2026年高一数学人教A版寒假自学讲义第02讲 平面向量的数量积

2025-2026学年高一数学寒假自学讲义 平面向量的数量积 教学目标 1．掌握平面向量数量积的运算及夹角、模的求解和垂直问题，掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：实数与向量的数量积的定义、运算律； 难点：平面向量数量积的性质。 教学内容 平面向量的数量积 知识点一：平面向量数量积的物理背景 如图，一个物体在力F的作用下产生了位移s，且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的功. 其中是F在物体位移方向上的分量的数量，也就是力F在物体位移方向上正投影的数量. 从物理角度来看数量积的意义，有利于理解数量积的概念，两个向量的数量积可以运算，其结果是一个数量. 知识点二：向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，，则叫做向量与的夹角. （2）向量的夹角范围. （3）特殊情况： ①，与同向； ②，与垂直，记作； ③，与反向. 知识点三：平面向量数量积的概念 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积（或内积）. 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 特别提醒： （1）“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”； （2）数量积的结果为数量，不再是向量； （3）向量数量积的正负由两个向量的夹角决定：当是锐角时，数量积为正；当是钝角时，数量积为负；当是直角时，数量积等于零. 知识点四：投影（投影向量） 如图，设，是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 特别提醒： ①为向量在上的投影的数量； ②为向量在上的投影的数量； ③投影的数量（）是一个值，不是向量. 知识点五：平面向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ① ② ③当与同向时， ④当与反向时， ⑤ 或 ⑥ ⑦ 知识点六：向量数量积的运算律 ①交换律： ②数乘结合律： ③分配律： ④ ⑤ 知识点七：向量数量积的常用结论 （1）= （2） （3） （4） （5） ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立. 以上结论可作为公式使用. 题型一：平面向量的数量积 【例1-1】已知等边三角形边长为，则（    ） A． B． C． D． 【例1-2】已知向量与的夹角为，且，，则 . 【例1-3】已知，C是以为直径的圆上一点，，D是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．中，，，，为斜边的中点，则（ ） A．1 B．1 C．2 D．2 2．已知向量、满足， 与的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 题型二：平面向量的模长 【例2-1】已知，，且，的夹角为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【例2-2】设向量，满足，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练】 1．已知平面向量，且与的夹角为，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 2．已知向量满足，，，则（    ） A． B． C．5 D．20 题型三：平面向量的夹角 【例3-1】已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】已知非零向量与满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【例3-3】已知平面向量，满足，，，夹角为，若与夹角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．若都为非零向量，且，，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四：平面向量的投影（向量） 【例4-1】已知，，，则在方向上的投影向量是 . 【例4-2】已知平面向量，满足，且向量，的夹角为，则在方向上的数量投影为 . 【变式训练】 1．已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，在方向上的投影向量为，则（   ） A． B． C．6 D．12 3．若非零向量满足，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为； D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4. 题型五：垂直关系的向量表示 【例5】若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【变式训练】 1．已知向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，且与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【题组一：向量的数量积】 1．已知，，与的夹角为60°，则________. 2．已知是边长为6的正三角形，求=____________ 3．边长为2的菱形中，，、分别为，的中点，则 【题组二：向量的模长】 1．已知，，且向量与的夹角为，则（ ） A． B．3 C． D． 2．已知，，与的夹角为，那么等于 . 3．已知、满足：，，，则_________. 【题组三：向量的夹角】 1．已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角余弦值为（ ） A．1 B．-1 C． D．- 2．已知，，则与的夹角为_________. 【题组四：向量的投影】 1．已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影为（ ） A． B． C． D． 2．设向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 3．已知，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知是夹角为的单位向量，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【题组五：数量积综合】 1．（多选）设单位向量满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．向量的夹角为 C． D．在的方向上的投影向量为 2．（多选）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 3．已知向量与的夹角，且，. （1）求； （2）在上的投影向量； （3）求向量与夹角的余弦值. 4．已知，，与的夹角为. （1）若与共线，求实数的值； （2）求的值； （3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 一、本节课我们学习的知识点有哪些： 二、本章重难点有： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学寒假自学讲义 平面向量的数量积 教学目标 1．掌握平面向量数量积的运算及夹角、模的求解和垂直问题，掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：实数与向量的数量积的定义、运算律； 难点：平面向量数量积的性质。 教学内容 平面向量的数量积 知识点一：平面向量数量积的物理背景 如图，一个物体在力F的作用下产生了位移s，且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的功. 其中是F在物体位移方向上的分量的数量，也就是力F在物体位移方向上正投影的数量. 从物理角度来看数量积的意义，有利于理解数量积的概念，两个向量的数量积可以运算，其结果是一个数量. 知识点二：向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，，则叫做向量与的夹角. （2）向量的夹角范围. （3）特殊情况： ①，与同向； ②，与垂直，记作； ③，与反向. 知识点三：平面向量数量积的概念 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积（或内积）. 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 特别提醒： （1）“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”； （2）数量积的结果为数量，不再是向量； （3）向量数量积的正负由两个向量的夹角决定：当是锐角时，数量积为正；当是钝角时，数量积为负；当是直角时，数量积等于零. 知识点四：投影（投影向量） 如图，设，是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 特别提醒： ①为向量在上的投影的数量； ②为向量在上的投影的数量； ③投影的数量（）是一个值，不是向量. 知识点五：平面向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ① ② ③当与同向时， ④当与反向时， ⑤ 或 ⑥ ⑦ 知识点六：向量数量积的运算律 ①交换律： ②数乘结合律： ③分配律： ④ ⑤ 知识点七：向量数量积的常用结论 （1）= （2） （3） （4） （5） ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立. 以上结论可作为公式使用. 题型一：平面向量的数量积 【例1-1】已知等边三角形边长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由向量的数量积的运算，可得. 故选：A. 【例1-2】已知向量与的夹角为，且，，则 . 【答案】13 【答案】∵向量与的夹角为，且，， ∴. 故答案为：13. 【例1-3】已知，C是以为直径的圆上一点，，D是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得到，再以为基底，利用数量积的运算律求解. 【详解】如图所示： 因为，C是以AB为直径的圆上一点，，所以， 又D为AC的中点， 所以， ， 故选：D 【变式训练】 1．中，，，，为斜边的中点，则（ ） A．1 B．1 C．2 D．2 【答案】B 【解析】由题意是等边三角形，， 所以． 故选：B． 2．已知向量、满足， 与的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 与的夹角为， 所以，故选：C 题型二：平面向量的模长 【例2-1】已知，，且，的夹角为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【答案】由题意得，所以， 故，故选：D 【例2-2】设向量，满足，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【答案】因为，， 以上两式相减，可得，即， 所以. 故选：B 【变式训练】 1．已知平面向量，且与的夹角为，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 【答案】C 【答案】因为，所以，故选：C. 2．已知向量满足，，，则（    ） A． B． C．5 D．20 【答案】B 【答案】因为，所以，所以， 所以. 故选：B. 题型三：平面向量的夹角 【例3-1】已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【答案】因为，所以， 设与的夹角为，所以，所以.故选：D 【例3-2】已知非零向量与满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【答案】因为，所以， 所以，而，所以， 所以. 故选：B 【例3-3】已知平面向量，满足，，，夹角为，若与夹角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据且与不共线，可求出结果. 【解答过程】根据题意可得且与不共线， 则， 所以，解得， 当与共线时，即存在，使得， 解得， 因为与不共线，所以， 所以且， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【变式训练】 1．已知为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【答案】由题意可得， 将两边平方可得； 可得，可得； 设与的夹角为，则， 所以. 故选：C 2．若都为非零向量，且，，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【答案】因为，，所以， 即， 化简得，所以． 所以．因为，所以． 故选：D． 3．已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】与的夹角为钝角， ， 又与的夹角为， 所以，即，解得， 又与不共线，所以， 所以取值范围为. 故选：D 题型四：平面向量的投影（向量） 【例4-1】已知，，，则在方向上的投影向量是 . 【答案】 【解析】设与方向相同的单位向量为，则， 则在方向上的投影向量为. 故答案为：. 【例4-2】已知平面向量，满足，且向量，的夹角为，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【答案】因为，且向量，的夹角为， 所以， 所以在方向上的数量投影为. 故答案为：. 【变式训练】 1．已知向量满足，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数量积的运算律和投影向量公式求解即可. 【详解】因为向量满足， 所以，解得， 所以在方向上的投影向量是， 故选：D. 2．已知向量，在方向上的投影向量为，则（   ） A． B． C．6 D．12 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得. 【详解】依题意，在方向上的投影向量为，则，而， 所以. 故选：A 3．若非零向量满足，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用向量数量积的运算律可得，进而求投影向量. 【详解】令，且， 所以，可得， 所以向量在上的投影向量为. 故选：A 4．（多选）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为； D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4. 【答案】BCD 【分析】根据正八边形图形特征应用数量积公式得出A，应用和向量判断B，应用投影向量判断C，应用数量积投影最大求解D. 【详解】由题意可知，正八边形每条边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2， 对于A，，故A错误； 对于B，，则以为邻边的正方形对角线长是的倍， 可得，故B正确； 对于C，在上的投影向量为，故C正确； 对于D，设的夹角为，则， 其中为定值，只需最大即可，， 延长交延长线于，当在线段上运动时，最大， 易知为等腰直角三角形，且， 则在中，， 在等腰三角形中，， 则， 综上，BCD正确. 故选：BCD. 题型五：垂直关系的向量表示 【例5】若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【解题思路】由数量积的定义可求出，再由向量垂直的性质求解即可得出答案. 【解答过程】解：，是夹角为的两个单位向量， 则，， 因为与垂直， 则， 即，解得. 故选：A. 【变式训练】 1．已知向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平面向量的数量积的运算律及向量垂直的性质求解即可. 【解答过程】因为，所以，即，则， 又因为，将两边平方得， 从而，故． 故选：B． 2．已知，，，且与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意先解出，由与垂直，解出即可. 【解答过程】因为，所以，因为与垂直， 所以，得，得， 解得.故选：A. 【题组一：向量的数量积】 1．已知，，与的夹角为60°，则________. 2．已知是边长为6的正三角形，求=____________ 3．边长为2的菱形中，，、分别为，的中点，则 【答案】（1）10（2）（3） 【解析】（1）. （2）是边长为的正三角形，所以，， 所以，故答案为： （3）由题意画出示意图，如图， 则 . 【题组二：向量的模长】 1．已知，，且向量与的夹角为，则（ ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解析】因为，，与的夹角为，所以，则. 2．已知，，与的夹角为，那么等于 . 【答案】 【解析】，. 3．已知、满足：，，，则_________. 【答案】 【解析】，因为，，所以， 所以，可得. 【题组三：向量的夹角】 1．已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角余弦值为（ ） A．1 B．-1 C． D．- 【解析】平面向量，满足，且， ，解得. 2．已知，，则与的夹角为_________. 【答案】 【解析】根据已知条件，去括号得：， 所以，. 【题组四：向量的投影】 1．已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影为（ ） A． B． C． D． 【解析】因为向量，，且与的夹角为所以. 2．设向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，. ，. 设与方向相同的单位向量为，向量和向量的夹角为， 则向量在向量上的投影向量为. 3．已知，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以在上的投影向量为. 故选：D 4．（多选）已知是夹角为的单位向量，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】对于选项A，是夹角为的单位向量， 则， 故，故选项A正确； 对于选项B，， 故选项B错误； 对于选项C，， 所以， 又，所以，故选项C正确； 对于选项D，在上的投影向量为，故选项D正确. 故选：ACD 【题组五：数量积综合】 1．（多选）设单位向量满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．向量的夹角为 C． D．在的方向上的投影向量为 【解题思路】将平方，可得，可判断A，B；由向量模长公式分别计算，验证C；由投影向量公式验证D. 【解答过程】由于， 又因为，所以，故， 故A正确，B错误； 因为，故， 又，故， 所以，C正确； 在的方向上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD. 2．（多选）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【解题思路】根据题意，利用平面向量的线性运算法则，以及向量的数量积的定义与运算公式，投影向量的求解，以及共线的向量的表示，逐项判定，即可求解 【解答过程】对于A：根据平面向量的运算法则，可得，所以A不正确； 对于B：由平面向量的数量积的运算公式，可得， 在正六边形中，可得，所以， 所以，所以B正确； 对于C：因为，且， 所以，所以， 所以向量在向量上的投影向量为，所以C正确； 对于D：在正六边形中，可得，直线平分角， 且为等边三角形，可得与向量共线且方向相同， 在中，可得，且两三角形均为直角三角形， 所以，则， 又由，所以，所以，所以D正确. 故选：BCD. 3．已知向量与的夹角，且，. （1）求； （2）在上的投影向量； （3）求向量与夹角的余弦值. 【解题思路】（1）先求出，可求得. （2）根据投影向量的计算公式计算即可. （3）利用向量的夹角公式求解即可. 【解答过程】（1）由向量与的夹角，且，，得， ， 所以. （2）在上的投影向量为. （3），则， 所以向量与夹角的余弦值为. 4．已知，，与的夹角为. （1）若与共线，求实数的值； （2）求的值； （3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）利用向量共线定理得到方程组，解出即可； （2）根据向量数量积的运算律和定义计算即可； （3）根据向量夹角为锐角，则向量数量积大于0，并去掉共线同方向的情况即可. 【解答过程】（1）因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； （2）因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； （3）向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. 一、本节课我们学习的知识点有哪些： 二、本章重难点有： 1 学科网（北京）股份有限公司 $