比第一组多5人，那么第一组、第二组各有多少人？ 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）某电影院为了创收，分两次购进了哪吒和敖丙手办进行售卖，第一次购入哪吒手办25个，敖丙手办10个共花费650元，第二次以相同的进价购入哪吒手办40个，敖丙手办20个共花费1100元． (1)求每个哪吒和每个敖丙手办进价各多少元？ (2)该电影院为了解这两款手办的销售情况，对每天的销售进行记录，周一出售了6个哪吒手办，5个敖丙手办，销售收入记录为305元，经核实记录正确；周二以相同的售价出售了哪吒手办12个，敖丙手办10个，销售收入记录为600元，你认为周二的销售记录正确吗？如果正确，请说明理由，若不正确，请你计算出正确的销售收入． 5．（25-26七年级上·河南周口·月考）某班准备购买笔记本作为奖品，现有甲、乙两种笔记本：甲种每本10元，乙种每本8元． (1)若购买甲、乙两种笔记本共20本，花费180元，求甲、乙两种笔记本各买了多少本？ (2)若购买乙种笔记本的数量比甲种的2倍少5本，且总花费不超过150元，求最多可以购买甲种笔记本多少本？ 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）一个三位数，个位数字、十位数字、百位数字的和为12，十位数字与百位数字的和等于个位数字，十位数字的9倍比个位数字与百位数字的和小2，求这个三位数． 7．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，将三个大小相同的小长方形（阴影部分）放入一个长为37、宽为26的大长方形（无重叠），求一个小长方形的长与宽分别是多少？ 8．（25-26八年级上·贵州·期末）如图（单位：cm），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形． (1)若设小长方形的长为，宽为，则大长方形的宽可用含有与的式子表示为______________cm． (2)每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 9．（25-26七年级上·全国·随堂练习）下表是某校七年级至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同． 年级 课外小组活动总时间 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 请将九年级课外兴趣小组的活动次数填入上表． 年级 课外小组活动总时间 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 2 2 10．（25-26八年级上·陕西西安·期末）福建舰的建造和试航进展激发了国民的爱国热情，该舰于2025年11月5日正式入列服役，标志着中国进入“三航母时代”．某军事主题纪念品商店为此推出了“福建舰舰载机”系列模型，其中A型号为歼-35隐形战机模型，B型号为歼-15T弹射型战机模型．A、B型号战机模型每件进价分别为80元和60元．如表是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一天 4件 5件 955 第二天 2件 6件 810 (1)求A、B两种型号的战机模型的销售单价； (2)该商店又准备了1400元，全部用于采购这两种模型共20件，计划销售这批模型所得利润为学校国防教育基金捐款700元，这一目标能否实现？请说明理由． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）现有一段长为180m的河道整治任务由两工程队先后接力完成．工程队每天整治12m，工程队每天整治8m，共用20天．求两工程队分别整治河道的米数． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：乙： 请你在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组，并分别指出未知数表示的意义． 甲：表示_________，表示_________； 乙：表示_________，表示_________． (2)从（1）中任选一个方程组，写出完整的解答过程． 12．（25-26六年级上·上海宝山·月考）海中有、、三个小岛，岛在岛正西方距离400海里处（如下图所示），岛在岛的北偏东方向500海里处． (1)用1厘米代表200海里，请根据题意在图中画出岛的位置，并量出图中的长度为 厘米，（四舍五入到个位）；那么、两地的实际距离约为 海里． (2)甲、乙两货轮同时从岛出发，甲沿方向，乙沿方向，10小时相遇，此时甲货轮比乙货轮多行驶了100海里，求甲乙两货轮的速度． (3)若岛需要大米和玉米共30吨，岛需要大米和玉米共50吨，现从岛运输20吨大米与60吨玉米到岛和岛，运输费用共为10600元（每吨的运输费用如下表所示），那么运到岛的大米与玉米各是多少吨？ 到岛的运费（元/吨） 到岛的运费（元/吨） 大米 100 200 玉米 80 150 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）新房装修后，甲居民购买家居用品的清单如下表，因污损导致部分信息无法识别，根据下表解决问题： 家居用品名称 单价/元 数量/个 金额/元 挂钟 30 2 60 垃圾桶 15 塑料鞋架 40 艺术饰品 2 120 电热水壶 35 1 合计 8 310 (1)________，________； (2)甲居民购买了垃圾桶、塑料鞋架各几个？ (3)若甲居民再次购买艺术饰品和垃圾桶两种家居用品，共花费150元，则有哪几种不同的购买方案？ 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.4 实践与探索 教学目标 1.理解二元一次方程组解决实际问题的建模思想，掌握“审题-设元-列方程-求解-检验-作答”基本步骤。 2.能准确提炼常见实际问题的等量关系，熟练列出二元一次方程组。 3.会根据题意选择直接或间接设元，提升解题灵活性。 4.能检验方程解的合理性，确保符合实际意义。 5.能解决和差倍分、行程、工程等常见题型，培养分析和解决问题的能力。 教学重难点 重点 （1）二元一次方程组应用的基本步骤。 （2）常见实际问题的等量关系提炼。 （3）直接设元与间接设元的灵活运用。 （4）方程解的双重检验（方程成立+实际意义）。 难点 （1）复杂问题中隐藏等量关系的挖掘（如分段收费、图表信息题）。 （2）间接设元的合理选择与运用。 （3）方案决策类问题的多解分析与最优方案筛选。 （4）几何图形与实际问题结合的建模过程。 知识点01：二元一次方程组应用的基本步骤 1.审题：梳理题目中的已知量、未知量，明确核心数量关系。 2.设元：根据题意设直接未知数或间接未知数（含单位）。 3.列方程组：根据等量关系列出两个独立的二元一次方程，组成方程组。 4.求解：用代入法或加减法解方程组，得到数学解。 5.检验：验证解是否满足方程组，且符合实际意义（如人数、长度为正）。 6.作答：规范写出答案，注明单位。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）某商场销售品牌羽毛球和篮球，其中羽毛球进价为20元/筒，售价为30元/筒；篮球进价为50元/个，售价为80元/个．现商场用13000元购进羽毛球和篮球并全部售出，羽毛球和篮球的总利润为7500元，求该商场购进羽毛球和篮球的数量． 【答案】该商场购进羽毛球150筒，篮球200个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握根据进价和利润的等量关系建立方程组的方法是解题的关键． 设购进羽毛球和篮球的数量为未知数，根据总进价和总利润的条件分别列出方程，组成二元一次方程组，通过解方程组得到两种商品的购进数量． 【详解】解：设购进羽毛球筒，篮球个， 根据题意，得 解得 答：该商场购进羽毛球筒，篮球个． 知识点02：常见实际问题的核心等量关系 1.和差倍分问题：总量=部分量之和，差量=较大量-较小量，倍数量=基础量×倍数。 2.行程问题：路程=速度×时间；相遇问题：路程和=总距离；追及问题：路程差=初始距离；航行问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度。 3.工程问题：工作量=工作效率×工作时间；总工作量=各部分工作量之和（通常设总工作量为1）。 4.销售利润问题：利润=售价-进价；利润率=（利润÷进价）×100%；总利润=单件利润×销量。 5.配套问题：配套部件数量比=产品配套比例（如1个部件A配2个部件B，则A的数量×2=B的数量）。 6.几何问题：利用图形的边长、面积、体积公式，结合题意建立等量关系（如长方形周长=2×(长+宽)）。 【即学即练】 1．（2026七年级下·全国·专题练习）某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，租用的每辆车都坐满时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． (1)1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次性将全部学生送达，且恰好每辆车都坐满．请你设计出所有的租车方案． 【答案】(1)65名 (2)见解析 【分析】（1）由题意可以列出二元一次方程组求解； （2）由题意列出关于、的二元一次方程，然后根据、都是非负整数可以得到解答． 【详解】（1）解：设1辆小客车能坐名学生，1辆大客车能坐名学生， 根据题意，得解得则． 答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生． （2）解：由题意，得，所以． ，为非负整数， ∴或或 ∴租车方案有三种： 方案一：租用小客车20辆； 方案二：租用小客车11辆，大客车4辆； 方案三：租用小客车2辆，大客车8辆． 【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，由题意正确列出二元一次方程（组）并求解是解题关键． 知识点03：设未知数的技巧 1.直接设元：问什么设什么（适用于未知量直接关联的简单问题）。 2.间接设元：当直接设元列方程困难时，设中间量为未知数（如数字问题设数位上的数字）。 3.注意事项：设元时需注明单位，多个未知数需明确区分（如设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时）。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）某文具店为满足学生需求计划购进一批修正带和笔袋．已知购进3个修正带和2个笔袋共需44元；购进2个修正带和1个笔袋共需26元． (1)求修正带和笔袋的进价分别是多少元/个？ (2)若该文具店准备用200元购进一批修正带和笔袋（两种文具都有），且将200元用完，求该文具店共有几种进货方案？ 【答案】(1)修正带的进价是8元/个，笔袋的进价是10元/个 (2)该文具店共有4种进货方案 【分析】本题考查二元一次方程（组）解应用题，读懂题意，找准等量关系列方程（组）是解决问题的关键． （1）设修正带的进价是元/个，笔袋的进价是元/个，根据等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设该文具店购进个修正带，个笔袋，由等量关系列二元一次方程，结合均为正整数，讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设修正带的进价是元/个，笔袋的进价是元/个， 根据题意得， 解得； 答：修正带的进价是8元/个，笔袋的进价是10元/个； （2）解：设该文具店购进个修正带，个笔袋， 由题意得， 整理得， 则， 均为正整数， 或或或， 该文具店共有4种进货方案． 题型01和差倍分问题 方法技巧：抓住“和、差、倍、分”关键词（如“比…多”“是…的几倍”），直接建立未知量与已知量的数量关系，列出方程组。 【典例1】. （25-26八年级上·甘肃白银·期末）某停车场共设小型车位和车位300个，其中小型车位每小时2元，车位每小时3元，若全部满位1小时，总收费700元，则停车场共设小型车位和车位各多少个？ 【答案】小型车位200个，车位100个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出其中的等量关系是解答本题的关键． 设小型车位有x个，车位有y个，根据共设小型车位和车位300个、全部满位1小时，总收费700元各列一个方程，组成二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设小型车位有x个，车位有y个，由题意，得 ， 解得． 所以小型车位有200个，车位有100个． 【变式1】. （25-26八年级上·广东河源·月考）某班同学计划购买足球和跳绳，已知购买2个足球和3根跳绳共需70元，购买1个足球和2根跳绳共需40元．求足球和跳绳的单价． 【答案】足球的单价为20元，跳绳的单价为10元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，准确列出方程是解题的关键． 设足球的单价为元，跳绳的单价为元，则，再解方程组即可． 【详解】设足球的单价为元，跳绳的单价为元． 根据题意，得方程组， 由第二方程得． 代入第一方程，得， 即，所以，解得． 将代入，得, 因此，足球的单价为20元，跳绳的单价为10元． 【变式2】. （25-26八年级上·陕西咸阳·月考）学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．已知一包A食品含热量和蛋白质，一包B食品含热量和蛋白质，若要从这两种食品中恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【答案】应选用A种食品4包，B种食品2包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意列二元一次方程组计算即可． 【详解】解：设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得： ， 解得． 答：应选用A种食品4包，B种食品2包． 【变式3】. （25-26九年级上·陕西咸阳·月考）编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购A，B两种不同材质的编钟配件，A配件每个20元，B配件每个40元，采购这两种配件的预算为100元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 【答案】(1)大号编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹 (2)有两种采购方案，方案一：配件3个，配件1个；方案二：配件1个，配件2个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）设大号编钟的频率为x赫兹，小号编钟的频率为y赫兹，根据题意列出方程组即可求解； （2）设A配件要买m个，B配件要买n个，根据题意列出二元一次方程，解方程即可求解； 【详解】（1）解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹， 根据题意得， 解得， 答：大号编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹； （2）解：设配件要买个，配件要买个． 根据题意得：， 整理得：，即， 因为和都为正整数， 所以符合条件的解为或， 答：有两种采购方案，方案一：配件3个，配件1个；方案二：配件1个，配件2个． 题型02数字问题 方法技巧：两位数表示为（为十位数字，为个位数字），三位数表示为，根据数位关系或数字变换规律列方程。 【典例2】. （25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮做两个数的加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数中较小的加数是 ． 【答案】21 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，掌握在加数后多写一个等价于该数乘以的数量关系，从而建立方程组是解题的关键． 设两个加数分别为和，根据题意列出方程组并求解，比较大小得出较小加数． 【详解】解：设原来两个加数分别为和． 根据题意，得方程组 解方程组，将第一式乘以，得， 减去第二式，得，解得． 代入第一式，得， 即，解得． ∴方程组的解为 故原来两个加数分别为和，较小的加数是． 故答案为：． 【变式1】. （24-25七年级下·全国·课后作业）一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数． 【答案】这个两位数是67 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，表示出两位数． 设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为，分别表示出两个两位数，然后根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为． 根据题意，得 解得 故这个两位数是． 【变式2】. （25-26七年级上·重庆·期中）在数的学习过程中，有一类自然数具有的特性和“七”有关． 定义：对于四位自然数，若其千位数字与个位数字之和等于7，百位数字与十位数字之和也等于7，则称这个四位自然数为“七巧数”． 例如：3254是“七巧数”，因为，所以3254是“七巧数”；1456不是“七巧数”，因为但，所以1456不是“七巧数”． (1)最大的“七巧数”是 ，最小的“七巧数”是 ； (2)若将一个“七巧数”的个位数字和千位数字交换位置，十位数字和百位数字交换位置得到一个新的“七巧数”，并记，求证：无论取何值，为定值，并求出这个值； (3)若是一个“七巧数”，且的百位数字加上个位数字的和，是千位数字减去十位数字的差的2倍，请求出满足条件的所有“七巧数”． 【答案】(1) (2)证明见详解， (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用、整式加减运算、新定义下的阅读理解，解决问题的关键是找到等量关系． （1）根据“七巧数”的定义直接求解即可得到答案； （2）设的个位数字为，十位数字为，则百位数字为，千位数字，依此可求和，进一步可求； （3）设的千位数字为，百位数字为，则十位数字为，个位数字为，根据的百位数字加上个位数字的和，是千位数字减去十位数字的差的2倍，依此可得，再根据整数的定义进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设“七巧数”， 由定义可知，， 当时，有最大的“七巧数”，为7700；由于首位不能为，则当时，有最小的“七巧数”，为1076， 故答案为：； （2）证明：设的个位数字为，十位数字为，则百位数字为，千位数字， 由题意得，，， ， 无论取何值，为定值，为； （3）解：设的千位数字为，百位数字为，则十位数字为，个位数字为， 由题意得，， 即， 则， ，且为整数， 或或或或或或， ，且为整数， ∴当时，则，，即； 当时，则，，即； 当时，则，，即； 当或或或时，则，不符合要求，舍去； 综上所述，满足条件的所有“七巧数”有三个，为：． 【变式3】. （25-26八年级上·四川成都·月考）小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 【答案】 时看到的两位数是16 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，正确理解题意并列出方程组是解题的关键．设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，根据两位数之和为7可列一个方程，再根据匀速行驶，时行驶的里程数等于时行驶的里程数列出第二个方程，解方程组即可． 【详解】解：设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，即为； 则13时看到的两位数为，时行驶的里程数为：； 则时看到的数为，时行驶的里程数为：； 由题意列方程组得： ， 解得：， 时看到的两位数是16． 题型03年龄问题 方法技巧：年龄差始终不变，设现在年龄为未知数，根据“过去/未来年龄关系”表示出对应年龄，利用年龄差或题目条件列方程。 【典例3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 【答案】小明现在8岁，小亮现在12岁 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁， 根据题意，得 解得 答：小明现在8岁，小亮现在12岁． 【变式1】. （2025七年级上·全国·专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【答案】小花岁时将为奶奶贺白寿 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意，列出表格如下： 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 根据表格得到方程组， 解得， 当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为． 故小花岁时将为奶奶贺白寿． 【变式2】. （25-26七年级上·福建福州·期中）若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)11、22、33、44、55 【分析】本题考查了整式加减混合运算的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）由题意可知，，，进而得出，即可得证； （2）设小明的年龄为，则他父亲的年龄为，根据“颠倒的年龄”得出，即可得解． 【详解】（1）证明：由题意可知，，， 则， 所以所得数与原数的和一定能被11整除； （2）解：设小明的年龄为，则他父亲的年龄为， 当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒， 再次出现颠倒时，， ， ， 解得：， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可知，正整数m的值为11、22、33、44、55． 【变式3】. （24-25七年级下·湖南张家界·期末）小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？ 【答案】小华家离学校 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小华家到学校的上坡路长，平路长，根据时间路程速度结合小华从家里到学校需，从学校到家里需，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设小华家到学校的上坡路长，平路长， 根据等量关系，得：， 解得， 于是，上坡路与平路的长度之和为， 答：小华家离学校． 题型04行程问题 方法技巧： 核心公式；相向相遇： 路程和=总距离； 同向追及：路程差=初始距离（环形跑道需乘圈数）； 顺逆（风/水）：顺速=静速+辅助速度，逆速=静速-辅助速度； 火车过桥：总路程=车长+桥长； 分段/往返：总路程=各段路程和，总时间=各段时间和。 【典例4】. （25-26八年级上·山东青岛·周测）一列匀速行驶的火车通过一座160米的铁路桥用了30秒，而它以同样的速度穿过一段200米长的隧道用了35秒，求这列火车的速度和长度？ 【答案】火车的速度为8米/秒，长度为80米 【分析】此题考查二元一次方程组的应用，关键是根据题意列出方程组解答． 设这列火车的速度和长度分别为米秒和米，根据题意列出方程组解答即可． 【详解】解：设这列火车的速度和长度分别为米秒和米， 可得：， 解得：， 答：火车的速度为8米/秒，长度为80米． 【变式1】. （25-26八年级上·陕西咸阳·月考）从甲地到乙地的路程为9千米，其中一段为平路，另一段为山路．小刚骑自行车从甲地出发，以的速度通过平路，再以的速度通过山路到达乙地，共用了，求平路和山路的长各为多少千米． 【答案】平路的长为，山路的长为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设平路的长为，山路的长为，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设平路的长为，山路的长为． 由题意，得， 解得， 答：平路的长为，山路的长为． 【变式2】. （24-25七年级下·甘肃武威·月考）甲、乙两码头相距60千米，某船往返两地，顺流时用3小时，逆流时用4小时，求船在静水中的航速及水流速度． 【答案】船在静水中的速度是17.5千米/时，水流速度为2.5千米/时 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设船在静水中的航速为每小时千米，水流速度为每小时千米，根据路程等于速度乘以时间，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设船在静水中的航速为每小时千米，水流速度为每小时千米，由题意，得： ，解得； 答：船在静水中的航速是17.5千米/时，水流速度为2.5千米/时． 【变式3】. （25-26八年级上·全国·课后作业）新情境  高铁是当代重要的交通工具．如图，某列复兴号动车组由2节车头和若干节车厢组成，车头的长度相等，每节车厢长度也相等．李华在观测点进行测量记录，该动车组若挂6节车厢以41米/秒的速度通过观测点需5秒，该动车组若挂14节车厢以45米/秒的速度通过观测点需9秒，求该动车组每节车头及每节车厢的长度分别为多少米？ 【答案】该动车组每节车头的长度为27.5米，每节车厢的长度为25米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每节车头的长度为米，每节车厢的长度为米，利用该动车组若挂6节车厢以41米/秒的速度通过观测点需5秒，该动车组若挂14节车厢以45米/秒的速度通过观测点需9秒，再进一步建立方程组解题即可. 【详解】解：设每节车头的长度为米，每节车厢的长度为米， 根据题意，得， 解得， 答：该动车组每节车头的长度为27.5米，每节车厢的长度为25米． 题型05工程问题 方法技巧：设工作效率为未知数，总工作量设为1（或具体数值），合作效率=各单独效率之和，根据“工作量=效率×时间”列方程。 【典例5】. （2026七年级下·全国·专题练习）某工程队承包了两项工程．第一项工程甲组做了10天、乙组做了8天完成，共获报酬12800元；第二项工程甲组做了8天、乙组做了12天完成，共获报酬13600元．甲、乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？ 【答案】甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据“两项工程的工作天数”，“对应总报酬”，梳理出两个等量关系是解题关键． 设甲组每天得报酬元，乙组每天得报酬元，根据“两项工程的工作天数”和“对应总报酬”，设未知数并列二元一次方程组求解． 【详解】解：设甲组每天得报酬元，乙组每天得报酬元． 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元． 【变式1】. （25-26七年级上·湖南岳阳·月考）汨罗某再生资源工厂处理一批废铜，若每天处理150吨，可提前6天完成；若每天处理120吨，将延误3天完成．设原计划天完成，这批废铜共有吨． (1)根据题意列出方程组； (2)求解该方程组，得出原计划完成时间和废铜总数． 【答案】(1) (2)原计划42天完成，废铜总数为5400吨 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找到等量关系、 列出方程组是解题的关键． （1）根据等量关系“每天处理150吨，可提前6天完成”和“每天处理120吨，将延误3天完成”列出方程组即可； （2）直接利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：设原计划天完成，这批废铜共有吨， 由每天处理150吨，可提前6天完成，则；每天处理120吨，将延误3天完成，则； 所以． （2）解：， 可得：，解得：， 将代入①可得：吨． 答：原计划42天完成，废铜总数为5400吨． 【变式2】. （25-26八年级上·四川成都·月考）修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【答案】(1)甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元 (2)乙队 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲每天完成x，乙每天完成y，根据题意列方程组求出工作效率，求出两队费用，比较即可． 【详解】（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得： ， 解得， 答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； （2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得： ， 解得， 即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成． 甲单独做需要元， 乙单独做需要元． 答：乙队单独完成费用较少． 【变式3】. （2026七年级下·全国·专题练习）某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 【答案】订货量是套，要求完成的期限是天 【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用（工程任务类），解题关键是根据 “原进度的工作量” 和 “改进后进度的工作量” 两个等量关系，设未知数并列方程组求解． 设订货量为x套，期限为y天，根据原生产情况可得方程，根据改进后生产情况可得方程，解方程组即可． 【详解】解：设订货量为x套，期限为y天． 由题意得， 解得， 经检验，方程组的解符合题意， 答：订货量是套，要求完成的期限是天． 题型06古代数学问题 方法技巧：翻译古文题意，将“牛五羊二值金十两”等表述转化为现代数学语言，提炼等量关系，设未知数列方程组。 【典例6】. （25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）列二元一次方程组解应用题： 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木绳各几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子比木条长7尺；将绳子对折再量木条，（对折后的绳子）比木条短1尺，问木条和绳子各长多少尺？” 【答案】绳子长16尺，木条长9尺 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 用一根绳子去量一根木条，绳子剩余7尺可知：绳子比木条长7尺，得：，绳子对折后比木条短1尺，得：．组成方程组求解即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 根据题意得：， 解得：． 答：绳子长16尺，木条长9尺． 【变式1】. （25-26七年级下·全国·课后作业）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 【答案】当箭尺读数为时的时间是21:00． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是通过设定初始读数和上升速度两个未知数，建立二元一次方程组，求解得到函数关系，再利用该关系解决时间计算问题。 设箭尺每小时上升，开始高度为，根据供水小时和供水小时箭尺的高度列方程组求解即可． 【详解】解：设箭尺每小时上升，开始高度为， 根据题意，得， 得：解得：． 将代入①得：． 故方程组的解为 设当箭尺读数为时，时间为， 则，解得：． 故当箭尺读数为时的时间是． 【变式2】. （24-25七年级下·辽宁大连·月考）华夏文明源远流长，在算术方面有很多成就，其中《算法统宗》是中国古代数学名著之一，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳四折测之，绳多三尺；若将绳五折测之，绳多二尺，绳长、井深各几何？”其大意是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成四等份，井外余绳尺（尺厘米）；如果将绳子折成五等份，井外余绳尺，问绳长、井深各是多少尺？” 【答案】绳长尺，井深尺 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．题中的等量关系有：将绳子折成四等份，井外余绳尺；将绳子折成五等份，井外余绳尺，据此列方程组并解方程组即可得解． 【详解】解：设绳长尺，井深尺，根据题意得： ，解得． 答：绳长尺，井深尺． 【变式3】. （25-26八年级上·福建三明·月考）今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问：雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？ 【答案】1只雀重斤，1只燕重斤 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意设1只雀重x斤，1只燕重y斤，由此列出二元一次方程组，并求解这个方程组即可． 【详解】解：设1只雀重x斤，1只燕重y斤， 根据题意得：，解得， 即1只雀重斤，1只燕重斤． 题型07销售利润问题 方法技巧：利润=售价-进价，总利润=（售价-进价）×销量，利润率=（利润÷进价）×100%，根据成本、售价、利润的关系列方程。 【典例7】. （25-26八年级上·广东深圳·期末）为推进校园智慧体育建设，某校计划采购体育测训一体机（A型机）和智能划船机（B型机），相关数据如下：采购2台A型机和4台B型机，总费用为6万元；采购3台A型机和1台B型机，总费用为万元． (1)求每台A型机和每台B型机的价格分别是多少万元？ (2)学校计划用7万元采购A型机和B型机（两种设备均需采购），若采购资金全部用完，学校共有多少种符合条件的采购方案？并列出所有方案． 【答案】(1)每台A型机的价格为2万元，每台B型机的价格为万元 (2)共有3种采购方案：方案1为采购1台A型机和10台B型机；方案2为采购2台A型机和6台B型机；方案3为采购3台A型机和2台B型机 【分析】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）设每台A型机x万元，每台B型机的价格y万元，根据采购2台A型机和4台B型机，总费用为6万元；采购3台A型机和1台B型机，总费用为万元，列出方程组，解方程组即可； （2）设采购A型机m台，采购B型机n台，根据A型机和B型机总费用为7万元，列出二元一次方程，求出二元一次方程的正整数解，即可得出答案． 【详解】（1）解：设每台A型机x万元，每台B型机的价格y万元，根据题意得： ， 解得：， 答：每台A型机的价格为2万元，每台B型机的价格为万元； （2）解：设采购A型机m台，采购B型机n台，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴，，， 答：共有3种采购方案：方案1为采购1台A型机和10台B型机；方案2为采购2台A型机和6台B型机；方案3为采购3台A型机和2台B型机． 【变式1】. （25-26八年级上·陕西咸阳·期末）某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进3辆种型号的新能源汽车比购进1辆种型号的新能源汽车多24万元；购进1辆种型号和1辆种型号的新能源汽车共56万元． (1)求A，B这两种型号的新能源汽车每辆的进价； (2)该品牌新能源汽车店计划用560万元购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），该品牌新能源汽车店有几种购进方案？请写出所有可行的方案． 【答案】(1)A种型号的新能源汽车每辆的进价为20万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为36万元 (2)共有3种购进方案：方案1为购进A种型号19辆和B种型号5辆；方案2为购进A种型号10辆和B种型号10辆；方案3为购进A种型号1辆和B种型号15辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，方案问题（二元一次方程的整数解）． （1）设A种型号的新能源汽车每辆的进价为x万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为y万元，根据题意列方程组，求解即可； （2）设购进A种型号的新能源汽车m辆，购进B种型号的新能源汽车n辆，根据题意列方程，求正整数解，即可得可行方案． 【详解】（1）解：设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元．根据题意，得 ， 解得， 答：种型号新能源汽车每辆的进价是20万元，种型号新能源汽车每辆的进价为36万元； （2）解：设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆． 根据题意，得， 得， 或或， 共有3种购进方案： 方案1购进种型号19辆和种型号5辆； 方案2购进种型号10辆和种型号10辆； 方案3购进种型号1辆和种型号15辆． 【变式2】. （25-26八年级上·广东深圳·期末）2025年11月第十五届全国运动会在大湾区举行，大会吉祥物“A种纪念品”和“B种纪念品”受到追捧，某纪念品商店用6000元购进两种纪念品，按标价售出后可获得毛利润3800元，这两种纪念品的进价、标价如表所示： A种纪念品 B种纪念品 进价（元/件） 60 100 标价（元/件） 100 160 (1)“A种纪念品”和“B种纪念品”各购进的件数； (2)如果“A种纪念品”按标价的8折出售，“B种纪念品”按标价的7折出售，那么这批纪念品全部售完后，该纪念品商店能获利多少元？ 【答案】(1)“A种纪念品”购进50件，“B种纪念品”购进30件 (2)1360元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用. （1）设“A种纪念品”和“B种纪念品”各购进的件数为x件、y件，根据题意列方程组求解即可； （2）根据题意的等量关系求解即可． 【详解】（1）解：设“A种纪念品”和“B种纪念品”各购进的件数为x件、y件， 由题意得，， 解得， 答：“A种纪念品”和“B种纪念品”各购进的件数为50件、30件． （2）解：由题意得，元， 答：该纪念品商店能获利1360元． 【变式3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍．现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂．第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（ km·t），铁路运费为1元/（ km·t）． (1)该食品厂到A地、B地的距离分别是多少千米？ (2)该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？ (3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨的售价（利润＝总售价－总成本－总运费）． 【答案】(1)该食品厂到A地的距离是50 km，到B地的距离是100 km． (2)该食品厂买进原料220 t，卖出食品200 t． (3)卖出的食品每吨的售价是10000元． 【分析】（1）设该食品厂到地的距离是，到B地的距离是，根据食品厂到地的距离是到地的倍且，两地间的距离为公里，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该食品厂买进原料，卖出食品，根据两次运输（第一次：地→食品厂，第二次：食品厂→地）共支出公路运费元、铁路运费元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （3）设卖出的食品每吨售价为元，由题意：该食品厂此次买进的原料每吨花费元，要想该批食品销售完后工厂共获利元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设该食品厂到地的距离是，到B地的距离是． 根据题意，得 解得 故该食品厂到地的距离是，到地的距离是． （2）解：设该食品厂买进原料，卖出食品． 由题意，得 解得 故该食品厂买进原料，卖出食品． （3）解：设卖出的食品每吨售价为元． 由题意，得， 解得． 故卖出的食品每吨的售价是元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 题型08配套问题 方法技巧：先明确配套比例（如1个盒身配2个盒底），设生产各部件的数量或人数为未知数，根据“配套比例=部件数量比”列方程。 【典例8】. （24-25七年级下·全国·课后作业）用铁皮做水桶，每张铁皮能做1个桶身或8个桶底，而1个桶身，1个桶底正好配套成1个水桶．现在有63张这样的铁皮，则需要用 张铁皮做桶身， 张铁皮做桶底，才能正好配套． 【答案】 56 7 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设用张铁皮做桶身，用张铁皮做桶底，由题意列方程组求解即可得到答案，读懂题意，准确列出二元一次方程组是解决问题的关键． 【详解】解：设用张铁皮做桶身，用张铁皮做桶底， 则， 解得， 即用张铁皮做桶身，用张铁皮做桶底， 故答案为：；． 【变式1】. （25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； (2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 【答案】(1)生产镜架10人，生产镜片12人 (2)6人 【分析】题目主要考查一元一次方程和二元一次方程的应用，理解题意列出方程和方程组是解题关键． （1）设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架，根据题意列出方程求解即可； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴生产镜架10人，生产镜片12人； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片， 根据题意得：， 解得：， ∴分出6人生产B镜片． 【变式2】. （25-26七年级上·全国·期末）一工厂有名工人，要完成套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套． (1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？ (2)现在工厂要在天内完成套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每名新工人每天只能加工4个A型零件．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？ 【答案】(1)工厂每天应安排24名工人生产A型零件，工厂每天能生产36套产品 (2)至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件，根据“每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成”列方程求解即可； （2）设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，根据题意，可得关于m、n的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：设工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件， 由题意得：， 解得， （套） 所以，工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品． （2）解：设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件， 由题意得， 解得， 所以，至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务． 【变式3】. （25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位的某厂某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件． (1)求某班同学一共带去了多少件礼品？ (2)该车间的工人每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ (3)在（2）的条件下，车间将当天生产的零件配套后出售，有几个销售商想合伙购买全部的成套零件后平分，在决定购买时有5个销售商退出，剩下的每个销售商都需要多分担480元，在交款时，又有4个销售商临时退出，剩下的每个销售商还需要再多分担600元，如果销售商每套零件想获得10元的利润，那么每套零件的售价是多少？ 【答案】(1)（件） (2)生产螺钉10人，则生产螺母为12人 (3)零件的售价是14元 【分析】此题主要考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握盈亏问题，配套问题，商业分配问题数量关系列方程，是解题的关键． （1）设工作岗位有y名工人，根据如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件，列方程解答； （2）设生产螺钉a人，则生产螺母为人，根据每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，列方程解答； （3）设开始共有x个销售商想合伙购买，利用5个销售商退出，剩下的每个销售商都需要多分担480元，又4个销售商退出，剩下的每个销售商还需要再多分担600元，列出方程，解方程，再利用售价成本价利润求得结论． 【详解】（1）解：设工作岗位有y名工人， 根据题意得，， 解得， （件） ∴一共带去了49件礼品； （2）解：设生产螺钉a人，则生产螺母为人 解得，， （人） 答：应安排生产螺钉工人10名，生产螺母的工人12名； （3）解：设x个销售商 解得， （元） 答：零件的售价是14元． 题型09几何图形问题 方法技巧：利用长方形周长/面积、正方形边长、立体图形体积等公式，结合题意中的长度关系（如拼接、折叠）建立等量关系。 【典例9】. （25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在长方形中放入个形状大小相同的小长方形（不重叠），其中，求小长方形的长与宽．（用方程组的知识解答） 【答案】小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，读懂题意，由等量关系列出方程是解决问题的关键． 设小长方形的长为，宽为，由图形中长宽建立方程组求解即可得到答案． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由题意可得， 解得， 答：小长方形的长为，宽为． 【变式1】. （25-26八年级上·内蒙古包头·期末）小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形． (1)每个小长方形的长和宽分别是多少？ (2)图（）正方形的边长是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（）设每个长方形的长为，宽为，根据题意列出方程组解答即可求解； （）根据（）解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，代数式求值，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：设每个长方形的长为，宽为， 由题意得，， 解得， 答：每个小长方形的长为，宽为； （2）解：∵， ∴图（）正方形的边长为． 【变式2】. （25-26八年级上·河南郑州·月考） 项目主题 制作仿古灯笼 素材1 灯笼、又统称为灯彩，是中国的一种传统工艺品，如图①是一款仿古灯笼． 素材2 用如图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，可制成如图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼． 素材3 用现有的纸板裁成如图②的长方形和正方形作为侧面与底面已知一张纸板的裁剪方式有两种（均有余料）、方式一：裁成个长方形与一个正方形：方式二：裁成个长方形与个正方形、现将张硬纸板用方式一裁剪、张硬纸板用方式二裁剪 任务一 设做成的竖式灯笼个，横式灯笼个，根据题意完成表格； 竖式灯笼个 横式灯笼个 长方形宣纸的数量（张） ①__________ 正方形宣纸的数量（张） ②___________ 任务二 若使用长方形宣纸张，正方形宣纸张，试求出两种灯笼一共做了多少个？（用含、的代数式表示） 任务三 若两种灯笼共做了个，且所用长方形宣纸的数量是正方形宣纸的，两种灯笼都制作，则两种款式的灯笼分别做了多少个？ 【答案】任务一：填写表格见解析；任务二：两种灯笼一共个；任务三：竖式灯笼做了个，横式灯笼做了个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确找出等量关系． 任务一：根据长方体的六个面的特点求解即可； 任务二：根据制作的两种灯笼恰好用了长方形宣纸张，正方形宣纸张，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务三：根据两种灯笼共做了个，且所用长方形宣纸的数量是正方形宣纸的，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：任务一：填写表格如下： 竖式灯笼个 横式灯笼个 长方形宣纸的数量（张） 正方形宣纸的数量（张） 故答案为：，； 任务二：根据题意得 ， 解得， 答：两种灯笼一共个； 任务三：根据题意可列方程组 解得， 答：竖式灯笼做了个，横式灯笼做了个． 【变式3】. （25-26七年级上·吉林长春·期中）综合与实践：如何利用闲置纸板箱制作储物盒 根据以下素材，探索完成任务：如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小琴家想要设置的储物盒样式，放置它的区域可以近似看成一个长方体，区域底面尺寸如图2所示． 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为的长方形纸板． 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒（如图5）． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒（如图6）． 目标1 熟悉材料 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全填满储物区域底面，则长方形纸板的宽为_______． 目标2 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 （2）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，求当储物盒的底面周长为时储物盒的高． 储物收纳 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面周长．家里一个玩具机械狗的尺寸如图所示，请通过计算判断该机械狗能否按图示的姿态完全放入储物盒． 【答案】（1）（2）当储物盒的底面周长为时储物盒的高为 （3）玩具机械狗不能完全放入该储物盒 【分析】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程． （1）根据图2中储物盒放置区域底面长为即可求出长方形纸板①四角截去的小正方形的边长，由此再根据几何关系即可求出； （2）设角上裁去的四个小正方形边长为，用表示储物盒的底面长和宽，根据底面周长列出方程，解方程求出即可求得储物盒的高； （3）设角上截去的四个小长方形的宽为，长为，表示出折叠后的储物和长宽高，根据几何关系列出方程组，求解方程组得到和的值，从而求出储物盒的长宽高，与机械狗的长宽高进行比较即可进行判断． 【详解】解：（1）图2中储物区域底面长为，由于收纳盒可以完全放入储物区域， 则①中的四角裁去小正方形的边长为， 则储物盒的宽小正方形的边长． 故答案为：； （2）已知，储物盒底面周长为，设角上裁去的4个小正方形边长为，， 则， 解得， ∴储物盒的高为； （3）设角上截去的四个小长方形的宽为，长为，折叠后的储物盒如图： 则， 解得， ∴，， ∴制作的储物盒的高为，底面长为，宽为， ∵玩具机械狗长，宽，高，，，， ∴玩具机械狗不能完全放入该储物盒． 题型10图表信息问题 方法技巧：从表格、图形中提取数据（如单价、数量、路程），找出隐藏的等量关系（如总费用=各部分费用之和），列出方程组。 【典例10】. （25-26八年级上·浙江温州·期中）新BA城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，下表是10月11日，温州队所在的组比赛积分表的部分信息： A组积分 排名 队伍 胜负 积分 2 温州队 7胜0负 4 金华队 6胜2负 14分 5 余姚队 5胜3负 13分 6 台州队 4胜4负 12分 (1)求温州队的积分． (2)温州队所在的组共有11支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计小组赛结束后，积分达到37分，会获得小组冠军，问温州队要获得组第一至少还要胜几场？ 【答案】(1)温州队的积分为14分 (2)温州队要获得小组第一，至少还要胜10场 【分析】本题考查了二元一次方程的应用和一元一次不等式应用，根据表格中的数据求出胜负平的得分，读懂题意正确列出方程和不等式是解题关键． （1）设胜1场加分，负1场加分，根据题意列方程即可解答； （2）设胜场，负场，根据题意列不等式即可解答． 【详解】（1）解：设胜1场加分，负1场加分 由题，得 解得， 所以（分） 答：温州队的积分为14分． （2）解：由题，得温州队一共要进行场比赛 设胜场，负场 由题，得 解得， ， 答：温州队要获得小组第一，至少还要胜10场． 【变式1】. （25-26七年级上·四川绵阳·期末）某校七（1）班40名同学为“山区希望工程”捐款，共捐款500元．捐款情况如表： 捐款（元） 5 10 15 20 人数 6 7 表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，本着负责的态度，班里小王同学利用学过的数学知识求出被墨水污染的数据，你知道他是怎么做的呢？请你写出解答过程． 【答案】捐款10元的有15人，捐款15元的有12人；过程见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设捐款10元的为人，捐款15元的为人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设捐款10元的为人，捐款15元的为人， 根据题意得：， 解得：， 答：捐款10元的有15人，捐款15元的有12人． 【变式2】. （25-26七年级上·江苏淮安·月考）为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 【答案】(1)答对一道题得5分，答错一道题扣1分 (2)刘羽同学答对了16道题，答错了4道题 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，准确理解题意建立方程组或方程是解题的关键． （1）设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，建立方程组，解方程组即可； （2）设刘羽同学答对了a道题，答错了道题，根据题意建立方程，解方程即可； （3）假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题，根据题意建立方程，解得不符题意，故假设不成立，晓飞同学不可能得79分． 【详解】（1）解：设答对一道题得x分，答错一道题扣y分， 由题意得， 由①得， 将③代入②得， 解得， ∴原方程组的解为， 答：答对一道题得5分，答错一道题扣1分． （2）解：设刘羽同学答对了a道题，答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∴ 答：刘羽同学答对了16道题，答错了4道题． （3）解：假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∵b应为整数， ∴不符题意， ∴假设不成立，即晓飞同学不可能得79分． 【变式3】. （2026七年级下·全国·专题练习）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现小票有几个数据不清楚，如下表所示： 单位 数量 单价 金额 篮球 个 6 100.00 600.00元 钢笔 支 15.00 元 笔记本 本 5.00 元 合计 — 46 — 900.00元 请根据现有的信息，帮助采购员复原并求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】购置钢笔支，金额元；购置笔记本本，金额元． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设购买钢笔支，笔记本本，根据钢笔的数量笔记本的数量 篮球的数量，购买钢笔的金额购买笔记本的金额购买篮球的金额，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：设购买钢笔支，笔记本本． 依题意得 解得 当时，（元） 当时，（元） 答：购置钢笔支，金额元；购置笔记本本，金额元． 题型11方案决策问题 方法技巧：根据题意列出含未知数的等式，求出所有正整数解，结合限制条件（如经费上限、数量要求）筛选可行方案，对比得出最优解。 【典例11】. （24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）某文体书店销售A，B两种跳绳，购买2条A种跳绳和3条B种跳绳共计35元，购买6条A种跳绳和4条B种跳绳共计80元． (1)求A种跳绳和B种跳绳每条的价钱． (2)现该文体书店对A，B两种跳绳开展促销活动，活动方案如表（两种促销方案不能同时使用）： 方案 内容 促销方案一 买一条A种跳绳，赠送一条B种跳绳 促销方案二 买A种或B种跳绳都打八折 某校为了准备跳绳比赛，计划购买A，B两种跳绳，且B种跳绳比A种跳绳多买20条．请根据购买A种跳绳的条数x的不同范围，说明该校选择哪种促销方案合适． 【答案】(1)A种跳绳每条10元，B种跳绳每条5元 (2)促销方案见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出方程组和不等式来求解． （1）设种跳绳每条元，种跳绳每条元，根据已知条件列出方程组求出两种跳绳的单价； （2）分别计算两种促销方案的花费，通过比较花费来确定合适的方案． 【详解】（1）解：设种跳绳每条元，种跳绳每条元， 根据题意得：， 解得：． 种跳绳每条10元，种跳绳每条5元． （2）解：促销方案一的花费：（元） 促销方案二的花费：（元） 当，解得：， 当，解得：． 当，解得：， 所以当时，该校选择促销方案一和二同样合适， 当时，该校选择促销方案二更合适， 当时，该校选择促销方案一更合适． 【变式1】. （25-26八年级上·广东梅州·月考）综合与实践 某学校组织爱心义卖，八（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 (1)若班委购买了钥匙扣和玩偶各30个，一共花费多少元？ (2)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ (3)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 【答案】(1)一共花费180元 (2)班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个 (3)方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个；方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个；方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个 【分析】本题考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）是解题的关键． （1）利用总价=单价×数量，结合题意即可求出结论； （2）设购买钥匙扣个，玩偶个，利用总价单价数量，结合“班委计划购买钥匙扣和玩偶一共个，其中钥匙扣超过个，一共花费元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设购买钥匙扣个，玩偶个，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合“，均为正整数，且，”，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：（元）． 答：一共花费180元． （2）解：设班委购买了钥匙扣个、玩偶个． 根据题意得， 解得； 答：班委购买了钥匙扣个、玩偶个． （3）解：设购买钥匙扣个、玩偶个， 根据题意得， ． ，均为正整数，且，， 或或， ∴共有以下3种购买方案： 方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个． 方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个． 方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个． 【变式2】. （25-26七年级上·贵州毕节·期末）毕节市织金洞被誉为“溶洞之王”，为了吸引大量游客前来参观．国庆节期间织金洞推出了两种购票方案： 方案一：成人票每张120元，儿童票每张50元； 方案二：团体票（10人及以上）每张80元． (1)小明一家7口人去织金洞旅游共花费630元，请求出小明一家有几个成年人和几个儿童？ (2)织金洞内太壮观了，小明回来后介绍了朋友小军家去旅游，小军家成年人有4人，儿童有6人，请你帮小军一家计算选择哪种方案旅游最划算； (3)现有外省朋友7个成人，4个儿童来织金洞旅游，请你帮助外省朋友设计一种最省钱的购票方案？并说明理由． 【答案】(1)小明一家有成年人4个，儿童3个 (2)选择方案一最划算 (3)最省钱的购票方案是购买10张团体票和1张儿童票，总费用850元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用． （1）设成年人数为，儿童数为，根据总人数和总花费列方程组求解． （2）分别计算方案一和方案二的总费用，比较后选择费用低的方案． （3）比较全部个人票、全部团体票以及混合方案（10张团体票和1张儿童票）的总费用，混合方案最省钱． 【详解】（1）解：设成年人数为，儿童数为，根据题意得， 解得： 答：小明一家有成年人4个，儿童3个 （2）解：方案一费用：（元） 方案二费用：（元） 选择方案一最划算 （3）解：全部个人票费用：（元） 全部团体票费用：（元） 购买张团体票（元）和张儿童票（元），总费用（元） 最省钱的购票方案是购买张团体票和张儿童票，总费用元 【变式3】. （25-26八年级上·浙江金华·开学考试）根据以下素材，探索完成任务． 有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子面． (1)求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子． (2)由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸． A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做面小旗子． ①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用． ②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做小灯笼个．已知一张A、B卡纸可分别做小灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼，采购费用低于元）． 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于元 仅一种卡纸有余料剩余 2分 合格 低于元 两种卡纸均有余料剩余 1分 【答案】(1)A卡纸每张可做5面小旗子，B卡纸每张可做3面小旗子 (2)①需要A卡纸3张，B卡纸15张或A卡纸6张，B卡纸10张；最低采购费用为元；②填表见解析 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解本题的关键． （1）设A卡纸每张可做x面小旗子，B卡纸每张可做y面小旗子，根据1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子面，再建立方程组解题即可； （2）①设购买A卡纸x张，B卡纸y张，则赠送了B卡纸x张，可得，整理得，再利用方程的正整数解进一步可得答案；②由买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．可得尽可能多买A卡纸，当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张，此时费用为，设A卡纸张有m张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有n张做小旗子，张做小灯笼，再建立方程组可得答案． 【详解】（1）解：设A卡纸每张可做x面小旗子，B卡纸每张可做y面小旗子， 则有， 解得， ∴A卡纸每张可做5面小旗子，B卡纸每张可做3面小旗子； （2）设购买A卡纸x张，B卡纸y张，则赠送了B卡纸x张， 则， ∴， ∴， ∵x，y为正整数， ∴或， ∴需要A卡纸3张，B卡纸15张或A卡纸6张，B卡纸10张； ∵A卡纸每张4元，B卡纸每张3元， 当时，则费用为（元）， 当时，则费用为（元）， ∴最低采购费用为元； ②∵买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸． ∴尽可能多买A卡纸， 当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张， 此时费用为， 设A卡纸张有m张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有n张做小旗子，张做小灯笼， ∴， 解得：， ∴A卡纸张有6张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，6张做小灯笼， 制作分配方案如下： 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于元 仅一种卡纸有余料剩余 2分 合格 低于元 两种卡纸均有余料剩余 1分 1．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，“方程术”是《九章算术》的重要内容，《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十七两；牛三、羊一，直金十两．问：牛、羊各直金几何？”意思如下：“假设有5头牛、2只羊，值金17两；3头牛、1只羊，值金10两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？” 【答案】每头牛值金3两，每只羊值金1两 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设每头牛值金x两，每只羊值金y两，建立关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两． 依题意得：， 解得：， 答：每头牛值金3两，每只羊值金1两． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）学校阅览室整理一批图书，如果一个人单独做，要用才能完成．现由两组同学共同参与此项工作，第一组整理了，第二组整理了，恰好完成工作．如果每个人的工作效率都相同，且第二组比第一组多5人，那么第一组、第二组各有多少人？ 【答案】第一组有9人，第二组有14人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设第一组有x人，第二组有y人，根据“第一组整理了，第二组整理了，第二组比第一组多5人”列方程组求解即可． 【详解】解：设第一组有x人，第二组有y人， ∵第一组整理了，第二组整理了，第二组比第一组多5人， ∴， 解得：． 答：第一组有9人，第二组有14人． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）今年父亲的年龄是玲玲的倍，年后父亲的年龄是玲玲的倍，今年父亲、玲玲的年龄各是多少岁？ 【答案】今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁，根据题意列出方程，然后解出方程即可． 【详解】解：设今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁， 根据题意得，，解得：， 答：今年玲玲的年龄是岁，今年父亲的年龄是岁． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）某电影院为了创收，分两次购进了哪吒和敖丙手办进行售卖，第一次购入哪吒手办25个，敖丙手办10个共花费650元，第二次以相同的进价购入哪吒手办40个，敖丙手办20个共花费1100元． (1)求每个哪吒和每个敖丙手办进价各多少元？ (2)该电影院为了解这两款手办的销售情况，对每天的销售进行记录，周一出售了6个哪吒手办，5个敖丙手办，销售收入记录为305元，经核实记录正确；周二以相同的售价出售了哪吒手办12个，敖丙手办10个，销售收入记录为600元，你认为周二的销售记录正确吗？如果正确，请说明理由，若不正确，请你计算出正确的销售收入． 【答案】(1)每个哪吒手办进价20元，每个敖丙手办进价15元 (2)周二的销售记录不正确，正确的销售收入为610元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及代数式求值，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设每个哪吒手办进价为元，每个敖丙手办进价为元，根据第一次购入哪吒手办25个，敖丙手办10个共花费650元，第二次以相同的进价购入哪吒手办40个，敖丙手办20个共花费1100元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设每个哪吒手办的售价为元，每个敖丙手办的售价为元，根据题意得：，即可解决问题． 【详解】（1）解：设每个哪吒手办进价为元，每个敖丙手办进价为元， 根据题意得：， 解得：， 答：每个哪吒手办进价为20元，每个敖丙手办进价为15元． （2）解：设每个哪吒手办的售价为元，每个敖丙手办的售价为元， 根据题意得：， （元）， 周二的销售收入记录不正确，正确的销售收入为610元． 答：周二的销售收入记录不正确，正确的销售收入为610元． 5．（25-26七年级上·河南周口·月考）某班准备购买笔记本作为奖品，现有甲、乙两种笔记本：甲种每本10元，乙种每本8元． (1)若购买甲、乙两种笔记本共20本，花费180元，求甲、乙两种笔记本各买了多少本？ (2)若购买乙种笔记本的数量比甲种的2倍少5本，且总花费不超过150元，求最多可以购买甲种笔记本多少本？ 【答案】(1)甲、乙各买10本 (2)最多买7本甲种笔记本 【分析】本题考查了二元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据数量关系列方程或不等式． （1）设甲、乙笔记本数量为未知数，根据总数和总花费列方程求解； （2）设甲笔记本数量，根据乙与甲的数量关系表示乙的数量，再根据总花费不超过的条件列不等式求解． 【详解】（1）解：设购买甲种笔记本本，乙种笔记本本． 由题意得： 由得，代入， ， ， ． ，则． 答：甲、乙两种笔记本各买了10本． （2）解：设购买甲种笔记本本，则乙种笔记本本． 由题意得： 因为为正整数，且笔记本数量必须为正整数.因此， m 的最大整数值为 7． 答：最多可以购买甲种笔记本7本． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）一个三位数，个位数字、十位数字、百位数字的和为12，十位数字与百位数字的和等于个位数字，十位数字的9倍比个位数字与百位数字的和小2，求这个三位数． 【答案】516． 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义和解三元一次方程组，运用加减消元法解三元一次方程组是解题的关键． 根据题干条件设个位数字为，十位数字为，百位数字为，由数量关系列三元一次方程组求解即可． 【详解】解：设个位数字为，十位数字为，百位数字为． 根据题意，得 解得故这个三位数是516． 7．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，将三个大小相同的小长方形（阴影部分）放入一个长为37、宽为26的大长方形（无重叠），求一个小长方形的长与宽分别是多少？ 【答案】一个小长方形的长与宽分别是16，5 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解决本题的关键． 设小长方形的长为，宽为，再根据图象列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 由图象可得，， 得， 解得， 将代入得， 解得， ∴原方程组的解为， ∴一个小长方形的长与宽分别是16，5． 8．（25-26八年级上·贵州·期末）如图（单位：cm），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形． (1)若设小长方形的长为，宽为，则大长方形的宽可用含有与的式子表示为______________cm． (2)每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 【答案】(1) (2)长为，宽为 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和列代数式，解题的关键是根据图找出小长方形长和宽的关系，以及大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系． （）直接列出代数式即可； （）由大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系，列出方程组，求出小长方形的长与宽即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为，由题意得， 大长方形的宽为：， 故答案为：； （2）解：设小长方形的长为，宽为，由题意得 ， 解得， 所以每块小长方形墙砖的长为，宽为． 9．（25-26七年级上·全国·随堂练习）下表是某校七年级至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同． 年级 课外小组活动总时间 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 请将九年级课外兴趣小组的活动次数填入上表． 【答案】见解析 【分析】通过设未知数表示文艺、科技小组每次活动时间，利用七、八年级数据列方程组求出每次活动时间，再设九年级活动次数，根据总时间列方程，结合正整数解确定次数． 本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握通过设未知数建立方程（组）求解实际问题是解题的关键． 【详解】解：设文艺小组每次活动时间为小时，科技小组每次活动时间为小时．则 ， 解得， 设九年级文艺小组活动次，科技小组活动次． 由题意得，， ∴， ∵、为正整数， ∴，． ∴填表如下： 年级 课外小组活动总时间 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 2 2 10．（25-26八年级上·陕西西安·期末）福建舰的建造和试航进展激发了国民的爱国热情，该舰于2025年11月5日正式入列服役，标志着中国进入“三航母时代”．某军事主题纪念品商店为此推出了“福建舰舰载机”系列模型，其中A型号为歼-35隐形战机模型，B型号为歼-15T弹射型战机模型．A、B型号战机模型每件进价分别为80元和60元．如表是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一天 4件 5件 955 第二天 2件 6件 810 (1)求A、B两种型号的战机模型的销售单价； (2)该商店又准备了1400元，全部用于采购这两种模型共20件，计划销售这批模型所得利润为学校国防教育基金捐款700元，这一目标能否实现？请说明理由． 【答案】(1)种型号的战机模型的销售单价为元，种型号的战机模型的销售单价为元 (2)能实现，理由见解析 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，熟练的确定相等关系是解本题的关键． （1）设种型号的战机模型的销售单价为元，种型号的战机模型的销售单价为元，再根据“表格信息”建立方程组即可求解； （2）设种型号的模型能采购件，再根据“纪念品店准备了元的金额全部用于再采购这两种型号的战机模型共件，”建立方程即可求种型号的模型能采购件，再计算总利润，再与进行比较即可． 【详解】（1）解：设种型号的战机模型的销售单价为元，种型号的战机模型的销售单价为元， 根据题意可得：， 解得：， 答：种型号的战机模型的销售单价为元，种型号的战机模型的销售单价为元； （2）解：能实现，理由如下： 设种型号的模型能采购件， 根据题意得：， 解得：， 售完这件模型的利润为： （元） ， 由于销售完这20件模型所得利润为750元，大于700元，所以能实现为学校国防教育基金捐款700元的目标． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）现有一段长为180m的河道整治任务由两工程队先后接力完成．工程队每天整治12m，工程队每天整治8m，共用20天．求两工程队分别整治河道的米数． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：乙： 请你在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组，并分别指出未知数表示的意义． 甲：表示_________，表示_________； 乙：表示_________，表示_________． (2)从（1）中任选一个方程组，写出完整的解答过程． 【答案】(1)20  180  180  20 工程队用的时间    工程队用的时间 工程队整治河道的米数   工程队整治河道的米数 (2)过程见解析，工程队整治河道的米数为60，工程队整治河道的米数为120． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，准确列出基本数量关系并准确解方程是解题的关键． （1）根据所列式子可知甲方程所列方程组中未知数为：设A工程队用时天，B工程队用时天； 乙所列方程组中未知数为：设A工程队整治米，B工程队整治米，据此不全方程组即可； （2）选择其中一个方程组准确解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：甲：乙： 故答案为：20；180；180；20． 甲：表示工程队用的时间，表示工程队用的时间； 乙：表示工程队整治河道的米数，表示工程队整治河道的米数． 故答案为：工程队用的时间 ；工程队用的时间； 工程队整治河道的米数； 工程队整治河道的米数． （2）解：示例：选甲同学所列的方程组．解答如下： ②-①，得，解得． 把代入①，得，所以方程组的解为 所以工程队整治河道的米数为，工程队整治河道的米数为． 12．（25-26六年级上·上海宝山·月考）海中有、、三个小岛，岛在岛正西方距离400海里处（如下图所示），岛在岛的北偏东方向500海里处． (1)用1厘米代表200海里，请根据题意在图中画出岛的位置，并量出图中的长度为 厘米，（四舍五入到个位）；那么、两地的实际距离约为 海里． (2)甲、乙两货轮同时从岛出发，甲沿方向，乙沿方向，10小时相遇，此时甲货轮比乙货轮多行驶了100海里，求甲乙两货轮的速度． (3)若岛需要大米和玉米共30吨，岛需要大米和玉米共50吨，现从岛运输20吨大米与60吨玉米到岛和岛，运输费用共为10600元（每吨的运输费用如下表所示），那么运到岛的大米与玉米各是多少吨？ 到岛的运费（元/吨） 到岛的运费（元/吨） 大米 100 200 玉米 80 150 【答案】(1)4；800； (2)甲乙两货轮的速度分别为90海里/小时，80海里/小时； (3)运到岛的大米10吨，玉米吨 【分析】题目主要考查二元一次方程和一元一次方程的应用，理解题意，列出方程和方程组是解题关键． （1）根据题意画出图形求解即可； （2）设甲乙两货轮的速度分别为x海里/小时，y海里/小时，根据题意列出方程组求解即可； （3）设运到岛的大米a吨，玉米吨，运到C岛的大米吨，玉米吨，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示点C的位置，量出图中的长度为厘米， 实际距离约为：海里， 故答案为：4；800； （2）设甲乙两货轮的速度分别为x海里/小时，y海里/小时， 根据题意得：， 解得：， ∴甲乙两货轮的速度分别为90海里/小时，80海里/小时； （3）设运到岛的大米a吨，玉米吨，运到C岛的大米吨，玉米吨， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴运到岛的大米10吨，玉米吨． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）新房装修后，甲居民购买家居用品的清单如下表，因污损导致部分信息无法识别，根据下表解决问题： 家居用品名称 单价/元 数量/个 金额/元 挂钟 30 2 60 垃圾桶 15 塑料鞋架 40 艺术饰品 2 120 电热水壶 35 1 合计 8 310 (1)________，________； (2)甲居民购买了垃圾桶、塑料鞋架各几个？ (3)若甲居民再次购买艺术饰品和垃圾桶两种家居用品，共花费150元，则有哪几种不同的购买方案？ 【答案】(1)60，35 (2)甲居民购买了1个垃圾桶，2个塑料鞋架 (3)共有2种购买方案：方案1：购买1个艺术饰品，6个垃圾桶；方案2：购买2个艺术饰品，2个垃圾桶． 【分析】本题考查二元一次方程组与二元一次方程的应用，掌握单价×数量=金额的基本关系，以及根据正整数条件确定购买方案的方法是解题的关键． （1）根据单价×数量=金额的基本关系，直接计算艺术饰品的单价和电热水壶的金额； （2）先从总数量和总金额中减去已知商品的部分，得到垃圾桶和塑料鞋架的数量和与金额和，再设未知数列方程组求解； （3）设再次购买的数量为未知数，根据总花费列二元一次方程，再根据正整数条件确定所有可行的购买方案． 【详解】（1）解：，． （2）解：设甲居民购买了垃圾桶个，塑料鞋架个， 依题意，得 解得 答：甲居民购买了个垃圾桶，个塑料鞋架． （3）解：设甲居民再次购买个艺术饰品，个垃圾桶， 依题意，得， ． 又，均为正整数， ∴或 ∴共有种购买方案： 方案：购买个艺术饰品，个垃圾桶； 方案：购买个艺术饰品，个垃圾桶． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $