15.3.2等边三角形-第2课时含30°角的直角三角形的性质 课件2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦八年级上册“含30°角的直角三角形的性质”，通过让学生用直尺测量含30°角的直角三角板，自主发现最短直角边与斜边的数量关系，衔接直角三角形已有知识，搭建从观察现象到抽象性质的学习支架。 其亮点在于以测量活动培养数学眼光（几何直观），提供延长法、截取法等多种证明路径发展推理能力（数学思维），结合屋架设计实例与15°角构造30°角的变式题提升应用意识（数学语言）。学生能主动探究知识形成过程，教师可借助清晰的例题解析与分层练习提高教学效率。

第十五章 轴对称 15.3.2.2 含 30 角的直角三角形的性质 八年级上 1.探索并证明含30 角的直角三角形的性质. 2.会运用含30 角的直角三角形的性质进行相关证明和计算. 学习目标 30 用直尺量一量含有30 角的直角三角板的最短直角边(即30 角所对的直角边)与斜边的长度,你有什么发现吗? 一起来看看吧! 新课引入 探究 如图,在 ABC中,∠C=90 ,∠A=30 ,测量∠A所对的直角边BC与斜边AB,你能得到什么结论?再画几个满足条件的三角形,你得到的结论还成立吗? C A B 通过测量发现:在Rt ABC中,如果∠A=30 ,那么直角边BC等于斜边AB的一半. 试着证明你的 结论. 30 新知学习 证明:在直角三角形中, 如果一个锐角等于 30 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 已知:如图,在 ABC 中,∠C=90 ,∠A=30 . 求证:BC = AB. 分析:要证明BC= AB,只要证明2BC=AB. 为此可以构造长为2BC的线段,证明它和AB相等即可. C A B 30 新知学习 C A B D 30 如图,延长BC到D,使CD=BC,连接AD, 则AC是BD的垂直平分线,所以AB=AD. 又因为∠B=90 -∠BAC=90 -30 =60 , 所以 ABD是等边三角形, 所以BD=AB. 又BD=2BC, 所以BC=AB. 你还有其他证明方法吗? 新知学习 C A B 证明:在斜边AB上截取BD=BC,连接CD. ∵在Rt ABC中,∠A=30 , ∴∠B=60 . ∵BD=BC,∴ BCD为等边三角形, ∴∠DCB=60 ,CD=BC=BD. ∴∠ACD=∠A=30 , ∴AD=CD. ∴BC=CD=BD=AD. ∴BC= AB. D 新知学习 归纳总结 含 30 角的直角三角形的性质: 在直角三角形中, 如果一个锐角等于 30 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 符号语言: 如图,在 Rt ABC 中,∠C = 90 ,∠A = 30 , ∴BC = AB. C A B 新知学习 思考 这个性质反过来说还成立吗? 猜想:直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的角等于30 . 请试着证明你的猜想. 新知学习 C A B 30 已知:如图,在 ABC 中,∠C=90 ,BC = AB. 求证:∠A=30 . 如图,延长BC到D,使CD=BC,连接AD, 则AC是BD的垂直平分线,所以AB=AD. 又因为BC = AB,CD=BC, 所以BD=AB=AD. 所以 ABD是等边三角形, 所以∠BAD=60 , 所以∠A=30 (“三线合一”). D 新知学习 拓展延伸 直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的角等于30 . 几何语言: 如图,在Rt ABC中,∠C = 90 ,BC= AB,∴∠A=30 . C A B 新知学习 例1 如图是屋架设计图的一部分,点 D 是斜梁 AB 的中点,立柱 BC,DE 垂直于横梁 AC,AB = 7.4m,∠A = 30 . 求立柱 BC,DE的长. 解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A = 30 , ∴BC = AB,DE = AD. ∴BC = 7.4 = 3.7 . 又 AD = AB, ∴DE = AD = 3.7 = l.85 . 答:立柱 BC 的长是 3.7 m,DE 的长是1.85 m. 新知学习 变式 如图,在 ABC 中,∠C = 90 ,∠B = 15 ,DE 是 AB 的垂直平分线,BE = 5,求 AC 的长. ∵ DE 是 AB 的垂直平分线, ∴ BE = AE= 5. ∴∠B = ∠EAB = 15 . ∴∠AEC = 30 . ∵∠C = 90 , ∴ AC = AE = 2.5. 解:连接 AE. 在直角三角形中,遇到15 角,常借助角平分线或线段垂直平分线构造30 角解题. 新知学习 1.如图,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,∠BCD=30 ,CD是 ABC的高,且BD=2,则AB的长为( ) A.3 B.5 C.8 D.9 C 随堂练习 2.如图,∠AOP=∠BOP=15 ,PC∥OA 交 OB 于 C,PD⊥OA 于 D,若 PC=3,则 PD 等于 ( ) A.3 B.2 C.1.5 D.1 ∵ PC∥OA, ∴∠PCE=∠AOB=∠AOP+∠BOP=30 . 又∵ PC=3,∴ PE=1.5. ∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OA, ∴ PD=PE=1.5. 解析:如图,过点 P 作 PE⊥OB 于 E. E C 随堂练习 3.如图,在 ABC中,∠C=90 ,∠B=30 ,以点A为圆心,适当长为半径画弧分别交AB,AC于点M和点N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D.若 ACD的面积为8,则 ABD的面积是( ) A. 8 B. 16 C. 12 D. 24 B 随堂练习 4.(2024新疆)如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,∠A=30 ,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30 ,则AD的长为_. 6或12 解析:点D位置不确定,可分为以下2种情况讨论:①如解图①,当点D在线段AB上时; ②如解图②,当点D在线段AB的延长线上时. 解图① 解图② 随堂练习 5.如图, ABC为等边三角形,AD是BC边上的高,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交AD于点F. (1)求证:AD=3DF; 证明:如图,连接CF, ∵ ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠B=∠BCA=60 , ∵AD是边BC上的高,∴AD⊥BC,∠DAC=30 , ∵EF垂直平分AC,∴AF=CF, ∴∠FAC=∠FCA=30 ,∴∠DCF=30 , ∴在Rt CFD中,CF=2DF,∴AF=2DF, ∴AD=AF+DF=2DF+DF=3DF; 随堂练习 (2)若EF=1,AE=,求 ABC的面积. 解:在Rt AEF中,∠CAD=30 , ∴EF=AF, 由(1)知AF=2DF,∴EF=DF=1, ∴AD=3DF=3, ∵EF垂直平分AC, ∴BC=AC=2AE=2, ∴S ABC=BC AD= 2 3=3. 随堂练习 含 30 角的直角三角形的性质: 在直角三角形中, 如果一个锐角等于 30 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 如图,在 Rt ABC 中,∠C = 90 ,∠A = 30 , ∴BC = AB. C A B 课堂小结 $