第二十章 勾股定理 数学活动&章末复习-【指南针·课堂优化】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

格南针·课堂优化·八年纸下册·数学(RJ) 数学 活动利用勾股定理绘制图案 1.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边 形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形.若正方形A,B,C,D的面积分别是3,5， 2,3,则正方形E的面积是，正方形F的 面积是 ,正方形G的面积是 D B 第1题图 第2题图 2.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方 形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角 线OB1为边作正方形OB1B2C2,再以正方形 OBB2C2的对角线OB2为边作正方形 OB2B3C3,以此类推·、则正方形OB2o23B2o24 C2024的顶点B2024的坐标是 3.图1是第七届国际数学教育大会(ICME-7) 的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直 角三角形演化而成的.若图2中的OA1= A2A2=A2A3=·=1,按此规律继续演 化，… ICME.7 图1 图2 (1)线段OA12的长为 (2)若S代表△A1OA2的面积；S2代表 △AOA3的面积，以此类推；S1代表△A1OA2 的面积，则S+S号+S号+…十S号的值为 2 活动 项目 我校八年级兴趣小组对“勾股树”展开了 背景 研究 毕达哥拉斯树，也叫 “勾股树”.是由毕达哥 拉斯根据勾股定理画 素材 出来的一个可以无限 重复的树形图形，因为重复数次后的形状好 似一棵树，被称为毕达哥拉斯树， 经过小组讨论，制定了如下规则： 1.画出不同类型三角形形成的树形图； 素材二 2.所画的基础三角形周长均为7cm,其中一 条边长固定为2cm,根据规则，三位同学分别 画出了不同类型的树形图并进行探究. S 素材三 类型① 类型② 类型③ 解决问题 小明画出了锐角△ABC,AB=AC,BC= 任务 2cm,则S2= cm2. 小金画出了直角△DEF,∠DFE=90°，EF -2cm,计算S2的值，并写出过程. 任务二 小山画出了钝角△GHI,∠GIH=120°，H1 任务三 =2cm,则S2= cm2, 6 第二十章自股定理 章末复习 知 识结构 二、直角三角形的判定一勾股定理的逆定 互逆定理 理(（“数转化“形”）。 勾股定理 勾股定理的逆定理 例2若△ABC的三边长为a,b,c,根据下 直角三角形边 长的数量关系 直角三角形的判定 列条件判断△ABC的形状， (1)a2+b2+c2+200=12a+16b+20c; 专 题 讲 解 (2)a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0. 一 、勾股定理 例1 (1)如图1，直线l上有三个正方形a, b,c,若a,c的面积分别为5和11，则b的面积为 ( ) 图1 A.4 B.6 C.16 D.55 (2)如图2是一个外轮廓为长方形的机器零 件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm),计 算两圆孔中心A和B的距离. 160:C 150 60 180 图2 分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股 定理计算即可 规律与方法：对于给出三角形三边关系的式子， 常用“因式分解法”或“配方法”求出三边或三边 的简单关系，再判断三角形的形状. ·27· 指南针·课堂优化·八年级下册·数学(R) 例3如图，等边三角形ABC内一点P, AP=3,BP=4,CP=5,求∠APB的度数. 三、勾股定理及其逆定理的应用 例4如图所示，在一棵树的10m高的B 处有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的 池塘A处，另外一只爬到树顶D后直接跃到A 处，距离以直线计算.如果两只猴子所经过的距 离相等，试问这棵树有多高？ D B 分析：其中一只猴子从B→C→A共走了 (10+20)=30m,另一只猴子从B→D→A也走 了30m,并且树垂直于地面，于是这个问题可划 归到直角三角形中利用勾股定理解决！ 规律与方法：利用“方程思想”，通过合理设未知 数，然后利用勾股定理作等量关系列方程求解， 2 例5如图，长方体的长BE=15cm,宽 AB=10cm,高AD=20cm,点M在CH上，且 CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面 从点A爬到点M,需要爬行的最短距离是多少？ M D B 分析：最值问题的解题思想是化“曲折”为 “直”，利用“两点之间，线段最短”原则求解.由 此需将长方体表面展开，需分三种情况讨论：① 前面和上面；②前面和右面；③左面和上面. 70 20 ”””””””””””””””””””””””下”””””””””””””””””””””””””””””””””” 规律与方法：表面展开有多种情况，需分类讨论 8第十九章二次根式 19.1二次根式及其性质 知识梳理 1.非负数2.≥≥ 随堂巩固 1.C2.D3.-104.-b 5y=4或y=日 6.边长c的取值范围是1<c<5, 7.-2a-b+2c 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时 知识梳理 1.√ab2.√a·√6 随堂巩固 1.A2.A3.(1)-603(2)2ab√5a 4.14√145.(1)√10(2)6√3(3)a6 (4)43(5)20w6 (6)mn 第2课时 知识梳理 随堂巩固 1.D2.D3.2√7 4a器 (2) (3)26a 10 3a2 (4) 5.(101(2)号2 (3)交 (4)- 指南针·课堂优化·八年级下册·数学参考答案(RJ) 指南针·课堂优化·八年级下册·数学同步参考答案 19.3二次根式的加法与减法 第二十章 勾股定理 (2)四边形ABCD的周长为√10+3√5十5，四边 形ABCD的面积为12.5. 第1课时 (3)证明略 20.1 勾股定理及其应用 知识梳理 5.(1)∠BDC=45° 1.最简二次根式2.相同4.不变 第1课时 (2)公园与小明家的距离为√58km. 随堂巩固 知识梳理 专题训练二 1.D2.C3.6-73 1.斜边c2 4.05.(1)43 随堂巩固 1.c2z-3)+64=23号 (2)9√/2-5√6+√3 1.A2.D3.1004.14 4.(1)证明略(2)M点与小岛P之间的距离为 第2课时 第2课时 16√3海里 知识梳理 知识梳理 (3)如果渔船不改变航线继续向东航行，不会有 2.乘方乘除加减3.最简二次根式 1.(1)互余 (2)一半(3)直角斜 触礁危险，理由略 随堂巩固 随堂巩固 5.C6.257.68.A9.C10.711.10cm 1.B2.B3.C 1.C2.A3.24.125.17km 12.(1)CH是从村庄C到河边的最短路线，说明 4.(1)9(2)2-1(3)11 6.(1)CE=21.6(米)(2)8米 略(2)原来的路线AC的长为5千米 13.C14.1015.15 5.(1)16-122 (2)25-5 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 16.(1)△ABC是直角三角形 专题训练一 第1课时 (2)线段CD的长为号 1.(1)-5(2)3√2+3(3)2+43 知识梳理 1.(1)逆命题(2)逆定理 (3)一定 不一定 数学活动 2.C3.A4.D5.A6.a7.14V28.30 2.a2+b=c23.②钝角③锐角 92210.-2-411.-112.-2 随堂巩固 1.85132.(21012,0) 3.(1)25 (2号 6 1.C2.D3.如果两条直线只有一个交点，那么 4.任务一：6.25 数学活动 任务二：00 441 过程略 这两条直线相交真 4.等腰直角5.种植花卉所需的费用为480元 (2 2025 任务三8 1. 2 a 第2课时 四边形 2.阴影部分图形的周长为6√2cm,面积为4cm 知识梳理 第二十一章 3.(1)是23 1.(1)90° (2)互余(3)一半(4)平方和 随堂巩固 21.1四边形及多边形 (2)△ABN为等边三角形；证明略 1.D2.53.8.5 84或9 知识梳理 4.(1)BC=2√5，CD=√5. 1.四ABCD2.具有不具有 25 26