北京东城区2025-2026学年第一学期期末样卷高一数学试卷（2026.1）

2025一2026学年第一学期期末样卷 高一数学 2026.1 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试 卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。 (1)已知集合A={1,2),B={x一1<x<k),且A二B,则实数飞的值可以为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (2)命题“3x∈R,sinx十cosx>0”的否定是 (A)/x∈R,sinx+cosx≤0 (B)]x∈R,sinx+cosx≤0 (C)Hx∈R,sinx+cosx<0 (D)]x∈R,sinx+cosx<0 (3)不等式2<0的解集是 x十1 (A)(2,+∞) (B-1,2) (C)(-∞，2) (D)(-∞，-1)U(分，+∞) (4)设a,b,c∈R,且a<b<c,则下列结论一定正确的是 (A)a+c>2b (B)ab<ac (C)a3<c3 (D)sina<sinb (5)下列函数中是偶函数且值域为R的是 (A)f(x)=x2 (B)f(x)=1 (C)f(x)=1g x (D)f(x)=tanx (6)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合， 终边与单位圆的交点P到x轴的距离为，则cos2a的值为 7 (B)一 25 (C) 酷 (D)- 24 25 高一数学第1页（共6页） (7)已知a>0,b>0,则“a十b>2”是“，√ab≥1”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (8)已知函数f(x)=sin2x,将其图象进行如下两种变换： ①先向左平移a(0<a<x)个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变）； ②先将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移b(0<b<π) 个单位长度， 若两种变换后得到的函数图象完全重合，则以下结论正确的是 (A)a=b (B)a=26 C)2a=b (D)2a-b=π (9)在日常生活中，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级L,=20g之，其中常数p如 Po (>0)是听觉的下限阈值，力是实际声压.按普通人的听觉，常见场景的声压级 如下： 常见场景 声压级/dB 极安静环境 0~20 安静环境 20≈40 日常轻声环境 4060 4 已知正常对话的声压约为2×10-2Pa,声压级约为60dB(参考数据：lg2=0.3010, 1g3=0.4771),则 (A)当声压变为原来的两倍时，声压级一定变为原来的两倍 (B)在极安静环境里，声压不超过2×10-5Pa (C)在日常轻声环境里，最大声压与最小声压的比值不超过8 (D)若某图书馆的声压约为3X10一4Pa,则该图书馆属于安静环境 (10)已知函数f(x),若存在常数k(>0),使得对Vx∈R都有f(x十)=f(x),则这 个函数可以是 (A)f(x)=mx+1(m>0) (B)f(x)=(x-b)2(b>0) (C)f(x)=a(a>2) (D)(x）=cos(2πx+p)(Ip<5) 高一数学第2页（共6页） 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (11) (本题见校本卷) (12) (本题见校本卷) (13)已知命题p:若a,β∈(0,2元]，且cosa=一cosB,则sina=sin3.能说明力为假命题的 一组a与B的值为a= B= |xl,x≤1， (14)已知函数f(x)= (a为常数).若f(x)存在最小值，则a的一个取值 2+a,>1 为 ;若存在实数m,使得方程f(x)=m恰有三个实数根，则a的取值范围 是 (15)关于定义域为R的两个函数f(x),g(x),给出下列四个结论： ①若f(x),g(x)均为偶函数，则f(x)十g(x)为偶函数； ②若f(x),g(x)均有最大值，则f(x)g(x)有最大值； ③若f(x)十g(x)为增函数，则f(x),g(x)可以不都是增函数； ④若f(x)g(x)是以T为周期的函数，则f(x),g(x)均是以T为周期的函数. 其中正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题13分) 已知集合A={x2x一4≥0}，B={x|m<x<m十3}，其中m∈R. (I)求集合CRA; (Ⅱ)若A∩B={x2≤x<4},求AUB. 高一数学第3页（共6页） (17)(本小题13分) 已知函数f(x)=coSwx一√3 sinox+b(0<w<3)的最大值为3，再从条件①、条件② 这两个条件中选择一个作为已知. (I)求w,b的值； (Ⅱ)求f(x)的单调递增区间， 条件①：f(x)图象的两条相邻对称轴的距离为， 条件@：f(x)的一个零点为吾 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分， (18)(本小题14分) 已知关于x的不等式a(x2一1)>2x+2. (I)当a=1时，求此不等式的解集； (Ⅱ)若该不等式的解集为(-1，号)，求0的值： (Ⅲ)若该不等式对于x>3恒成立，求a的取值范围， 高一数学第4页（共6页） (19)(本小题15分) 已知函数f(x)=log2(ax2+1)一log2x的图象经过点(1,1). (I)求函数f(x)的解析式； (Ⅱ)判断函数f(x)在(1，+o∞)上的单调性，并用单调性的定义证明； (Ⅲ)若存在实数m,m≠n)使得f(m)=),证明：f(m去)>1， (20)(本小题15分) 在天文学中，变星是指亮度会随时间变化的恒星，天文学家常用“视星等”来描述恒 星的亮度.造父变星是一类“视星等”随时间t呈周期性连续变化的变星，其“视星 等”m(t)随时间t的变化可近似地用函数m(t)=Asin( 2十p)十B来表示，其中A 为振幅，T为光变周期，B为平均“视星等”，为初相且|p<.一个天文学团队 于每晚20：00记录某颗造父变星的“视星等”，设第一次记录时间为t=0.下表为连 续10次的记录数据： 观测时间t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 “视星等”m(t) 4.5 5.0 4.5 3.5 3.0 3.5 4.5 5.0 4.5 3.5 根据该天文学团队的记录数据，回答下列问题： (I)求该造父变星的光变周期T和平均“视星等”B; (Ⅱ)求t=3,5时该造父变星的“视星等”； (Ⅲ)已知“视星等”数值越小，亮度越大.若变星在其一个光变周期内“视星等”不高 于3,2的时间能够达到该光变周期的。及以上，则该天文学团队便将这颗变 星的亮度视为“合格”，据此判断该造父变星的亮度是否“合格”，并说明理由。 高一数学第5页（共6页） (21)(本小题15分) 设M是由有限个正整数构成的集合，记M为集合M中的元素个数.若存在非空 集合A1,A2,…,Am,B1,B2,…,Bn使M=A1UA2U…UAm=B1UB2U…UBm, 且满足如下两个条件，则称A1,A2,…,Am,B1,B2,…,Bm为集合M的m维伴随 拆分： ①对Vi≠j(i,j=1,2,…,m),A:∩A,=0,B:∩B;=必； ②对Vi,i=1,2,…,m,若A:∩B;=0,均有|A:UB,|≥m. (I)若M={1,2,3,4}. ()请写出一个集合M的2维伴随拆分； (i)证明：集合M不存在3维伴随拆分； (Ⅱ)若集合M存在10维伴随拆分，求M的最小值， (考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效) 高一数学第6页（共6页） 2025一2026学年第一学期期末样卷 高一数学参考答案及评分标准 2026.1 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） (1)D (2)A (3)B (4)C (5)C (6)A (7)B (8)C (9)D (10)D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） (11)（见校本卷答案) (12)（见校本卷答案) (13)平；平（答案不唯-） (14)1(答案不唯一)；(0,1) (15)①③ 三、解答题（共6小题，共85分） (16)(共13分) 解：(I)因为2x-4≥0，所以x≥2. 所以A={x|x≥2).所以CRA={x|x<2). 6分 (Ⅱ)因为A=(x|x≥2}，B={x|m<x<m+3),A∩B={x|2≤x<4), 所以m<2且m+3=4.解得m=1. 所以B={x|1<x<4}. 所以AUB=(x|x>1).…13分 (17)(共13分) 解：f)=2(分-9nme)+6=2(号-n号+b 3 -2cos(wx+3)+6. 因为f(x)的最大值为3，所以当wx+否=2元(k∈Z)时，2十b=3. 解得b=1.… 5分 若选①： （1)由了代)图象的两条相邻对称轴的距离为受，知号=受，故T=-,解得。=2 所以f(x)=2c0s(2x+)+1.… …8分 (Ⅱ)因为y=cosx在[2kπ一π，2kx](k∈Z)上单调递增， 令2km-x≤2x+吾≤2kx(k∈Z),得km-≤<kr-晋（∈Z). 高一数学参考答案及评分标准 第1页（共4页）》 所以(x)的单调递增区间为[km-2至，kx一晋]k∈2.13分 若选②： (I)由f(x)的-个零点为答，得f(答)=0，即c0s[答(w+2)]=- 所以答（o十2)=2k+或晋(a+2)=2kx+(k∈2刀，即w=12k+2或w=12k+6k∈D. 因为0<ω<3，所以仅当k=0,w=2时满足题意， 所以f(x)=2c0s(2x+号)+1.… 8分 （Ⅱ)同选①.…………………13分 (18)(共14分) 解：(I)当a=1时，不等式化为x2一2x一3>0，即(x+1)(x一3)>0， 解得x>3或x<-1. 所以此不等式的解集为{x|x>3或x<一1. …5分 (Ⅱ)由a(x2-1)>2x+2,得ax2-2x-a-2>0. 因为不等式的解集为(-1，宁， 所以a<0且-1+了-名 解得a=一3. 经检验，符合题意.…………………10分 (Ⅲ)因为该不等式对于x>3恒成立，所以>2红十2=2 x2-1-x-1 由>3，得x-1>2,于是0<2<1. 所以a的取值范围为[1，十0∞).…14分 (19)(共15分) 獬：(I)根据题意，得log2(a+1)一log21=1,解得a=1. 所以f)=log,(2+1)-lgx=log(x+,z∈(0，+eo.…4分 (Ⅱ)函数f(x)在(1，+∞)上是单调递增的， 任取>>1，令=十子4=十号 所以1-=(+)-(x+)=(-2)(1-1). 因为x1>x2>1,所以t1>t2>1. 高一数学参考答案及评分标准 第2页（共4页）》 从而f)-fx)=log2名>0，即f)>fx 所以函数f(x)在（1，十∞)上是单调递增的.…10分 (Ⅲ)因为函数f(x)=log:(x+),定义域为(0，+∞). 由存在实数m,n(m≠n)使得f(m)=f(n), 得1og:(m+分)=log(a+),且m>0,n>0. 因为y=log2x在(0，十∞)上单调递增， 所以m十1=n+1,化简得mn=1. 由基本不等式，得"”>√mn=1. 由（Ⅱ）可知f(x)在(1，+∞)上单调递增， 所以f安>f1)=1.… ………15分 (20)(共15分) 解：(I)由表可得该造父变星的光变周期T=6. 因为“视星等”的最大值为5.0，最小值为3.0， 所以平均“视星等”B=5.0十3.0=4. 2 ……………3分 (Ⅱ)由表可得振幅A=5.0,3.0=1, 2 所以m()=sin(等+p)+4. 又因为m(1)=5,所以sin(号+p)=1. 所以号十9=受+2k元，k∈Z,即9=吾+2k元，k∈乙. 又因为lp<受，所以p=吾 所以m()=sin(受+君)+4. 所以m(3.5)=sin(等×3.5+吾)+4=sin5+4=-9+4. 23 2 …10分 (Ⅲ)该造父变星的亮度“合格”. 因为[.5,4.5时，+音c号警1sin(爱4+骨)[-1.-1， 高一数学参考答案及评分标准 第3页（共4页） 所以“视星等”m()∈[3，-+4幻. 因为-5+4≈3.13，所以[3.5,4.5]时“视星等”7m()<3.2. 2 因为该造父变星的光变周期T=6,所以。T=1. 所以该造父变星在其一个光变周期内“视星等”不高于3.2的时间能够达到该光变周 期的令及以上 所以该造父变星的亮度“合格”.……… 15分 (21)(共15分) 解：（I)(i)A1=B1=〈1,2}，A2=B2={3,4}(不唯一).… 4分 (ii)假设集合M存在3维伴随拆分，由于|M=4, 所以|A;,|B,1只能取1或2，i,j=1,2,3. 不妨设A1={a},A2={b},A3={c,d},B1={x},B2={y},B3={之，w}, 其中{a,b,cd}={x,y,之，w}={1,2,3,4} 若a=x,则A1∩B2=必，而|A1UB2|=2<3,不合题意； 若a=y,则A,∩B,=财，而1AUB1|=2<3,不合题意； 若a=之或w,则A,∩B1=,而|A,UB|=2<3,不合题意 所以假设不成立.所以集合M不存在3维伴随拆分.…9分 (Ⅱ)不妨设A1,A2,…,A0,B1,B2,…,B1o中元素最少的集合为A1, 且A∩B,≠必，j=1,2,…,k;A1∩B,=0,j=k+1,…,10. 记引Al=x,由B,∩B,=0,i≠j(i,j=1,2,…,10),可得k≤x 由条件②知，对Hj=k+1,…,10,lA1UB1≥10，得|B,1≥10-1A11=10-x. 于是|M|=(|B1|+|B2|+…+|BI)+(|B+1|+…+IB1oI) ≥kx+(10-k)(10-x)=2(x-5)(k-5)+50. 当x≤5时，有k≤5，则2(x-5)(k-5)+50≥50，所以|M≥50. 当x>5时，1M|=|A,+|A2|+…+|Ao|≥10|A1|=10x>50. 综上，1M≥50. 当A1=B1={1,2,3,4,5},A2=B2={6,7,8,9,10},…, Ao=B1o={46,47,48,49,50}时，M=50. 所以M的最小值为50.………………15分 高一数学参考答案及评分标准 第4页（共4页）