专题24 余角和补角（2知识点+5大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

专题24 余角和补角 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 余角、补角的概念 1.余角概念 余角：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 2.补角概念 补角：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补. 知识点01 余角、补角的性质 1.余角的性质：同角或等角的余角相等. 2.补角的性质：同角或等角的补角相等. 【题型1 求一个角的余角】 例题：（24-25七年级下·山东济南·期中）一个角是，则这个角的余角的度数是 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知，那么的余角度数为 ． 2（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知，则的余角大小是 ． 3．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，的余角的大小是 ． 【题型2 求一个角的补角】 例题：（24-25七年级上·湖南郴州·期末）已知，那么的补角等于 ． 【变式训练】 1．（2024七年级上·河南·专题练习）若，则的补角的余角为 ． 2．（2024七年级上·吉林·专题练习）已知点在点的南偏西方向上，点在点的北偏西方向上，则的补角的度数为 ． 3．（24-25七年级上·新疆吐鲁番·期末）若，则的余角等于 ，补角等于 ． 【题型3 利用一元一次方程求余角或补角】 例题：（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知一个角的余角的4倍与这个角的补角的和是，求这个角的度数． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）已知一个角的余角的2倍比它的补角少，求这个角的度数． 2．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）已知与互为邻补角，且比的3倍少，求与的度数． 3．（24-25七年级下·甘肃张掖·阶段练习）已知一个角的余角比这个角的补角的小，求这个角的度数． 【题型4 与余角、补角有关的计算】 例题：（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图，O为直线上一点，平分，． (1)若，求的度数； (2)试判断和有怎样的数量关系，说说你的理由． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山西忻州·阶段练习）如图，已知和都是直角，它们有公共顶点O． (1)若，求的度数． (2)判断和的大小关系，并说明理由． (3)猜想：和有怎样的数量关系，并说明理由． 2．（24-25七年级下·江西抚州·期中）如图，直线与相交于点O，，． (1)图中与互余的角是 与互补的角是 ．（要求把符合条件的角都写出来） (2)如果比的小，求的度数． 3．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）已知，在内部，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，请说明：； (3)如图③，分别作，，其中，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 【题型5 同（等）角的余（补）角相等的应用】 例题：（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知． (1)与是什么关系？为什么？ (2)当与满足什么关系时，与相等？为什么？ 【变式训练】 1．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，将文具盒中的一副三角板的直角顶点重合． (1)若，求的度数； (2)写出以C为顶点的所有相等的角； (3)请找出与之间的数量关系，并说明理由． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，将两块三角板的直角顶点重合． (1)写出以C为顶点的所有相等的角_____________________________． (2)若，求的度数． (3)猜想：与之间的数量关系为___________． 3．（24-25六年级下·山东泰安·期中）在数学综合实践课上，小明将一副直角三角板的直角顶点重合放在一起，如图1．          (1)，则_____． (2)写出图1中相等的角； (3)若变大，如何变化，说明原因； (4)小明受此启发，认为用一副三角板就可以画一个角等于已知角，请你在图2中利用直角三角尺画一个与相等的角． 一、单选题 1．（2025·四川广安·中考真题）若，则的余角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，点在直线上，过点作，射线在内，过点作，则下列结论错误的是（　　） A． B．与互为余角 C． D．与互为补角 3．（2025·北京西城·二模）如图，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北张家口·模拟预测）如图：已知和都是直角，若减小，则下列说法正确的是（   ） A．减小 B．减小 C．减小 D．与的和不变 5．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）如图，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，入射角反射角，这就是光的反射定律.在图中，则是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·山西晋中·期中）如果的余角等于，则的补角等于 ． 7．（24-25七年级下·山东威海·期中）一个角的补角与它的余角的度数之比是，则这个角的度数是 ． 8．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如果和互余，则下列式子中：①；②；③；④能表示补角的是 ．（填序号） 9．（2025七年级下·河南郑州·专题练习）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的补角的度数是 ． 10．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图，已知，是内的一条射线，比大．如果画与互余，那么的度数是 ． 三、解答题 11．（24-25七年级上·吉林·期末）已知一个角比它的余角的5倍小，求这个角的度数． 12．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，点O为直线上一点，在直线的上方画射线，设． (1)当时，求α的余角的度数； (2)若，射线平分，求的度数． 13．（24-25七年级上·山东滨州·期末）如图，直线，相交于点，和互余.是的平分线． (1)请直接写出图中的余角，以及的补角； (2)如果，求的度数． 14．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，直线，相交于点O，以O为观察中心，射线表示正北方向，射线表示正东方向，即，射线，的方向如图所示，且． (1)如图1，若射线的方向为北偏东，则射线的方向为 ； (2)如图2，平分，平分，求证：． 15．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，点是直线上的一点，是任意一条射线，平分，平分． (1)图中的补角为　　． (2)若，求的度数． (3)与存在怎样的数量关系？ 16．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，射线在的内部，射线在的外部，且与互补，． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数； (3)射线满足，写出与的数量关系，并说明理由． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与∠α互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”． (1)若，且在内部，则__°； (2)若恰好平分，请求出的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由． 18．（24-25七年级下·山东济南·期中）【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，； 在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点C转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24 余角和补角 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 余角、补角的概念 1.余角概念 余角：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 2.补角概念 补角：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补. 知识点01 余角、补角的性质 1.余角的性质：同角或等角的余角相等. 2.补角的性质：同角或等角的补角相等. 【题型1 求一个角的余角】 例题：（24-25七年级下·山东济南·期中）一个角是，则这个角的余角的度数是 ． 【答案】/度 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了余角的计算，熟练掌握定义是解题的关键．根据两个角的和为称作互为余角解答即可． 【详解】解：根据题意，得的余角为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知，那么的余角度数为 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了余角，度分秒的换算，解决本题的关键是掌握度、分、秒的换算．根据余角的定义可知的余角为，计算时应首先从中取出化为，然后让分和分相减、度和度相减即可． 【详解】解：的余角为：． 故答案为： ． 2（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知，则的余角大小是 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了互为余角的概念，根据互为余角的两个角的和为作答即可，熟记和为的两个角互为余角是解题的关键． 【详解】解：根据余角定义可得：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，的余角的大小是 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角、三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查了余角的概念和度分秒的计算，关键是求出的度数， 根据，，求出的度数，再根据的余角，即可得出答案． 【详解】解：，， ， 的余角， 故答案为：． 【题型2 求一个角的补角】 例题：（24-25七年级上·湖南郴州·期末）已知，那么的补角等于 ． 【答案】/ 【知识点】求一个角的补角 【分析】本题考查了补角的定义，根据补角的定义即可直接求解，熟练掌握补角的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴的补角等于， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024七年级上·河南·专题练习）若，则的补角的余角为 ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角、求一个角的补角 【分析】本题考查求补角和余角，由互补定义“互补的两个角和为”即可求出的补角，再由互余定义“互余的两个角和为”即可求出的补角的余角．熟记互余、互补定义是解决问题的关键． 【详解】解：， 的补角为， 则的补角的余角为， 故答案为：． 2．（2024七年级上·吉林·专题练习）已知点在点的南偏西方向上，点在点的北偏西方向上，则的补角的度数为 ． 【答案】 【知识点】与方向角有关的计算题、求一个角的补角 【分析】本题考查了方向角，补角的定义，正确画出图形是解题的关键．根据方向角的定义，画出图形得到即可求解． 【详解】如图所示， 所以， 所以的补角为． 故答案为：. 3．（24-25七年级上·新疆吐鲁番·期末）若，则的余角等于 ，补角等于 ． 【答案】 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角，根据余角和补角的定义即可求解，熟练掌握余角和补角的有关计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的余角等于，的补角等于， 故答案为：，． 【题型3 利用一元一次方程求余角或补角】 例题：（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知一个角的余角的4倍与这个角的补角的和是，求这个角的度数． 【答案】 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角，补角，一元一次方程的应用，熟练掌握定义，找出等量关系列出方程是解题的关键．设这个角的度数为，根据这个角的余角的4倍与这个角的补角的和是，列方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数的度数为， 根据题意，得， 解得． 这个角的度数为． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）已知一个角的余角的2倍比它的补角少，求这个角的度数． 【答案】这个角的度数为 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查与余补角有关的计算，设这个角的度数为，根据余补角的定义，结合题意，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为，由题意，得： ， 解得：； 故这个角的度数为． 2．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）已知与互为邻补角，且比的3倍少，求与的度数． 【答案】， 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查角的有关计算，考生需熟知互为邻补角的两个角的和是，能够灵活应用方程求解是解决此题的关键． 根据“比的3倍少”建立与的等量关系式；根据“与互为邻补角”可知，计算即可． 【详解】解：由题可得：， ∴， 解得， ∴． 3．（24-25七年级下·甘肃张掖·阶段练习）已知一个角的余角比这个角的补角的小，求这个角的度数． 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角与补角，一元一次方程的应用，熟记“余角的和等于，补角的和等于”是解题的关键．设这个角的度数为，由一个角的余角比这个角的补角的小建立方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为，由题意得： ， 解得：， ∴这个角的度数为． 【题型4 与余角、补角有关的计算】 例题：（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图，O为直线上一点，平分，． (1)若，求的度数； (2)试判断和有怎样的数量关系，说说你的理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，角平分线的有关计算，补角的计算等知识． （1）根据角平分线的定义得出，再根据补角的定义求解即可． （2）根据角平分线的定义得出，再根据，可得出，，进而可得出． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山西忻州·阶段练习）如图，已知和都是直角，它们有公共顶点O． (1)若，求的度数． (2)判断和的大小关系，并说明理由． (3)猜想：和有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)相等，理由见解析 (3)，理由见解析 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】（1）根据和都是直角，，可得，进而可求的度数； （2）由，，可得； （3）由，可得． 本题考查了角的大小比较，解决本题的关键是掌握余角和补角定义． 【详解】（1）解：∵和都是直角，， ∴ ∴ 答：的度数为． （2）和的大小关系是相等，理由如下： ∵和都是直角 ∴， ∴． （3）．理由如下： ∵， ∴． 2．（24-25七年级下·江西抚州·期中）如图，直线与相交于点O，，． (1)图中与互余的角是 与互补的角是 ．（要求把符合条件的角都写出来） (2)如果比的小，求的度数． 【答案】(1)，；， (2) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角； （1）根据互余及互补的定义，结合图形进行判断即可； （2）设，则，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：图中与互余的角是，； 图中与互补的角是，； （2）解：，， ， 设，则， ， ， 解得 ， ． 3．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）已知，在内部，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，请说明：； (3)如图③，分别作，，其中，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，几何图形中角度的计算等知识点，掌握消元的思想将无关的角消除，得到所求角的数量关系是关键． （1）根据即可得出答案； （2）设，根据平分可得，，然后表示出，再进行求解即可； （3）设，则，根据题意得，，结合，即可得出，，三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：在内部，， ， ， ； （2）解：设， ， 平分， ， ， ， ； （3）解：，，三者之间的数量关系是：，理由如下： 设，则， ， ， 又， ． 【题型5 同（等）角的余（补）角相等的应用】 例题：（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知． (1)与是什么关系？为什么？ (2)当与满足什么关系时，与相等？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补． （1）根据同角的余角相等解答； （2）根据同角的余角相等解答即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，将文具盒中的一副三角板的直角顶点重合． (1)若，求的度数； (2)写出以C为顶点的所有相等的角； (3)请找出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)与互补，理由见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、三角板中角度计算问题 【分析】本题题主要考查了旋转的性质和互补、互余的定义等知识，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠． （1）根据同角的余角相等作答即可； （2）由图直接回答即可； （3）由可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ； （2）解：以C为顶点的所有相等的角有；； （3）解：与互补，理由如下： ∵， ∴与互补； 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，将两块三角板的直角顶点重合． (1)写出以C为顶点的所有相等的角_____________________________． (2)若，求的度数． (3)猜想：与之间的数量关系为___________． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、求一个角的余角、三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，同角的余角相等，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据同角的余角相等求解即可； （2）由图得，求的度数即可； （3）根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ． 3．（24-25六年级下·山东泰安·期中）在数学综合实践课上，小明将一副直角三角板的直角顶点重合放在一起，如图1．          (1)，则_____． (2)写出图1中相等的角； (3)若变大，如何变化，说明原因； (4)小明受此启发，认为用一副三角板就可以画一个角等于已知角，请你在图2中利用直角三角尺画一个与相等的角． 【答案】(1) (2)；； (3)变小，见解析 (4)，图形见解析 【知识点】三角板中角度计算问题、角度的四则运算、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，同角的余角相等，熟练掌握角度的和差关系是解题关键． （1）先求出的度数，根据即可求解； （2）根据题意得，再利用，即可求解； （3）根据即可求解； （4）根据同角的余角相等即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ． 故答案为:． （2）解：根据题意，可得：， ， ． 故答案为：；；． （3）解：由（1）得：， 若的度数变大，则的度数变小． （4）解：如图，，理由如下； ， ，， ． 一、单选题 1．（2025·四川广安·中考真题）若，则的余角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了求一个角的余角，根据余角的定义，若两个角的和为，则这两个角互为余角，即可求解． 【详解】解：已知，则的余角为， 故选：B． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，点在直线上，过点作，射线在内，过点作，则下列结论错误的是（　　） A． B．与互为余角 C． D．与互为补角 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了角的计算比较．熟练掌握余角，补角的定义和性质，角的和差计算，是解题的关键． 根据互余、互补的性质，角的和差关系，结合图形，判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴, ∴， ∴选项正确，不符合题意； B、∵， 即与互为余角 ∴选项正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∴选项不正确，符合题意； D、∵, ∴与互为补角 ∴选项正确，不符合题意． 故选：C． 3．（2025·北京西城·二模）如图，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何图形中角度计算问题、求一个角的余角 【分析】本题主要考查角的和差关系，熟练掌握角的和差关系是解题的关键；由题意可知，求出，由即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2025·河北张家口·模拟预测）如图：已知和都是直角，若减小，则下列说法正确的是（   ） A．减小 B．减小 C．减小 D．与的和不变 【答案】D 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】根据和都是直角，得到，，解答即可． 本题考查了直角的意义，余角的性质，角的和差计算，熟练掌握计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得和都是直角， 故，，， 故减小， A. 增加，本选项错误，不符合题意； B. 增加，本选项错误，不符合题意； C. 增加，本选项错误，不符合题意； D. 与的和不变，本选项正确，符合题意； 故选：D． 5．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）如图，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，入射角反射角，这就是光的反射定律.在图中，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了互余关系，根据垂直知，，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴； 故选：C． 二、填空题 6．（24-25七年级下·山西晋中·期中）如果的余角等于，则的补角等于 ． 【答案】/度 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】根据的余角等于，的补角等于，计算即可． 本题考查了余角，补角的计算，熟练掌握余角，补角的表示法是解题的关键． 【详解】解：根据的余角等于，得， 解得， 故的补角等于， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·山东威海·期中）一个角的补角与它的余角的度数之比是，则这个角的度数是 ． 【答案】 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，设这个角的度数为x，则这个角的余角度数为，补角度数为，根据题意列出等式，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个角的度数为x，则这个角的余角度数为，补角度数为， 由题意得，， 解得， ∴这个角的度数为， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如果和互余，则下列式子中：①；②；③；④能表示补角的是 ．（填序号） 【答案】①④ 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】根据：“和为的两角互余，和为的两角互补”，进行求解即可． 题目主要考查余角和补角的计算，理解题意，进行等量代换是解题关键． 【详解】解：∵和互余， ∴， ∴补角为：，故①正确； ，故④正确； ，故③错误； 无法得出②中结果， 综上：能表示补角的是①④； 故答案为：①④． 9．（2025七年级下·河南郑州·专题练习）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的补角的度数是 ． 【答案】 【知识点】与方向角有关的计算题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角、方向角及其计算，基础性较强． 根据已知条件可直接确定的度数，再根据补角的定义即可求解． 【详解】解：因为是表示北偏东方向的一条射线，是表示南偏东方向的一条射线， 所以， 所以的补角的度数是． 故答案为：． 10．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图，已知，是内的一条射线，比大．如果画与互余，那么的度数是 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查几何图形角度的计算，余角的定义，分两种情况：当在内部时，当在外部时，画出示意图，进而可得出答案． 【详解】解：∵，比大， ∴， ∴， ∴，则， ∵与互余， ∴， ∴， 如图，当在内部时， 则； 如图，当在外部时， 则； 综上，的度数是或， 故答案为：或． 三、解答题 11．（24-25七年级上·吉林·期末）已知一个角比它的余角的5倍小，求这个角的度数． 【答案】 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查余角，一元一次方程的应用，熟练掌握余角的定义：两角的和等于90度，这两角互为余角解决本题的关键． 设这个角的度数为，则它的余角为，根据一个角比它的余角的5倍小，列方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为，则它的余角为， 由题意得，， 解得：， 答：这个角的度数为． 12．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，点O为直线上一点，在直线的上方画射线，设． (1)当时，求α的余角的度数； (2)若，射线平分，求的度数． 【答案】(1) (2)65° 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】此题主要考查了互为余角的定义，角平分线的定义，角度的计算，理解互为余角的定义，角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）根据互为余角的定义求出α的余角的度数即可； （2）依题意得画出图形，先求出，再根据角平分线的定义即可求出的度数． 【详解】（1）解：当时， α的余角的度数为：； （2）如图所示： ∵， ∴， ∵射线平分， ∴ 13．（24-25七年级上·山东滨州·期末）如图，直线，相交于点，和互余.是的平分线． (1)请直接写出图中的余角，以及的补角； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)的余角是，的补角是 (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义，余角和补角，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据余角的定义得到，即可得到，即可求出的余角；然后根据平角的定义得到的补角解题； （2）先根据余角求出，然后根据角平分线得到，再根据平角求出，最后利用余角解题即可． 【详解】（1）解：∵和互余， ∴， ∴，即的余角是； ∵， ∴的补角是； （2）解：∵，， ∴， 又∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，直线，相交于点O，以O为观察中心，射线表示正北方向，射线表示正东方向，即，射线，的方向如图所示，且． (1)如图1，若射线的方向为北偏东，则射线的方向为 ； (2)如图2，平分，平分，求证：． 【答案】(1)南偏东 (2)详见解析 【知识点】与方向角有关的计算题、角平分线的有关计算、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查角平分线的定义、互为余角的定义、平角定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义、互为余角的定义、平角定义进行计算即可； （2）根据角平分线的定义、平角的定义，得出，进而推出，由已知，通过等量代换即可解答． 【详解】（1）解：，， ， 即的方向是南偏东； （2）平分，平分， ，， ， ， 又，， ． 15．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，点是直线上的一点，是任意一条射线，平分，平分． (1)图中的补角为　　． (2)若，求的度数． (3)与存在怎样的数量关系？ 【答案】(1) (2) (3)与互余 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、求一个角的补角 【分析】本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解题的关键． （1）根据互为补角的和等于找出即可； （2）先求出的度数，再根据角平分线的定义解答； （3）根据角平分线的定义表示出与，然后整理即可得解． 【详解】（1）解：的补角为 故答案为： （2）解：， ， 平分， ； （3）解：与互余或， 证明：， ， 与互余． 16．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，射线在的内部，射线在的外部，且与互补，． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数； (3)射线满足，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，补角定义，几何图形中角的计算．理清角度之间的数量关系，和差关系，是解题的关键． （1）根据，得出，根据与互补，求出，根据，求出结果即可； （2）根据角平分线定义，求出结果即可； （3）分两种情况：当在内部时，当在外部时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵与互补， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：根据（1）可知：， ∵平分， ∴； （3）解：，理由如下： 当在内部时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴； 当在外部时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴； 综上可知：． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与∠α互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”． (1)若，且在内部，则__°； (2)若恰好平分，请求出的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)64 (2) (3)或，见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了补角的定义和性质，角平分线的定义，角的和差关系，根据题意，画出图形是解题的关键． （1）画出相应的图形，由角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可； （2）根据平角的定义以及角平分线的定义进行计算即可； （3）分（1）中的两种情况进行解答，分别用表示，进而解答即可． 【详解】（1）如图1，由于射线是的“好线”， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ 故答案为：64； （2）若恰好平分， ∴ ∴ （3）或，理由如下： 如图2﹣1，由于射线是的“好线”， 当时， ∵， ∴ ∵是的平分线， ∴ ∴是的平分线， ∴， ∴ ∴， 如图2﹣2，由于射线是的“好线” 当时， ∵， ∴， ∴ ∴ 综上所述或． 18．（24-25七年级下·山东济南·期中）【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，； 在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点C转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 【答案】（1）②③，④；（2）①，② 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查几何图形中角的计算，角平分线定义，三角板中角的计算，补角的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，注意进行分类讨论． （1）分别求出图1中各个图中、的关系，然后进行判断即可； （2）①根据角平分线定义得出，然后再求出结果即可； ②根据角平分线定义得出，，根据，求出结果即可； 【详解】解：（1）图①中； 图②中； 图③中， ∴； 图④中； ∴与相等的摆法是②③；与互补的摆法是④； （2）①∵平分， ∴， ∴； ②∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 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