第二单元 圆柱和圆锥（知识清单）数学苏教版六年级下册

第二单元 圆柱和圆锥 单元知识清单讲义 知识点一：圆柱和圆锥的认识 1、圆柱体简称圆柱，它由两个底面和一个侧面三部分组成。圆柱的上、下两个面叫作底面，底面是两个完全相同的圆。围成圆柱的曲面叫作侧面，圆柱两个底面之间的距离叫作高。 2、圆锥体简称圆锥，它由一个底面和一个侧面两部分组成，圆锥有一个顶点。圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 3、圆柱和圆锥的特征比较。 知识点二：圆柱的侧面积和表面积 1、圆柱侧面积。 把圆柱的侧面沿高展开后得到一个长方形(当圆柱的底面周长和高相等时，圆柱的侧面沿高展开后是一个正方形)，这个长方形的长(或宽)等于圆柱的底面周长，宽(或长)等于圆柱的高，因为长方形的面积=长x宽，所以圆柱的侧面积=底面周长×高，即S侧=Ch=πdh=2πrh 2、圆柱表面积。 圆柱的侧面积与两个底面积的和，叫作圆柱的表面积。 圆柱的底面积=πr2 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2 圆柱表面积的字母公式是S表=S侧+2S底=2πrh+2πr2 知识点三：圆柱的体积 1、圆柱体积计算公式的推导。 圆柱的体积和拼成的长方体的体积相等，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。 长方体的体积=底面积×高 圆柱的体积=底面积×高 如果V表示圆柱的体积，S表示圆柱的底面积，h表示圆柱的高，那么圆柱的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 知识点四：圆锥的体积 1、圆锥的体积计算公式。 圆锥的体积=底面积×高×，圆锥的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 2、圆柱和圆锥的关系。 （1）等底等高的圆柱与圆锥的体积比是3∶1，即圆柱的体积比圆锥的体积多2倍，也可以说圆锥的体积比圆柱的体积。 （2）等体积等高的圆柱与圆锥的底面积的比是1∶3。 （3）等体积等底面积的圆柱与圆锥的高的比是1∶3。 掌握好圆柱体积和圆锥体积的关系，能够相互运用求其中一个。 题型1：圆柱的认识 【例1】高10厘米的圆柱体从正面看是一个正方形，说明这个圆柱体的（    ）也是10厘米。 A．底面半径 B．底面直径 C．底面周长 D．底面积 【答案】B 【分析】 如图：，从圆柱的正面可以看到圆柱的高度和圆柱的宽度，而圆柱的宽度刚好等于圆柱的底面直径，正方形的边长相等，所以圆柱的底面直径等于圆柱的高，据此解答。 【解答】根据分析可知，高10厘米的圆柱体从正面看是一个正方形，说明这个圆柱体的底面直径也是10厘米。 故答案为：B 【练1】小明家中有一个底面半径是4厘米、高18厘米的圆柱形物体，这个物体可能是（    ）。 A．水桶 B．固体胶 C．不锈钢茶杯 D．牙签盒 【答案】C 【分析】 如图，根据圆柱的认识，以及生活经验，逐项进行分析即可。 【解答】A．水桶没有这么小，水桶底面半径大约是20厘米、高40厘米，不符合题意； B．固体胶没有这么大，固体胶底面半径大约是1厘米、高10厘米，不符合题意； C．不锈钢茶杯有可能底面半径是4厘米、高18厘米，符合题意； D．牙签盒没有这么大，牙签盒底面半径大约是2厘米、高8厘米，不符合题意。 故答案为：C 【练2】根据下图物体的相关数据，联系生活想象一下，它可能是（    ）。 A．电池 B．水桶 C．水杯 【答案】C 【分析】图中是一个圆柱，圆柱的底面直径是60mm，高是180mm。60mm＝6cm，180mm＝18cm，据此逐项分析。 【解答】A．电池的底面直径大多是1cm到3cm，长度大多是10cm以下，这个圆柱的数据太大，不符合题意； B．水桶的底面直径应大于6cm，高应大于18cm，这个圆柱的数据太小，不符合题意； C．底面直径6cm，高18cm，符合水杯的特点，则这个圆柱可能是水杯。 故答案为：C 题型2：圆锥的认识 【例2】海海用如图所示的方法测量圆锥，量出长度是6cm，可见圆锥的高（    ）。 A．等于6cm B．大于6cm C．小于6cm D．无法确定 【答案】C 【分析】根据圆锥的高的含义：从圆锥顶点到底面圆心的距离就是圆锥的高；并结合圆锥高的测量方法进行解答即可。 【解答】如图，圆锥的高是指顶点到圆心的距离，因此图示中的圆锥的高要小于6cm。 故答案为：C 【练3】将一个圆锥如图所示切开，剖面一定是一个（    ）三角形。 A．等边 B．直角 C．锐角 D．等腰 【答案】D 【分析】圆锥是由一个底面（圆）和一个曲面（侧面）组成的；圆锥从顶点到底面圆心的距离就是圆锥的高；当我们沿着圆锥的高把它切开时，切面会经过圆锥的顶点和底面圆上的两个点，这样就形成了一个三角形；圆锥的顶点到底面圆周上的任意一点的距离相等，也就是说形成的三角形的两条边相等，即剖面是有两条边相等的三角形，这样的三角形是等腰三角形。 【解答】由分析可知：将一个圆锥如图所示切开，剖面一定是一个等腰三角形。 故答案为：D 【练4】从上面看下边的图形，可以看到（    ）。 A． B．C． D． 【答案】D 【分析】圆柱从上面看，可以看到一个圆形。圆锥从上面看，也可以看到一个圆形，并且能看到圆心。据此解题。 【解答】 从上面看，可以看到。 故答案为：D 题型3：圆柱的展开图 【例3】如图所示图形中是圆柱平面展开图的是（    ）（单位：cm）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】圆柱平面展开图由两个相同的圆和一个长方形组成，其中长方形的长等于圆的周长。据此分别计算各选项中圆的周长是否等于长方形的长即可判断。 【解答】 A．3.14×4＝12.56（cm），12.56≠15，所以不是圆柱平面展开图； B．3.14×3＝9.42（cm），9.42≠3，所以不是圆柱平面展开图； C．3.14×3＝9.42（cm），9.42＝9.42，所以是圆柱平面展开图。 故答案为：C 【练5】把一个底面直径2厘米，高3厘米的圆柱展开图画在方格纸（边长为1厘米）上，下面画法正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意圆柱的展开图是由两个圆形和一个长方形组成，底面圆的直径为2厘米，长方形的长＝圆柱的底面周长，长方形的宽＝高，再逐项对比找出符合条件的即可。 【解答】根据分析正确圆柱展开图中：底面直径2厘米，侧面的长为：2×3.14＝6.28（厘米），高＝侧面宽＝3厘米； A．展开图的底面直径2厘米，侧面的长为3厘米，宽为2厘米，与题意不符； B．展开图的底面直径2厘米，侧面的长为4厘米，宽为3厘米，与题意不符； C．展开图的底面直径2厘米，侧面的长为6厘米，宽为3厘米，与题意不符； D．展开图的底面直径2厘米，侧面的长为6.28厘米，宽为3厘米，符合题意。 故答案为：D 【练6】下面是圆柱的展开图，现将上、下两个底面沿直径平均分成若干份，转化成长方形与侧面拼接，下面（    ）可能是拼接后的图形。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆柱侧面沿高展开是个长方形，长方形的长＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱的高，将圆剪拼成长方形，长方形的长＝圆周长的一半，两个长方形的长＝圆柱底面周长，因此将上下两个底剪拼成长方形，与圆柱侧面拼接，刚好与侧面展开图的长拼到一起，组成一个大长方形，据此分析。 【解答】A．两个长方形的长＝圆柱底面周长，不可能是选项拼接的样子； B．一个底面拼成的长方形的长＝底面周长的一半，不可能是选项拼接的样子； C．两个长方形的长＝圆柱底面周长，可能是选项拼接后的样子； D．一个底面拼成的长方形的长＝底面周长的一半，不可能是选项拼接的样子。 可能是拼接后的图形。 故答案为：C 题型4：圆柱的侧面积 【例4】一块面积为6.28dm2的纸板，围成一个底面直径为2dm的圆柱形纸筒（无重叠），它的高是（ ）dm。 【答案】1 【分析】由题意可知，圆柱的侧面积为，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，用圆柱的侧面积除以底面周长，即可求出圆柱的高。 【解答】 它的高是1dm。 【练7】如下图，有一张长方形铁皮，按下面方式进行裁切后，恰好可以做成一个圆柱，那么做成的圆柱的侧面积是（ ）平方厘米。 【答案】50.24 【分析】圆柱的侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。 从图中可知，圆柱底面圆的半径r＝2厘米，根据圆的周长公式C＝2πr（π取3.14），可算出底面周长为12.56厘米；同时，长方形铁皮的宽就是圆柱的高，这里圆柱的高h等于底面圆的直径，即2×2＝4厘米。圆柱侧面积公式为S＝Ch（C是底面周长，h是高），C＝12.56厘米，h＝4厘米，把数据代入公式计算即可。 【解答】2×2＝4（厘米） 2×3.14×2＝12.56（厘米） 12.56×4＝50.24（平方厘米） 做成的圆柱的侧面积是50.24平方厘米。 【练8】妈妈的水杯放在桌子上（如下图），水杯上的装饰带是园园怕烫伤妈妈的手而特意贴上的。这圈装饰带宽8cm，它的面积是多少平方厘米？ 【答案】150.72平方厘米 【分析】由图可知，这圈装饰带的面积等于底面直径是6厘米，高是8厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积（d表示直径，h表示高），列式解答即可。 【解答】 （平方厘米） 答：它的面积是150.72平方厘米。 题型5：圆柱的表面积 【例5】一个圆柱的底面半径是3cm，高是6cm，它的一个底面的面积是（ ）cm2，它的侧面积是（ ）cm2，表面积是（ ）cm2。 【答案】28.26 113.04 169.56 【分析】根据圆的面积＝，圆柱侧面积＝底面周长×高，圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，进行计算即可。 【解答】（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 所以它的一个底面的面积是28.26平方厘米，它的侧面积是113.04平方厘米，表面积是169.56平方厘米。 【练9】小明从图中剪下阴影部分制作成了一个笔筒，则笔筒的高是（ ）厘米，制作这个笔筒用了（ ）平方厘米的硬纸板。 【答案】12 455.3 【分析】长方形的长是笔筒的底面周长，宽是笔筒的底面直径与高的和。这个笔筒的底面直径是（31.4÷3.14）厘米，这张纸的宽度减去这个笔筒的底面直径，即可算出这个笔筒的高是多少厘米。圆柱侧面积＝底面周长×高，把数据代入即可算出这个笔筒的侧面积是多少平方厘米。笔筒的底面积加上侧面积，即可算出制作这个笔筒用了多少平方厘米的硬纸板。 【解答】31.4÷3.14＝10（厘米） 22－10＝12（厘米） 31.4×12＝376.8（平方厘米） 3.14×（10÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 78.5＋376.8＝455.3（平方厘米） 笔筒的高是12厘米，制作这个笔筒用了455.3平方厘米的硬纸板。 【练10】乐乐过生日，妈妈做了一个三层蛋糕（如下图）。每层的高是6cm，底面半径分别是10cm，8cm，6cm，蛋糕表面抹上奶油（不包括底面）。抹奶油部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】1218.32cm2 【分析】圆柱的侧面积＝π×半径×2×高、底面积＝π×半径2，抹奶油部分是三个圆柱侧面积加一个底面积，根据公式代入计算即可。 【解答】下层侧面积：3.14×10×2×6＝376.8（cm2） 中层侧面积：3.14×8×2×6＝301.44（cm2） 上层侧面积：3.14×6×2×6＝226.08（cm2） 大圆的面积：3.14×102＝314（cm2） 抹奶油部分面积：376.8＋301.44＋226.08＋314＝1218.32（cm2） 答：抹奶油部分的面积是1218.32平方厘米。 题型6：圆柱的表面积计算 【例6】求圆柱的表面积。 【答案】100.48平方分米 【分析】根据，，据此解答。 【解答】 （平方分米） 圆柱的表面积是100.48平方分米。 【练11】求下列圆柱的表面积。 【答案】1099平方厘米 【分析】根据题意可知：，，圆柱底面积：，根据直径，先利用直径÷2＝半径，代入公式计算出底面积，再求侧面积，进而求出圆柱的表面积，据此解答。 【解答】（厘米） 圆柱的2个底面积：（平方厘米） 圆柱的侧面积：（平方厘米） 圆柱的表面积：（平方厘米 ） 所以圆柱的表面积是1099平方厘米。 【练12】计算圆柱的表面积（单位：厘米）。 【答案】226.08平方厘米 【分析】根据半径＝直径÷2，，圆柱的侧面积公式，圆的面积公式，代入数据计算即可。 【解答】 （平方厘米） 题型7：含圆柱组合体的表面积 【例7】计算下面图形的表面积。（单位：cm） 【答案】151.62平方厘米 【分析】所给图形是一个半圆柱，它的表面积是一个圆柱的表面积的一半加一个长方形的面积。根据，，圆的周长，圆的面积，长方形的面积＝长宽，代入数据解答即可。 【解答】长方形的面积：（平方厘米） 圆柱的侧面积：（平方厘米） 圆柱的表面积：                                                   （平方厘米） 所给图形的表面积：                                                               （平方厘米） 所以该图形的表面积151.62平方厘米。 【练13】计算下面立体图形的表面积。                【答案】平方厘米 【分析】如图所示，这是由一个底面半径为3厘米，高为5厘米的圆柱和一个棱长为8厘米的正方体组成的立体图形，求立体图形的表面积，则根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，分别求出圆柱的侧面积和正方体的表面积，再相加，即可得到立体图形的表面积。 【解答】圆柱的侧面积：（平方厘米） 正方体的表面积：（平方厘米） 立体图形的表面积：（平方厘米） 立体图形的表面积是478.2平方厘米。 【练14】求下面图形的表面积。 【答案】471平方厘米 【分析】由图可知，组合体的表面积＝大圆柱的表面积＋小圆柱的侧面积，“”“”把图中的数据代入公式计算，据此解答。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝150×3.14 ＝471（平方厘米） 所以，组合体的表面积是471平方厘米。 题型8：圆柱的体积计算 【例8】计算下面圆柱的体积。 【答案】339.12立方厘米 【分析】根据题意可知，圆柱的底面周长是37.68厘米，底面周长除以2π可得底面半径，由可得底面积，用圆柱的底面积乘高即可求得体积。 【解答】 （厘米） （立方厘米） 圆柱的体积为339.12立方厘米。 【练15】计算下面圆柱的体积。 【答案】100.48立方分米 【分析】已知圆柱的半径和高，根据圆柱体积计算公式“”即可解答。 【解答】 （立方分米） 圆柱的体积是立方分米。 【练16】计算下图围成的圆柱的体积。 【答案】169.56立方厘米 【分析】设圆柱底面直径为d厘米。因为底面圆的周长为d，且长方形的长 24.84厘米是底面圆的周长与直径的和，所以可得方程d＋d＝24.84，解方程求出直径，再用直径除以2求出半径，又知圆柱的高等于直径的长，根据圆柱的体积＝h，代入数据计算即可求出圆柱的体积。 【解答】解：设圆柱底面直径为d厘米。 3.14d＋d＝24.84 （3.14＋1）d＝24.84 4.14d＝24.84 4.14d÷4.14＝24.84÷4.14 d＝6 6÷2＝3（厘米） 3.14××6 ＝3.14×9×6 ＝28.26×6 ＝169.56（立方厘米） 题型9：含圆柱组合体的体积计算 【例9】求下面图形的体积。（单位：cm） 【答案】7822.5cm3 【分析】该图形可看作一个长方体挖去一个半圆柱得到的，因此体积＝长方体体积－圆柱体积÷2。长方体的长为30cm，宽为20cm，高为15cm，长方体体积公式为：体积＝长×宽×高，把数据代入计算得出长方体的体积。 圆柱的底面直径为10cm，则半径为10÷2＝5cm，高就是长方体的长30cm。圆柱体积公式为：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入计算后再除以2得出半圆柱体积。然后用长方体体积减半圆柱体积即可。 【解答】30×20×15＝9000（cm3） 10÷2＝5（cm） 3.14×52×30÷2 ＝3.14×25×30÷2 ＝78.5×30÷2 ＝2355÷2 ＝1177.5（cm3） 9000－1177.5＝7822.5（cm3） 该图形的体积是7822.5cm3。 【练17】求出下面圆柱体空心钢管的体积。（单位：厘米） 【答案】2512立方厘米 【分析】由图可知，大圆柱的底面直径是12厘米，小圆柱的底面直径是8厘米，它们的高都是40厘米，，圆柱体空心钢管的体积＝大圆柱的体积－小圆柱的体积，据此解答。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝800×3.14 ＝2512（立方厘米） 所以，圆柱体空心钢管的体积是2512立方厘米。 【练18】计算下面图形的体积。 【答案】429.44立方分米 【分析】这个图形包括圆柱和长方体两部分： 圆柱体的高为6分米，底面圆直径为8分米，，代入数据即可求出圆柱体体积； 长方体的长为8分米，宽为8分米，高为2分米，，代入数据即可求出长方体的体积； 将二者的体积加在一起即可求出图形的体积。 【解答】 （立方分米） （立方分米） 301.44＋128＝429.44（立方分米） 即这个图形的体积为429.44立方分米。 题型10：圆柱的体积 【例10】一个圆柱的底面积是30cm2，高是3cm，这个圆柱的体积是（ ）cm3。 【答案】90 【分析】根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】（立方厘米） 这个圆柱的体积是90立方厘米。 【练19】一个圆柱形桶装满油，把桶里的油倒出后，还剩24立方分米。油桶底面积是20平方分米，油桶的高度是多少分米？ 【答案】3.6分米 【分析】将桶的容积看作单位“1”，把桶里的油倒出后，还剩（1－），还剩的油的体积÷对应分率＝桶的容积，根据圆柱的高＝体积÷底面积，列式解答即可。 【解答】24÷（1－） ＝24÷ ＝24×3 ＝72（立方分米） 72÷20＝3.6（分米） 答：油桶的高度是3.6分米。 【练20】小红在景区超市给妈妈买了一个茶杯（如图所示）。 （1）为防止烫伤，小红特地给茶杯中部贴上一圈花纹装饰带，装饰带宽5厘米，这一圈装饰带至少有多少平方厘米？（接头处忽略不计） （2）这只茶杯装满水后的体积是多少？ 【答案】（1）94.2平方厘米； （2）423.9立方厘米 【分析】（1）求这一圈装饰带的面积就是求圆柱的侧面积，由图可知，圆柱的底面直径是6厘米，高是5厘米，利用“”求出装饰带的面积； （2）由图可知，圆柱的底面直径是6厘米，高是15厘米，利用“”求出这只茶杯装满水后的体积，据此解答。 【解答】（1）3.14×6×5 ＝18.84×5 ＝94.2（平方厘米） 答：这一圈装饰带至少有94.2平方厘米。 （2）3.14×（6÷2）2×15 ＝3.14×32×15 ＝3.14×9×15 ＝28.26×15 ＝423.9（立方厘米） 答：这只茶杯装满水后的体积是423.9立方厘米。 题型11：圆柱的容积 【例11】如图，一个饮料瓶的内直径是8厘米，这个饮料瓶的容积（ ）毫升。 【答案】1004.8 【分析】观察图可知，这个饮料瓶的容积＝左图中饮料的体积＋右图中上面圆柱空气部分的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出两部分的体积，再相加，求出这个饮料瓶的体积，再换成毫升，即可解答。 【解答】3.14×（8÷2）2×14＋3.14×（8÷2）2×6 ＝3.14×42×14＋3.14×42×6 ＝3.14×16×14＋3.14×16×6 ＝50.24×14＋50.24×6 ＝703.36＋301.44 ＝1004.8（立方厘米） 1004.8立方厘米＝1004.8毫升 如图，一个饮料瓶的内直径是8厘米，这个饮料瓶的容积1004.8毫升。 【练21】如图所示，利用图中的阴影部分刚好能做成一个圆柱形的油桶（接头处忽略不计），这个油桶的底面直径是（ ）dm，油桶的容积是（ ）L。 【答案】6 169.56 【分析】通过观察图形可知，这个油桶的底面周长和底面直径的2倍的和是30.84dm，油桶的高等于圆柱的底面直径，设圆柱油桶的底面直径为厘米，根据圆的周长公式：，底面周长＋直径×2＝30.84dm，列出方程可以求出圆柱的底面直径，再根据圆柱的容积（体积）公式：，把数据代入公式求出油桶的容积。 【解答】解：设圆柱油桶的底面直径为分米。 （立方分米） ＝169.56（升） 这个油桶的底面直径是6分米，油桶的容积是169.56升。 【练22】一个圆柱形茶杯，从里面量，高14厘米，底面直径为8厘米。这个茶杯最多能装多少毫升水？（π取3） 【答案】672毫升 【分析】根据圆柱的体积（容积）：V＝Sh＝πr2h，以及1毫升＝1立方厘米，代入数据计算，即可求出这个圆柱形茶杯的容积，即最多能装多少毫升水。 【解答】（8÷2）2×3×14 ＝42×3×14 ＝16×3×14 ＝672（立方厘米） 672立方厘米＝672毫升 答：这个茶杯最多能装672毫升的水。 题型12：圆柱的切拼问题 【例12】把一个高10厘米的圆柱平均分成若干份，拼成一个近似的长方体，表面积增加了80平方厘米，这个圆柱的体积（ ）立方厘米。 【答案】502.4 【分析】将一个圆柱切开后拼成一个近似的长方体，拼成的长方体表面积比圆柱多了左右两个长方形的面积，这两个长方形的长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面半径；已知圆柱的高是10厘米，表面积增加了80平方厘米，先用增加的表面积除以2计算出1个长方形的面积，再除以高就是圆柱的底面半径；最后根据圆柱的体积公式计算出圆柱的体积。 【解答】80÷2÷10 ＝40÷10 ＝4（厘米） 3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（立方厘米） 所以这个圆柱的体积是502.4立方厘米。 【练23】一根圆木长1.5米，如果把它截成等长的3段小圆木后，表面积增加了113.04平方分米。每段小圆木的底面半径是（ ）分米，体积是（ ）立方分米。 【答案】3 141.3 【分析】根据题意，把一根圆木截成等长的3段小圆木后，表面积增加了113.04平方分米，增加的表面积是圆木的4个底面圆的面积；用增加的表面积除以4，即可求出圆木的底面积； 根据圆的面积公式S＝πr2可知，r2＝S÷π，据此求出圆木底面半径的平方，进而得出圆木的底面半径； 因为圆木平均分成3段小圆木，用原来圆木的高除以3，即是每段小圆木的高；再根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出每段小圆木的体积。注意单位的换算：1米＝10分米。 【解答】1.5米＝15分米 圆木的底面积：113.04÷4＝28.26（平方分米） 圆木底面半径的平方：28.26÷3.14＝9（平方分米） 因为9＝3×3，所以圆木的底面半径是3分米； 圆木的体积： 28.26×（15÷3） ＝28.26×5 ＝141.3（立方分米） 每段小圆木的底面半径是（3）分米，体积是（141.3）立方分米。 【练24】一根圆柱形木料，如果按图①所示的方式切成完全相同的4块，表面积会增加600cm2；如果按图②所示的方式切成完全相同的3块，表面积会增加314cm2。求这根木料的体积。 【答案】1177.5立方厘米 【分析】按图②的切法相当于增加了4个底面面积，用增加的面积除以4就是底面面积，根据底面积求出圆柱底面半径；按图①的切法，增加了8个长为圆柱高，宽为圆柱底面半径的长方形，据此可求出圆柱的高，根据圆柱的体积求出这根木料的体积即可。 【解答】（平方厘米） （平方厘米） 因为，所以底面半径为5厘米。 （平方厘米） 圆柱的高：（厘米） （立方厘米） 答：这块木料的体积是1177.5立方厘米。 题型13：圆柱和圆锥体积的关系 【例13】一个圆锥和一个与它等底等高的圆柱的体积和是30立方分米，这个圆锥的体积是（    ）立方分米。 A．10 B．15 C．20 D．7.5 【答案】D 【分析】当圆锥和圆柱等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，即圆锥的体积是1份，圆柱的体积是3份，体积和（30立方分米）就是3＋1＝4份，那么体积和÷4即可求出1份，也就是圆锥的体积。 【解答】30÷（3＋1） ＝30÷4 ＝7.5（立方分米） 这个圆锥的体积是7.5立方分米。 故答案为：D 【练25】小明做了1个圆柱和3个圆锥，规格如下图（单位：厘米），将圆柱里的水倒入圆锥（    ），正好倒满。 A． B． C． 【答案】A 【分析】圆柱的体积＝底面积×高＝πr2h，圆锥的体积＝底面积×高×＝πr2h，据此分别求出圆柱里水的体积和三个圆锥的体积，再进行比较即可解答。 【解答】3.14×（10÷2）2×6 ＝3.14×52×6 ＝3.14×25×6 ＝471（立方厘米） A.3.14×（10÷2）2×18× ＝3.14×52×18× ＝3.14×25×6 ＝471（立方厘米） B.3.14×（12÷2）2×18× ＝3.14×62×18× ＝3.14×36×6 ＝678.24（立方厘米） C.3.14×（10÷2）2×15× ＝3.14×52×15× ＝3.14×25×5 ＝392.5（立方厘米） 则将圆柱里的水倒入圆锥，正好倒满。 故答案为：A 【练26】如下图（单位：厘米），下面说法正确的是（    ）。 A．②号体积与①号体积的比是1∶3 B．③号底面积是②号底面积的 C．④号体积是⑤号体积的3倍 D．④号体积与①号体积相等 【答案】D 【分析】根据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高÷3，逐项分析即可。 【解答】A．②圆柱与①圆锥等底等高，等底等高的圆柱是圆锥体积的3倍，故②号体积与①号体积的比是3∶1，故A选项错误； B．③底面直径是3cm，半径是3÷2＝1.5cm，②底面直径是9cm，半径是9÷2＝4.5cm，底面积＝3.14×r2，③的底面积是3.14×1.52＝3.14×2.25平方厘米，②的底面积是3.14×4.52＝3.14×20.25平方厘米，③号底面积是②号底面积的（3.14×2.25）÷（3.14×20.25）＝，故B选项错误； C．④和⑤高相同，底面直径分别是9cm和3cm，④的底面半径是⑤的底面半径的3倍，故④的底面积是⑤底面积的9倍，④号体积是⑤号体积的9倍，故C选项错误； D．④号圆柱底面直径是9，高是4，①号圆锥底面直径是9，高是12，④和①底面积相同，④号体积＝底面积×4，①号体积＝底面积×12÷3，故④号和①号体积相同。 故答案为：D 题型14：圆锥的体积或容积 【例14】一个圆锥形小麦堆，底面周长是12.56米，高1.5米。如果每立方米小麦大约重700千克，这堆小麦大约重（ ）吨。（得数保留一位小数） 【答案】4.4 【分析】分析题目，先根据圆的半径＝C÷π÷2求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积＝πr2h求出圆锥的体积，再用圆锥的体积乘每立方米小麦的质量，最后根据1吨＝1000千克把单位换算成吨；注意：结果根据“四舍五入”法保留一位小数。 【解答】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） 3.14×22×1.5× ＝3.14×4×1.5× ＝12.56×1.5× ＝18.84× ＝6.28（立方米） 6.28×700＝4396（千克） 4396千克＝4.396吨 4.396吨≈4.4吨 一个圆锥形小麦堆，底面周长是12.56米，高1.5米。如果每立方米小麦大约重700千克，这堆小麦大约重4.4吨。（得数保留一位小数） 【练27】一辆货车的车厢是一个长方体，长8m，宽2m，高1.5m。装满一车沙，卸车后沙子堆成了一个高是12dm的圆锥形沙堆。这个沙堆的占地面积是多少平方米？ 【答案】60平方米 【分析】这个长方体车厢的体积即为沙子的总体积，也就是堆成的圆锥形沙堆的体积，根据公式：长方体体积＝长×宽×高即可求出；要求沙堆的占地面积，也就是求圆锥的底面积，圆锥底面积＝沙子的总体积÷÷高，据此即可解答。 【解答】 （立方米） （平方米） 答：这个沙堆的占地面积是60平方米。 【练28】一个圆锥体的底面周长是12.56分米，高6分米。 （1）这个圆锥体所占的空间是多少立方分米？ （2）如果给这个圆锥形物体做一个长方体的包装盒，至少要多少平方分米的硬纸板？ 【答案】（1）25.12立方分米 （2）128平方分米 【分析】（1）先根据底面周长公式C＝求出底面半径；再根据圆锥体积公式V＝求出圆锥体所占空间； （2）要使长方体包装盒最小，其长和宽应等于圆锥的底面直径，高应等于圆锥的高。根据底面周长公式C＝求出底面直径；再根据长方体的表面积公式S＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2计算所需要的硬纸板。 【解答】（1）×3.14×（12.56÷3.14÷2）2×6 ＝×3.14×4×6 ＝25.12（立方分米） 答：这个圆锥体所占的空间是25.12立方分米。 （2）12.56÷3.14＝4（分米） （4×4＋4×6＋4×6）×2 ＝（16＋24＋24）×2 ＝64×2 ＝128（平方分米） 答：至少要128平方分米的硬纸板。 题型15：圆锥的体积计算 【例15】求圆锥的体积。 【答案】 【分析】已知圆锥底面圆的半径为0.5m，高为0.9m，根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式进行计算即可。 【解答】 （） 圆锥的体积为。 【练29】以BC为轴把直角三角形旋转一周，计算旋转后图形体积。 【答案】37.68立方厘米 【分析】根据题意旋转后形成一个圆锥，其底面半径是3厘米，高是4厘米，根据V＝πr2h÷3计算解答。 【解答】3.14×32×4÷3 ＝3.14×9×4÷3 ＝113.04÷3 ＝37.68（立方厘米） 故旋转后的立体图形体积是37.68立方厘米。 【练30】计算下列圆锥的体积。 【答案】12 dm3；200.96 cm3；0.7536 m3 【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高×＝，把数据代入公式即可求解。 【解答】（1）8×4.5× ＝36× ＝12（dm3） 所以这个圆锥的体积是12 dm3。 （2）3.14×42×12× ＝3.14×16×12× ＝200.96（cm3） 所以这个圆锥的体积是200.96 cm3。 （3）3.14×（1.2÷2）2×2× ＝3.14×0.62×2× ＝3.14×0.36×2× ＝1.1304×2× ＝2.2608× ＝0.7536（m3） 所以这个圆锥的体积是0.7536 m3。 题型16：含圆锥的组合体的体积 【例16】求出下面图形的体积。 【答案】549.5m3 【分析】组合图形的体积＝底面直径是10m，高是6m的圆柱的体积＋底面直径是10m，高是（9－6）m的圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【解答】3.14×（10÷2）2×6＋3.14×（10÷2）2×（9－6）× ＝3.14×52×6＋3.14×52×3× ＝3.14×25×6＋3.14×25×3× ＝78.5×6＋78.5×3× ＝471＋78.5 ＝549.5（m3） 组合体的体积是549.5m3。 【练31】在一个圆柱中挖去了一个圆锥（如图），求剩下图形的体积（单位：厘米）。 【答案】401.92立方厘米 【分析】剩下图形的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积。圆柱的体积：V＝sh＝πr2h，圆锥的体积：V＝sh＝πr2h，分别代入数据计算，求出体积再相减即可。 【解答】（8÷2）2×3.14×10－×（8÷2）2×3.14×6 ＝42×3.14×10－×42×3.14×6 ＝16×3.14×10－×16×3.14×6 ＝502.4－100.48 ＝401.92（立方厘米） 剩下图形的体积是401.92立方厘米。 【练32】计算下面图形的体积。 【答案】251.2cm3 【分析】据图可知，图形是由一个底面直径是8厘米高是2厘米的圆柱和一个底面直径是8厘米高是9厘米的圆锥组成，圆柱的体积＝π（d÷2）2h，圆锥的体积＝π（d÷2）2h，据此代入数据列式计算。 【解答】3.14×（8÷2）2×2＋3.14×（8÷2）2×9× ＝3.14×42×2＋3.14×42×9× ＝3.14×16×2＋3.14×16×9× ＝50.24×2＋50.24×9× ＝100.48＋150.72 ＝251.2（cm3） 图形的体积是251.2cm3。 题型17：圆锥的切拼问题 【例17】如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是（ ）立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少（ ）立方分米。 【答案】188.4 376.8 【分析】将圆锥沿底面直径和高切开后，表面积增加的部分是两个以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的三角形的面积；用增加的表面积除以2，求出一个三角形的面积； 根据三角形面积＝底×高÷2可知，三角形的底＝面积×2÷高，由此求出三角形的底，也就是圆锥的底面直径； 根据圆锥体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆锥的体积。 等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，用圆锥的体积乘3求出圆柱的体积，再用圆柱体积减去圆锥体积，即是少的体积。 【解答】60÷2＝30（平方分米） 30×2÷5 ＝60÷5 ＝12（分米） 12÷2＝6（分米） ×3.14×62×5 ＝×3.14×36×5 ＝188.4（立方分米） 188.4×3＝565.2（立方分米） 565.2－188.4＝376.8（立方分米） 圆锥体积是188.4立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少376.8立方分米。 【练33】如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是（ ）立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少（ ）立方厘米。 【答案】188.4 376800 【分析】由题意可知，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，切面是以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的等腰三角形，根据增加的表面积求出一个切面的面积，再利用“”求出圆锥的底面直径，然后利用“”求出圆锥的体积，当圆锥和圆柱等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥比圆柱少的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，据此解答。 【解答】60÷2×2÷5 ＝60÷5 ＝12（分米） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝188.4（立方分米） 188.4×3－188.4 ＝188.4×（3－1） ＝188.4×2 ＝376.8（立方分米） 376.8立方分米＝376800立方厘米 所以，圆锥的体积是188.4立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少376800立方厘米。 【练34】将一个圆锥沿底面直径和高切成形状、大小完全一样的两部分，结果表面积之和比原来增加了48平方分米。已知圆锥的高为6分米，求原来圆锥的体积。 【答案】100.48立方分米 【分析】根据题意，48÷2＝24（平方厘米），增加了两个切面，一个面的面积是24平方厘米，因为切面是三角形，圆锥的底面直径和高就是三角形的底和高，根据三角形面积公式，三角形的底即圆锥的底面直径是24×2÷6＝8（厘米），然后根据圆锥体积公式，即可解决问题。 【解答】一个切面的面积：48÷2＝24（平方厘米） 圆锥的底面直径：24×2÷6 ＝48÷6 ＝8（厘米） 圆锥的体积：×3.14×（8÷2）2×6 ＝3.14×16×2 ＝100.48（立方厘米） 答：原来圆锥的体积是100.48立方厘米。 【点评】此题考查了学生空间想象力以及对圆锥体积公式的运用情况，解题的关键是“理解切面是三角形，圆锥的底面直径和高就是三角形的底和高”。 题型18：测量不规则物体的体积 【例18】一个圆柱形水桶，底面半径是2分米，高是12分米，把一个底面直径为3分米的圆锥形铁块浸没在水中，水面上升了1分米，这个圆锥形铁块的体积是多少立方分米？ 【答案】12.56立方分米 【分析】分析题目，圆锥形铁块的体积等于圆柱形水桶的底面积乘水面上升的高度1分米，据此结合圆柱的底面积＝πr2列式计算即可。 【解答】3.14×22×1 ＝3.14×4×1 ＝12.56×1 ＝12.56（立方分米） 答：这个圆锥形铁块的体积是12.56立方分米。 【练35】一个圆柱形玻璃容器从里面测量，底面直径是20厘米，把一个完全没入水中的铁球从这个容器中取出，水面下降2厘米，这个铁球的体积是多少立方厘米？ 【答案】628立方厘米 【分析】这个铁球的体积等于下降的水的体积，将数据代入圆柱的体积公式：解答即可。 【解答】3.14×（20÷2）2×2 ＝3.14××2 ＝3.14×100×2 ＝314×2 ＝628（立方厘米） 答：这个铁球的体积是628立方厘米。 【练36】一个圆柱形玻璃杯的底面半径是10厘米，里面装有水，水深12厘米。如图，把一个铁块浸没在水中，这时水深15厘米。这个铁块重多少克？（每立方厘米铁的质量按7.8克计算，得数保留整数） 【答案】7348克 【分析】水面上升的体积就是铁块的体积，水面上升的形状是圆柱，铁块体积＝圆柱形玻璃杯底面积×水面上升高度，铁块体积×每立方厘米质量＝这个铁块质量，据此列式解答。根据四舍五入法保留近似数。 【解答】3.14×102×（15－12）×7.8 ＝3.14×100×3×7.8 ＝942×7.8 ≈7348（克） 答：这个铁块重7348克。 题型19：体积的等积变形 【例19】一个圆锥形的谷堆，底面周长是18.84m，高是1.6m。如果将这些谷子全部倒入底面积是6.28m2的圆柱形谷仓正好装满，这个谷仓有多高？ 【答案】2.4米 【分析】圆锥形谷堆的底面周长是18.84米，根据可以求出底面的半径，再根据圆锥的体积公式，即可求出圆锥形稻谷的体积，由于稻谷的体积不变，所以再根据圆柱的体积公式可得，即可求出谷仓的高度。 【解答】 （米） （立方米） （米） 答：这个谷仓高2.4米。 【练37】把一个底面积是251.2平方厘米、高是20厘米的圆柱形钢锭，熔铸成一个底面半径是1分米的圆锥。这个圆锥的高是多少厘米？ 【答案】48厘米 【分析】已知圆柱底面积是251.2平方厘米、高是20厘米，根据“圆柱体积＝底面积×高”计算出圆柱体积，将该圆柱熔铸成一个底面半径是1分米的圆锥，因此圆锥和圆柱体积相等；先统一单位，1分米＝10厘米，根据圆的面积公式计算出圆锥的底面积，再根据“圆锥的体积＝×底面积×高”可推导出“圆锥的高＝体积×3÷底面积”，进而计算出圆锥的高。 【解答】251.2×20＝5024（立方厘米） 1分米＝10厘米 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 5024×3÷314 ＝15072÷314 ＝48（厘米） 答：这个圆锥的高是48厘米。 【练38】一堆黄沙近似圆锥形，底面周长是8π米，高是1.5米，每立方米黄沙重1.5吨。 （1）这堆黄沙约重多少吨？ （2）用这堆黄沙在6米宽的路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米长？（得数保留一位小数） 【答案】（1）37.68吨 （2）209.3米 【分析】（1）底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出黄沙体积，黄沙体积×每立方米吨数＝总吨数，据此列式解答； （2）铺到路上的形状是个长方体，路面厚相当于长方体的高，根据1米＝100厘米统一单位，再根据长方体的长＝体积÷宽÷高，列式解答即可。结果根据四舍五入法保留近似数。 【解答】（1）3.14×（8π÷π÷2）2×1.5÷3 ＝3.14×42×1.5÷3 ＝3.14×16×1.5÷3 ＝25.12（立方米） 25.12×1.5＝37.68（吨） 答：这堆黄沙约重37.68吨。 （2）2厘米＝0.02米 25.12÷6÷0.02≈209.3（米） 答：能铺209.3米长。 一、选择题 1．如下图，一瓶600毫升的果汁正好倒满下图中的三个杯子（两种杯子的杯口直径相同）。这样的一个圆锥形杯子最多能装（    ）毫升果汁。 A．120 B．150 C．200 D．240 【答案】A 【分析】由图和题意可知，圆柱形杯子和圆锥形杯子等底等高，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把1个圆柱形杯子转化成3个圆锥形杯子，说明（3＋1＋1）个圆锥形杯子可以装600毫升的果汁，最后用果汁的总体积除以圆锥形杯子的个数求出一个圆锥形杯子最多能装果汁的体积，据此解答。 【解答】分析可知，1个圆柱形杯子可以装果汁的体积等于3个圆锥形杯子可以装果汁的体积。 600÷（3＋1＋1） ＝600÷5 ＝120（毫升） 所以，这样的一个圆锥形杯子最多能装120毫升果汁。 故答案为：A 2．下图是等底等高的圆柱和圆锥，从不同方向看，会看到不同的形状。从上面看到的形状是（    ），从左面看到的形状是（    ）。 ①   ②  ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】单独观察圆柱时，从侧面看到是一个长方形或正方形，从上下面看到的是两个相同的圆形；单独观察圆锥时，从侧面看到是一个三角形，从上面看到一个有圆心的圆形，从下面看到一个圆形；题中，圆柱在左，圆锥在右，所以，从上面看到的形状是：左边是一个无圆心的圆形，右边是一个有圆心的圆形；从左面看，圆柱挡住了圆锥，所以只能看到一个长方形；据此解答。 【解答】题中，圆柱在左，圆锥在右，所以，从上面看到的形状是：左边是一个无圆心的圆形，右边是一个有圆心的圆形，选②符合；从左面看，圆柱挡住了圆锥，所以只能看到一个长方形，选③符合； 故答案为：B 3．若1个圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的2倍，则侧面积扩大为原来的（    ）倍。 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据题意，可设圆柱的底面半径为r，高为h，然后再根据圆柱的侧面积进行计算圆柱的侧面积和扩大后圆柱的侧面积，然后再用扩大后的侧面积除以原来圆柱的侧面积，即可得到答案。 【解答】可设圆柱的底面半径为r，高为h，则扩大后的圆柱的半径为2r。 圆柱原来的侧面积为： 扩大后的圆柱的侧面积为： 侧面积扩大了： 所以，若1个圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的2倍，则侧面积扩大为原来的（2）倍。 故答案为：A 4．一根圆柱形木头长是6m，底面半径是10cm，把它平行底面切成长度相等的三小段，表面积比原来增加了（    ）cm2。 A．314 B．628 C．1256 D．1884 【答案】C 【分析】平行底面切成长度相等的三小段，表面积多四个圆的面积，根据圆的面积公式算出一个底面面积后乘4即可。 【解答】（平方厘米） 故答案为：C 5．一个破损的圆柱形水桶（如图）。从里面量得底面直径为4分米，从外面量得底面直径为4.3分米，这个水桶最多能盛水多少升？要解决这个问题所用到的信息是（    ）。 A．d＝4.3分米，h＝3分米 B．d＝4分米，h＝3分米 C．d＝4.3分米，h＝8分米 D．d＝4分米，h＝8分米 【答案】B 【分析】根据圆柱的体积＝πr2h求水桶可盛水的体积，需要用到桶内的底面直径（而非外径）和能够盛水的实际高度；由图中可知，桶的内直径为4分米，高度只能装到破损处的3分米处，因此所用信息应是“直径4分米、高3分米”，据此解答即可。 【解答】3.14×（4÷2）2×3 ＝3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝37.68（立方分米） 37.68立方分米＝37.68升 所以这个水桶最多能盛水37.68升。 要解决这个问题所用到的信息是d＝4分米，h＝3分米。 故答案为：B 6．有一块直角三角形硬纸板（如图），分别绕它的两条直角边旋转一周，能够形成两个大小不同的圆锥。体积较小的圆锥是（    ）立方厘米。 A．12π B．16π C．20π D．24π 【答案】A 【分析】由题意可知，分别以直角三角形的一条直角边为高，另一条直角边为底面半径，根据圆锥的体积公式，计算两个圆锥的体积，再比较大小即可。 【解答】 （立方厘米） （立方厘米） 有一块直角三角形硬纸板（如图），分别绕它的两条直角边旋转一周，能够形成两个大小不同的圆锥。体积较小的圆锥是12π立方厘米。 故答案为：A 7．如图，圆柱①和圆柱②都从点A滚动到点B，圆柱①正好滚动4圈，圆柱②正好滚动3圈，圆柱①的底面半径是9厘米，则圆柱②的底面半径是（    ）厘米。 A．6 B．12 C．15 D．4 【答案】B 【分析】圆柱从点A滚动到点B，滚动的距离就是A、B之间的长度，且滚动距离＝圆柱底面周长×滚动圈数。圆柱①的底面半径为9厘米，滚动圈数4；根据圆的周长公式C＝2πr（π取3.14），圆柱①的底面周长2×3.14×9＝56.52厘米。因为圆柱①滚动4圈的距离就是A、B之间的距离S，所以A、B的距离是56.52×4＝226.08厘米。 圆柱②滚动3圈的距离也是226.08厘米，那么圆柱②的底面周长为226.08÷3＝75.36厘米。根据r＝C÷（2π）（C＝75.36厘米，π取3.14），把数据代入公式即可求得圆柱②的底面半径。 【解答】圆柱①的底面周长：2×3.14×9＝56.52厘米 A、B之间的距离：56.52×4＝226.08厘米 圆柱②的底面周长：226.08÷3＝75.36厘米 圆柱②的半径： 75.36÷（2×3.14） ＝75.36÷6.28 ＝12（厘米） 所以圆柱②的底面半径是12厘米。 故答案为：B 8．目前有不同大小的圆柱型农产品包装盒，下面圆柱型农产品包装盒展开图正确的是（    ）。（单位：cm） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】；圆柱的展开图是一个长方形和两个圆，长方形的长是底面圆的周长，据此分别求出每个选项底面圆的周长，再和长方形的长比较即可。 【解答】A．4×3.14＝12.56（cm），长方形的长和底面圆周长不相等，故选项错误； B． 6×3.14＝18.84（cm），长方形的长和底面圆周长相等，故选项正确； C． 2×3.14＝6.28（cm），长方形的长和底面圆周长不相等，故选项错误； D． 8×3.14＝25.12（cm），长方形的长和底面圆周长不相等，故选项错误； 故答案为：B 二、填空题 9．把一个圆柱的侧面沿高展开得到一个边长是31.4cm的正方形，这个圆柱的底面积是（ ）cm2。 【答案】78.5 【分析】圆柱侧面沿高展开后是正方形，则正方形的边长等于圆柱的底面周长，也等于圆柱的高。根据圆的周长等于（r为圆的半径），求出圆的半径，再根据圆的面积公式求出圆的面积即可。据此解答。 【解答】     （cm） （cm） 把一个圆柱的侧面沿高展开得到一个边长是31.4cm的正方形，这个圆柱的底面积是78.5。 10．一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积都相等，若圆锥的高是3.6dm，则圆柱的高是（ ），若圆柱的高是3.6dm，则圆锥的高是（ ）。 【答案】1.2分米 10.8分米 【分析】设圆锥和圆柱的底面积为S，体积为V，圆锥的高为，圆柱的高为，圆柱的体积为，圆锥的体积为，因为圆住与圆锥的体积相等，则有，又因为圆性与圆锥的底面积相等，所以，即，由此可得：当等底等体积时，圆锥的高是圆柱高的3倍，圆柱的高是圆锥高的。根据求一个数的几分之几（几倍）是多少，用乘法计算；据此解答。 【解答】（分米） （分米） 若圆锥的高是3.6分米，则圆柱的高是1.2分米，若圆柱的高是3.6分米，则圆锥的高是10.8分米。 11．把一个底面直径是4厘米的圆柱挖去一个最大的圆锥后，剩下部分的体积是8π立方厘米。这个圆柱的高是（ ）厘米。 【答案】3 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高×，据此可知圆柱的体积是和它等底等高的圆锥体积的3倍，从一个圆柱中挖去一个最大的圆锥，则这个圆柱和圆锥等底等高，据此可知剩下部分的体积是圆柱体积的（1－），用剩下部分的体积除以（1－）即可求出圆柱的体积，最后根据圆柱的高＝V÷[π（d÷2）2]代入数据计算即可。 【解答】8π÷（1－） ＝8π÷ ＝8π× ＝12π（立方厘米） 12π÷[π×（4÷2）2] ＝12π÷[π×22] ＝12π÷[4π] ＝3（厘米） 把一个底面直径是4厘米的圆柱挖去一个最大的圆锥后，剩下部分的体积是8π立方厘米。这个圆柱的高是3厘米。 12．转化思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生活中无处不在。下图①，一只饮料瓶里装有240毫升的饮料，这只瓶子最多能装饮料（ ）毫升。图②，圆柱的侧面积是314平方厘米，底面半径是5厘米，该圆柱的体积是 （ ）立方厘米。 【答案】320 785 【分析】（1）据图可知，①中饮料的体积是一个底面积等于饮料瓶的底面积，高是12厘米的圆柱的体积，没装饮料的体积是一个底面积等于饮料瓶的底面积，高是4厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高可知，饮料的体积∶没装饮料的体积＝12∶4＝3∶1，据此先用240除以3求出一份是多少，再乘总份数（3＋1）即可求出这只瓶子最多能装饮料多少毫升； （2）圆柱的侧面积＝底面周长×高，先根据圆的周长＝2πr求出圆柱的底面周长，再用圆柱的侧面积除以底面周长可得到圆柱的高，最后根据圆柱的体积＝πr2h求出圆柱的体积即可。 【解答】12∶4＝3∶1 240÷3×（3＋1） ＝80×4 ＝320（毫升） 2×5×3.14 ＝10×3.14 ＝31.4（厘米） 314÷31.4＝10（厘米） 3.14×52×10 ＝3.14×25×10 ＝78.5×10 ＝785（立方厘米） 转化思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生活中无处不在。下图①，一只饮料瓶里装有240毫升的饮料，这只瓶子最多能装饮料320毫升。图②，圆柱的侧面积是314平方厘米，底面半径是5厘米，该圆柱的体积是785立方厘米。 13．一个固体胶棒的底面直径是2厘米，高是6厘米。如图，12个固体胶棒装满一个包装箱，这个包装箱的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，高是（ ）厘米（包装箱的厚度忽略不计）。如果另一包装箱长10厘米，宽8厘米，高12厘米，这个包装箱最多能装（ ）个固体胶。 【答案】8 6 6 40 【分析】分析题目，这个包装箱的长等于4个固体胶棒底面直径的和，宽等于3个固体胶棒底面直径的和，高等于固体胶棒的高，据此求出包装箱的长、宽、高即可；求长10厘米，宽8厘米，高12厘米的长方体包装箱可以装多少个固体胶棒，就是用长方体的长和宽分别除以固体胶棒的底面直径，再用长方体的高除以固体胶棒的高，再把它们的结果相乘即可得到最多能装的个数。 【解答】2×4＝8（厘米） 2×3＝6（厘米） （10÷2）×（8÷2）×（12÷6） ＝5×4×2 ＝20×2 ＝40（个） 一个固体胶棒的底面直径是2厘米，高是6厘米。如图，12个固体胶棒装满一个包装箱，这个包装箱的长是8厘米，宽是6厘米，高是6厘米（包装箱的厚度忽略不计）。如果另一包装箱长10厘米，宽8厘米，高12厘米，这个包装箱最多能装40个固体胶。 14．如图，甲圆柱形容器是空的，乙长方体容器中水深6.28厘米，要将乙容器中的水全部倒入甲容器，这时水深（ ）厘米；如果倒入与这个圆柱底面积之比是4∶1的圆锥形容器中，刚好倒满，那么圆锥形容器的高是（ ）厘米。 【答案】8 6 【分析】圆柱的底面直径为10厘米，先根据“”求出圆柱的底面积，再根据“”求出乙长方体容器中水的体积，甲容器中水的深度＝乙容器中水的体积÷甲容器的底面积；容器中水的体积不变，由圆锥的底面积∶圆柱的底面积＝4∶1可知，圆锥的底面积是圆柱底面积的4倍，求出圆锥的底面积，再根据“”求出圆锥形容器的高，据此解答。 【解答】3.14×（10÷2）2 ＝3.14×52 ＝78.5（平方厘米） 10×10×6.28÷78.5 ＝628÷78.5 ＝8（厘米） 所以，要将乙容器中的水全部倒入甲容器，这时水深8厘米。 由题意可知，圆锥的底面积∶圆柱的底面积＝4∶1，则圆锥的底面积＝圆柱的底面积×4。 78.5×4＝314（平方厘米） 10×10×6.28×3÷314 ＝628×3÷314 ＝1884÷314 ＝6（厘米） 所以，圆锥形容器的高是6厘米。 15．等底等高的圆柱和圆锥体积之和是36立方厘米，那么圆柱的体积是（ ）立方厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米。 【答案】27 9 【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式可得：等底等高的圆柱和圆锥的体积比是3：1，根据比的意义，把圆柱的体积看作3份，则圆锥体积是1份，圆柱和圆锥的体积之和就是（份），可知圆柱的体积是圆柱和圆锥体积之和的，圆锥的体积是圆柱和圆锥体积之和的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，据此解答。 【解答】根据圆柱和圆锥的体积公式可得：等底等高的圆柱和圆锥的体积比是3∶1。 3＋1＝4 36×＝27（立方厘米） 36×＝9（立方厘米） 等底等高的圆柱和圆锥体积之和是36立方厘米，那么圆柱的体积是27立方厘米，圆锥的体积是9立方厘米。 16．下图，将一个由圆柱和圆锥组合成的容器倒置后，水面高7cm，如果将这个容器正放，那么容器内水面高是（ ）cm。 【答案】5 【分析】从题意可知，容器中水的体积＝3cm高圆锥的体积＋（7－3）cm高的圆柱的体积。圆锥与圆柱的底面积相等。根据体积相等、底面积相等的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱高的3倍，当容器正放时，3cm高圆锥的水转换成底面积不变的圆柱，圆柱的高是3÷3＝1cm。用1＋（7－3）即可求出容器正放时水面高度。据此解答。 【解答】3÷3＋（7－3） ＝1＋4 ＝5（cm） 容器内水面高是5cm。 三、计算题 17．计算下面圆柱的表面积和圆锥的体积。 【答案】207.24平方厘米；100.48立方厘米 【分析】由图可知，圆柱的底面直径6厘米，高8厘米，用直径除以2计算出底面半径，根据圆柱的表面积公式S＝2πr2＋πdh计算出圆柱的表面积； 由图可知，圆锥的底面直径8厘米，高6厘米，用直径除以2计算出底面半径，根据圆锥的体积公式计算出圆锥的体积。 【解答】6÷2＝3（厘米） 2×3.14×32＋3.14×6×8 ＝2×3.14×9＋18.84×8 ＝6.28×9＋150.72 ＝56.52＋150.72 ＝207.24（平方厘米） 所以该圆柱的表面积是207.24平方厘米。 8÷2＝4（厘米） ×3.14×42×6 ＝×3.14×16×6 ＝3.14×16×2 ＝50.24×2 ＝100.48（立方厘米） 所以该圆锥的体积是100.48立方厘米。 18．求出下面左图的表面积和右图的体积（单位：厘米）。 ​ 【答案】​135.275平方厘米；175.84立方厘米 【分析】半圆柱的表面积＝一个底面的面积＋侧面积的一半＋长方形的面积，右图组合图形的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积。据此解答即可。 【解答】3.14×（5÷2）2＋3.14×5×9÷2＋9×5 ＝3.14×2.52＋15.7×9÷2＋45 ＝3.14×6.25＋141.3÷2＋45 ＝19.625＋70.65＋45 ＝90.275＋45 ＝135.275（平方厘米） 3.14×（4÷2）2×123.14×（4÷2）2×6 ＝3.14×22×123.14×22×6 ＝3.14×4×123.14×4×6 ＝12.56×1212.56×6 ＝12.56×1212.56×6 ＝150.72＋12.56×2 ＝150.72＋25.12 ＝175.84（立方厘米） 左图的表面积是135.275平方厘米，右图的体积是175.84立方厘米。 四、解答题 19．孝敬老人是中华民族的传统美德。重阳节这天，社区为每位老人准备了一个用彩带捆扎的圆柱形的礼品盒（如下图），打结处正好是底面圆心，打结用去25cm彩带。捆扎这个盒子至少用去多少厘米彩带？ 【答案】193cm 【分析】彩带的长度由圆柱的4条高、4条底面直径以及打结用去的彩带长度组成；据此解答。 【解答】    （cm） 答：捆扎这个盒子至少用去193厘米彩带。 20．古代铁匠打铁时，用火将铁烧红变软，先用锤子击打成想要的形状，接着放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。王铁匠将底面积为314平方厘米的圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一个底面积为3140平方厘米的长方体容器里淬火，水面上升了2厘米。请你计算这个圆锥的高是多少厘米。（损耗忽略不计） 【答案】60厘米 【分析】因为圆锥形铁块完全没入长方体容器里淬火，水面上升的体积就等于圆锥的体积。根据长方体体积公式V＝Sh（其中V是体积，S是长方体容器底面积，h是水面上升的高度），已知长方体容器底面积S＝3140平方厘米，水面上升高度h＝2厘米，则圆锥的体积V为：3140×2＝6280立方厘米。圆锥体积公式为V＝Sh（其中S是圆锥的底面积，h是圆锥的高），已知圆锥底面积S＝314平方厘米，体积V＝6280立方厘米，即圆锥的高：h＝V÷÷S，把数据代入公式即可求出圆锥的高。 【解答】3140×2＝6280（立方厘米） 6280÷÷314 ＝6280×3÷314 ＝18840÷314 ＝60（厘米） 答：这个圆锥的高是60厘米。 21．一个圆柱形的无盖水桶，从里面量，底面直径40厘米，高50厘米。用这个水桶装满水去浇花，平均每棵花用水0.5升，这桶水最多可以浇多少棵花？ 【答案】125棵 【分析】先根据水桶的底面直径依次求出底面半径和底面积，再根据圆柱的体积＝底面积×高，求出水桶的容积，最后除以每颗花需要的水量，结果根据实际情况，运用“去尾法”保留整数。 【解答】40厘米＝4分米 50厘米＝5分米 3.14×（4÷2）2×5 ＝3.14×22×5 ＝3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（立方分米） ＝62.8（升） 62.8÷0.5≈125（棵） 答：这桶水最多可以浇125棵花。 22．把一根圆木平均剖成两块，其中一块如图。（单位：厘米） （1）剖面面积是多少平方厘米？ （2）这块木料的表面积和体积各是多少？ 【答案】（1）240平方厘米 （2）729.84平方厘米；1130.4立方厘米 【分析】（1）剖面是一个长方形，长方形的长是20厘米，宽是12厘米，可根据长方形面积＝长×宽求解； （2）这块木料的表面积由两个半圆的面积（合起来是一个圆的面积）、半个圆柱的侧面积以及剖面长方形的面积组成，体积是圆柱体积的一半，分别根据圆的面积＝圆周率×半径的平方、圆柱的侧面积＝底面周长×高、长方形面积＝长×宽、圆柱的体积＝圆周率×半径的平方×高解答即可。 【解答】（1）20×12＝240（平方厘米） 答：剖面面积是240平方厘米。 （2）12÷2＝6（厘米） 3.14×＋3.14×12×20÷2＋20×12 ＝3.14×36＋3.14×12×10＋240 ＝3.14×36＋3.14×120＋240 ＝113.04＋376.8＋240 ＝489.84＋240 ＝729.84（平方厘米） 3.14××20÷2 ＝3.14×36×20÷2 ＝113.04×10 ＝1130.4（立方厘米） 答：这块木料的表面积是729.84平方厘米，体积是1130.4立方厘米。 23．如图的“博士帽”是用黑色卡纸做成的，上面是边长30厘米的正方形，下面是底面直径16厘米、高10厘米的无底无盖的圆柱。 【答案】280.48平方分米 【分析】由于上面是正方形，根据正方形的面积公式：边长×边长；下面是圆柱，没有上、下两个底面，则求需要多少卡纸，就是求圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：底面周长×高，把数代入即可求解，再把正方形面积和圆柱的侧面积相加即可求出做一顶需要多少黑色卡纸，再乘20即可求解，最后转换单位。 【解答】30×30＋3.14×16×10 ＝900＋502.4 ＝1402.4（平方厘米） 1402.4×20＝28048（平方厘米） 28048平方厘米＝280.48平方分米 答：制作20顶这样的“博士帽”，至少需要280.48平方分米的黑色卡纸。 24．将一个长31.4厘米、宽12厘米、高10厘米的长方体铅锭铸造成底面直径是8厘米、高15厘米的圆锥形铅锭，最多能铸造多少个这样的圆锥形铅锭？ 【答案】15个 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求出长方体铅锭的体积；根据圆锥的体积：V＝sh＝πr2h，代入数据即可求出圆锥形铅锭的体积。用长方体铅锭的体积÷圆锥形铅锭的体积，即可求出最多能铸造圆锥形铅锭的个数。 【解答】31.4×12×10 ＝376.8×10 ＝3768（立方厘米） ×（8÷2）2×3.14×15 ＝×42×3.14×15 ＝×16×3.14×15 ＝251.2（立方厘米） 3768÷251.2＝15（个） 答：最多能铸造15个这样的圆锥形铅锭。 25．用铁皮做一个圆柱形无盖水桶，底面直径是4分米，高是5分米。 （1）做这个水桶至少需要铁皮多少平方分米？（得数保留整数） （2）这个水桶最多可以盛水多少千克？（每升水重1千克） 【答案】（1）75平方分米 （2）62.8千克 【分析】（1）求铁皮面积相当于求水桶表面积，水桶表面积＝底面积＋侧面积，侧面积＝底面周长×高，底面积＝πr2，底面周长＝2πr＝πd，据此列式； 求小数的近似数方法是：保留整数时，就把十分位上的数省略（当十分位上的数等于或大于5时，应向个位上进1后再省略），在表示近似数时，小数末尾的0不能去掉； （2）根据圆柱体积＝底面积×高，求出水桶容积，1立方分米＝1升，因为每升水重1千克，水桶容积即盛水质量。 【解答】（1）3.14×（4÷2）2＋3.14×4×5 ＝3.14×22＋62.8 ＝3.14×4＋62.8 ＝12.56＋62.8 ＝75.36（平方分米） ≈75（平方分米） 答：做这个水桶至少需要铁皮75平方分米。 （2）3.14×（4÷2）2×5×1 ＝3.14×22×5×1 ＝3.14×4×5×1 ＝62.8（千克） 答：这个水桶最多可以盛水62.8千克。 26．我国古代的数学名著《九章算术》中的商功，记载着这样种求圆柱体积的方法：周自相乘，以高乘之，十二而。意思就是用底面周长的平方乘高，再除以12，可以得到这个圆柱的体积。（本题π的值取3） （1）利用上述方法求如图圆柱的体积。 （2）你能用所学的数学知识验证上面的结果吗？ 【答案】（1）1080立方厘米 （2）见详解 【分析】（1）根据底面周长的平方乘高，再除以12，可以得到这个圆柱的体积，代入数据解答即可； （2）根据圆柱的体积＝底面积×高，求出这个圆柱的体积，验证上面的结果是否正确即可。 【解答】（1）圆柱体积：（3×6×2）2×10÷12 ＝362×10÷12 ＝1296×10÷12 ＝12960÷12 ＝1080（立方厘米） 答：圆柱的体积是1080立方厘米。 （2）根据圆柱体积公式：3×62×10 ＝3×36×10 ＝108×10 ＝1080（立方厘米） 答：根据圆柱的体积公式验证上面结果正确。 【点评】本题考查圆柱的体积，解答本题的关键是掌握圆柱的体积计算公式。 27．笑笑过生日，有6位小伙伴来做客。她用一大盒果汁招待同学，给每位同学倒上一杯后，剩下的倒给自己。（果汁包装盒和杯子如图，厚度忽略不计） （1）这盒果汁有多少毫升？ （2）笑笑喝了这盒果汁的几分之几？ 【答案】（1）1080毫升； （2） 【分析】（1）根据长方体的体积（容积）公式：，把数据代入公式；1立方厘米＝1毫升，再根据进率转换单位； （2）根据圆柱的体积（容积）公式：，把数据代入公式求出圆柱形杯子的容积，根据进率转换单位，再求出这样的6杯共有多少毫升，进而求出还剩下多少毫升，然后根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法解答。 【解答】（1）12×6×15 ＝72×15 ＝1080（立方厘米） ＝1080（毫升） 答：这盒果汁有1080毫升。 （2）20×8＝160（立方厘米） 160立方厘米＝160毫升 （1080－160×6）÷1080 ＝（1080－960）÷1080 ＝120÷1080 ＝ 答：笑笑喝了这盒果汁的。 28．有一种容器，从前面和右面看都是大小相同的长方形，从上面看是圆形。 （1）这个容器的占地面积是多少平方厘米？ （2）这个容器的容积是多少立方厘米？（容器壁厚度不计） （3）将一个圆锥形的铁块投入盛有水的容器并没入水中，这时水面上升6厘米（水未溢出），铁块的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）200.96平方厘米； （2）5024立方厘米； （3）1205.76立方厘米 【分析】（1）据图可知，这个容器是一个底面直径是16厘米高是25厘米的圆柱，求容器的占地面积就是求圆柱的底面积，根据圆柱的底面积＝π（d÷2）2代入数据列式计算； （2）圆柱的体积＝π（d÷2）2h，据此代入数据列式计算； （3）铁块的体积等于底面直径是16厘米高是6厘米的圆柱的体积，据此根据圆柱的体积＝π（d÷2）2h代入数据计算即可。 【解答】（1）3.14×（16÷2）2 ＝3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方厘米） 答：这个容器的占地面积是200.96平方厘米。 （2）3.14×（16÷2）2×25 ＝3.14×82×25 ＝3.14×64×25 ＝200.96×25 ＝5024（立方厘米） 答：这个容器的容积是5024立方厘米。 （3）3.14×（16÷2）2×6 ＝3.14×82×6 ＝3.14×64×6 ＝200.96×6 ＝1205.76（立方厘米） 答：铁块的体积是1205.76立方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 圆柱和圆锥 单元知识清单讲义 知识点一：圆柱和圆锥的认识 1、圆柱体简称圆柱，它由两个底面和一个侧面三部分组成。圆柱的上、下两个面叫作底面，底面是两个完全相同的圆。围成圆柱的曲面叫作侧面，圆柱两个底面之间的距离叫作高。 2、圆锥体简称圆锥，它由一个底面和一个侧面两部分组成，圆锥有一个顶点。圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 3、圆柱和圆锥的特征比较。 知识点二：圆柱的侧面积和表面积 1、圆柱侧面积。 把圆柱的侧面沿高展开后得到一个长方形(当圆柱的底面周长和高相等时，圆柱的侧面沿高展开后是一个正方形)，这个长方形的长(或宽)等于圆柱的底面周长，宽(或长)等于圆柱的高，因为长方形的面积=长x宽，所以圆柱的侧面积=底面周长×高，即S侧=Ch=πdh=2πrh 2、圆柱表面积。 圆柱的侧面积与两个底面积的和，叫作圆柱的表面积。 圆柱的底面积=πr2 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2 圆柱表面积的字母公式是S表=S侧+2S底=2πrh+2πr2 知识点三：圆柱的体积 1、圆柱体积计算公式的推导。 圆柱的体积和拼成的长方体的体积相等，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。 长方体的体积=底面积×高 圆柱的体积=底面积×高 如果V表示圆柱的体积，S表示圆柱的底面积，h表示圆柱的高，那么圆柱的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 知识点四：圆锥的体积 1、圆锥的体积计算公式。 圆锥的体积=底面积×高×，圆锥的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 2、圆柱和圆锥的关系。 （1）等底等高的圆柱与圆锥的体积比是3∶1，即圆柱的体积比圆锥的体积多2倍，也可以说圆锥的体积比圆柱的体积。 （2）等体积等高的圆柱与圆锥的底面积的比是1∶3。 （3）等体积等底面积的圆柱与圆锥的高的比是1∶3。 掌握好圆柱体积和圆锥体积的关系，能够相互运用求其中一个。 题型1：圆柱的认识 【例1】高10厘米的圆柱体从正面看是一个正方形，说明这个圆柱体的（    ）也是10厘米。 A．底面半径 B．底面直径 C．底面周长 D．底面积 【练1】小明家中有一个底面半径是4厘米、高18厘米的圆柱形物体，这个物体可能是（    ）。 A．水桶 B．固体胶 C．不锈钢茶杯 D．牙签盒 【练2】根据下图物体的相关数据，联系生活想象一下，它可能是（    ）。 A．电池 B．水桶 C．水杯 题型2：圆锥的认识 【例2】海海用如图所示的方法测量圆锥，量出长度是6cm，可见圆锥的高（    ）。 A．等于6cm B．大于6cm C．小于6cm D．无法确定 【练3】将一个圆锥如图所示切开，剖面一定是一个（    ）三角形。 A．等边 B．直角 C．锐角 D．等腰 【练4】从上面看下边的图形，可以看到（    ）。 A． B．C． D． 题型3：圆柱的展开图 【例3】如图所示图形中是圆柱平面展开图的是（    ）（单位：cm）。 A． B． C． 【练5】把一个底面直径2厘米，高3厘米的圆柱展开图画在方格纸（边长为1厘米）上，下面画法正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【练6】下面是圆柱的展开图，现将上、下两个底面沿直径平均分成若干份，转化成长方形与侧面拼接，下面（    ）可能是拼接后的图形。 A． B． C． D． 题型4：圆柱的侧面积 【例4】一块面积为6.28dm2的纸板，围成一个底面直径为2dm的圆柱形纸筒（无重叠），它的高是（ ）dm。 【练7】如下图，有一张长方形铁皮，按下面方式进行裁切后，恰好可以做成一个圆柱，那么做成的圆柱的侧面积是（ ）平方厘米。 【练8】妈妈的水杯放在桌子上（如下图），水杯上的装饰带是园园怕烫伤妈妈的手而特意贴上的。这圈装饰带宽8cm，它的面积是多少平方厘米？ 题型5：圆柱的表面积 【例5】一个圆柱的底面半径是3cm，高是6cm，它的一个底面的面积是（ ）cm2，它的侧面积是（ ）cm2，表面积是（ ）cm2。 【练9】小明从图中剪下阴影部分制作成了一个笔筒，则笔筒的高是（ ）厘米，制作这个笔筒用了（ ）平方厘米的硬纸板。 【练10】乐乐过生日，妈妈做了一个三层蛋糕（如下图）。每层的高是6cm，底面半径分别是10cm，8cm，6cm，蛋糕表面抹上奶油（不包括底面）。抹奶油部分的面积是多少平方厘米？ 题型6：圆柱的表面积计算 【例6】求圆柱的表面积。 【练11】求下列圆柱的表面积。 【练12】计算圆柱的表面积（单位：厘米）。 题型7：含圆柱组合体的表面积 【例7】计算下面图形的表面积。（单位：cm） 【练13】计算下面立体图形的表面积。                【练14】求下面图形的表面积。 题型8：圆柱的体积计算 【例8】计算下面圆柱的体积。 【练15】计算下面圆柱的体积。 【练16】计算下图围成的圆柱的体积。 题型9：含圆柱组合体的体积计算 【例9】求下面图形的体积。（单位：cm） 【练17】求出下面圆柱体空心钢管的体积。（单位：厘米） 【练18】计算下面图形的体积。 题型10：圆柱的体积 【例10】一个圆柱的底面积是30cm2，高是3cm，这个圆柱的体积是（ ）cm3。 【练19】一个圆柱形桶装满油，把桶里的油倒出后，还剩24立方分米。油桶底面积是20平方分米，油桶的高度是多少分米？ 【练20】小红在景区超市给妈妈买了一个茶杯（如图所示）。 （1）为防止烫伤，小红特地给茶杯中部贴上一圈花纹装饰带，装饰带宽5厘米，这一圈装饰带至少有多少平方厘米？（接头处忽略不计） （2）这只茶杯装满水后的体积是多少？ 题型11：圆柱的容积 【例11】如图，一个饮料瓶的内直径是8厘米，这个饮料瓶的容积（ ）毫升。 【练21】如图所示，利用图中的阴影部分刚好能做成一个圆柱形的油桶（接头处忽略不计），这个油桶的底面直径是（ ）dm，油桶的容积是（ ）L。 【练22】一个圆柱形茶杯，从里面量，高14厘米，底面直径为8厘米。这个茶杯最多能装多少毫升水？（π取3） 题型12：圆柱的切拼问题 【例12】把一个高10厘米的圆柱平均分成若干份，拼成一个近似的长方体，表面积增加了80平方厘米，这个圆柱的体积（ ）立方厘米。 【练23】一根圆木长1.5米，如果把它截成等长的3段小圆木后，表面积增加了113.04平方分米。每段小圆木的底面半径是（ ）分米，体积是（ ）立方分米。 【练24】一根圆柱形木料，如果按图①所示的方式切成完全相同的4块，表面积会增加600cm2；如果按图②所示的方式切成完全相同的3块，表面积会增加314cm2。求这根木料的体积。 题型13：圆柱和圆锥体积的关系 【例13】一个圆锥和一个与它等底等高的圆柱的体积和是30立方分米，这个圆锥的体积是（    ）立方分米。 A．10 B．15 C．20 D．7.5 【练25】小明做了1个圆柱和3个圆锥，规格如下图（单位：厘米），将圆柱里的水倒入圆锥（    ），正好倒满。 A． B． C． 【练26】如下图（单位：厘米），下面说法正确的是（    ）。 A．②号体积与①号体积的比是1∶3 B．③号底面积是②号底面积的 C．④号体积是⑤号体积的3倍 D．④号体积与①号体积相等 题型14：圆锥的体积或容积 【例14】一个圆锥形小麦堆，底面周长是12.56米，高1.5米。如果每立方米小麦大约重700千克，这堆小麦大约重（ ）吨。（得数保留一位小数） 【练27】一辆货车的车厢是一个长方体，长8m，宽2m，高1.5m。装满一车沙，卸车后沙子堆成了一个高是12dm的圆锥形沙堆。这个沙堆的占地面积是多少平方米？ 【练28】一个圆锥体的底面周长是12.56分米，高6分米。 （1）这个圆锥体所占的空间是多少立方分米？ （2）如果给这个圆锥形物体做一个长方体的包装盒，至少要多少平方分米的硬纸板？ 题型15：圆锥的体积计算 【例15】求圆锥的体积。 【练29】以BC为轴把直角三角形旋转一周，计算旋转后图形体积。 【练30】计算下列圆锥的体积。 题型16：含圆锥的组合体的体积 【例16】求出下面图形的体积。 【练31】在一个圆柱中挖去了一个圆锥（如图），求剩下图形的体积（单位：厘米）。 【练32】计算下面图形的体积。 题型17：圆锥的切拼问题 【例17】如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是（ ）立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少（ ）立方分米。 【练33】如图，将一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来多了60平方分米，圆锥的高是5分米，圆锥的体积是（ ）立方分米，比和它等底等高的圆柱体积少（ ）立方厘米。 【练34】将一个圆锥沿底面直径和高切成形状、大小完全一样的两部分，结果表面积之和比原来增加了48平方分米。已知圆锥的高为6分米，求原来圆锥的体积。 题型18：测量不规则物体的体积 【例18】一个圆柱形水桶，底面半径是2分米，高是12分米，把一个底面直径为3分米的圆锥形铁块浸没在水中，水面上升了1分米，这个圆锥形铁块的体积是多少立方分米？ 【练35】一个圆柱形玻璃容器从里面测量，底面直径是20厘米，把一个完全没入水中的铁球从这个容器中取出，水面下降2厘米，这个铁球的体积是多少立方厘米？ 【练36】一个圆柱形玻璃杯的底面半径是10厘米，里面装有水，水深12厘米。如图，把一个铁块浸没在水中，这时水深15厘米。这个铁块重多少克？（每立方厘米铁的质量按7.8克计算，得数保留整数） 题型19：体积的等积变形 【例19】一个圆锥形的谷堆，底面周长是18.84m，高是1.6m。如果将这些谷子全部倒入底面积是6.28m2的圆柱形谷仓正好装满，这个谷仓有多高？ 【练37】把一个底面积是251.2平方厘米、高是20厘米的圆柱形钢锭，熔铸成一个底面半径是1分米的圆锥。这个圆锥的高是多少厘米？ 【练38】一堆黄沙近似圆锥形，底面周长是8π米，高是1.5米，每立方米黄沙重1.5吨。 （1）这堆黄沙约重多少吨？ （2）用这堆黄沙在6米宽的路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米长？（得数保留一位小数） 一、选择题 1．如下图，一瓶600毫升的果汁正好倒满下图中的三个杯子（两种杯子的杯口直径相同）。这样的一个圆锥形杯子最多能装（    ）毫升果汁。 A．120 B．150 C．200 D．240 2．下图是等底等高的圆柱和圆锥，从不同方向看，会看到不同的形状。从上面看到的形状是（    ），从左面看到的形状是（    ）。 ①   ②  ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 3．若1个圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的2倍，则侧面积扩大为原来的（    ）倍。 A．2 B．4 C．6 D．8 4．一根圆柱形木头长是6m，底面半径是10cm，把它平行底面切成长度相等的三小段，表面积比原来增加了（    ）cm2。 A．314 B．628 C．1256 D．1884 5．一个破损的圆柱形水桶（如图）。从里面量得底面直径为4分米，从外面量得底面直径为4.3分米，这个水桶最多能盛水多少升？要解决这个问题所用到的信息是（    ）。 A．d＝4.3分米，h＝3分米 B．d＝4分米，h＝3分米 C．d＝4.3分米，h＝8分米 D．d＝4分米，h＝8分米 6．有一块直角三角形硬纸板（如图），分别绕它的两条直角边旋转一周，能够形成两个大小不同的圆锥。体积较小的圆锥是（    ）立方厘米。 A．12π B．16π C．20π D．24π 7．如图，圆柱①和圆柱②都从点A滚动到点B，圆柱①正好滚动4圈，圆柱②正好滚动3圈，圆柱①的底面半径是9厘米，则圆柱②的底面半径是（    ）厘米。 A．6 B．12 C．15 D．4 8．目前有不同大小的圆柱型农产品包装盒，下面圆柱型农产品包装盒展开图正确的是（    ）。（单位：cm） A． B． C． D． 二、填空题 9．把一个圆柱的侧面沿高展开得到一个边长是31.4cm的正方形，这个圆柱的底面积是（ ）cm2。 10．一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积都相等，若圆锥的高是3.6dm，则圆柱的高是（ ），若圆柱的高是3.6dm，则圆锥的高是（ ）。 11．把一个底面直径是4厘米的圆柱挖去一个最大的圆锥后，剩下部分的体积是8π立方厘米。这个圆柱的高是（ ）厘米。 12．转化思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生活中无处不在。下图①，一只饮料瓶里装有240毫升的饮料，这只瓶子最多能装饮料（ ）毫升。图②，圆柱的侧面积是314平方厘米，底面半径是5厘米，该圆柱的体积是 （ ）立方厘米。 13．一个固体胶棒的底面直径是2厘米，高是6厘米。如图，12个固体胶棒装满一个包装箱，这个包装箱的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，高是（ ）厘米（包装箱的厚度忽略不计）。如果另一包装箱长10厘米，宽8厘米，高12厘米，这个包装箱最多能装（ ）个固体胶。 14．如图，甲圆柱形容器是空的，乙长方体容器中水深6.28厘米，要将乙容器中的水全部倒入甲容器，这时水深（ ）厘米；如果倒入与这个圆柱底面积之比是4∶1的圆锥形容器中，刚好倒满，那么圆锥形容器的高是（ ）厘米。 15．等底等高的圆柱和圆锥体积之和是36立方厘米，那么圆柱的体积是（ ）立方厘米，圆锥的体积是（ ）立方厘米。 16．下图，将一个由圆柱和圆锥组合成的容器倒置后，水面高7cm，如果将这个容器正放，那么容器内水面高是（ ）cm。 三、计算题 17．计算下面圆柱的表面积和圆锥的体积。 18．求出下面左图的表面积和右图的体积（单位：厘米）。 ​ 四、解答题 19．孝敬老人是中华民族的传统美德。重阳节这天，社区为每位老人准备了一个用彩带捆扎的圆柱形的礼品盒（如下图），打结处正好是底面圆心，打结用去25cm彩带。捆扎这个盒子至少用去多少厘米彩带？ 20．古代铁匠打铁时，用火将铁烧红变软，先用锤子击打成想要的形状，接着放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。王铁匠将底面积为314平方厘米的圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一个底面积为3140平方厘米的长方体容器里淬火，水面上升了2厘米。请你计算这个圆锥的高是多少厘米。（损耗忽略不计） 21．一个圆柱形的无盖水桶，从里面量，底面直径40厘米，高50厘米。用这个水桶装满水去浇花，平均每棵花用水0.5升，这桶水最多可以浇多少棵花？ 22．把一根圆木平均剖成两块，其中一块如图。（单位：厘米） （1）剖面面积是多少平方厘米？ （2）这块木料的表面积和体积各是多少？ 23．如图的“博士帽”是用黑色卡纸做成的，上面是边长30厘米的正方形，下面是底面直径16厘米、高10厘米的无底无盖的圆柱。 24．将一个长31.4厘米、宽12厘米、高10厘米的长方体铅锭铸造成底面直径是8厘米、高15厘米的圆锥形铅锭，最多能铸造多少个这样的圆锥形铅锭？ 25．用铁皮做一个圆柱形无盖水桶，底面直径是4分米，高是5分米。 （1）做这个水桶至少需要铁皮多少平方分米？（得数保留整数） （2）这个水桶最多可以盛水多少千克？（每升水重1千克） 26．我国古代的数学名著《九章算术》中的商功，记载着这样种求圆柱体积的方法：周自相乘，以高乘之，十二而。意思就是用底面周长的平方乘高，再除以12，可以得到这个圆柱的体积。（本题π的值取3） （1）利用上述方法求如图圆柱的体积。 （2）你能用所学的数学知识验证上面的结果吗？ 27．笑笑过生日，有6位小伙伴来做客。她用一大盒果汁招待同学，给每位同学倒上一杯后，剩下的倒给自己。（果汁包装盒和杯子如图，厚度忽略不计） （1）这盒果汁有多少毫升？ （2）笑笑喝了这盒果汁的几分之几？ 28．有一种容器，从前面和右面看都是大小相同的长方形，从上面看是圆形。 （1）这个容器的占地面积是多少平方厘米？ （2）这个容器的容积是多少立方厘米？（容器壁厚度不计） （3）将一个圆锥形的铁块投入盛有水的容器并没入水中，这时水面上升6厘米（水未溢出），铁块的体积是多少立方厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $