23.3 一次函数与方程(组)、不等式-【指南针·课堂优化】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

23.3 一次函数与 第1课时 知识梳 理 一次函数y=kx十b(k≠0) 当y=0时，kx+b=0,所以方程kx+b=0 的解是直线y=kx+b(k≠0)与 轴交点的 坐标 当y>0时，kx十b>0,所以不等式kx十b> 0的解集是使直线y=kx十b(k≠0)位于x轴 部分对应x的取值范围。 当y<0时，kx十b<0,所以不等式kx+b< 0的解集是使直线y=kx十b(k≠0)位于x轴 部分对应x的取值范围. 典例 精析 知识点○ 一次函数与不等式的关系 例1如图，直线y=kx十b经过A(2,1),B (-1,-2)两点，则不等式2x>kx+b>-2的 解集为 v=kx+b B 分析：作出y=2x的图象，由两点求出y kx十b的解析式为y=x一1，求出两直线的交 ,点，由图可得结论 例2甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线 由A地到B地，行驶过程中路程与时间的函数 关系的图象如图所示.根据图象解决下列问题： (1)谁先出发？先出发多少时间？谁先到 ·7 第二十三章一快属数 方程（组）、不等式 达终点？先到多少时间？ (2)分别求出甲、乙两人的行驶速度； (3)在什么时间段内，两人均行驶在途中 (不包括起点和终点)？在这一时间段内，请你 根据下列情形，分别列出关于行驶时间x的方 程或不等式（不化简，也不求解）：①甲在乙的前 面；②甲与乙相遇；③甲在乙后面. ◆川千米 6 O51015202530分钟 随堂巩固 1.已知一次函数y=kx十b的图象如图所示，则 当0<x<1时，y的取值范围是 () A.y>0 B.y<0 C.-2<y<0 D.y<-2 B 10 第1题图 第2题图 2.如图，直线y=ax十b(a≠0)过点A(0,4), B(-3,0),则方程ax+b=0的解是() A.x=-3 B.x=4 C.z--3 D.x=-3 4 指南针·课堂优化·八年级下册·数学(R) 3.若直线y=2x十b与x轴交于点A(一3,0)， 则方程2x+b=0的解是 4.在平面直角坐标系中，直线y=kx+3经过点 (一1,1)，则不等式x+3<0的解集为 5.如图，l1,2分别表示一种白炽灯和一种节能 灯的费用y(费用=灯的售价十电费，单位： 元)与照明时间x(单位：小时)的函数图象.假 设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效 果一样. y元 6 20 17- 2 O5002000 小时 (1)根据图象分别求出1，l2的函数解析式； (2)当照明时间为多少时，两种灯的费用 相等？ (3)小亮房间计划照明2500小时，他买了一个 白炽灯和一个节能节，请你帮他设计最省钱 的用灯方法（直接给出答案，不必写出解答过 程). 7 第2课时 知识梳理 1.两个函数图象的交点坐标即为两个函数 解析式联立的 的解 (1)二元一次方程组无解台两个一次函数 的图象平行（无交点）； (2)二元一次方程组有一解台两个一次函 数的图象相交（有一个交点）； (3)二元一次方程组有无数个解台两个一 次函数的图象重合（有无数个交点）. 2.平行于x轴的直线的解析式为 平行于y轴的直线的解析式为 典例精析 知识点1)一次函数与二元一次方程的关系 例1如图，两条直线y=1x十b和y= y=kix+61, k2x十b2相交于点A,则方程组 的 y=k2x+62 解是 ( VA/+b y=kx+b x=2, x=一2， A. B. y=3 (y=3 x=3, C. D.3, (y=-2 y=2 分析：由图可知，点A的坐标是（一2,3），代 y=k1x十b, 入方程组 可得结论 y=k2x十b2 知识点2方程与函数的应用 例2五月初五端午节，某市举办划龙舟比 赛.其中甲、乙两队在比赛时，路程y(单位：千 米)与时间x(单位：小时)的函数关系如图所示. 甲队在上午11时30分到达终点， ◆路程/千米 40 16 D 0 0.5 11.522.5时x小时 (1)哪个队先到达终点？乙队何时追上 甲队？ (2)在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？ ·7 第二十三章一快函数 随 堂 巩 固 1.在同一平面直角坐标系中，若一次函数 y=x+3与y=3x+5的图象交于点M,则点 M的坐标为 () A.（-1,4) B.(-1,2) C.(2,-1) D.(2,1) 2.用图象法解二元一次方程组时，在同一平面 直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图 象（如图），则所解的二元一次方程组是 [x+2y-2=0, 2x-y-1=0, A. B. 3x-2y-1=0 3x-2y-1=0 2x-y-1=0, x+y-2=0, D. 3x+2y-5=0 2x-y-1=0 3.已知直线y=2x-4和直线y=-3x+1交于 2x-y=4, 一点(1，-2)，则方程组 的解是 3x+y=1 4.表1给出了直线4上部分点(x,y)的坐标值， 表2给出了直线2上部分点(x,y)的坐标值. -2 0 2 -2 0 2 3 y -3-1 表1 表2 那么直线1和直线l2的交点坐标为 3 指南针·课堂优化·八年级下册·数学(R) 5.已知：如图，直线l1与y轴的交点坐标为(0， 一1)，直线12与x轴的交点坐标为(3,0)，两直 线的交点为P(1,1),解答下面问题： (1)求出直线l1、2的解析式； (2)请列出一个二元一次方程组，要求能够根 据图象所提供的信息条件直接得到该方程组 (x=1 的解为 y=1 (3)根据图象判断当x为何值时，1、l2表示的 两个一次函数的函数值都大于0？ P(1,1) 2 6.已知一次函数)y=一2x+b的图象与y轴交 于点A,与x轴交于点B,与正比例函数y= 2x的图象交于点C(1,a) (1)求a,b的值； (2x-y=0, (2)方程组1 2x+y=6的解为 (3)在y=2x的图象上是否存在点P,使得 △BOP的面积比△AOP的面积大5？若存 在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存 在，请说明理由、 74第二十三章一次函数 23.1一次函数的概念 知识梳理 1.y=kx十b(k,b是常数，k≠0) 2(-) (0,b) 随堂巩固 1.D2.B3.14.(1,0)(0,-2) 5.(1)y=x+20,它是一次函数. (2)自变量x的取值范围是x≥0. 6.(1)k=-1(2)a=-3 23.2一次函数的图象和性质 23.2.1正比例函数的图象和性质 知识梳理 1.y=kx(k是常数，k≠0)2.原点(0,0) 3.(0,0)和(1，k) 随堂巩固 1.A2.C3.①⑥4.-3 5.(1)m>-2(2)m<-26.略 7.(1)这三个正比例函数的图象都具有以下性质： ①都是直线，②都经过原点，③都只经过两个象 限（一条即可） (2波- 23.2.2一次函数的图象和性质 随堂巩固 1.C2.B3.-1<m<34.平行 5.(1)m=4(2)-3≤y≤0 6.(1)当k=-3时，函数图象过原点. (2)当k=±√10时，函数的图象过点(0，一2). (3)当=4时，函数图象平行于直线y=一x. (4)当>3时，y随x的增大而减小 7.(1)y与x的函数解析式为y=6x一4， (2)当x=-2时，y=-16. 29 指南针·课堂优化·八年乡 (3)△MOB的面积为号 23.2.3 待定系数法 知识梳理 函数解析式解析式待定系数法 随堂巩固 1.A2B3三42 b<0 5.(1)23(2)4 (3)l1:1=x,l4:%=2x+2 (4)w=7x-2,x=14台 23.3一次函数与方程（组）、不等式 第1课时 知识梳理 x横上方下方 随堂巩固 1.C2.A3.x=-34x<- 3 5.(1)l1的函数解析式为y=0.03x+2,l2的函数 解析式为y=0.012x+20. (2)当照明时间为1000小时时，两种灯的费用 相等 (3)节能灯使用2000小时，白炽灯使用500小 时最省钱，合计费用61元. 第2课时 知识梳理 1.方程组 2.y=b x=a 随堂巩固 1.B2.D x=1, 3. 4.(2,-1) y=-2 5.(1)直线11的解析式为y=2x-1 直线6的解析式为y=方x十号 x=1, (2)3 y=1. (3)根据图象可得1、2表示的两个一次函数的 下册·数学参考答案(RJ) 函数值都大于0时，2<x<3。 (2)y与x之间的函数解析式为y=60x-90(3 ≤x≤6) 6.(1)a=2,b=2.5. (2) x=1, (3)甲加工5小时，甲与乙两台机器还剩余60 y=2. 个零件没加工 (3)存在， 3.(1)y与x的关系式为y1=8.4x+30;y2与x 点P的坐标为（传，号）减(-号，-) 的关系式为y2=7.2x+48 (2)去乙家比较合算 23.4 实际问题与一次函数 4.(1)y1=0.8x+60(x>300),y2=0.85x+30(x 随堂巩固 >300 1.D (2)当y1<y2时：0.8x+60<0.85x+30, 2.(1)y1=10x+120,y2=9x+144. 解得x>600; (2)当x=20时，方案1更优惠. '.当y1=y2时，x=600; (3)当学生有24人时，两种方案一样优惠. 当y1>y2时，x<600. 80(0<x≤30)， ∴.当购物超过600元时，到甲超市购物更优惠： 3.(1)y1=3x+50,y2= 5x-70(x>30). 当购物少于600元时，到乙超市购物更优惠； (2)从日工资收入的角度考虑， 当购物等于600元时，两家超市花费一样多. ①当0<x<10或x>60时，y2>y,他应该选 数学活动 择方案二； ②当10<x<60时，y1>y2,他应该选择方1.(1)①一次②V=5t+2(2)19.6分钟 案一 2.(1)常量常量(2)h十ax ③当x=10或x=60时，y1=y2,他选择两个方 (3)①h的值为8.5cm,a的值为0.6cm; 案均可. ②最多能将52个纸杯叠放在一起 专题训练四 综合与实践 音乐与数学 1.A2.A3.B4.D5.D6.D 1.(1)高图略 (2)337 30(3)0=1+331 7.(1)h=号b=3,C2,4) (4)431 (2)D(-4,1)或(-8，-1) 550 8.(1)直线BC的解析式为y=一x+6 章未复习 (2)点G的坐标为(4,2)或(2,4) 变式训练 专题训练五 1.-22.A3.-5114.x>2 1.(1)30 5.(1)A种盐皮蛋每箱价格为30元，B种盐皮蛋 (2)y关于x的函数解析式是y=-0.5x+105 每箱价格为20元 (3)当新能源纯电动车已行驶160千米时，蓄电 (2)购买18箱A种盐皮蛋，12箱B种盐皮蛋才 池的剩余电量25千瓦时 能使总费用最少，最少费用为780元. 2.(1)27020 30