专题11一次函数的图象和性质寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题11一次函数的图象和性质寒假预习讲义 · 吃透绘图步骤，快速画出一次函数图象，一眼辨出图象关键特征 · 解锁k和b的隐藏密码，秒懂其对图象位置、增减性的影响 · 玩转函数性质，能结合图象轻松解决比较大小、求取值范围类基础题 · 理清一次函数与正比例函数的关联与区别，告别概念混淆 · 初步掌握数形结合思路，能用图象 + 性质分析简单实际问题 · 夯实函数基础，为后续进阶学习做好铺垫 预习必备 知识点梳理 1.一次函数的定义 2.一次函数的图象 3.一次函数图象的平移规律 4.一次函数图象的性质 常考题型 精讲精炼 1.正比例函数的图象 2.正比例函数的性质 3.一次函数图象的判断 4.由解析式判断函数象限 5.由象限求参数范围 6.函数图象与坐标轴交点 7.一次函数图象的画法 8.一次函数图象的平移 9.一次函数图象的对称 10.一次函数增减性判断 11.由增减性求参数 12.增减性判断自变量变化 13.一次函数值大小比较 14.一次函数规律探究 15.一次函数解析式求解 强化巩固 (解答题6题) 【知识点01.一次函数的定义】 一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k0）的函数，叫作一次函数。 特别地，当b=0时，y=kx+b即y=kx，形如y=kx（k是常数，k0）的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数。 【知识点02.一次函数的图象】 正比例函数y=kx（k0）的图象：是一条经过原点的直线。 当k>0时，直线经过第三、第一象限，从左向右上升； 当k<0时，直线经过第二、第四象限，从左向右下降。 一次函数y=kx+b（k0）的图象：是一条经过点(0,b)和(−​,0)的直线 【知识点03.一次函数图象的平移规律】 一次函数y=kx+b（k0）的图象可以由直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到。 当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移。 左右平移遵循 “左加右减” 原则， 即y=kx+b向左平移m个单位得到y=k(x+m)+b，向右平移m个单位得到y=k(x−m)+b。 【知识点04.一次函数图象的性质】 在一次函数y=kx+b中，k决定直线的趋势，b决定它与y轴交点的位置，k、b一起决定直线经过的象限。 当k>0，b>0时，直线经过一、二、三象限； 当k>0，b<0时，直线经过一、三、四象限； 当k<0，b>0时，直线经过一、二、四象限；. 当k<0，b<0时，直线经过二、三、四象限。 【题型1.正比例函数的图象】 【典例】正比例函数的图象如图所示，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．无法判断 【跟踪专练1】如图，三个函数图象分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是 ．（用“”号连接） 【跟踪专练2】在同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数（为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【题型2.正比例函数的性质】 【典例】点在函数的图象上，则点的坐标是 ． 【跟踪专练1】一个正比例函数的图象经过，两点，则m的值为（   ） A．2 B．8 C． D． 【跟踪专练2】已知正比例函数（k为常数，且），y随x的增大而减小．当时，函数有最大值5，则k的值是 ． 【题型一次函数图象的判断】 【典例】函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是 ．（用“”连接） 【跟踪专练2】如图，一次函数与在同一坐标系内图象可能是（ ） A． B． C． D． 【题型4.由解析式判函数象限】 【典例】一次函数的图象经过第 象限． 【跟踪专练1】若函数的图像经过第二、三、四象限，则函数的图像不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【跟踪专练2】关于函数，已知点，是该函数图象上的任意两点，且与同号，则图象不经过第 象限． 【题型5.由象限求参数范围】 【典例】已知一次函数的图象经过点，则m的值为（     ） A．1 B． C．5 D． 【跟踪专练1】请写出一个一次函数，满足：y的值随着x的值增大而增大，且经过第四象限，则这个函数表达式为 ． 【跟踪专练2】已知直线经过点，且不经过第三象限，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6.函数图象与坐标轴交点】 【典例】直线与y轴的交点坐标是 ． 【跟踪专练1】下列直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程的解的是（    ）. A． B． C． D． 【跟踪专练2】一次函数的图象过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积，则的值是 ． 【题型7.一次函数图象的画法】 【典例】写一个图象经过的函数表达式： ． 【跟踪专练1】用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（   ） x 0 1 2 y 6 2 A． B． C． D． 【跟踪专练2】关于函数，有下列结论：①函数过定点；②函数的对称轴在轴左侧；③若，则；④若，则，其中正确结论的序号为 ． 【题型8.一次函数图象的平移】 【典例】将函数的图象向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】一次函数的图象向左平移8个单位后经过点，则b的值为 ． 【跟踪专练2】一次函数的图象经过点，每当增加1个单位长度时，增加3个单位长度，则此函数图象向上平移2个单位长度所得图象对应的解析式为（   ） A． B． C． D． 【题型9.一次函数图象的对称】 【典例】在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【跟踪专练1】将一次函数的图象以y轴为对称轴翻折，翻折后的图象函数表达式是 ． 【跟踪专练2】已知在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称，则的值依次为（   ） A． B． C． D． 【题型10.一次函数增减性判断】 【典例】函数中，y 随x的增大而 ． 【跟踪专练1】下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（  ） ①函数图象经过点； ②图象不经过第二象限； ③当时，随的增大而增大． A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，直线AC的表达式为，直线的表达式为，点在这两条直线上，当时，的最大值是 ． . 【题型11.由增减性求参数】 【典例】如图，已知某水银体温计的水银柱长度与温度的关系为（，为常数），且在的标准量程内，水银柱长度随温度的增加而均匀增加．关系式中的（   ） A．小于0 B．等于0 C．大于0 D．以上都有可能 【跟踪专练1】已知关于的正比例函数．若值随值的增大而增大，则的取值范围是 ． 【跟踪专练2】已知一次函数的图象经过点，，若，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型12.增减性判自变量变化】 【典例】已知一次函数经过点，，则和的大小关系是 ． 【跟踪专练1】已知点，是一次函数图象上的两点，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知点和点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是 ． 【题型13.一次函数值大小比较】 【典例】已知点都在直线上，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【跟踪专练1】对于直线，当时， ． 【跟踪专练2】已知一次函数，（），其中的图像经过点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型14.一次函数规律探究】 【典例】直线与直线互相平行，则常数的值为 ． 【跟踪专练1】如图，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，依次这样作图，则点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，则的值为 ． 【题型15.一次函数解析式求解】 【典例】油箱中有油20升，油从管道中匀速流出，100分钟流完．油箱中剩油量（升）与流出的时间（分）间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知函数，当时，，则 ． 【跟踪专练2】已知一次函数（k、b是常数，且），当自变量x分别取3、6、9时，函数值y相应等于n、、m，若时，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．已知与成正比例，且当时，，求与之间的函数表达式． 2．已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的表达式； (2)判断点是否在该函数图象上； (3)求该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积． 3．已知一次函数的图象经过点和点，且点B在正比例函数的图象上． (1)求该一次函数的表达式． (2)若是该一次函数图象上的两点，试比较与的大小． (3)当时，求函数值y的取值范围． 4．已知一次函数，求： (1)为何值时，随的增大而减小？ (2)、为何值时，函数图象与轴交点在轴的下方？ 5．已知直线，当m为何值时： (1)此直线与直线平行． (2)此直线与直线交于点． (3)此直线不经过第三象限． (4)函数值y随x的增大而减小且与y轴的交点在x轴下方． 6．问题探究：小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请你解决相关问题： x … 0 1 2 3 4 … Y … 0 1 2 3 2 1 a … (1)如表y与x的几组对应值： ； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象： ①该函数有 （填“最大值”或“最小值”），并写出这个值为 ； ②观察函数的图象，写出该图象（除①外）的一条性质． ③若，为该函数图象上不同的两点，则 ； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11一次函数的图象和性质寒假预习讲义 · 吃透绘图步骤，快速画出一次函数图象，一眼辨出图象关键特征 · 解锁k和b的隐藏密码，秒懂其对图象位置、增减性的影响 · 玩转函数性质，能结合图象轻松解决比较大小、求取值范围类基础题 · 理清一次函数与正比例函数的关联与区别，告别概念混淆 · 初步掌握数形结合思路，能用图象 + 性质分析简单实际问题 · 夯实函数基础，为后续进阶学习做好铺垫 预习必备 知识点梳理 1.一次函数的定义 2.一次函数的图象 3.一次函数图象的平移规律 4.一次函数图象的性质 常考题型 精讲精炼 1.正比例函数的图象 2.正比例函数的性质 3.一次函数图象的判断 4.由解析式判断函数象限 5.由象限求参数范围 6.函数图象与坐标轴交点 7.一次函数图象的画法 8.一次函数图象的平移 9.一次函数图象的对称 10.一次函数增减性判断 11.由增减性求参数 12.增减性判断自变量变化 13.一次函数值大小比较 14.一次函数规律探究 15.一次函数解析式求解 强化巩固 (解答题6题) 【知识点01.一次函数的定义】 一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k0）的函数，叫作一次函数。 特别地，当b=0时，y=kx+b即y=kx，形如y=kx（k是常数，k0）的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数。 【知识点02.一次函数的图象】 正比例函数y=kx（k0）的图象：是一条经过原点的直线。 当k>0时，直线经过第三、第一象限，从左向右上升； 当k<0时，直线经过第二、第四象限，从左向右下降。 一次函数y=kx+b（k0）的图象：是一条经过点(0,b)和(−​,0)的直线 【知识点03.一次函数图象的平移规律】 一次函数y=kx+b（k0）的图象可以由直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到。 当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移。 左右平移遵循 “左加右减” 原则， 即y=kx+b向左平移m个单位得到y=k(x+m)+b，向右平移m个单位得到y=k(x−m)+b。 【知识点04.一次函数图象的性质】 在一次函数y=kx+b中，k决定直线的趋势，b决定它与y轴交点的位置，k、b一起决定直线经过的象限。 当k>0，b>0时，直线经过一、二、三象限； 当k>0，b<0时，直线经过一、三、四象限； 当k<0，b>0时，直线经过一、二、四象限；. 当k<0，b<0时，直线经过二、三、四象限。 【题型1.正比例函数的图象】 【典例】正比例函数的图象如图所示，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，熟知正比例函数中，当时函数的图象在一、三象限是解答此题的关键． 根据正比例函数的性质求解即可． 【详解】解：由图象知，正比例函数的图象经过一、三象限， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，三个函数图象分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是 ．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题考查的知识点是正比例函数图象与性质，解题关键是熟练掌握正比例函数的图象特征． 正比例函数图象过第一、三象限时，过第二、四象限时；直线越靠近轴，越大，先判断，，的正负，再比较绝对值大小，最终确定三者的大小关系． 【详解】解：正比例函数的图象特征为： 图象过第一、三象限时，过第二、四象限时；直线越靠近轴，越大， 由图象可知：①②过第一、三象限，故，， ③过第二、四象限，故， ②比①更靠近轴，故， 综上，． 故答案为：． 【跟踪专练2】在同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数（为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数和正比例函数图象与性质，先根据正比例函数图象判断的正负，再根据一次函数的图象判断a和b，即可判断答案． 【详解】解：．由正比例函数可知，由一次函数可知且，该选项正确，符合题意； ． 由正比例函数可知，由一次函数可知且，该选项错误，不符合题意； ． 由正比例函数可知，由一次函数可知且，该选项错误，不符合题意； ．由正比例函数可知， 由一次函数可知且，该选项错误，不符合题意； 故选：． 【题型2.正比例函数的性质】 【典例】点在函数的图象上，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质． 将代入计算即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， 即点A的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练1】一个正比例函数的图象经过，两点，则m的值为（   ） A．2 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 设正比例函数的解析式为，由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值，进而可得出正比例的解析式，再结合点的纵坐标，即可求出的值． 【详解】解：设正比例函数的解析式为：， ∵图象过， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式为：， 又∵函数图象过， ∴， 解得． 故选：A． 【跟踪专练2】已知正比例函数（k为常数，且），y随x的增大而减小．当时，函数有最大值5，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，掌握当时正比例函数单调递减，区间内最大值出现在的最小值处是解题的关键． 根据正比例函数的性质，随的增大而减小，当时，取最小值时取得最大值，代入函数解析式求解． 【详解】解：∵ 中随的增大而减小， ∴当时，时最大，最大值为． 将,代入， 得， 解得． 故答案为：． 【题型一次函数图象的判断】 【典例】函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象，通过解析式上的点确定函数图象是解题关键． 根据解析式求出该函数图象与坐标轴的交点坐标，通过交点坐标逐项判断即可（也可根据，，通过函数图象经过的象限判断）． 【详解】解：令，则， ∴该函数图象经过点， 令，则，， ∴该函数图象经过点， 四个选项中，只有A选项的图象同时经过这两点， 故选：A． 【跟踪专练1】一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．首先根据直线经过的象限判断的符号，再根据直线的平缓趋势判断的大小，即可得解． 【详解】解：由函数图象经过的象限可知：，，， 直线越陡，越大， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，一次函数与在同一坐标系内图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解题关键是掌握一次函数的图象和性质：①当，y随x的增大而增大，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限；②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限．根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、一次函数的图象经过第一、二、三象限，即，， 则，正比例函数的图象经过第一、三象限，与图象矛盾，不符合题意； B、一次函数的图象经过第一、三、四象限，即，， 则，正比例函数的图象经过第二、四象限，与图象矛盾，不符合题意； C、一次函数的图象经过第一、二、四象限，即，， 则，正比例函数的图象经过第二、四象限，与图象矛盾，不符合题意； D、一次函数的图象经过第一、三、四象限，即，， 则，正比例函数的图象经过第二、四象限，符合题意； 故选：D 【题型4.由解析式判函数象限】 【典例】一次函数的图象经过第 象限． 【答案】一、三、四 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，根据k、b的正负即可确定一次函数经过的象限． 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故答案为：一、三、四． 【跟踪专练1】若函数的图像经过第二、三、四象限，则函数的图像不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数的图像性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 由函数 的图像经过第二、三、四象限，可得 且 ，再分析函数 的图像所经过的象限即可． 【详解】解：∵函数 的图像经过第二、三、四象限， ∴ 且 ， ∴函数 中，，， 图像经过第二、三、四象限， 函数 的图像不经过第一象限． 故选：A． 【跟踪专练2】关于函数，已知点，是该函数图象上的任意两点，且与同号，则图象不经过第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了一次函数的性质，由条件可知函数为增函数，故，图象必经过第一、三象限，再结合，即可得出因此不经过第四象限，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵对于函数图象上任意两点，，有与同号， ∴随的增大而增大， ∴． ∵， ∴一次函数的图象不经过第四象限， 故答案为：四． 【题型5.由象限求参数范围】 【典例】已知一次函数的图象经过点，则m的值为（     ） A．1 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象上的点一定满足函数解析式是解题的关键． 将点代入函数解析式得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴当时，，即，解得：． 故选A． 【跟踪专练1】请写出一个一次函数，满足：y的值随着x的值增大而增大，且经过第四象限，则这个函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由一次函数性质知，y随x增大而增大需，经过第四象限需，据此求解即可. 【详解】解：一次函数表达式为， ∵y的值随着x的值增大而增大， ∴时， ∵经过第四象限， ∴， ∴可取，得函数，满足条件． 故答案为：（答案不唯一）. 【跟踪专练2】已知直线经过点，且不经过第三象限，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一元一次不等式组的应用等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 由直线经过点可得与的关系，再由直线不经过第三象限确定的取值范围，代入表达式，根据的范围求的范围． 【详解】直线经过点， ，即， 直线不经过第三象限， 且， ，即， ， 又， 当时，； 当时，， ∴． 故选：． 【题型6.函数图象与坐标轴交点】 【典例】直线与y轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查直线与坐标轴交点问题，掌握求解步骤是解题关键． 求直线与轴的交点坐标，令代入直线方程求解即可． 【详解】解：当时，， 所以直线与轴的交点坐标是． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程的解的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程与一次函数的关系．熟悉二元一次方程的所有解与对应一次函数图像上的点一一对应，函数图像的识别：根据斜率或与坐标轴的交点判断对应的直线是解题的关键．将二元一次方程变形为一次函数的表达式，求与坐标轴的交点，判断对应的选项即可． 【详解】解：将二元一次方程变形为一次函数的表达式：， ∵， ∴函数图像呈上升趋势， 令，代入得， ∴直线与轴交点为， 令，代入得，解得， ∴直线与轴交点为． 故选：． 【跟踪专练2】一次函数的图象过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 当时，，根据三角形面积公式即可得，化简即可求解． 【详解】解：当时，， 根据题意可得：， ∴， ∴或， 故答案为：或． 【题型7.一次函数图象的画法】 【典例】写一个图象经过的函数表达式： ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题主要考查了函数的解析式，只需根据一次函数的形式或反比例函数的形式或二次函数的形式等写出适合的解析式即可． 【详解】解： 故答案为：(答案不唯一) 【跟踪专练1】用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（   ） x 0 1 2 y 6 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握利用描点法画一次函数图象是解题的关键． 在平面直角坐标系中，描点，发现点、、在同一直线上，点不在直线上，据此解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，表格中各点的位置为： 则表格中点、、在同一直线上，不在直线上， 故选：D． 【跟踪专练2】关于函数，有下列结论：①函数过定点；②函数的对称轴在轴左侧；③若，则；④若，则，其中正确结论的序号为 ． 【答案】① 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 画出函数大致图象，根据图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 【详解】解：画出函数大致图象： 由图象可得函数过定点，故①正确，符合题意 由图象可得函数的对称轴在轴右侧，故②错误，不符合题意； 当，，如图： ∴由图象可得，则，故③错误，不符合题意； 当，与大小无法比较，故④错误，不符合题意； 正确的说法是． 故答案为：①． 【题型8.一次函数图象的平移】 【典例】将函数的图象向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的平移规则． 根据一次函数图象平移规则“上加下减”，向下平移时，函数表达式中的常数项减去平移单位即可． 【详解】解：∵原函数为，向下平移3个单位， ∴新函数为． 故选：B． 【跟踪专练1】一次函数的图象向左平移8个单位后经过点，则b的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，掌握解析式“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 先根据平移的规律求出的图象向左平移8个单位后的解析式，再将点代入即可求解． 【详解】解：将一次函数的图象向左平移8个单位后得到， 将点代入得， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练2】一次函数的图象经过点，每当增加1个单位长度时，增加3个单位长度，则此函数图象向上平移2个单位长度所得图象对应的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的斜率性质与图象平移规律，解题关键是先根据函数变化规律确定斜率，再利用待定系数法求解析式，最后结合平移规则得到结果． 根据“增加个单位，增加 3 个单位”确定斜率，再代入已知点求出，最后根据平移规律得到平移后的解析式． 【详解】解：∵每当增加个单位时，增加个单位， ∴斜率． ∵图象经过点， ∴代入，得：， ∴． ∴原函数为． 向上平移个单位，得， ∴平移后解析式为． 故选：A． 【题型9.一次函数图象的对称】 【典例】在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据轴对称的性质得出k，b的值，然后进行解答即可． 【详解】解：∵直线与直线关于轴对称， ∴ ∴一次函数即，的图象不经过第二象限， 故选：B． 【跟踪专练1】将一次函数的图象以y轴为对称轴翻折，翻折后的图象函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，设点为翻折后的函数图象上一点，则点是一次函数的图象上一点，再把代入中求出n关于m的函数关系式即可得到答案． 【详解】解：设点为翻折后的函数图象上一点，则点是一次函数的图象上一点， ∴， ∴翻折后的图象函数表达式是， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称，则的值依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点的计算，点关于坐标轴对称的性质，掌握以上知识的计算是关键． 根据一次函数与坐标轴的交点的计算得到各自的交点坐标，由关于轴对称得到，，由此即可求解． 【详解】解：直线（为常数，且）中，当时，，当时，， ∴该直线与轴的交点为，与轴的交点为， 直线（为常数）中，当时，，当时，， ∴该直线与轴的交点为，与轴的交点为， ∵直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称， ∴，， 解得，， 故选：C ． 【题型10.一次函数增减性判断】 【典例】函数中，y 随x的增大而 ． 【答案】减小 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，在一次函数中，当时，y 随x的增大而增大，当时，y 随x的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵在函数中，， ∴y 随x的增大而减小， 故答案为：减小． 【跟踪专练1】下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（  ） ①函数图象经过点； ②图象不经过第二象限； ③当时，随的增大而增大． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，在应用一次函数的性质的时候，常常与函数的图象相结合，借助函数的图象叙述函数的性质可以更直接、更具体．根据一次函数的增减性可得不满足③；根据一次函数图象与其系数的关系可得不满足①，不满足②，满足①②③． 【详解】解：A、在中，一次项系数小于0，则随的增大而减小，不符合③，不符合题意； B、在中，当时，，则该函数图象经过点，不符合①，不符合题意； C、在中，一次项系数大于0，常数项大于0，则该函数图象经过第一、二、三象限，不符合②，不符合题意； D、在中，一次项系数大于0，常数项小于0，则该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，且随的增大而增大，当时，，则该函数图象经过点，故该函数满足①②③，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，直线AC的表达式为，直线的表达式为，点在这两条直线上，当时，的最大值是 ． . 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的表达式求法及函数差在给定区间上的最值问题，能根据题意表示出是解题的关键． 先求出直线AB的函数表达式，再表示出，最后根据的取值范围求出最大值即可． 【详解】解：将点代入得， ，解得， 所以直线的表达式为， 则． 设函数 ∵， ∴根据函数图像的性质，当时，取最大值为：． 故答案为：． 【题型11.由增减性求参数】 【典例】如图，已知某水银体温计的水银柱长度与温度的关系为（，为常数），且在的标准量程内，水银柱长度随温度的增加而均匀增加．关系式中的（   ） A．小于0 B．等于0 C．大于0 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质．利用一次函数的增减性质即可判断的正负． 【详解】解：对于函数， ∵水银柱长度随温度的增加而均匀增加， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】已知关于的正比例函数．若值随值的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，掌握正比例函数中，当时随的增大而增大是解题的关键． 根据正比例函数的性质，当比例系数大于时，随的增大而增大． 【详解】解：∵正比例函数中，随的增大而增大， ∴，解得． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知一次函数的图象经过点，，若，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质和一次函数的函数值计算，明确的正负是解题关键． 由条件，和推导出，据此对选项依次进行判断． 【详解】解：∵ 点和在函数上， ∴，， ∵， ∴，化简得， ∴， ∴， 对于点，有， ∵， ∴， ∴，故 一定正确，选项正确； 选项：错误，应该是； 选项：错误，由且可知； 选项：，不一定成立，如时，． 故选：． 【题型12.增减性判自变量变化】 【典例】已知一次函数经过点，，则和的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】根据一次函数的增减性即可求解． 【详解】解：∵ ∴随的增大而增大 ∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查一次函数的增减性．熟记相关结论是解题关键． 【跟踪专练1】已知点，是一次函数图象上的两点，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 由，利用一次函数的性质可得出随的增大而增大，结合，即可得出和的大小关系． 【详解】解：， 随的增大而增大， 又点，是一次函数图象上的两点，， ． 故选：C． 【跟踪专练2】已知点和点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的解析式，，因此随的增大而减小．点的纵坐标小于点的纵坐标，故点的横坐标大于点的横坐标． 【详解】解：∵中，， ∴随的增大而减小． ∵点和点都在一次函数的图象上， ∴ 故答案为：． 【题型13.一次函数值大小比较】 【典例】已知点都在直线上，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据函数解析式可得增减性，再根据增减性即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， ∵点都在直线上，且， ∴， 故选：A． 【跟踪专练1】对于直线，当时， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据一次函数解析式得到y随x增大而减小，再由可得． 【详解】解：∵， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知一次函数，（），其中的图像经过点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，由的图像经过点可求出 ，从而得到和的表达式，的符号由的符号决定，因，需分析的正负验证各选项即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵的图像经过点， ∴ ， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的符号由的符号决定， 令，得或， 当时，；当时，；当时，， 、若，则，故该选项说法正确，符合题意； 、当 时，，不满足，不符合题意； 、若，则或，故该选项说法错误，不符合题意； 、若，则，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【题型14.一次函数规律探究】 【典例】直线与直线互相平行，则常数的值为 ． 【答案】6 【分析】直接根据两直线平行的条件即可得出结论． 【详解】解：直线与直线平行， ． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查的是两条直线相交或平行问题，熟知若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同，是解答此题的关键． 【跟踪专练1】如图，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，依次这样作图，则点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．根据一次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质即可得到规律，再利用规律求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴点的横坐标为1， ∵，，在直线的图象上， ∴纵坐标为2， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴的纵坐标为的纵坐标为， ……， ∴点的纵坐标为． 故选：A． 【跟踪专练2】《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，则的值为 ． 【答案】 【分析】由直线的解析式求得，即可求得，把的坐标代入求得的坐标，进而求得的坐标，即可求得，把的纵坐标代入求得的坐标，进而求得的坐标，即可求得，…..，得到规律，即可求得，然后问题可求解． 【详解】解：把代入得，， ， ∴， 把代入得，， ， 把代入得，， ， ∴， 把代入得，， ， 把代入得，， ， ， ……， ∴， ∴； 故答案为． 【题型15.一次函数解析式求解】 【典例】油箱中有油20升，油从管道中匀速流出，100分钟流完．油箱中剩油量（升）与流出的时间（分）间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式， 先求出每分钟流出的油量，再根据剩油量等于总油量减去流出的油量解答即可. 【详解】解：根据题意，得. 故选：C. 【跟踪专练1】已知函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式， 将已知的x和y的值代入函数解析式中，通过解一元一次方程求出b的值． 【详解】解：将，，代入函数解析式， 得， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知一次函数（k、b是常数，且），当自变量x分别取3、6、9时，函数值y相应等于n、、m，若时，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，根据函数值确定自变量x的取值范围，解一元一次不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 根据题意得到，然后求出，得到一次函数，然后得出，然后利用得到，进而求解即可． 【详解】解：根据题意得， 得， ∴一次函数 ∵当自变量x取9时，函数值y等于m， ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：D． 1．已知与成正比例，且当时，，求与之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查的是用待定系数法求函数的表达式，掌握待定系数法求得函数解析式是解题的关键． 根据与成正比例，设出函数关系式，利用已知点求比例系数k，进而得到函数表达式． 【详解】解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的表达式； (2)判断点是否在该函数图象上； (3)求该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)在 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，正确解方程组是解题关键． （1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）把代入得出y的值，进而判断得出答案； （3）求出直线与坐标轴的交点坐标，再运用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 所以该一次函数的表达式为； （2）解：当时，， 所以点在该函数图象上； （3）解：对于直线， 当时，；当时，，即， ∴直线与轴交点为，与轴交点为， 所以与坐标轴围成的三角形的面积为． 3．已知一次函数的图象经过点和点，且点B在正比例函数的图象上． (1)求该一次函数的表达式． (2)若是该一次函数图象上的两点，试比较与的大小． (3)当时，求函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)一次函数的函数值，正比例函数的函数值 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数的图象及性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）先把点代入正比例函数，求出a的值，得到点B的坐标，再根据待定系数法求出一次函数的表达式； （2）根据一次函数的增减性求解即可； （3）先求出当和时的函数值，再根据函数的增减性解答． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图象经过点和点， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵一次函数中，比例系数， ∴y随x的增大而减小， ∵是该一次函数图象上的两点，且， ∴． （3）解：对于一次函数， 当时，， 当时，， ∴当时，函数值． 对于正比例函数， 当时，， 当时，， ∴当时，函数值． 4．已知一次函数，求： (1)为何值时，随的增大而减小？ (2)、为何值时，函数图象与轴交点在轴的下方？ 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数的增减性以及与坐标轴的交点是解题关键． （1）由随的增大而减小可得，即可求解； （2）由一次函数的定义可得，由函数图象与轴交点在轴的下方可得，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数，随的增大而减小， ， ； （2）解：一次函数， ， ， 函数图象与轴交点在轴的下方， ， ． 5．已知直线，当m为何值时： (1)此直线与直线平行． (2)此直线与直线交于点． (3)此直线不经过第三象限． (4)函数值y随x的增大而减小且与y轴的交点在x轴下方． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）两直线平行，比例系数相等，即，求出方程的解即可； （2）先将点代入直线求出，然后再将该点代入，即可求出的值； （3）①当时，直线不经过第三象限，那么直线经过第二、四象限或第一、二、四象限，即满足，，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可；②当时，直线不经过第三象限，即满足，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可； （4）根据函数值随的增大而减小且与轴的交点在轴下方，可得，，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：将点代入直线，得， 解得，即交点坐标为． 将点代入，得， 解得． （3）解：直线不经过第三象限，则其斜率且在轴上的截距 因此有 解得 （4）解：依题意，得 解得． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，两条直线平行的条件，解题的关键是掌握一次函数的性质． 6．问题探究：小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请你解决相关问题： x … 0 1 2 3 4 … Y … 0 1 2 3 2 1 a … (1)如表y与x的几组对应值： ； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象： ①该函数有 （填“最大值”或“最小值”），并写出这个值为 ； ②观察函数的图象，写出该图象（除①外）的一条性质． ③若，为该函数图象上不同的两点，则 ； 【答案】(1)0 (2)①最大值，3；②见解析；③ 【分析】本题主要考查一次函数图象的画法以及一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的画法以及根据一次函数图象表示出一次函数的性质是解决本题的关键． （1）依据题意，将代入函数解析式即可求得a； （2）根据题意画出函数图象， ①依据题意，根据图象特征即可求得； ②依据题意，根据图象求得即可； ③依据题意，当时，根据函数解析式可求得b． 【详解】（1）解：由题意，当时，求得， 故答案为：0； （2）解：函数图象如图所示： ①由题意，结合图象，该函数有最大值为3． 故答案为：最大值，3； ②由题意，结合图象知可知函数有如下性质： 函数图象为轴对称图形，对称轴为y轴； 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x增大而减小（答案不唯一）． ③由题意，当时，得， ∴或． ∴． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $