2025-2026学年人教版数学七年级上册 寒假巩固作业 10余角和补角

寒假巩固作业10余角和补角 目录 题型一、求一个角的余角 1 题型二、求一个角的补角 2 题型三、与余角和补角有关的计算 2 题型四、探究创新题 5 题型一、求一个角的余角 1．如果一个角的余角是，那么这个角是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在综合与实践“设计学校田径运动会比赛场地”活动中，某同学设计跳高场地的梯形支架时，算出支架的倾斜杆与水平地面AB的夹角的度数为，则这个角的余角度数为 ． 3．如图，点A、O、C在同一直线上，是的平分线，，比大． (1)求的度数； (2)求的度数． 4．如图，是直线上的一点，以为顶点作，使与互余，且、位于直线的两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 5．如图所示，A、O、B三点在同一直线上，若，则的余角是 度． 6．冬至是中国二十四节气之一，是一年中白天时间最短、夜晚时间最长的一天．据测量，四川地区冬至这天的正午太阳光线与地面的夹角约为，那么这个角的余角等于 ． 题型二、求一个角的补角 7．已知一个角的度数是，则它的补角是 ． 8．已知，若与互补，则的角度是 ； 9．若，则的补角的度数是 ． 10．一个角的余角的2倍比这个角的补角的少，则这个角的度数为 ． 11．已知一个角的余角比这个角的3倍多． (1)求这个角的度数； (2)这个角的补角为_______度． 12．定义：从（）的顶点出发在角的内部作一条射线，如果该射线将分成的两个角中有一个角与互为补角，那么称该射线为的“好线”．如图，点在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”，且在内部． (1)如果，求的度数； (2)如果是的平分线，是的平分线，那么与的数量关系为___________． 题型三、与余角和补角有关的计算 13．如图，用量角器度量几个角的度数，有下列结论：①平分；②；③与互补；④的余角是和；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．已知点B、O、C在同一条直线上，如图1，（），若，，则 .若图2中与互余， 与互余，直接写出的度数为 .（用含的式子表示） 15．如图，． (1)请直接写出的余角； (2)试判断与是否互补，并说明理由． 16．如图，某公园的中心广场为点O，望江亭A在点O北偏西方向，荷花池B在点O南偏东的方向，儿童乐园C在点O的西南方向，则下列结论错误的是（   ） A．与互为补角 B．平分 C．与互为余角 D． 17．如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分．    (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 18．如图，与互为补角，与互为余角，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 19．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为（   ） A． B． C． D． 题型四、探究创新题 20．如图1，将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起．若三角尺不动，将三角尺绕点O按顺时针方向转动．    (1)如图2，若，则________，________（填“>”“<”或“=”）； (2)如图3，，则________，________（填“>”“<”或“=”）； (3)三角尺在转动的过程中，若，计算的大小（用含的代数式表示）； (4)借助（3）中的结论，在备用图中利用画直角的工具画出一个与相等的角． 21．如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，． ①求的度数． ②现射线绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转到，再原速返回到时停止，同时绕着以相同的速度顺时针方向旋转到与重合，再原速返回到与重合时停止，在此运动过程中，当为固定值时，求时间的范围． 22．如图，射线在内部，射线在射线左侧，． (1)当时，试比较与的大小，并说明理由； (2)在（）的条件下，若，射线，分别平分与，求的度数； (3)若，，都在内部，过点作射线，使 ，试探究与的数量关系． 23．直观想象，逻辑推理 已知点O为直线AB上一点． (1)如图，过点O作射线OC，使，求与的度数； (2)如图，射线OC为内部任意一条射线，射线OD、OE分别是、的角平分线，求的度数，并写出简要的推理过程； (3)写出上图中所有互余的角和互补的角． 24．阅读下面材料 小聪遇到这样一个问题：如图1，∠AOB＝α，请画一个∠AOC，使∠AOC与∠BOC互补． 小聪是这样思考的：首先通过分析明确射线OC在∠AOB的外部，画出示意图，如图2所示：然后通过构造平角找到∠AOC的补角∠COD． 如图3所示：进而分析要使∠AOC与∠BOC互补，则需∠BOC＝∠COD． 因此，小聪找到了解决问题的方法：反向延长射线OA得到射线OD，利用量角器画出∠BOD的平分线OC，这样就得到了∠BOC与∠AOC互补． (1)根据小聪的画法可知，如图3，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．请说明∠AOC与∠BOC互补的理由； (2)参考小聪的画法，请在图4中画出一个∠AOH，使∠AOH与∠BOH互余（保留画图痕迹）； (3)已知∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ，若∠EPQ＝β（45°＜β＜90°），直接写出锐角∠MPN的度数是　 　． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假巩固作业10余角和补角 目录 题型一、求一个角的余角 1 题型二、求一个角的补角 2 题型三、与余角和补角有关的计算 2 题型四、探究创新题 5 题型一、求一个角的余角 1．如果一个角的余角是，那么这个角是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在综合与实践“设计学校田径运动会比赛场地”活动中，某同学设计跳高场地的梯形支架时，算出支架的倾斜杆与水平地面AB的夹角的度数为，则这个角的余角度数为 ． 3．如图，点A、O、C在同一直线上，是的平分线，，比大． (1)求的度数； (2)求的度数． 4．如图，是直线上的一点，以为顶点作，使与互余，且、位于直线的两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 5．如图所示，A、O、B三点在同一直线上，若，则的余角是 度． 6．冬至是中国二十四节气之一，是一年中白天时间最短、夜晚时间最长的一天．据测量，四川地区冬至这天的正午太阳光线与地面的夹角约为，那么这个角的余角等于 ． 题型二、求一个角的补角 7．已知一个角的度数是，则它的补角是 ． 8．已知，若与互补，则的角度是 ； 9．若，则的补角的度数是 ． 10．一个角的余角的2倍比这个角的补角的少，则这个角的度数为 ． 11．已知一个角的余角比这个角的3倍多． (1)求这个角的度数； (2)这个角的补角为_______度． 12．定义：从（）的顶点出发在角的内部作一条射线，如果该射线将分成的两个角中有一个角与互为补角，那么称该射线为的“好线”．如图，点在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”，且在内部． (1)如果，求的度数； (2)如果是的平分线，是的平分线，那么与的数量关系为___________． 题型三、与余角和补角有关的计算 13．如图，用量角器度量几个角的度数，有下列结论：①平分；②；③与互补；④的余角是和；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．已知点B、O、C在同一条直线上，如图1，（），若，，则 .若图2中与互余， 与互余，直接写出的度数为 .（用含的式子表示） 15．如图，． (1)请直接写出的余角； (2)试判断与是否互补，并说明理由． 16．如图，某公园的中心广场为点O，望江亭A在点O北偏西方向，荷花池B在点O南偏东的方向，儿童乐园C在点O的西南方向，则下列结论错误的是（   ） A．与互为补角 B．平分 C．与互为余角 D． 17．如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分．    (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 18．如图，与互为补角，与互为余角，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 19．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为（   ） A． B． C． D． 题型四、探究创新题 20．如图1，将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起．若三角尺不动，将三角尺绕点O按顺时针方向转动．    (1)如图2，若，则________，________（填“>”“<”或“=”）； (2)如图3，，则________，________（填“>”“<”或“=”）； (3)三角尺在转动的过程中，若，计算的大小（用含的代数式表示）； (4)借助（3）中的结论，在备用图中利用画直角的工具画出一个与相等的角． 21．如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，． ①求的度数． ②现射线绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转到，再原速返回到时停止，同时绕着以相同的速度顺时针方向旋转到与重合，再原速返回到与重合时停止，在此运动过程中，当为固定值时，求时间的范围． 22．如图，射线在内部，射线在射线左侧，． (1)当时，试比较与的大小，并说明理由； (2)在（）的条件下，若，射线，分别平分与，求的度数； (3)若，，都在内部，过点作射线，使 ，试探究与的数量关系． 23．直观想象，逻辑推理 已知点O为直线AB上一点． (1)如图，过点O作射线OC，使，求与的度数； (2)如图，射线OC为内部任意一条射线，射线OD、OE分别是、的角平分线，求的度数，并写出简要的推理过程； (3)写出上图中所有互余的角和互补的角． 24．阅读下面材料 小聪遇到这样一个问题：如图1，∠AOB＝α，请画一个∠AOC，使∠AOC与∠BOC互补． 小聪是这样思考的：首先通过分析明确射线OC在∠AOB的外部，画出示意图，如图2所示：然后通过构造平角找到∠AOC的补角∠COD． 如图3所示：进而分析要使∠AOC与∠BOC互补，则需∠BOC＝∠COD． 因此，小聪找到了解决问题的方法：反向延长射线OA得到射线OD，利用量角器画出∠BOD的平分线OC，这样就得到了∠BOC与∠AOC互补． (1)根据小聪的画法可知，如图3，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．请说明∠AOC与∠BOC互补的理由； (2)参考小聪的画法，请在图4中画出一个∠AOH，使∠AOH与∠BOH互余（保留画图痕迹）； (3)已知∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ，若∠EPQ＝β（45°＜β＜90°），直接写出锐角∠MPN的度数是　 　． 《2025-2026学年人教版数学七年级上册寒假巩固作业10余角和补角》参考答案 题号 1 13 16 19 答案 B C C C 1．B 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数，度数之和为90度的两个角互余，据此求解即可． 【详解】解：∵一个角的余角是， ∴这个角是， 故选：B． 2． 【分析】本题主要考查了余角的定义以及度分秒的换算，熟练掌握余角的定义和度分秒的借位运算是解题的关键．根据余角的定义，用减去已知角的度数，即可得到其余角，计算时注意度、分、秒的借位运算． 【详解】解：∵余角的定义为两个角的和为， ∴的余角， ∵， ∴， 故答案为：． 3．(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平角和余角的定义等知识，能够根据角与角的和差关系列方程求值是解答问题的关键． （1）根据角平分线的定义求得，再根据与的关系和平角的定义，列方程即可求得的度数； （2）根据余角的定义，可求出的度数． 【详解】（1）解：平分， ， 设，则， ， ， 解得， ； （2）解：，， ． 4．(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、平角，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得； （2）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵与互余，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 5．60 【分析】本题考查角的和差，求余角．根据，且，求出，根据余角的定义即可求解． 【详解】解：∵， 且， ∴， ∴的余角是． 故答案为：60． 6．/54度 【分析】此题考查求一个角的余角，和为90度的两个角互为余角，根据余角定义求解． 【详解】解：的余角为， 故答案为：． 7．/100度 【分析】本题主要考查了补角的定义，掌握互为补角的两个角的和为是解题的关键． 根据补角的定义列式计算即可． 【详解】解：由题意可知：角的补角是． 故答案为． 8． 【分析】此题考查了补角， 根据互补角的定义，与互补，则，通过度分秒的减法运算求． 【详解】解：∵与互补，即， ∴． 故答案为． 9． 【分析】本题主要考查了求一个角的补角的度数，根据度数之和为180度的两个角互补列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴的补角的度数是， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了余角与补角的定义，掌握余角、补角的定义，以及通过列方程解决角度问题是解题的关键． 设这个角的度数为，根据余角和补角的定义，列出方程求解． 【详解】解：设这个角的度数为，则余角为，补角为． 根据题意，得方程： 展开并化简： ． 故答案为：． 11．(1)这个角的度数为 (2)160 【分析】此题主要考查一元一次方程的应用及余角、补角的有关计算，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程， （1）设这个角为，则这个角的余角为，根据题意列方程并解方程即可解决； （2）根据补角定义计算即可． 【详解】（1）解：设这个角为，则这个角的余角为， 由题意，得， 解得， 即这个角的度数为． （2）解：这个角的补角为． 12．(1) (2) 【分析】本题结合补角、角平分线的定义、角的和差运算，综合考查几何图形中角度计算问题，，以及代数设元推导角的数量关系． （1）由平角计算，根据“好线”定义确定，再用求； （2）设，用表示、，结合角平分线得到与的表达式，推导数量关系． 【详解】（1）解：∵点在直线上，， ∴． ∴． ∵是的“好线”， ∴被分成的两个角中有一个与互为补角， ∵，且在内部， ∴． ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：设，则． 由“好线”定义，的补角为，且在内部，故， ∴． ∵平分， ∴． ∵，平分， ∴， ∴． 因此． 故答案为：． 13．C 【分析】本题主要考查角平分线的定义及余角和补角，熟练掌握角平分线的定义及余角和补角是解题的关键；由量角器可知：，然后根据余角和补角及角平分线的定义进行排除选项即可． 【详解】解：由量角器可知：， ∴，即不是的平分线，故①错误； ，故②正确； ∵， ∴与互补，故③正确； ∵，且， ∴的余角是和，故④正确； 故选C． 14． 或 【分析】本题考查平角的性质，两角互余的性质和相关角度计算，分类讨论是解题的关键； （1）根据点B、O、C共直线和互余的性质解答即可； （2）分点E在内部或外部两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵，，点B、O、C在同一条直线上， ∴，即； （2）解：如图， 当点E在内部时， ∵与互余， 与互余， ∴， ∴， 当点E在外部时，即 同理得， ∵与互余， ， ∴，， ∴， ∴的度数为或． 15．(1)， (2)互补，理由见解析 【分析】本题主要考查了互余，互补， （1）根据互余的定义解答； （2）由，，可得，进而得出答案． 【详解】（1）解：，，理由如下， ∵， 所以与互余的角是，； （2）解：互补，理由如下： ，， ， 与互补． 16．C 【分析】本题考查方向角的定义，准确识别方向角对应的角度是解题关键．明确各角的位置关系，结合余角、补角、角平分线的定义及角的和差运算，对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：选项A：由方向角可知， B在南偏东， 则，， 故， 则，满足互补角定义，故A选项正确； 选项B：儿童乐园C在西南方向，即， ∵A在北偏西， 则， 故， ∵B在南偏东， 则，， 故， ∴， ∴平分，故B选项正确；   选项C：，，   两角和为，不满足余角定义，故C选项错误；   选项D：∵B在南偏东， 故，   ， ， ∴，故D选项正确． 故选：C． 17．(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角度之间的和差关系，邻补角和余角，角平分线有关的计算，解题的关键是掌握各个角之间的关系． （1）先求出，再根据平分，得出，即可求解； （2）易得，根据角平分线的定义得出，最后根据，即可得出结论． 【详解】（1）解： ，， ， 平分， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， 平分， ， ，即． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了余角补角相关的计算，角平分线的应用，几何图形中的角度计算，数形结合是解题的关键． （1）根据题意得出，根据，得出，即可求出的度数； （2）根据，得出，根据角平分线的定义得出，根据即可求解． 【详解】（1）解：与互为余角， ． ， ， ， ； （2）解：与互为补角， ． ， ． 平分， ， ． 19．C 【分析】本题考查了角的和差关系．利用正方形的角为直角这一性质，通过角之间的和差关系来推导、、三个角的数量关系即可． 【详解】解：如图： ， ， ， 又， ， ， 故选：C． 20．(1)，= (2)，= (3)． (4)见解析 【分析】本题主要考查了角度的和差计算． （1）由互余先求出的度数，再根据即可；由同角的余角相等可得出； （2）由图形可知，，代入即可；再由角度的和差计算可得出； （3）分两种情况：①当与有重合部分时；②当与无重合部分时，可分别得出结论； （4）由（3）可知，分别以为边，为边作两个直角即可． 【详解】（1）解：由图可知． 因为，所以， 所以， 所以，所以． 故答案为：，=； （2）解：由图可知． 因为， 所以． 因为，， 所以． 故答案为：，=； （3）解：①当与有重合部分时， 由题意可知， 所以，， 所以． 因为， 所以， ②当与无重合部分时， 由题意可知， 所以，， 所以． 因为， 综上，； （4）解：由（3）可知， 如图，即为所求．    21．(1)是的平分线，理由见解析 (2)①；②或或 【分析】此题考查了角平分线的相关计算、角的和差、余角的性质等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据题意得到，，由等角的余角相等即可得到答案； （2）①先求出，得到，利用平角即可得到答案；②分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：是的平分线，理由如下： ∵为直线上一点，且． ∴，， ∵， ∴， ∴是的平分线； （2）①∵，， ∴， ∴， ∴， 答：的度数为． ②∵， ∴，， 当时，与重合， ∴当时，绕着点O逆时针方向旋转，绕点O顺时针旋转，在的内部，是固定值， 当时，与重合，， ； ∴当时，如图，绕点O逆时针方向旋转，未与重合，绕着点顺时针方向旋转， 此时， ， ∴， ∴此时的大小发生改变； 当时，与重合，， ∴当时，绕点逆时针旋转，绕着点逆时针方向旋转，两者旋转速度相同， ∴的大小不变， ∴此时的值不变； 当时，与重合， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，在外部，和都逐渐减小，因此的值逐渐变小； 当时，与重合，停止旋转，在内部， ， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，在内部，是固定值； 当时，与重合， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，停止旋转，在内部，是固定值； 当时，与重合，停止旋转， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，停止旋转，在外部，和都逐渐变大，逐渐变大； 综上所述，当为固定值时，或或． 22．(1)，理由见解析； (2) (3)或 【分析】（）由已知可得，进而由余角性质得，即可判断求解； （）由得，，进而由角平分线的定义得，，再根据角的和差关系即可求解； （）由题意得， ，再分两种情况：①在左侧；②在右侧，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，余角性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵射线，分别平分与， ∴，， ∴； （3）解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ①如图，当在左侧时， 设，则， ∴， ∴， ， ∴； ②如图，当在右侧时， 设，则， 同理可得，， ∴； 综上，或 ． 23．(1)∠AOC=108°，∠BOC=72°； (2)90°；过程见详解； (3)互余的角为：∠AOD和∠COE，∠AOD和∠EOB，∠DOC和∠COE，∠DOC和∠EOB；互补的角为：∠AOD和∠DOB，∠DOC和∠DOB，∠AOC和∠BOC，∠BOE和∠AOE，∠COE和∠AOE； 【分析】（1）设∠AOC=3x，∠BOC=2x，列方程求解即可； （2）根据角平分线的定义，求∠DOC和∠COE的和即可； （3）根据余角和补角的定义，等角的余角（补角）相等，结合图形解答； 【详解】（1）解：设∠AOC=3x，∠BOC=2x，由图可得：3x＋2x=180°， 5x=180°， x=36°， ∴∠AOC=3×36°=108°，∠BOC=2×36°=72°； （2）解：由题意可得：∠AOD=∠DOC=∠AOC，∠BOE=∠EOC=∠BOC， ∵∠AOC＋∠BOC=180°， ∴（∠AOC＋∠BOC）=90°， ∴∠DOC＋∠COE=90°， ∴∠DOE=90°； （3）解：由（2）的条件和结论可得： ∵∠AOD＋∠COE=90°，∠AOD＋∠EOB=90°，∠DOC＋∠COE=90°，∠DOC＋∠EOB=90°， ∴互余的角为：∠AOD和∠COE，∠AOD和∠EOB，∠DOC和∠COE，∠DOC和∠EOB； ∵∠AOD＋∠DOB=180°，∠DOC＋∠DOB=180°，∠AOC＋∠BOC=180°，∠BOE＋∠AOE=180°，∠COE＋∠AOE=180°， ∴互补的角为：∠AOD和∠DOB，∠DOC和∠DOB，∠AOC和∠BOC，∠BOE和∠AOE，∠COE和∠AOE； 【点睛】此题考查了一元一次方程方程的应用，角平分线的定义（平分所在的角）；等角的余角（补角）；余角的定义：若两角和为90°则这两个角互余；补角的定义：若两角和为180°则这两个角互补；掌握定义结合图形是解题的关键． 24．(1)理由见解析 (2)见解析 (3)45°或|β﹣45°| 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BOC＝∠COD，根据等角的补角相等即可求得答案； （2）先通过分析明确射线在的外部，作（或）的垂线，再利用量角器画出（或）的平分线即可得； 【详解】（1）如图3中，∵OC平分∠BOD， ∴∠BOC＝∠COD， ∵∠AOC+∠COD＝180°， ∴∠AOC+∠BOC＝180°， 即∠AOC与∠BOC互补； （2）与互余， ， ， 射线在的外部， 先作（或）的垂线，再利用量角器画出（或）的平分线，如图所示： 或 （3）如图， ∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ， ∴∠MPQ＝∠EPQ，∠NPQ＝∠FPQ， ∵∠MPN＝∠MPQ+∠NPQ ＝∠EPQ+∠FPQ ＝∠EPF， ∵∠EPQ和∠FPQ互余， ∴∠EPQ+∠FPQ＝90°， 即∠EPF＝90°， ∴∠MPN＝45°； 如图： ∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ， ∴∠MPQ＝∠EPQ，∠NPQ＝∠FPQ， ∵∠MPN＝|∠MPQ﹣∠NPQ|＝|∠EPQ﹣∠FPQ|， ∵∠EPQ和∠FPQ互余，∠EPQ＝β， ∴∠FPQ＝90°﹣β， ∴∠MPN＝|β﹣∠（90°﹣β）|＝|β﹣45°|， 故答案为：45°或|β﹣45°|． 【点睛】本题考查了画垂线和角平分线、与角平分线有关的计算，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假巩固作业10余角和补角 1．如果一个角的余角是，那么这个角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数，度数之和为90度的两个角互余，据此求解即可． 【详解】解：∵一个角的余角是， ∴这个角是， 故选：B． 2．如图，在综合与实践“设计学校田径运动会比赛场地”活动中，某同学设计跳高场地的梯形支架时，算出支架的倾斜杆与水平地面AB的夹角的度数为，则这个角的余角度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角的定义以及度分秒的换算，熟练掌握余角的定义和度分秒的借位运算是解题的关键．根据余角的定义，用减去已知角的度数，即可得到其余角，计算时注意度、分、秒的借位运算． 【详解】解：∵余角的定义为两个角的和为， ∴的余角， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，点A、O、C在同一直线上，是的平分线，，比大． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平角和余角的定义等知识，能够根据角与角的和差关系列方程求值是解答问题的关键． （1）根据角平分线的定义求得，再根据与的关系和平角的定义，列方程即可求得的度数； （2）根据余角的定义，可求出的度数． 【详解】（1）解：平分， ， 设，则， ， ， 解得， ； （2）解：，， ． 4．如图，是直线上的一点，以为顶点作，使与互余，且、位于直线的两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、平角，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得； （2）先求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵与互余，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 5．如图所示，A、O、B三点在同一直线上，若，则的余角是 度． 【答案】60 【分析】本题考查角的和差，求余角．根据，且，求出，根据余角的定义即可求解． 【详解】解：∵， 且， ∴， ∴的余角是． 故答案为：60． 6．冬至是中国二十四节气之一，是一年中白天时间最短、夜晚时间最长的一天．据测量，四川地区冬至这天的正午太阳光线与地面的夹角约为，那么这个角的余角等于 ． 【答案】/54度 【分析】此题考查求一个角的余角，和为90度的两个角互为余角，根据余角定义求解． 【详解】解：的余角为， 故答案为：． 7．已知一个角的度数是，则它的补角是 ． 【答案】/100度 【分析】本题主要考查了补角的定义，掌握互为补角的两个角的和为是解题的关键． 根据补角的定义列式计算即可． 【详解】解：由题意可知：角的补角是． 故答案为． 8．已知，若与互补，则的角度是 ； 【答案】 【分析】此题考查了补角， 根据互补角的定义，与互补，则，通过度分秒的减法运算求． 【详解】解：∵与互补，即， ∴． 故答案为． 9．若，则的补角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的补角的度数，根据度数之和为180度的两个角互补列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴的补角的度数是， 故答案为：． 10．一个角的余角的2倍比这个角的补角的少，则这个角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角与补角的定义，掌握余角、补角的定义，以及通过列方程解决角度问题是解题的关键． 设这个角的度数为，根据余角和补角的定义，列出方程求解． 【详解】解：设这个角的度数为，则余角为，补角为． 根据题意，得方程： 展开并化简： ． 故答案为：． 11．已知一个角的余角比这个角的3倍多． (1)求这个角的度数； (2)这个角的补角为_______度． 【答案】(1)这个角的度数为 (2)160 【分析】此题主要考查一元一次方程的应用及余角、补角的有关计算，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程， （1）设这个角为，则这个角的余角为，根据题意列方程并解方程即可解决； （2）根据补角定义计算即可． 【详解】（1）解：设这个角为，则这个角的余角为， 由题意，得， 解得， 即这个角的度数为． （2）解：这个角的补角为． 12．定义：从（）的顶点出发在角的内部作一条射线，如果该射线将分成的两个角中有一个角与互为补角，那么称该射线为的“好线”．如图，点在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”，且在内部． (1)如果，求的度数； (2)如果是的平分线，是的平分线，那么与的数量关系为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题结合补角、角平分线的定义、角的和差运算，综合考查几何图形中角度计算问题，，以及代数设元推导角的数量关系． （1）由平角计算，根据“好线”定义确定，再用求； （2）设，用表示、，结合角平分线得到与的表达式，推导数量关系． 【详解】（1）解：∵点在直线上，， ∴． ∴． ∵是的“好线”， ∴被分成的两个角中有一个与互为补角， ∵，且在内部， ∴． ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：设，则． 由“好线”定义，的补角为，且在内部，故， ∴． ∵平分， ∴． ∵，平分， ∴， ∴． 因此． 故答案为：． 13．如图，用量角器度量几个角的度数，有下列结论：①平分；②；③与互补；④的余角是和；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的定义及余角和补角，熟练掌握角平分线的定义及余角和补角是解题的关键；由量角器可知：，然后根据余角和补角及角平分线的定义进行排除选项即可． 【详解】解：由量角器可知：， ∴，即不是的平分线，故①错误； ，故②正确； ∵， ∴与互补，故③正确； ∵，且， ∴的余角是和，故④正确； 故选C． 14．已知点B、O、C在同一条直线上，如图1，（），若，，则 .若图2中与互余， 与互余，直接写出的度数为 .（用含的式子表示） 【答案】 或 【分析】本题考查平角的性质，两角互余的性质和相关角度计算，分类讨论是解题的关键； （1）根据点B、O、C共直线和互余的性质解答即可； （2）分点E在内部或外部两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵，，点B、O、C在同一条直线上， ∴，即； （2）解：如图， 当点E在内部时， ∵与互余， 与互余， ∴， ∴， 当点E在外部时，即 同理得， ∵与互余， ， ∴，， ∴， ∴的度数为或． 15．如图，． (1)请直接写出的余角； (2)试判断与是否互补，并说明理由． 【答案】(1)， (2)互补，理由见解析 【分析】本题主要考查了互余，互补， （1）根据互余的定义解答； （2）由，，可得，进而得出答案． 【详解】（1）解：，，理由如下， ∵， 所以与互余的角是，； （2）解：互补，理由如下： ，， ， 与互补． 16．如图，某公园的中心广场为点O，望江亭A在点O北偏西方向，荷花池B在点O南偏东的方向，儿童乐园C在点O的西南方向，则下列结论错误的是（   ） A．与互为补角 B．平分 C．与互为余角 D． 【答案】C 【分析】本题考查方向角的定义，准确识别方向角对应的角度是解题关键．明确各角的位置关系，结合余角、补角、角平分线的定义及角的和差运算，对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：选项A：由方向角可知， B在南偏东， 则，， 故， 则，满足互补角定义，故A选项正确； 选项B：儿童乐园C在西南方向，即， ∵A在北偏西， 则， 故， ∵B在南偏东， 则，， 故， ∴， ∴平分，故B选项正确；   选项C：，，   两角和为，不满足余角定义，故C选项错误；   选项D：∵B在南偏东， 故，   ， ， ∴，故D选项正确． 故选：C． 17．如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分．    (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角度之间的和差关系，邻补角和余角，角平分线有关的计算，解题的关键是掌握各个角之间的关系． （1）先求出，再根据平分，得出，即可求解； （2）易得，根据角平分线的定义得出，最后根据，即可得出结论． 【详解】（1）解： ，， ， 平分， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， 平分， ， ，即． 18．如图，与互为补角，与互为余角，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了余角补角相关的计算，角平分线的应用，几何图形中的角度计算，数形结合是解题的关键． （1）根据题意得出，根据，得出，即可求出的度数； （2）根据，得出，根据角平分线的定义得出，根据即可求解． 【详解】（1）解：与互为余角， ． ， ， ， ； （2）解：与互为补角， ． ， ． 平分， ， ． 19．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的和差关系．利用正方形的角为直角这一性质，通过角之间的和差关系来推导、、三个角的数量关系即可． 【详解】解：如图： ， ， ， 又， ， ， 故选：C． 20．如图1，将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起．若三角尺不动，将三角尺绕点O按顺时针方向转动．    (1)如图2，若，则________，________（填“>”“<”或“=”）； (2)如图3，，则________，________（填“>”“<”或“=”）； (3)三角尺在转动的过程中，若，计算的大小（用含的代数式表示）； (4)借助（3）中的结论，在备用图中利用画直角的工具画出一个与相等的角． 【答案】(1)，= (2)，= (3)． (4)见解析 【分析】本题主要考查了角度的和差计算． （1）由互余先求出的度数，再根据即可；由同角的余角相等可得出； （2）由图形可知，，代入即可；再由角度的和差计算可得出； （3）分两种情况：①当与有重合部分时；②当与无重合部分时，可分别得出结论； （4）由（3）可知，分别以为边，为边作两个直角即可． 【详解】（1）解：由图可知． 因为，所以， 所以， 所以，所以． 故答案为：，=； （2）解：由图可知． 因为， 所以． 因为，， 所以． 故答案为：，=； （3）解：①当与有重合部分时， 由题意可知， 所以，， 所以． 因为， 所以， ②当与无重合部分时， 由题意可知， 所以，， 所以． 因为， 综上，； （4）解：由（3）可知， 如图，即为所求．    21．如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，． ①求的度数． ②现射线绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转到，再原速返回到时停止，同时绕着以相同的速度顺时针方向旋转到与重合，再原速返回到与重合时停止，在此运动过程中，当为固定值时，求时间的范围． 【答案】(1)是的平分线，理由见解析 (2)①；②或或 【分析】此题考查了角平分线的相关计算、角的和差、余角的性质等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据题意得到，，由等角的余角相等即可得到答案； （2）①先求出，得到，利用平角即可得到答案；②分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：是的平分线，理由如下： ∵为直线上一点，且． ∴，， ∵， ∴， ∴是的平分线； （2）①∵，， ∴， ∴， ∴， 答：的度数为． ②∵， ∴，， 当时，与重合， ∴当时，绕着点O逆时针方向旋转，绕点O顺时针旋转，在的内部，是固定值， 当时，与重合，， ； ∴当时，如图，绕点O逆时针方向旋转，未与重合，绕着点顺时针方向旋转， 此时， ， ∴， ∴此时的大小发生改变； 当时，与重合，， ∴当时，绕点逆时针旋转，绕着点逆时针方向旋转，两者旋转速度相同， ∴的大小不变， ∴此时的值不变； 当时，与重合， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，在外部，和都逐渐减小，因此的值逐渐变小； 当时，与重合，停止旋转，在内部， ， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，在内部，是固定值； 当时，与重合， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，停止旋转，在内部，是固定值； 当时，与重合，停止旋转， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，停止旋转，在外部，和都逐渐变大，逐渐变大； 综上所述，当为固定值时，或或． 22．如图，射线在内部，射线在射线左侧，． (1)当时，试比较与的大小，并说明理由； (2)在（）的条件下，若，射线，分别平分与，求的度数； (3)若，，都在内部，过点作射线，使 ，试探究与的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3)或 【分析】（）由已知可得，进而由余角性质得，即可判断求解； （）由得，，进而由角平分线的定义得，，再根据角的和差关系即可求解； （）由题意得， ，再分两种情况：①在左侧；②在右侧，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，余角性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵射线，分别平分与， ∴，， ∴； （3）解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ①如图，当在左侧时， 设，则， ∴， ∴， ， ∴； ②如图，当在右侧时， 设，则， 同理可得，， ∴； 综上，或 ． 23．直观想象，逻辑推理 已知点O为直线AB上一点． (1)如图，过点O作射线OC，使，求与的度数； (2)如图，射线OC为内部任意一条射线，射线OD、OE分别是、的角平分线，求的度数，并写出简要的推理过程； (3)写出上图中所有互余的角和互补的角． 【答案】(1)∠AOC=108°，∠BOC=72°； (2)90°；过程见详解； (3)互余的角为：∠AOD和∠COE，∠AOD和∠EOB，∠DOC和∠COE，∠DOC和∠EOB；互补的角为：∠AOD和∠DOB，∠DOC和∠DOB，∠AOC和∠BOC，∠BOE和∠AOE，∠COE和∠AOE； 【分析】（1）设∠AOC=3x，∠BOC=2x，列方程求解即可； （2）根据角平分线的定义，求∠DOC和∠COE的和即可； （3）根据余角和补角的定义，等角的余角（补角）相等，结合图形解答； 【详解】（1）解：设∠AOC=3x，∠BOC=2x，由图可得：3x＋2x=180°， 5x=180°， x=36°， ∴∠AOC=3×36°=108°，∠BOC=2×36°=72°； （2）解：由题意可得：∠AOD=∠DOC=∠AOC，∠BOE=∠EOC=∠BOC， ∵∠AOC＋∠BOC=180°， ∴（∠AOC＋∠BOC）=90°， ∴∠DOC＋∠COE=90°， ∴∠DOE=90°； （3）解：由（2）的条件和结论可得： ∵∠AOD＋∠COE=90°，∠AOD＋∠EOB=90°，∠DOC＋∠COE=90°，∠DOC＋∠EOB=90°， ∴互余的角为：∠AOD和∠COE，∠AOD和∠EOB，∠DOC和∠COE，∠DOC和∠EOB； ∵∠AOD＋∠DOB=180°，∠DOC＋∠DOB=180°，∠AOC＋∠BOC=180°，∠BOE＋∠AOE=180°，∠COE＋∠AOE=180°， ∴互补的角为：∠AOD和∠DOB，∠DOC和∠DOB，∠AOC和∠BOC，∠BOE和∠AOE，∠COE和∠AOE； 【点睛】此题考查了一元一次方程方程的应用，角平分线的定义（平分所在的角）；等角的余角（补角）；余角的定义：若两角和为90°则这两个角互余；补角的定义：若两角和为180°则这两个角互补；掌握定义结合图形是解题的关键． 24．阅读下面材料 小聪遇到这样一个问题：如图1，∠AOB＝α，请画一个∠AOC，使∠AOC与∠BOC互补． 小聪是这样思考的：首先通过分析明确射线OC在∠AOB的外部，画出示意图，如图2所示：然后通过构造平角找到∠AOC的补角∠COD． 如图3所示：进而分析要使∠AOC与∠BOC互补，则需∠BOC＝∠COD． 因此，小聪找到了解决问题的方法：反向延长射线OA得到射线OD，利用量角器画出∠BOD的平分线OC，这样就得到了∠BOC与∠AOC互补． (1)根据小聪的画法可知，如图3，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．请说明∠AOC与∠BOC互补的理由； (2)参考小聪的画法，请在图4中画出一个∠AOH，使∠AOH与∠BOH互余（保留画图痕迹）； (3)已知∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ，若∠EPQ＝β（45°＜β＜90°），直接写出锐角∠MPN的度数是　 　． 【答案】(1)理由见解析 (2)见解析 (3)45°或|β﹣45°| 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BOC＝∠COD，根据等角的补角相等即可求得答案； （2）先通过分析明确射线在的外部，作（或）的垂线，再利用量角器画出（或）的平分线即可得； 【详解】（1）如图3中，∵OC平分∠BOD， ∴∠BOC＝∠COD， ∵∠AOC+∠COD＝180°， ∴∠AOC+∠BOC＝180°， 即∠AOC与∠BOC互补； （2）与互余， ， ， 射线在的外部， 先作（或）的垂线，再利用量角器画出（或）的平分线，如图所示： 或 （3）如图， ∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ， ∴∠MPQ＝∠EPQ，∠NPQ＝∠FPQ， ∵∠MPN＝∠MPQ+∠NPQ ＝∠EPQ+∠FPQ ＝∠EPF， ∵∠EPQ和∠FPQ互余， ∴∠EPQ+∠FPQ＝90°， 即∠EPF＝90°， ∴∠MPN＝45°； 如图： ∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ， ∴∠MPQ＝∠EPQ，∠NPQ＝∠FPQ， ∵∠MPN＝|∠MPQ﹣∠NPQ|＝|∠EPQ﹣∠FPQ|， ∵∠EPQ和∠FPQ互余，∠EPQ＝β， ∴∠FPQ＝90°﹣β， ∴∠MPN＝|β﹣∠（90°﹣β）|＝|β﹣45°|， 故答案为：45°或|β﹣45°|． 【点睛】本题考查了画垂线和角平分线、与角平分线有关的计算，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $