专题6.2 二元一次方程组的解法（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

专题6.2 二元一次方程组的解法 教学目标 1.掌握代入消元法和加减消元法的步骤，能熟练解二元一次方程组。 2.理解消元思想，会用整体代入、换元等特殊技巧解复杂方程组。 3.能根据方程组特点选择合适的解法，提高运算效率。 4.会列二元一次方程组解决实际问题，提升数学建模能力。 5.体会转化、整体等数学思想，培养严谨的运算习惯。 教学重难点 重点 （1）代入消元法和加减消元法的核心步骤及应用。 （2）根据方程组特点选择恰当的消元方法。 （3）特殊解法（整体代入、换元法）的运用。 （4）列二元一次方程组解决实际问题。 难点 （1）消元思想的深层理解与灵活运用。 （2）复杂方程组的化简与变形（如含分母、括号的方程组）。 （3）同解方程组、错解复原等含参数问题的处理。 （4）实际问题中等量关系的精准挖掘与建模。 知识点01：消元思想 1.核心本质：将二元一次方程组通过“消元”转化为一元一次方程求解，体现“化复杂为简单”的转化思想。 2.消元途径：主要有代入消元法和加减消元法，可根据方程组特点选择合适方法。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·河北邢台·期末）用消元法解方程组时，两位同学的消元方法如下： 嘉嘉解法：由，得． 淇淇解法：由②得．③ 把①代入③，得． (1)直接判断上述两位同学的消元过程是否有误． (2)请选择一种你喜欢的方法，解方程组． 【答案】(1)嘉嘉的消元过程有误，淇淇的消元过程没有错误； (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）由加减消元法和代入消元法的步骤判断即可； （2）由加减消元法和代入消元法的步骤分别求解即可． 【详解】（1）解：嘉嘉解法：由，得， ∴嘉嘉的消元过程有误，淇淇的消元过程没有错误； （2）解：嘉嘉解法： 由，得，解得：， 把代入①，得，解得：， 所以原方程组的解是； 淇淇解法： 由②得．③ 把①代入③，得， 解得：， 把代入①，得，解得：， 所以原方程组的解是． 知识点02：代入消元法 1.定义：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示，代入另一个方程消去该未知数，转化为一元一次方程求解。 2.步骤：①变形（选系数简单的方程，用一个未知数表示另一个）； ②代入（代入未变形的方程，消去一个未知数）； ③求值（解一元一次方程）； ④回代（求另一个未知数的值）； ⑤写解（用大括号联立结果）。 3.适用场景：某未知数系数为1或-1，或常数项为0的方程组。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用代入法解二元一次方程组，掌握代入法的步骤，即从一个方程中用一个未知数表示另一个未知数，再代入另一个方程消元求解是解题的关键． （1）先化简第二个方程，再从第一个方程中用表示，代入化简后的方程，消元求解． （2）从第一个方程中用表示，代入第二个方程，消去，解出后再求． 【详解】（1）解： 化简方程②： 由方程①得：， 代入方程③： 将代入，得： 方程组的解为 ． （2）解： 由方程①得：， 代入方程②： 通分计算： 将代入，得： 方程组的解为 ． 知识点03：加减消元法 1.定义：通过将两个方程两边相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程求解。 2.步骤：①变形（用适当的数乘方程两边，使某一未知数系数相等或互为相反数）； ②加减（系数相等相减，互为相反数相加，消去一个未知数）； ③求值（解一元一次方程）； ④回代（求另一个未知数的值）； ⑤写解（用大括号联立结果）。 3.适用场景：某一未知数系数相同、互为相反数或成倍数关系的方程组。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． 方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 知识点04：方程组的特殊解法 1.整体代入法：将方程组中重复出现的代数式视为整体，代入化简求解，简化运算。 2.换元法：设复杂代数式为新未知数，将原方程组转化为简单方程组求解，如含、的方程组。 3.设参数法：对于含比例式（如）的方程组，设比例系数为参数，用表示未知数后代入求解。 4.叠加叠减法：对于系数轮换型方程组（如），通过方程相加、相减简化系数。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）观察发现： 解方程组： 将①整体代入②得． 解得． 把代入①，． 故原方程组的解为． 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答． (1)实践运用： 请用“整体代入法”解方程组． (2)拓展提升： 请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组是解题的关键． （1）利用整体代入法解方程组即可； （2）利用整体代入法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得， 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为； （2）解：， 得， 即， 将变形为 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为． 知识点05：特殊方程组的处理 1.同解方程组：两个方程组解相同，先解不含参数的方程组，将解代入含参数的方程求参数。 2.错解复原问题：看错某参数的解仍满足未看错的方程，联立方程求原参数。 3.含参数方程组：根据参数取值判断解的情况（唯一解、无数解、无解）。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·山东青岛·周测）已知关于的方程组无解，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记二元一次方程组无解的条件是解题的关键． 由原方程组无解，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：， 可得， 关于的方程组无解， 中， 解得：， 的值为1． 故答案为：1． 题型01用代入消元法解二元一次方程组 方法技巧：选系数简单的方程，用一个未知数表示另一个；代入未变形的方程消元，解一元一次方程；将结果回代变形方程，求出另一个未知数，联立得解。 【典例1】. （25-26八年级上·贵州贵阳·期末）解方程组：，下列做法正确的是（ ） A．将代入，消去 B．将代入，消去 C．，消去 D．，消去 【答案】A 【分析】本题考查解二元一次方程组．通过代入法，将方程①代入方程②，可以消去变量x，得到关于y的一元一次方程． 【详解】解：∵方程①为， 方程②为， 将①代入②，得， 化简得， ∴消去了，选项A正确，选项B错误； 得化，化简得，无法消去，选项C错误；选项D错误． 故选：A． 【变式1】. （25-26八年级上·河南开封·月考）用代入消元法解方程组时，消去y，可将第一个方程变形为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式是解题的关键． 根据代入消元法的要求，将第一个方程变形为用表示的形式，从而消去． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 【变式2】. （2026七年级下·全国·专题练习）用代入法解方程组有以下过程： （1）由①，得．③ （2）将③代入②，得． （3）去括号，得． （4）解得．将代入③，得．所以这个方程组的解是 以上解题过程中，开始出错的一步是（   ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】C 【分析】本题主要考查代入消元法，熟练掌握代入消元法是解题的关键． 根据代入消元法的运算法则进行判断即可． 【详解】解：∵ 由①得 ③，正确； 将③代入②得 ，正确； 去括号时，，但过程写为 ，错误； ∴ 开始出错的一步是（3） 故选：C． 【变式3】. （25-26八年级上·甘肃张掖·月考）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（   ） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，准确的计算是解决本题的关键． 根据二元一次方程组的解法—代入消元法，可把方程组中一个方程的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，一般通过移项，系数化1，变形即可． 【详解】解：A、由得，，该选项正确，不符合题意； B、由得，，该选项错误，符合题意； C、由得，，该选项正确，不符合题意； D、由得，，该选项正确，不符合题意； 故选：B． 题型02用加减消元法解二元一次方程组 方法技巧：变形方程使某未知数系数相等或互为相反数；系数相等相减、互为相反数相加消元；解一元一次方程后回代，联立得解，注意符号变化。 【典例2】. （25-26八年级上·河北保定·月考）用加减消元法解方程组时，得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用加减消元法解二元一次方程组．通过将方程①减去方程②，消去变量x，得到关于y的方程． 【详解】解：得， ∴， 即， 故选：C． 【变式1】. （25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减法解方程组即可，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键． 【详解】解：， ，得，解得； 把代入①，得，解得； ∴方程组的解为． 【变式2】. （25-26八年级上·陕西渭南·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组．熟悉解二元一次方程组的一般方法：代入消元法，加减消元法，是解题的关键． 本题利用加减消元法将两式相加消去，得到，并代入①，得到． 【详解】解：①+②，得， 解得：， 把代入①，得：， 移项，得：， 解得：， ∴方程组的解为． 【变式3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程组则的值是（   ） A．3 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的整体代入解法，解题关键是观察方程的结构特征，利用整体相加的方法直接得到 的值，避免了繁琐的代入消元或加减消元步骤． 通过将两个方程直接相加，整体求出的值． 【详解】解：∵ 方程组为： ①+②： ． ∴ 的值为． 故选：A． 题型03用整体代入法解方程组 方法技巧：识别方程组中重复出现的代数式（如），将其视为整体，代入另一个方程简化运算，无需单独求未知数。 【典例3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法化繁为简． 解方程组 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得，所以方程组的解为 请用此方法解方程组 【答案】 【分析】本题考查整体代入法解二元一次方程组，掌握观察方程组的结构，将已知的代数式整体代入另一个方程以简化计算是解题的关键． 观察方程组，发现方程②直接给出了的值，因此可以将整体代入方程①，先求出的值，再代入②求出的值． 【详解】解： 把②代入①，得，解得． 把代入②，得， ∴方程组的解为 【变式1】. （25-26八年级上·山西晋中·期末）阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． 请你利用“整体代入消元法”解方程组． 【答案】 【分析】本题考查用二元一次方程组的特殊解法，先从一个方程中整理出可整体代入的代数式，再将其代入另一个方程，实现消元求解． 【详解】解：整理方程组得： 由②得③． 将③整体代入，得，解得， 将代入③，得， 解得． 所以原方程组的解为． 【变式2】. （25-26七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料： 解方程组： 解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得，解得，所以这个方程组的解为 这种方法称为“整体代入法”． 请用这种方法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法（整体代入法），解题关键是通过观察方程的结构，将一个方程变形后得到的整体表达式代入另一个方程，从而实现消元，简化求解过程． 先从方程①中整理出的表达式，再将其整体代入方程②，从而消去一个未知数，简化计算． 【详解】解：由①，得③． 观察方程② ，可以将分子变形为， 把③代入②，得，解得． 把代入③，得，解得， ∴这个方程组的解为 【变式3】. （25-26八年级上·全国·假期作业）阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，即③，把①代入③得． 解得，把代入①得，所以原方程组的解为 请你运用以上方法解决下列问题： (1)模仿小红的方法解方程组 (2)已知x，y满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整体代换法解方程组，解题的关键是读懂题意，明确整体思想． （1）仿照小红的方法把②变形得：，把①代入求y，进而求x即可； （2）由①得： ③，再把②变形得到④，再将③代入求出 ，进而代入求值即可． 【详解】（1）解：把②变形得：， ③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以原方程组的解； （2）由①得： ③， 由②得：④， 把③代入④得： ， 解得：， 把代入得： ． 题型04用换元法解方程组 方法技巧：设复杂代数式（如、）为新未知数，将原方程组转化为简单方程组，求解后回代求原未知数。 【典例4】. （25-26八年级上·福建漳州·月考）解方程组，若设，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫换元法，请用这种方法解方程组 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． 令，代入原方程组求出、的值，进而建立二元一次方程组再求出，的值． 【详解】解：方程组，变形为 假设， 原方程组变形为， 解得， ∴，解方程组得， 故方程组的解为． 【变式1】. （2025八年级上·山东青岛·专题练习）对于方程组，不妨设，，则原方程组变为以、为未知数的方程组，解得，从而原方程组的解是，这种解题的方法称为换元法． 【答案】，． 【分析】此题考查了用换元法解二元一次方程组，熟练掌握换元法是解本题的关键．根据设出的与，将方程组变形，求出解确定出与的值，进而求出与的值． 【详解】解：∵设，， ∴整理成， 将各个式子去分母化简为：， 由由得： ， ， ， ， 将代入①中得：，即， ∴综上． ∵将代入，中， 整理得， 由③④得： ， ， ， 将代入③中得：，即， ∴综上． 【变式2】. （2025八年级上·全国·专题练习）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，设，利用换元法解出，再解即可． 【详解】解：设， 则原方程组可化为， 解得， 所以， 解得， 所以原方程组的解是． 【变式3】. （24-25七年级下·贵州毕节·月考）解方程组：． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，先设，进行换元构造新的方程组，求解后再求原方程组的解． 【详解】解：设，，则原方程组变形为， ， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， ， 解得， 原方程组的解为． 题型05利用同构方程求解 方法技巧：同构方程的核心是方程组的系数和常数项完全相同，仅未知数的表达式形式不同。先识别新方程组与已知解的方程组在系数、常数项上的一致性，再将新方程组中重复出现的整式（即“未知数替代式”）与已知方程组的未知数对应，用已知解直接等于替代式，求解原未知数。 【典例5】. （24-25七年级上·安徽滁州·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，设，则所求方程组可变形为，根据题意可得方程组的解是，则，据此求解即可． 【详解】解：设， ∴关于x、y的二元一次方程组可变形为关于m、n的二元一次方程组， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】. （25-26八年级上·广东佛山·期末）已知二元一次方程组的解为，那么的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法． 通过变量代换，将原方程组化为与已知方程组相同的形式，利用已知解直接求解即可． 【详解】解：设，则原方程组化为：， 整理得：， 令，则：， ∵该方程组与已知方程组形式相同，且已知解为， ∴， 所以，解得， ，解得， 故原方程组的解为． 故答案为：． 【变式2】. （24-25七年级下·湖北襄阳·月考）若方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用换元法求二元一次方程组的解，把方程组变形为：，再根据方程组的解为，由此可得，进而得出答案． 【详解】解：将方程组整理， 可得：， 方程组的解为， 方程组的解为， 整理可得：， 故答案为：． 【变式3】. （24-25七年级下·广东江门·期中）阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，则原方程组可化为， 解关于的方程组，得， 所以 解方程组，得． (1)材料中运用的数学思想是___________； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． (4)对于有理数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知．求的值． 【答案】(1)B (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了用换元法解比较复杂的二元一次方程组，解决本题的关键是读懂材料中的解题思路，仿照材料中的解题思路解答即可． （1）根据材料中的解题思路可知，材料中运用的数学思想是整体思想， （2）仿照材料中的解题思路，设，，则方程组可化为，解方程组求出，从而可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； （3）首先把方程组，整理成的形式，根据方程组的解为，可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； （4）根据新定义，列出关于的方程组，得出，进而根据新定义得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：材料中把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，分别用字母、表示， 材料中运用的数学思想是整体思想， 故选：B； （2）解：设，， 则原方程组可化为， 解得：， ， 解得：； （3）解：整理方程组， 可得：， 可得方程组的解为， 解得：． （4）解：∵ ∴ ∴ ∴ 题型06同解方程组问题 方法技巧：将两个方程组中不含参数的方程联立，解出公共解，代入含参数的方程，列一元一次方程求参数。 【典例6】. （25-26七年级上·贵州铜仁·月考）已知关于的方程组和的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组同解问题，根据方程组和的解相同， 得出这两个方程组的解也是方程组的解，然后解方程组，得出，将代入原方程组得出，求出a、b的值，最后代入求值即可． 【详解】解：因为方程组和的解相同， 所以这两个方程组的解也是方程组的解． 解得， 将代入方程组得， 解得， 所以． 【变式1】. （24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解与的其中一个解相同，则a的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意，方程组的解与方程的一个解相同，因此先解方程组，得到和的值，再代入中求出的值． 【详解】解：解方程组， ，得③， ，得④， ③④得，解得， 将代入②，得，即， 解得， 所以方程组的解为． 将代入，得， 即， 解得． 故答案为：． 【变式2】. （25-26八年级上·全国·假期作业）方程组与方程组的解相同，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查同解方程组，将两个方程组中不含参数的两个方程组成新的方程组，求解后，代入两个含参方程组成的方程组中，进行求解即可． 【详解】解：∵方程组与方程组的解相同， ∴方程组和的解也相同， 解，得， 把代入，得， 故． 【变式3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组的解法，掌握先求解公共未知数的方程组得到公共解，再代入含参数的方程求解参数是解题的关键． 由于两个方程组的解相同，先联立两个方程组中只含的方程，解出公共解；再将公共解代入含的方程，得到关于的方程组并求解；最后把的值代入，计算出结果． 【详解】解：两个方程组的解相同，根据题意得 解得 解得 ． 题型07方程组的错解复原问题 方法技巧：正确解代入所有方程，错解代入未看错的方程，联立得到关于参数的方程组，求解参数复原原方程组。 【典例7】. （2025七年级上·全国·专题练习）小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题、解一元一次方程，熟练掌握方程组和方程的解法是解题关键．先根据题意可得是方程的解，是方程的解，代入可得一个关于的方程组，解方程组可得的值，再代入一元一次方程，求解即可． 【详解】解：由题意得：是方程的解，是方程的解， ∴， 解得：， ∴一元一次方程可化为， 解得：． 故选：A． 【变式1】. （24-25七年级下·甘肃武威·期末）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得． (1)求正确的，的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （）根据题意可得甲求得的方程组的解满足方程，乙求得的方程组的解满足方程，据此可得关于的方程，解方程即可得到答案； （）根据（）所求可得原方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得， ∴甲求得的方程组的解，满足方程，乙求得的方程组的解满足方程， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得，，， ∴原方程组为， 由得，， 把代入得，解得， 把代入得，， ∴方程组的解为：． 【变式2】. （25-26八年级上·宁夏中卫·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出和的值． 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的错解复原问题，掌握方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解题的关键． 利用看错某方程系数时，所得解仍满足未看错的方程，分别将甲、乙的解代入对应未看错的方程，即可求解、． 【详解】解：∵甲看错了方程①中的， ∴甲所得的解符合方程②，把代入方程②，得 ，解得； ∵乙看错了方程②中的， ∴乙所得的解符合方程①，把代入方程①，得 ，解得； ∴，． 【变式3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）甲、乙二人同解一个方程组：甲解得乙解得经检查，甲仅看错了方程①中的系数，乙仅看错了方程②中的系数．求方程组正确的解． 【答案】 【分析】利用“甲仅看错方程①中的系数，乙仅看错方程②中的系数”这一条件，可知甲的解满足方程②，乙的解满足方程①．通过这两个解分别求出方程①中的系数和方程②中的系数，再解出正确的方程组． 【详解】解：设原方程组为， 甲仅看错了方程①中的系数，∴他的解满足方程②： 解得：． 乙仅看错了方程②中的系数，∴他的解 满足方程①： 解得：． 将，代入，得到正确的方程组： ： ： ： 解得：． 将代入① 解得：． ∴方程组正确的解为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解与加减消元法，解题关键是抓住“看错一个方程的系数，解仍满足另一个方程”这一关键信息，先确定方程中未知的系数，再求解完整的方程组． 题型08含参数方程组的解的情况判断 方法技巧：将方程组化为，根据、、的关系判断：相等则无数解，前两相等后不等则无解，前两不等则唯一解。 【典例8】. （23-24七年级下·江苏泰州·月考）若方程组有唯一解，则，的值应当是（   ） A．，为任意实数 B．， C．， D．，为任意实数 【答案】A 【分析】此题考查的是解二元一次方程组；根据加减消元的思想，消掉，然后再根据方程组有唯一解，可得，即可求解． 【详解】解： ①得③， 得 ∴，即 ∴，为任意实数， 故选：A． 【变式1】. （25-26七年级下·全国·单元测试）已知关于的方程组，其中为整数．若方程组有无穷多组解，求实数与的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先根据方程组中的第一个方程可得，代入第二个方程可得，再根据方程组有无穷多组解可得，，据此求解即可得． 【详解】解：， 由①得：③， 将③代入②得：，即， ∵这个方程组有无穷多组解， ∴，， 由得：， 将代入得：，解得， 将代入得：， ∴． 【变式2】. （22-23七年级下·山西吕梁·月考）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 二元一次方程组解的情况的讨论 我们知道，二元一次方程组的解法主要有代入消元法和加减消元法，它的解的情况有三种．一是唯一解，例如方程组，有唯一解；二是有无穷多个解，例如方程组有无穷多个解；三是无解，例如方程组无解．下面我们讨论一下方程组，在什么情况下有唯一解，有无穷多个解或无解．我们先利用加减消元法解方程组． 解：，得．下面我们分几种情况讨论： （1）当，即时，，进而可得方程组的唯一解为． （2）当，即时， ①若，即，也就是，方程组有无穷多个解； ②若，即，也就是，方程组无解． 任务： (1)上面小论文中的分析过程中，主要体现的数学思想是 （填选项）． A．整体思想；B．分类讨论思想；C．数形结合思想 (2)请参照小论文提供的方法直接写出下列方程组解的情况： ①；②；③． (3)运用小论文提供的公式，解方程组． 【答案】(1)B (2)①有无穷多个解；②有唯一解；③无解 (3) 【分析】（1）根据对分类讨论思想进行解答； （2）根据小论文中的判断方法进行方程组解的判断； （3）根据当，即时，，进而可得方程组的唯一解为，解出答案． 【详解】（1）解：分不同情况讨论得出结果，故为分类讨论思想． 故选B． （2）由题意得 ①中，，故有无穷多个解， ②中，，故有唯一解， ③中，，故方程组无解． （3）∵，，，，，， ∴，， ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是读懂例题中对不同方程组的解的情况分类． 【变式3】. （23-24七年级下·广东肇庆·期末）先阅读下列知识，然后回答后面的问题∶ 二元一次方程组的解的情况有以下三种：当时，方程组有无数个解；当时，方程组无解；当时，方程组有唯一解． (1)判断二元一次方程组的解的情况：___________；判断二元一次方程组的解的情况：___________． (2)小明在解下面的二元一次方程组时，碰到了一个非常“严重”的问题，发现“”，他知道这是不可能的，但是又找不到错误的原因，请你解释一下． 解方程组： 解：由①得，代入②得，得 【答案】(1)有无数个解；有唯一解 (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义； （1）根据二元一次方程组的解与系数的关系求解即可； （2）根据（1）的结论可知，原方程组无解，所以出现错误． 【详解】（1）解：对于第一个二元一次方程组， ，，，由于， 所以该方程组有无数个解； 对于第二个二元一次方程组， ，，，由于， 所以该方程组有唯一解． （2）解：∵ ∴二元一次方程组无解，故小明出现错误． 题型09二元一次方程组的实际应用 方法技巧：审清题意，找出两个独立等量关系，设两个未知数，列方程组求解，检验解是否符合实际意义（如正整数）。 【典例9】. （25-26七年级下·全国·课后作业）一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需秒．若动车组长度为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是 ，动车组的速度是 ． 【答案】 90千米/时 180千米/时 【分析】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，掌握追及问题和相遇问题的公式，以及根据路程=速度×时间建立方程组的方法是解题的关键． 同向而行时，相对速度为两车速度之差，路程为两车长度之和；相向而行时，相对速度为两车速度之和，路程同样为两车长度之和．根据这两个等量关系建立二元一次方程组，求解两车速度． 【详解】解：设普通列车速度为米/秒，动车组速度为米/秒， 两车总长度为：米， 相对速度为，时间秒：， 时间为​秒秒，相对速度为：， 即 ​解得： 因此：普通列车速度：米/秒，动车组速度：米/秒． 米/秒千米/小时，米/秒千米/小时， 故答案为：千米/时；千米/时． 【变式1】. （25-26八年级上·河南开封·月考） 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 【答案】规定的时间为天，这批零件的总数为个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设规定的时间为天，这批零件的总数为个，根据“如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件”列出方程组，解出即可．解题的关键是正确理解题意，设出未知数，利用等量关系列出方程组． 【详解】解：设规定的时间为天，这批零件的总数为个， 依题意，得： 解得：． 答：规定的时间为天，这批零件的总数为个． 【变式2】. （2026七年级下·全国·专题练习）某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 【答案】甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找出等量关系，列二元一次方程组是解题的关键． 假设甲、乙两队原计划每天分别施工x、y米，根据题意120天完成可得方程，后逐步分析实际情况甲前60天与后60天的总工程量，乙前60天与后30天（离开30天）的工程量，总工程量与总时间按原计划未变，故可得另一方程，建立方程组，最终求出x、y的值． 【详解】解：假设甲队原计划每天施工x米，乙队原计划每天施工y米， 原计划120天合作施工， 故可得方程， 实际情况：甲先以原计划施工60天，后甲按照每天施工剩余的60天； 乙先以原计划施工60天，后停工30天，最后按照每天施工剩余的30天； 由此可得方程， 可得方程组， 化简得， 解得， 故甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 【变式3】. （23-24七年级下·浙江温州·期中）探究学校校服订购的方案． 素材1：天气转热，不少学生的夏季校服有损坏或丢失，故学校联系了厂商订制一批校服衣服和裤子．下表是学校前两年的购买记录． 年份/年 衣服数量/件 裤子数量/件 总价/元 2022 100 80 7300 2023 120 60 7500 素材2：本届七年级使用的是改版后的校服，每件新版衣服和裤子的价格均比旧版多10元．为保证各年级段校服统一，学校要求七年级学生购买新版，八、九年级学生购买旧版． 【任务1】分别求出旧版衣服和旧版裤子的单价． 【任务2】依据往年八、九年级的数据统计，衣服数量不超过80件，裤子数量不超过50件．若学校恰好用了4900元为八、九年级购买旧版校服，则衣服和裤子各买了多少件？ 【任务3】学校统计各班的订购意向后，最终花费9200元订购这批校服．已知七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的，且少于50件，则八、九年级订购的裤子共有 件．（请直接写出答案） 【答案】任务1：一件旧版衣服45元，一件旧版裤子35元；任务2：衣服70件、裤子50件或衣服77件、裤子41件；任务3：11 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． 任务1：设一件旧版衣服x元，一件旧版裤子y元，根据题意列方程组求解即可； 任务2：设购买衣服m件，裤子n件，则，得到，根据，且m， n均为正整数得到符合要求的解即可； 任务3：由题意可知一件新版衣服55元，一件新版裤子45元，设七年级订购新版衣服a件、新版裤子c件，八、九年级订购旧版衣服m件、旧版裤子b件。由题意，七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的  1 4 1 4 ，可得 ，整理得  ，根据总花费9200元，列出二元一次方程，进而找出符合要求的解即可． 【详解】任务1：设一件旧版衣服x元，一件旧版裤子y元， 由题意，得 解得 答：一件旧版衣服45元，一件旧版裤子35元； 任务2：设购买衣服m件，裤子n件， 由题意，得， 化简，得， ∵，且m， n均为正整数， 或 答：衣服70件、裤子50件或衣服77件、裤子41件； 任务3：∵每件新版衣服和裤子的价格均比旧版多10元， ∴一件新版衣服55元，一件新版裤子45元， 设七年级订购新版衣服a件、新版裤子c件，八、九年级订购旧版衣服m件、旧版裤子b件。由题意，七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的  1 4 1 4 ，可得 ，整理得  ， 由题意，得 ， 将 代入，得 ， 化简得． ∵， 且a， b均为正整数， ∴，． 故答案为：11． 题型10新定义下的二元一次方程（组）求解 方法技巧：先精准理解新定义规则（如运算、特殊数、关联值等），将新定义表述转化为二元一次方程或方程组，结合定义中的限制条件（如数字不为零、互不相同等），按常规解法求解，最后验证结果是否符合定义要求。 【典例10】. （24-25七年级下·山西吕梁·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 【变式1】. （24-25六年级下·上海闵行·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如，，． 已知，，则根据定义可以得到：． (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， 得， ， 把代入②，得， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ， ∵， ， 解得； （3）解：∵， ∴， 解得：， ， ， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ， 解得：． 【变式2】. （24-25七年级下·福建福州·期中）定义：对任意一个两位数，若满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，则称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)下列两位数：20，52，44中，“相异数”为________________； (2)如果“相异数”满足，直接写出所有“相异数”的值______________； (3)如果，都是“相异数”，且，请判断值是否为常数，并说明理由． 【答案】(1)52 (2)13，31 (3)是常数为9，见解析 【分析】本题考查了新定义，解答本题的关键是明确题意，理解“相异数”． （1）根据题目中“相异数”的定义即可判断； （2）根据题目中“相异数”的定义，即可得到所有“相异数”b的值； （3）根据题意，可以表示出m、n，然后即可计算出的值，即可求解． 【详解】（1）解：由“相异数”的定义可得，两位数：20，52，44中，“相异数”为52； （2）解：设“相异数”b的十位数字是x，个位数字是y， ∵“相异数”b满足 ∴ ∴ 即 ∵个位数字与十位数字互不相同，且都不为零 ∴当时，，此时b的值为13； 当时，，此时b的值为31； ∴所有“相异数”b的值为13，31； （3）解：是常数，理由如下： ∵m、n都是“相异数”，且 设，则 ∴ ， ∴． 【变式3】. （25-26七年级上·北京·月考）对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)当时，直接写出方程的“关联值”为____________； (2)若“关联值”为4，直接写出所有满足条件的方程的解为____________； (3)直接写出方程的最小“关联值”为____________． 【答案】(1)1 (2)，； (3) 【分析】此题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系和不等关系． （1）把代入方程求出y的值，再根据“关联值”的概念求解即可； （2）根据“关联值”为4分情况列方程求解即可； （3）根据题意分两种情况求解. 【详解】（1）解：当时，即， 解得， ∵ ∴此时方程的“关联值”为1． （2）解：∵“关联值”为4， ∴①当时，即，解得， ∴方程的解为； ②当时，即，解得， ∴方程的解为； ③当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； ④当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； 综上所述，所有满足条件的方程的解有，； （3）解：∵， ∴， 当时，即，解得， 此时为方程的“关联值”， ∵， ∴不存在最小关联值； 当，即，解得或， ∴或， 此时为方程的“关联值”，的最小值为， ∴方程的最小“关联值”为 一、单选题 1．方程组，下列步骤可以消去未知数的是（   ） A．①② B．①② C．①-② D．①+② 【答案】C 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解本题的关键．根据加减消元法进行求解即可． 【详解】解：A、①②，得 ， 变形后不能消去未知数，故不符合题意； B、①②，得 ， 变形后不能消去未知数，故不符合题意； C、①②，得 ， 变形后能消去未知数，故符合题意． D、①②，得 ， 变形后不能消去未知数，故不符合题意； 故选：C． 2．方程组的解满足、互为相反数，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，把方程组中的两个方程左右两边分别相加得到． ，根据方程组的解满足、互为相反数得到，解之即可得到答案． 【详解】解： 得， ∵方程组的解满足、互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．某铁路桥长，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了，整列火车完全在桥上的时间共．设火车的速度为 ，火车的长度为，则所列方程组正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据火车过桥问题，从开始上桥到完全过桥，火车行驶距离为桥长加车长；完全在桥上时，火车行驶距离为桥长减车长. 利用速度、时间和距离关系列方程． 【详解】解：设火车的速度为，长度为， ∵ 从开始上桥到完全过桥用时，行驶距离为， ． ∵ 完全在桥上用时，行驶距离为， ． 因此，方程组为． 故选：B． 4．若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 【答案】B 【分析】根据平方和绝对值的非负性，两个表达式之和为零则每个表达式均为零，由此列出方程组求解． 本题考查了非负数的意义，二元一次方程组的解法，根据题意列出方程组并正确求解是解题关键． 【详解】解：∵ 且 ， 又∵ ， ∴ ， 解得 故选：B． 5．若方程组的解满足，则等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法与代数式求值，解题的关键是将方程组中的两个方程相加，结合建立关于的方程． 将方程组的两个方程左右两边分别相加，得到含与的等式，再代入求解． 【详解】解：已知方程组， 将两方程相加，得：， 整理得：， 两边同时除以5，得：． 又因为，所以， 解得． 故选：B． 二、填空题 6．已知二元一次方程组则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的整体加减消元法，解题关键是观察方程系数的特征，通过两式直接相减构造出的表达式，从而简化计算． 通过观察两个方程的系数特点，可直接将两式相减，整体求出的值． 【详解】解：方程组 ： ∴． 故答案为：． 7．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了用含一个未知数的代数式表示另一个未知数． 将x视为已知数，通过解方程求出y的表达式 【详解】解：解方程， 移项得， 两边同时除以2得． 故答案为：． 8．若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 解法一：联立方程和解出，，再代入求出的值即可． 解法二：两个方程相加，再建立关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解法一：联立方程组， 解得， 将，代入， 得， 解得， 解法二： ，得 ， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：5． 9．若关于，的方程组和有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的公共解问题，掌握先求公共解，再代入求参数的方法是解题的关键． 通过解不含参数的方程得到公共解，再代入含参数的方程求出的值，最后计算乘方． 【详解】解：联立方程， 解得 将代入 得 两式相加得，即． ． 故答案为：． 10．《周髀算经》是古老的数理天文学著作，书中记载了一种用于度量日影长度的圭表．已知圭的长度比表的长度长5尺，且圭和表的长度之和为21尺，设圭的长度为尺，表的长度为尺，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题，列方程组，根据题意，圭的长度比表的长度长5尺，可得方程；圭和表的长度之和为21尺，可得方程，从而列出方程组即可． 【详解】解：设圭的长度为尺，表的长度为尺，根据题意得 ． 故答案为： 三、解答题 11．解方程（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）移项，合并同类项，即可作答； （2）先把原方程组整理得，再运用加减消元法解方程组，即可作答． 【详解】（1）解：， 移项得， 合并同类项得； （2）解：∵ ∴整理得， 得， 解得， 把代入，得， 解得， 方程组的解为． 12．若方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解与方程的综合应用，掌握通过消元法用参数表示方程组的解，再代入条件建立关于参数的方程是解题的关键． 先通过加减消元法解出方程组的解，再将解代入的条件，得到关于的一元一次方程，最后求解的值． 【详解】解： ，得，解得． 把代入②，得，解得． ∴方程组的解为 ， ， 解得． 13．小辰在解关于，的二元一次方程组时得到了正确结果，请求出□，处的值． 【答案】□，处的值分别为， 【分析】本题考查解二元一次方程组， ①②，得，把，代入①，得□，即可求解． 【详解】解：， ①②，得， 解得：， ∴ 把，代入①，得□， 则□，处的值分别为， 14．某中学八年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学课间使用，买了3个篮球和5个排球，共花费570元，并且每个排球比篮球便宜30元． (1)求篮球和排球的单价各是多少元； (2)商店里搞活动，有两种套餐：①优惠打折：每个篮球和排球均打八折；②满减活动；消费满999减100，消费满1999减200．两种活动不重复参与．八年级（1）班打算买15个篮球、13个排球，请问按照哪种套餐购买更划算？ 【答案】(1)篮球的单价是90元，排球的单价是60元 (2)按照套餐①购买更划算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的应用． （1）设篮球的单价是x元，排球的单价为y元，根据题目中的等量关系列出方程组求解即可； （2）根据题意中的等量关系列出等式分别求出两个套餐需要付款的总数，比较大小即可． 【详解】（1）解：设篮球的单价是x元，排球的单价为y元， 根据题意得： ， 解得： ， 答：篮球的单价是90元，排球的单价为60元； （2）解：按照套餐①打折， 买15个篮球和13个排球需付款：（元）， 按照套餐②打折， 15个篮球需付款：（元）， 13个排球需付款：（元）， 共需付款：（元）， ∵， ∴按照套餐①购买更划算． 答：按照套餐①购买更划算． 15．云岩区某中学开展校园义卖活动，所得利润全部作为善款捐助给帮扶学校．八年级（1）班订制了独具云岩特色的文创产品“阳明小书童”钥匙扣和“黔灵小福猴”冰箱贴共30件用于义卖，共计成本400元．两种产品的进价与售价如下： 价格 钥匙扣 冰箱贴 进价（元/件） 15 10 售价（元/件） 18 12 (1)八年级（1）班订制的两种文创产品各有多少件？ (2)若两种文创产品全部卖完，可筹集的善款（总利润）是多少元？ 【答案】(1)钥匙扣20件，冰箱贴10件 (2)80元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组是解题的关键： （1）设八年级（1）班订制的钥匙扣和冰箱贴分别为件和件，根据共30件，共计成本400元，列出方程组进行求解即可； （2）利用总利润等于总售价减去总成本，进行计算即可． 【详解】（1）解：设八年级（1）班订制的钥匙扣和冰箱贴分别为件和件，由题意，得： ，解得， 答：钥匙扣20件，冰箱贴10件； （2）解：（元）； 答：可筹集的善款（总利润）是80元． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 二元一次方程组的解法 教学目标 1.掌握代入消元法和加减消元法的步骤，能熟练解二元一次方程组。 2.理解消元思想，会用整体代入、换元等特殊技巧解复杂方程组。 3.能根据方程组特点选择合适的解法，提高运算效率。 4.会列二元一次方程组解决实际问题，提升数学建模能力。 5.体会转化、整体等数学思想，培养严谨的运算习惯。 教学重难点 重点 （1）代入消元法和加减消元法的核心步骤及应用。 （2）根据方程组特点选择恰当的消元方法。 （3）特殊解法（整体代入、换元法）的运用。 （4）列二元一次方程组解决实际问题。 难点 （1）消元思想的深层理解与灵活运用。 （2）复杂方程组的化简与变形（如含分母、括号的方程组）。 （3）同解方程组、错解复原等含参数问题的处理。 （4）实际问题中等量关系的精准挖掘与建模。 知识点01：消元思想 1.核心本质：将二元一次方程组通过“消元”转化为 求解，体现“化复杂为简单”的 。 2.消元途径：主要有 和 ，可根据方程组特点选择合适方法。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·河北邢台·期末）用消元法解方程组时，两位同学的消元方法如下： 嘉嘉解法：由，得． 淇淇解法：由②得．③ 把①代入③，得． (1)直接判断上述两位同学的消元过程是否有误． (2)请选择一种你喜欢的方法，解方程组． 知识点02：代入消元法 1.定义：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示， 另一个方程 该未知数，转化为一元一次方程求解。 2.步骤：① （选系数简单的方程，用一个未知数表示另一个）； ② （代入未变形的方程，消去一个未知数）； ③ （解一元一次方程）； ④ （求另一个未知数的值）； ⑤ （用大括号联立结果）。 3.适用场景：某未知数系数为1或-1，或常数项为0的方程组。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： (1) (2) 知识点03：加减消元法 1.定义：通过将两个方程两边 或 ，消去一个未知数，转化为一元一次方程求解。 2.步骤：① （用适当的数乘方程两边，使某一未知数系数相等或互为相反数）； ② （系数相等相减，互为相反数相加，消去一个未知数）； ③ （解一元一次方程）； ④ （求另一个未知数的值）； ⑤ （用大括号联立结果）。 3.适用场景：某一未知数系数相同、互为相反数或成倍数关系的方程组。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）解方程组： 知识点04：方程组的特殊解法 1.整体代入法：将方程组中重复出现的代数式视为 ，代入化简求解，简化运算。 2.换元法：设复杂代数式为 ，将原方程组转化为简单方程组求解，如含、的方程组。 3.设参数法：对于含比例式（如）的方程组，设比例系数为参数，用表示未知数后代入求解。 4.叠加叠减法：对于系数轮换型方程组（如），通过方程相加、相减简化系数。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）观察发现： 解方程组： 将①整体代入②得． 解得． 把代入①，． 故原方程组的解为． 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答． (1)实践运用： 请用“整体代入法”解方程组． (2)拓展提升： 请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体） 知识点05：特殊方程组的处理 1.同解方程组：两个方程组 ，先解不含参数的方程组，将解 含参数的方程求参数。 2.错解复原问题：看错某参数的解仍满足 的方程，联立方程求原参数。 3.含参数方程组：根据参数取值判断解的情况（唯一解、无数解、无解）。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·山东青岛·周测）已知关于的方程组无解，则 ． 题型01用代入消元法解二元一次方程组 方法技巧：选系数简单的方程，用一个未知数表示另一个；代入未变形的方程消元，解一元一次方程；将结果回代变形方程，求出另一个未知数，联立得解。 【典例1】. （25-26八年级上·贵州贵阳·期末）解方程组：，下列做法正确的是（ ） A．将代入，消去 B．将代入，消去 C．，消去 D．，消去 【变式1】. （25-26八年级上·河南开封·月考）用代入消元法解方程组时，消去y，可将第一个方程变形为（  ） A． B． C． D． 【变式2】. （2026七年级下·全国·专题练习）用代入法解方程组有以下过程： （1）由①，得．③ （2）将③代入②，得． （3）去括号，得． （4）解得．将代入③，得．所以这个方程组的解是 以上解题过程中，开始出错的一步是（   ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【变式3】. （25-26八年级上·甘肃张掖·月考）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（   ） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 题型02用加减消元法解二元一次方程组 方法技巧：变形方程使某未知数系数相等或互为相反数；系数相等相减、互为相反数相加消元；解一元一次方程后回代，联立得解，注意符号变化。 【典例2】. （25-26八年级上·河北保定·月考）用加减消元法解方程组时，得（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组 【变式2】. （25-26八年级上·陕西渭南·期末）解方程组：． 【变式3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程组则的值是（   ） A．3 B． C．0 D． 题型03用整体代入法解方程组 方法技巧：识别方程组中重复出现的代数式（如），将其视为整体，代入另一个方程简化运算，无需单独求未知数。 【典例3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法化繁为简． 解方程组 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得，所以方程组的解为 请用此方法解方程组 【变式1】. （25-26八年级上·山西晋中·期末）阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． 请你利用“整体代入消元法”解方程组． 【变式2】. （25-26七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料： 解方程组： 解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得，解得，所以这个方程组的解为 这种方法称为“整体代入法”． 请用这种方法解方程组： 【变式3】. （25-26八年级上·全国·假期作业）阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，即③，把①代入③得． 解得，把代入①得，所以原方程组的解为 请你运用以上方法解决下列问题： (1)模仿小红的方法解方程组 (2)已知x，y满足方程组，求的值． 题型04用换元法解方程组 方法技巧：设复杂代数式（如、）为新未知数，将原方程组转化为简单方程组，求解后回代求原未知数。 【典例4】. （25-26八年级上·福建漳州·月考）解方程组，若设，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫换元法，请用这种方法解方程组 【变式1】. （2025八年级上·山东青岛·专题练习）对于方程组，不妨设，，则原方程组变为以、为未知数的方程组，解得，从而原方程组的解是，这种解题的方法称为换元法． 【变式2】. （2025八年级上·全国·专题练习）解方程组： 【变式3】. （24-25七年级下·贵州毕节·月考）解方程组：． 题型05利用同构方程求解 方法技巧：同构方程的核心是方程组的系数和常数项完全相同，仅未知数的表达式形式不同。先识别新方程组与已知解的方程组在系数、常数项上的一致性，再将新方程组中重复出现的整式（即“未知数替代式”）与已知方程组的未知数对应，用已知解直接等于替代式，求解原未知数。 【典例5】. （24-25七年级上·安徽滁州·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级上·广东佛山·期末）已知二元一次方程组的解为，那么的解为 ． 【变式2】. （24-25七年级下·湖北襄阳·月考）若方程组的解为，则方程组的解为 ． 【变式3】. （24-25七年级下·广东江门·期中）阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，则原方程组可化为， 解关于的方程组，得， 所以 解方程组，得． (1)材料中运用的数学思想是___________； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． (4)对于有理数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知．求的值． 题型06同解方程组问题 方法技巧：将两个方程组中不含参数的方程联立，解出公共解，代入含参数的方程，列一元一次方程求参数。 【典例6】. （25-26七年级上·贵州铜仁·月考）已知关于的方程组和的解相同，求的值． 【变式1】. （24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解与的其中一个解相同，则a的值是 ． 【变式2】. （25-26八年级上·全国·假期作业）方程组与方程组的解相同，求的值． 【变式3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）已知方程组和方程组的解相同，求的值． 题型07方程组的错解复原问题 方法技巧：正确解代入所有方程，错解代入未看错的方程，联立得到关于参数的方程组，求解参数复原原方程组。 【典例7】. （2025七年级上·全国·专题练习）小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则方程的解是（ ） A． B． C． D． 【变式1】. （24-25七年级下·甘肃武威·期末）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得． (1)求正确的，的值； (2)求原方程组的正确解． 【变式2】. （25-26八年级上·宁夏中卫·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出和的值． 【变式3】. （25-26七年级下·全国·课后作业）甲、乙二人同解一个方程组：甲解得乙解得经检查，甲仅看错了方程①中的系数，乙仅看错了方程②中的系数．求方程组正确的解． 题型08含参数方程组的解的情况判断 方法技巧：将方程组化为，根据、、的关系判断：相等则无数解，前两相等后不等则无解，前两不等则唯一解。 【典例8】. （23-24七年级下·江苏泰州·月考）若方程组有唯一解，则，的值应当是（   ） A．，为任意实数 B．， C．， D．，为任意实数 【变式1】. （25-26七年级下·全国·单元测试）已知关于的方程组，其中为整数．若方程组有无穷多组解，求实数与的值． 【变式2】. （22-23七年级下·山西吕梁·月考）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 二元一次方程组解的情况的讨论 我们知道，二元一次方程组的解法主要有代入消元法和加减消元法，它的解的情况有三种．一是唯一解，例如方程组，有唯一解；二是有无穷多个解，例如方程组有无穷多个解；三是无解，例如方程组无解．下面我们讨论一下方程组，在什么情况下有唯一解，有无穷多个解或无解．我们先利用加减消元法解方程组． 解：，得．下面我们分几种情况讨论： （1）当，即时，，进而可得方程组的唯一解为． （2）当，即时， ①若，即，也就是，方程组有无穷多个解； ②若，即，也就是，方程组无解． 任务： (1)上面小论文中的分析过程中，主要体现的数学思想是 （填选项）． A．整体思想；B．分类讨论思想；C．数形结合思想 (2)请参照小论文提供的方法直接写出下列方程组解的情况： ①；②；③． (3)运用小论文提供的公式，解方程组． 【变式3】. （23-24七年级下·广东肇庆·期末）先阅读下列知识，然后回答后面的问题∶ 二元一次方程组的解的情况有以下三种：当时，方程组有无数个解；当时，方程组无解；当时，方程组有唯一解． (1)判断二元一次方程组的解的情况：___________；判断二元一次方程组的解的情况：___________． (2)小明在解下面的二元一次方程组时，碰到了一个非常“严重”的问题，发现“”，他知道这是不可能的，但是又找不到错误的原因，请你解释一下． 解方程组： 解：由①得，代入②得，得 题型09二元一次方程组的实际应用 方法技巧：审清题意，找出两个独立等量关系，设两个未知数，列方程组求解，检验解是否符合实际意义（如正整数）。 【典例9】. （25-26七年级下·全国·课后作业）一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们相向而行，则两车从相遇到完全分开只需秒．若动车组长度为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是 ，动车组的速度是 ． 【变式1】. （25-26八年级上·河南开封·月考） 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 【变式2】. （2026七年级下·全国·专题练习）某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 【变式3】. （23-24七年级下·浙江温州·期中）探究学校校服订购的方案． 素材1：天气转热，不少学生的夏季校服有损坏或丢失，故学校联系了厂商订制一批校服衣服和裤子．下表是学校前两年的购买记录． 年份/年 衣服数量/件 裤子数量/件 总价/元 2022 100 80 7300 2023 120 60 7500 素材2：本届七年级使用的是改版后的校服，每件新版衣服和裤子的价格均比旧版多10元．为保证各年级段校服统一，学校要求七年级学生购买新版，八、九年级学生购买旧版． 【任务1】分别求出旧版衣服和旧版裤子的单价． 【任务2】依据往年八、九年级的数据统计，衣服数量不超过80件，裤子数量不超过50件．若学校恰好用了4900元为八、九年级购买旧版校服，则衣服和裤子各买了多少件？ 【任务3】学校统计各班的订购意向后，最终花费9200元订购这批校服．已知七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的，且少于50件，则八、九年级订购的裤子共有 件．（请直接写出答案） 题型10新定义下的二元一次方程（组）求解 方法技巧：先精准理解新定义规则（如运算、特殊数、关联值等），将新定义表述转化为二元一次方程或方程组，结合定义中的限制条件（如数字不为零、互不相同等），按常规解法求解，最后验证结果是否符合定义要求。 【典例10】. （24-25七年级下·山西吕梁·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【变式1】. （24-25六年级下·上海闵行·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如，，． 已知，，则根据定义可以得到：． (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________． 【变式2】. （24-25七年级下·福建福州·期中）定义：对任意一个两位数，若满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，则称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)下列两位数：20，52，44中，“相异数”为________________； (2)如果“相异数”满足，直接写出所有“相异数”的值______________； (3)如果，都是“相异数”，且，请判断值是否为常数，并说明理由． 【变式3】. （25-26七年级上·北京·月考）对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)当时，直接写出方程的“关联值”为____________； (2)若“关联值”为4，直接写出所有满足条件的方程的解为____________； (3)直接写出方程的最小“关联值”为____________． 一、单选题 1．方程组，下列步骤可以消去未知数的是（   ） A．①② B．①② C．①-② D．①+② 2．方程组的解满足、互为相反数，则为（   ） A． B． C． D． 3．某铁路桥长，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了，整列火车完全在桥上的时间共．设火车的速度为 ，火车的长度为，则所列方程组正确的（   ） A． B． C． D． 4．若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 5．若方程组的解满足，则等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 二、填空题 6．已知二元一次方程组则的值为 ． 7．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ． 8．若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 9．若关于，的方程组和有相同的解，则的值为 ． 10．《周髀算经》是古老的数理天文学著作，书中记载了一种用于度量日影长度的圭表．已知圭的长度比表的长度长5尺，且圭和表的长度之和为21尺，设圭的长度为尺，表的长度为尺，则可列方程组为 ． 三、解答题 11．解方程（组）： (1) (2) 12．若方程组的解满足，求的值． 13．小辰在解关于，的二元一次方程组时得到了正确结果，请求出□，处的值． 14．某中学八年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学课间使用，买了3个篮球和5个排球，共花费570元，并且每个排球比篮球便宜30元． (1)求篮球和排球的单价各是多少元； (2)商店里搞活动，有两种套餐：①优惠打折：每个篮球和排球均打八折；②满减活动；消费满999减100，消费满1999减200．两种活动不重复参与．八年级（1）班打算买15个篮球、13个排球，请问按照哪种套餐购买更划算？ 15．云岩区某中学开展校园义卖活动，所得利润全部作为善款捐助给帮扶学校．八年级（1）班订制了独具云岩特色的文创产品“阳明小书童”钥匙扣和“黔灵小福猴”冰箱贴共30件用于义卖，共计成本400元．两种产品的进价与售价如下： 价格 钥匙扣 冰箱贴 进价（元/件） 15 10 售价（元/件） 18 12 (1)八年级（1）班订制的两种文创产品各有多少件？ (2)若两种文创产品全部卖完，可筹集的善款（总利润）是多少元？ 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $