3 函数图象综合题(培优拔高)(课件PPT)-【思而优·中考突破】2026年中考数学总复习（广东专用）

26版·数学课件 函数图象综合题 选择、填空题培优拔高练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根据信息得函数图象 1.(2018·广东)如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D.设△PAD的面积为y，点P的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为(　　) A　　　　 B　　　　 C　　　　 D　 B 设菱形的高为h，即是一个定值，根据点P的运动路径分为点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，即可得出答案. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.(2025·齐齐哈尔)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点E从点A出发沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，过点E作AD的垂线l，在点E的运动过程中，垂线l扫过菱形(阴影部分)的面积为y，点E运动的路程为x(x＞0).下列图象能反映y与x之间函数关系的是(　　) A　　 B　　 C　　 D　 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：当点E在AB上时，如图1， ∵∠A＝60°，l⊥AD， ∴∠AEF＝30°， ∴AF＝AE＝x， EF＝AE＝x， ∴y＝AF·EF＝·x·x＝x2， ∴此时图象为开口向上的抛物线的一部分，排除C，D选项； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当点E在BC上且l与AD相交时，作BH⊥AD，如图2， ∴BE＝x－4. ∵∠A＝60°，BH⊥AD， ∴∠ABH＝30°， ∴AH＝AB＝2，BH＝AB＝2， ∴y＝S△ABH＋S矩形BEFH＝×2×2＋2(x－4)＝2x－6， ∴此时图象为直线一部分； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当点E在BC上且l与CD相交时，如图3， 在菱形ABCD中，AB＝BC＝AD＝4，BC∥AD，∠C＝∠A＝60°， ∴l⊥BC，CE＝AB＋BC－x＝8－x， ∴EF＝CE·tan 60°＝(8－x)， ∴S△CEF＝CE·EF ＝(8－x)·(8－x) ＝(8－x)2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴y＝S菱形ABCD－S△CEF ＝AD·BH－(8－x)2 ＝4×2－(8－x)2 ＝－x2＋8x－24， ∴此时图象为开口向下的抛物线的一部分，排除B选项. 故选：A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 已知函数图象得信息 3.(2023·深圳)如图1，在Rt△ABC中，动点P从点A运动到点B再到点C后停止，速度为2个单位长度/s，其中BP长与运动时间t(单位：s)的关系如图2，则AC的长为(　　) A. B. C.17 D.5 第3题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根据图象可知t＝0时，点P与点A重合，得到AB＝15，进而求出点P从点A运动到点B所需的时间，进而得到点P从点B运动到点C的时间，求出BC的长，再利用勾股定理求出AC的长即可.解决问题时要关注特殊点、特殊位置，如拐点，最值点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(2025·湖北)如图1，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4 cm，AB＝n cm.动点P，Q均以1 cm/s的速度从点C同时出发，点P沿折线C→B→A向点A运动，点Q沿边CA向点A运动.当点Q运动到点A时，两点都停止运动.△PCQ的面积S(单位：cm2)与运动时间t(单位：s)的关系如图2所示. (1)m＝　　； 第4题图 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：观察图象可知，当t＝4时，点P与点B重合， ∵动点P，Q均以1 cm/s的速度从点C同时出发， ∴CB＝CP＝CQ＝4 cm. ∵∠C＝90°， ∴m＝CP·CQ＝×4×4＝8. 故答案为：8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第4题图 (2)n＝　　. 12 解析：由图象可知，当t＝10时，S＝10，此时CQ＝10，BP＝10－BC＝6， 如图，过点P作PD⊥AC于点D，则∠PDA＝90°， ∵S＝CQ·PD＝×10·PD＝10， ∴PD＝2. ∵∠PDA＝∠BCA＝90°，∠A＝∠A， ∴△ADP∽△ACB， ∴＝＝＝， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴AP＝AB， ∴点P为AB的中点， ∴AB＝2BP＝12. 故答案为：12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.(2025·眉山)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，CD＝，动点P在Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S.当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数.在3个时刻t1，t2，t3(t1＜t2＜t3)对应的正方形DPEF的面积均相等.下列4个结论：①当t＝1时，S＝3；②点P在线段BA上时，S＝2t2－16t＋34；③AD＝4；④t1＋t2＝4.其中正确结论的个数为(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：在Rt△PCD中，CD＝，PC＝t， 则当点P在BC上时，S＝PD2＝t2＋2， 当S＝6时，t2＋2＝6， 解得t＝2(负值已舍去)， 即BC＝2. 当t＝1时，S＝t2＋2＝3，故①正确； 当点P在AB上时，由图象可知抛物线顶点为(4，2)，且过点(2，6)， 则可设抛物线的表达式为S＝a(t－4)2＋2(a≠0)， 将点(2，6)代入，得6＝a(2－4)2＋2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解得a＝1， 则抛物线的表达式为S＝(t－4)2＋2＝t2－8t＋18(2≤t≤8)，故②错误； 当S＝18时，t2－8t＋18＝18， 解得t＝0(舍去)或8， 则AB＝8－2＝6， ∴AC＝＝＝4， ∴AD＝4－＝3，故③错误； 如图，画出S＝t2＋2(0≤t≤2)， 从两个函数表达式看，两个函数图象的开口方向，开口大小相同， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 若存在3个时刻t1，t2，t3(t1＜t2＜t3)对应的正方形DPEF的面积均相等， 则从图象看，t1，t2关于直线t＝2对称， 则(t1＋t2)＝2， 即t1＋t2＝4，故④正确. 故选：B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二次函数的图象与系数 6.(2025·济南)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)图象的顶点坐标是(－1，n)，且经过(1，0)，(0，m)两点，3＜m＜4.有下列结论：①关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－n＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；②当x＞－1时，y的值随x值的增大而减小；③－＜a＜－1；④4a－2b＋c＞0；⑤对于任意实数t，总有(t＋1)(at－a＋b)≤0.以上结论正确的有(　　) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)图象的顶点坐标是(－1，n)，且经过(1，0)，(0，m)两点，3＜m＜4， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝－1， ∴a＜0，抛物线与x轴的交点为(1，0)和(－3，0)， 图象如图所示，令y＝n－1，即把直线y＝n向下平移一个单位长度， 再结合函数图象可知ax2＋bx＋c＝n－1(a≠0)有两个不相等的实数根， 故ax2＋bx＋c－n＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，故①正确，符合 题意； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴当x＞－1时，y的值随x值的增大而减小，故②正确，符合题意； ∵抛物线与x轴的交点为(1，0)和(－3，0)， ∴二次函数为y＝a(x－1)(x＋3)＝a(x2＋2x－3)＝ax2＋2ax－3a， ∴m＝－3a， ∵3＜m＜4， ∴3＜－3a＜4， 解得－＜a＜－1，故③正确，符合题意； 结合函数图象可知，当x＝－2时，y＝4a－2b＋c＞0，故④正确，符合题意； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵对称轴为直线x＝－＝－1， ∴b＝2a， ∴(t＋1)(at－a＋b)＝(t＋1)(at－a＋2a) ＝a(t＋1)(t＋1) ＝a(t＋1)2. ∵a＜0，(t＋1)2≥0， ∴a(t＋1)2≤0，故⑤正确，符合题意. 综上所述，①②③④⑤正确， 故选：A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 灵活运用数形结合思想是解题的关键，根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用图中标示的特殊点，借助转化思想解决问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.(2025·宜宾)如图，O是坐标原点，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B，顶点为D，对称轴为x＝－2，其中A(2，0)，B(0，c)，且－3＜c＜－2.以下结论：①abc＞0；②＜b＜1；③△ACD是钝角三角形；④若方程ax2＋(b－2)x＋c＝0的两根为x1，x2(x1＜x2)，则－2＜x1＜4－2，6＜x2＜4＋2.其中正确结论有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：∵抛物线开口向上， ∴a＞0. ∵对称轴为直线x＝－＝－2，即b＝4a， ∴b＞0. ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＜0，故①错误； ∵对称轴为直线x＝－＝－2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴a＝b. ∵A(2，0)在抛物线上， ∴4a＋2b＋c＝0， ∴b＋2b＋c＝0， ∴c＝－3b. ∵－3＜c＜－2， ∴－3＜－3b＜－2，解得＜b＜1，故②正确； 如图，设抛物线对称轴与x轴交于点E， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 将x＝－2代入y＝ax2＋bx＋c， 得y＝4a－2b＋c. 将a＝b，c＝－3b代入，得y＝－4b， ∴ED＝4b. ∵对称轴为直线x＝－2，A(2，0)， ∴AE＝4， ∴tan∠CAD＝＝＝b＜1， ∴∠CAD＜45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意得CD＝AD， ∴∠ACD＝∠CAD＜45°， ∴∠ADC＞90°， ∴△ACD是钝角三角形，故③正确； ∵＜b＜1， ∴当b＝时，a＝b＝，c＝－3b＝－2， ∴方程ax2＋(b－2)x＋c＝0转化为x2－x－2＝0， 解得x＝4±2； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当b＝1时，a＝b＝，c＝－3b＝－3， ∴方程ax2＋(b－2)x＋c＝0转化为x2－x－3＝0， 解得x＝－2或6. ∵方程ax2＋(b－2)x＋c＝0的两根为x1，x2(x1＜x2)， ∴－2＜x1＜4－2，6＜x2＜4＋2，故④正确. 综上所述，其中正确结论有3个. 故选：C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 函数图象与特殊几何图形 8.(2025·黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，点A，B都在双曲线y＝(k≠0)上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为－1，∠AOB＝∠ABO＝45°，则k的值为(　　) A. B.－ C. D.－ D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：如图，过点A作MN∥x轴，交y轴于点N，作BM⊥MN，垂足为M，则∠M＝∠ANO＝90°， ∴∠MBA＋∠MAB＝90°. ∵∠AOB＝∠ABO＝45°， ∴AB＝AO，∠BAO＝90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∠MAB＋∠NAO＝90°， ∴∠MBA＝∠NAO. 在△BMA和△ANO中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴△BMA≌△ANO(AAS)， ∴BM＝AN，AM＝ON. ∵点A的横坐标为－1，点A在双曲线y＝上， ∴A(－1，－k)，AN＝BM＝1， ∴ON＝AM＝－k， ∴B(－1＋k，－k－1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵点B在双曲线y＝上， ∴k＝(－1＋k)(－k－1)＝1－k2， 整理，得k2＋k－1＝0， 解得k＝(舍去)或k＝. 故选：D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 过点A作MN∥x轴，交y轴于点N，作BM⊥MN，垂足为M，先证明△BMA≌△ANO(AAS)，利用全等三角形的性质得到点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(2024·赤峰)如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝－x2＋4上，点D在y轴上.若A，C两点的横坐标分别为m，n(m＞n＞0)，是下列结论正确的是(　　) A.m＋n＝1 B.m－n＝1 C.m＝1 D.＝1 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：如图，分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为M，N，则∠CND＝∠DMA＝90°， ∵A，C两点的横坐标分别为m，n， ∴点A的坐标为(m，－m2＋4)，点C的坐标为(n，－n2＋4)， ∴AM＝m，MO＝－m2＋4，CN＝n，NO＝－n2＋4. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝90°， ∴∠CDN＋∠ADM＝∠ADM＋∠DAM＝90°， ∴∠CDN＝∠DAM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在△CDN和△DAM中， ∴△CDN≌△DAM(AAS)， ∴DM＝CN＝n，DN＝AM＝m， ∴MN＝DM＋DN＝m＋n. 又∵MN＝NO－MO＝m2－n2， ∴m2－n2＝m＋n， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 即(m＋n)(m－n)＝m＋n. ∵m＞n＞0， ∴m＋n≠0， ∴m－n＝1. 故选：B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 函数图象与点的坐标规律 10.(2018·广东)如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y＝(x＞0)上，点B1的坐标为(2，0).过点B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过点A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过点B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过点A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，……，则点B6的坐标为　　 　　. (2，0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C＝a，则A2C＝a，OC＝OB1＋B1C＝2＋a，A2(2＋a，a). ∵点A2在双曲线y＝(x＞0)上， ∴(2＋a)·a＝， 解得a＝－1或a＝－－1(舍去)， ∴OB2＝OB1＋2B1C＝2＋2－2＝2， ∴点B2的坐标为(2，0)； 作A3D⊥x轴于点D，设B2D＝b，则A3D＝b， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 OD＝OB2＋B2D＝2＋b，A3(2＋b，b). ∵点A3在双曲线y＝(x＞0)上， ∴(2＋b)·b＝， 解得b＝－＋或b＝－－(舍去)， ∴OB3＝OB2＋2B2D＝2－2＋2＝2， ∴点B3的坐标为(2，0)； 同理可得点B4的坐标为(2，0)，即(4，0)； 以此类推， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴点Bn的坐标为(2，0)， ∴点B6的坐标为(2，0). 故答案为：(2，0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出点B2，B3，B4的坐标，得出规律，进而求出点B6的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.(2025·黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋3交x轴于点A，交y轴于点B.四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，A3A4B4C4，…都是正方形，顶点A1，A2，A3，A4，…都在x轴上，顶点B1，B2，B3，B4，…都在直线y＝－x＋3上，连接BA1，B1A2，B2A3，B3A4，…分别交C1B1，C2B2，C3B3，C4B4，…于点D1，D2，D3，D4，….设△BB1D1，△B1B2D2，△B2B3D3，△B3B4D4，…的面积分别为S1，S2，S3，S4，…，则S2 025 ＝　　　　. ()4 049　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：当x＝0时，y＝－x＋3＝3， ∴点B的坐标是(0，3)， ∵点B1在直线y＝－x＋3上， ∴设点B1的坐标是(x1，－x1＋3)， 则点A1的坐标是(x1，0)，点C1的坐标是(0，－x1＋3)， ∵四边形OA1B1C1是正方形， ∴OA1＝A1B1，OA1∥C1B1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴x1＝－x1＋3， 解得x1＝2， ∴点B1的坐标是(2，2)， ∴正方形OA1B1C1的边长为2， ∴OC1＝OA1＝A1B1＝B1C1＝2， ∴BC1＝BO－OC1＝3－2＝1. ∵OA1∥C1B1， ∴△BC1D1∽△BOA1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴＝， ∴＝， 解得C1D1＝， ∴B1D1＝B1C1－C1D1＝2－＝， ∴＝B1D1·BC1＝××1＝； 设点B2的坐标为(x2，－x2＋3)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 则点A2的坐标是(x2，0)，点C2的坐标是(2，－x2＋3)， ∴A1A2＝x2－2. ∵四边形A1A2B2C2是正方形， ∴A1A2＝B2A2，A1A2∥C2B2， ∴x2－2＝－x2＋3， 解得x2＝， ∴A1A2＝－2＝， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴点B2的坐标是(，)， ∴A1A2＝A2B2＝B2C2＝A1C2＝， ∴B1C2＝2－＝. ∵A1A2∥C2B2， ∴△B1C2D2∽△B1A1A2， ∴＝， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴＝， 解得C2D2＝， ∴B2D2＝B2C2－C2D2＝－＝， ∴＝B2D2·B1C2＝××＝. ∵点B1的坐标是(2，2)，点B2的坐标是(，)， ∴B1B2＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵点B1的坐标是(2，2)，点B的坐标是(0，3)， ∴BB1＝＝. ∵＝＝，＝＝， ∴＝. 又∵四边形OA1B1C1和四边形A1A2B2C2均为正方形， ∴B1C1∥x轴，B2C2∥x轴， ∴B1C1∥B2C2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴∠BB1C1＝∠B1B2C2， ∴△BB1D1∽△B1B2D2，且相似比为， ∴＝()2， ∴当＝时，＝×()2＝＝()3＝()1＋1×2， 同理可证△B1B2D2∽△B2B3D3，且相似比为， 则＝()3×()2＝()5＝()1＋2×2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …， ∴S2 025＝＝()1＋2×2 024＝()4 049， 故答案为：()4 049. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.(2025·山东)如图，取直线y＝－x上一点A1(x1，y1)，①过点A1作x轴的垂线，交双曲线y＝于点A2(x2，y2)；②过点A2作y轴的垂线，交直线y＝－x于点A3(x3，y3)；如此循环进行下去.按照上面的操作，若点A1的坐标为 (1，－1)，则点A2 025的坐标是　　　　. (1，－1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析：∵A1(1，－1)，A1A2⊥x轴， ∴点A2的横坐标为1，即x2＝1. 把x2＝1代入y＝，得y2＝＝1， ∴A2(1，1). ∵A2A3⊥y轴， ∴点A3的纵坐标为1，即y3＝1. 把y3＝1代入y＝－x，得1＝－x3，即x3＝－1， ∴A3(－1，1). ∵A3A4⊥x轴， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∴点A4的横坐标为－1，即x4＝－1. 把x4＝－1代入y＝，得y4＝＝－1， ∴A4(－1，－1). ∵A4A5⊥y轴， ∴点A5的纵坐标为－1，即y5＝－1， 把y5＝－1代入y＝－x，得－1＝－x5，即x5＝1， ∴A5(1，－1)， …… 观察可得，每4个点为一个循环周期， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵2 025÷4＝506……1， ∴点A2 025的坐标与点A1的坐标相同， ∴点A2 025的坐标为(1，－1). 故答案为：(1，－1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 本PPT课件由思而优研发制作，仅限思而优配套教学使用。 未经授权，任何人不得以商业目的进行拷贝、转发、转售， 一经发现，我司将追究侵权者的法律责任。 温馨提示 $