第二十一章 四边形 数学活动-【指南针·课堂优化】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

数学活 活动1黄金矩阵 1宽与长的比是5。（约为0.618）的矩形叫作 黄金矩形.黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值， 给我们以协调和匀称的美感。我们可以用这 样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD,分 别取AD,BC的中点E,F,连接EF;以点F 为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线 与点G;作GH⊥AD,交AD的延长线于点 H.则图中下列矩形，除黄金矩形DCGH外， 还有黄金矩形 C A.矩形ABFE B.矩形EFCD C.矩形ABGH D.矩形EFGH 2.综合与实践：黄金矩形给我们以协调、匀称的 美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳 的视觉效果，都采用的黄金矩形的设计，如希 腊的巴特农神庙等。 实践操作：下面我们折叠出一个黄金矩形（如 图所示)： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的 方法折出一个正方形，然后把纸展平. M 图1 图2 第二步：如图2，把这个正方形折成两个相等 的矩形，再把纸片展平. 51 第二十一章四边形 动 第三步：折出内侧矩形的对角线AB,并把AB 折到图3中所示的AD处， M B D 图3 M B E 图4 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出DE, 矩形BCDE(图4)就是黄金矩形. 问题解决： (1)请在图1中证明四边形MNCB是正 方形； 指南针·课堂优化·八年低下册·数学(R) (2)若MN=4,请通过计算C来说明矩形 BCDE是黄金矩形 活动2剪拼正方形 3.数学活动课上，学习小组开展“剪拼正方形” 实践活动，过程要求无损耗、无重叠， 【初步尝试】 (1)如图1，长方形纸片ABCD可看作由2个 全等的小正方形组成，E是AD的中点，沿着 BE,CE剪2刀，得到3块图案①，②，③，保持 ③不动，移动①，②，可以拼接成一个大正方 形纸片BFCE.若AB=1,则BF= ① ② ③ 图1 【深人实践】 (2)如图2，“十字形”纸片可看作由5个全等 的小正方形组成，已知点A,B在正方形网格 的格点上，C,D是纸片边上的中点.沿着AB, CD将这个“十字形”纸片剪2刀，得到4块图 案①，②，③，④，保持①不动，移动②，③，④， 可以拼接成一个大正方形纸片.请在正方形 网格中画出拼接后的大正方形，并标注对应 52 的编号 ② ③ ① ④D 图2 【拓展迁移】 (3)如图3，同学们从刘徽设计的“青朱出入 图”受到启发，将两个边长不等的正方形纸片 ABCD,FCEF剪拼成一个大正方形纸片 BQPG.P,M,N为剪痕与原正方形边的交 点，已知AB=3,EN=1. G 青出 M A床 B 朱入W 青入 图3 ①HQ= ,HN=; ②求正方形BQPG的边长，指南针·课堂优化·八年 3.360°360°4.(n-2)×180°360° 21.3特殊的平行四边形 随堂巩固 1.B2.C3.C4.D5.C6.2 21.3.1矩形 7.(1)转化思想540°720°类比思想 8.(1)①100°②6(2)证明略 第1课时 知识梳理 21.2平行四边形 1.直角2.都是直角相等 经过对边中点的直 线3.一半 21.2.1 平行四边形的性质 随堂巩固 第1课时 知识梳理 1.C2.B3.34 2 4.5.85.证明略 2.(1)平行且相等 (2)①相等 ②互补 第2课时 随堂巩固 知识梳理 1.D2.D3.3 (1)平行四边形 (2)相等 (3)三 4.100°5.证明略 随堂巩固 第2课时 1.C2.D3.平行四边形 矩形4.5 知识梳理 5.(1)证明略 (2)证明略 (1)平行且相等(2)相等互补 (3)平分 21.3.2菱形 随堂巩固 第1课时 1.B2.B3.16 知识梳理 4.24385.证明略 :1.相等 21.2.2平行四边形的判定 2.一切性质 相等互相垂直平分 一组对角 知识梳理 底×高（或对角线乘积的一半）两条对角线所 (1)①分别平行②分别相等 ③平行且相等 在的直线 (2)分别相等(3)互相平分 随堂巩固 随堂巩固 1.B2.B3.3 4.64cm 1.C2.B3.64 5.AC=2,BD=23,S菱形ABCD=23. 4.125.证明略 第2课时 21.2.3三角形的中位线 知识梳理 知识梳理 (1)平行四边形(2)四 (3)互相垂直 1.两边中点对边中点 (4)互相垂直平分 2.平行于 一半 随堂巩固 随堂巩固 1.D2.B 1.B2.C3.284.30m 3.AC⊥BD(答案不唯一) 5.(1)证明略(2)DM的长为4. 4.(5,4)或(45,4) 6.线段EF的长是 5.证明略 27 及下册·数学参考答案(RJ) 21.3.3正方形 第1课时 知识梳理 (1)垂直平分且相等，并且每条对角线平分一组对 角(2)轴4(3)W2aa2 随堂巩固 1.D2.C3.33√245°4.22.5° 5.(1)证明略 (2)四边形BEDF的周长为8√5. 第2课时 知识梳理 一组邻边相等矩形 随堂巩固 1.D2.C3.8 4.有一组邻边相等的矩形是正方形 5.证明略 专题训练三 1.(1)∠CGH=∠DFE,理由略 (2)①GH平分∠AGE,理由略 ②∠HGE=64° 2.(1)D(0,5) (2)在x轴上存在点M,使以M、N、E、O为顶 点的四边形是菱形，点M的坐标为(4,0)或( 4,0或（号0）或(4o 3.(1)证明略 (2)当t=3或t=9时，四边形BEDF为矩形 4.(1)a=5(2)a的值为1或3 5.(1)证明略(2)EF的最小值为4 6.(1)证明略(2)AB的最小值为4√3-2 数学活动 1.C2.(1)证明略(2)证明略 3.(1)√2(2)图略(3)①32 ②答：正方形BQPG的边长是3国 2 第二十二章函数 22.1函数的概念 第1课时 随堂巩固 1.C2.D3.D 4.号和aS和n 5.Q=40-5tQ和t40和-5 第2课时 知识梳理 x y x b a 随堂巩固 1.C2.C3.y=10-0.5t0≤t≤20 49昌 5.(1)y=12+2t(0≤t≤120). (2)y1=252-4t(0≤t≤63). 22.2函数的表示 第1课时 知识梳理 1.横纵图象 随堂巩固 1.A2.C3.B4.①②④5.220 第2课时 知识梳理 1.(1)列表函数值(2)描点(3)连线 由小到大曲线①自变量代表②多精 确5到7③顺次 2.列表法解析式法 图象法 随堂巩固 1.C2.D3.31 数学活动 1.(1)图略(2)①0.55②51<x<79③8 28