20.1 勾股定理及其应用-【指南针·课堂优化】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

第二十章自股定理 第二十章 勾股定理 20.1 勾股定理及其应用 图①：总体看，边长为“a十b”的正方形， 第1课时 S总=(a十b)2; 知 识 梳 理 部分看，一个边长为c的正方形和4个直角 1.勾股定理：直角三角形两条直角边的平 三角形，5A-2+4×76, 方和等于 的平方. S正方形aBD=(a十b)2=c2+4X号 ab, 几何语言：若a,b,c是Rt△ABC的三边，其 故a2+b=c2. 中c为斜边，则a2+b= 变式：a2=c2-b,b2=c2-a2,c2=(a+b)2 图②：S总=S部分； -2ab. S正方形ABcn=c2=(亿-a)2十4X 2a6, 2.勾股定理的应用：已知直角三角形的任意 ∴.c2=a2-2ab+b2+2ab, 两边的长，利用勾股定理可求第三边的长，即若 故c2=a2+b a,b,c是Rt△ABC的三边，其中c为斜边， 则c=√a2+形，a=√C2-形，b=√C2-a. 典 例 精 析 3.勾股定理的证明：常用的是拼图法， 知识点1 勾股定理的应用 用拼图法验证勾股定理的思路：(1)图形经 例1(1)在直角三角形中，a=3,b=4,求 过割补拼接后，不重不漏（空隙），面积是不会改 第三边的长； 变的；(2)根据同一图形的面积不同的表示方法 分析：题目没有明确说明哪一边是斜边（或 (总体和部分)，列出等式，推出勾股定理 哪一个角为直角)，需分类讨论 用四个全等的直角三角形拼成如图所示的 正方形： 图① 图② ·15. 指南针·课堂优化·八年征下册·数学(R) (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9, 随 堂巩固 BC=12,求点C到AB的离， 1.(金华中考)如图是某城市某区域的示意图， 建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐 标分别是(3,1)，(4，一2)，则下列各地点中， 离原点最近的是 ) 超市 体音场 医院 规律与方法：(1)直角三角形不明确哪一个角为 A.超市 B.医院 直角或哪边为斜边时，需分类讨论； C.体育场 D.学校 (2)涉及高（垂线）时，需考虑面积问题（等积 2.下列说法正确的是 变形法)和分高（在三角形内、上、外）讨论， A.若a,b,c是△ABC的三边，则a2+b=c2 知识点2)勾股定理在几何图形中的应用 B.若a,b,c是Rt△ABC的三边，则a2+ 例2等腰三角形的底边长为10cm,周长 b2=c2 为36cm,求等腰三角形的面积. C.若a,b,c是Rt△ABC的三边，∠A=90°， 则a2+62=c2 D.若a,b,c是Rt△ABC的三边，∠C=90°， 则a2+b2=c2 3.(成都中考)如图，数字代表所在正方形的面 积，则A所代表的正方形的面积为 第3题图 第4题图 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直 平分线交BC于点E.AC=6,AB=10,则 规律与方法：求三角形的面积，联想面积公式需 △ACE的周长为 求出三角形的高，再联想等腰三角形的“三线合 一”作底边上的高. 16· 第二十章自股定理 例2如图，长方形ABCD中，AB=3cm, 第2课时 AD=9cm,将此长方形折叠，使点D与点B重 识梳 合，折痕为EF,求△ABE的面积. 知 理 1.直角三角形的性质 (1)直角三角形两锐角 (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的 (3)在直角三角形中，如果有一个锐角是 30°，那么它所对的 边是 边的 一半； (4)勾股定理：在直角三角形中，两直角边 的平方和等于斜边的平方， 知识点2最短路径问题 2.利用勾股定理解决实际问题的一般步骤 例3如图，圆柱的底面周长为6cm,AC是 (1)将实际问题转化为数学问题； 底面圆的直径，高BC=6cm,点P是BC上一点 (2)明确已知条件及结论； (3)利用勾股定理解答，确定实际问题的 且PC-号BC.一只蚂蚁从A点出发沿者圆柱体 答案. 的表面爬行到点P的最短距离是 典 例精析 A.(Jem B.5cm 知识点①勾股定理的实际运用 C.3√5cm 例1如图，某人欲横渡一条河，由于水流 D.7cm 的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B有 分析：画出该圆柱的侧面展开图如图所示， 50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度 则蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 多10米，求该河的宽度BC P的最短距离为线段AP的长 规律与方法：解决这类问题要善于将空间图形转 化为平面图形，采用“化曲为直”的方法，利用圆 柱体的表面展开图，把求“最短距离”问题转化为 求“两点之间线段的长度”的问题。 17· 格南针·课堂优化·八年纸下册·数学（凡J) 小河 随 堂 巩 固 1.已知在直角三角形中，30°角所对的直角边的 北 牧童A? 长是2√3cm,则另一条直角边的长是( 东 b. -●B小屋 A.4cm B.4√3cm C.6cm D.6√3cm 2.小亮准备测量一段河水的深度，他把一根竹 竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面 0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的 水面刚好相齐，河水的深度为 ( ) A.2m B.2.5m C.2.25m D.3m 3.如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定 6.长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为 不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级(1) 两端A和B,然后把中点C向上拉升3cm到 班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了 D,则橡皮筋被拉长了 cm 测得风筝的垂直高度CE,他们进行了如下操 作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据 手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25 米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米. (1)求风筝的垂直高度CE; (2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则 第3题图 第4题图 他应该往回收线多少米？ 4.(宿迁中考)《九章算术》中一道“引葭赴岸”问 题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引 葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题 意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正 方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水 面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边 垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰 好碰到岸边的C处（如图），水深和芦苇长各 多少尺？则该问题的水深是尺 5.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马， 而他正位于他的小屋B的西8km北7km处， 他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家， 他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ ·18·第十九章二次根式 19.1二次根式及其性质 知识梳理 1.非负数2.≥≥ 随堂巩固 1.C2.D3.-104.-b 5y=4或y=日 6.边长c的取值范围是1<c<5, 7.-2a-b+2c 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时 知识梳理 1.√ab2.√a·√6 随堂巩固 1.A2.A3.(1)-603(2)2ab√5a 4.14√145.(1)√10(2)6√3(3)a6 (4)43(5)20w6 (6)mn 第2课时 知识梳理 随堂巩固 1.D2.D3.2√7 4a器 (2) (3)26a 10 3a2 (4) 5.(101(2)号2 (3)交 (4)- 指南针·课堂优化·八年级下册·数学参考答案(RJ) 指南针·课堂优化·八年级下册·数学同步参考答案 19.3二次根式的加法与减法 第二十章 勾股定理 (2)四边形ABCD的周长为√10+3√5十5，四边 形ABCD的面积为12.5. 第1课时 (3)证明略 20.1 勾股定理及其应用 知识梳理 5.(1)∠BDC=45° 1.最简二次根式2.相同4.不变 第1课时 (2)公园与小明家的距离为√58km. 随堂巩固 知识梳理 专题训练二 1.D2.C3.6-73 1.斜边c2 4.05.(1)43 随堂巩固 1.c2z-3)+64=23号 (2)9√/2-5√6+√3 1.A2.D3.1004.14 4.(1)证明略(2)M点与小岛P之间的距离为 第2课时 第2课时 16√3海里 知识梳理 知识梳理 (3)如果渔船不改变航线继续向东航行，不会有 2.乘方乘除加减3.最简二次根式 1.(1)互余 (2)一半(3)直角斜 触礁危险，理由略 随堂巩固 随堂巩固 5.C6.257.68.A9.C10.711.10cm 1.B2.B3.C 1.C2.A3.24.125.17km 12.(1)CH是从村庄C到河边的最短路线，说明 4.(1)9(2)2-1(3)11 6.(1)CE=21.6(米)(2)8米 略(2)原来的路线AC的长为5千米 13.C14.1015.15 5.(1)16-122 (2)25-5 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 16.(1)△ABC是直角三角形 专题训练一 第1课时 (2)线段CD的长为号 1.(1)-5(2)3√2+3(3)2+43 知识梳理 1.(1)逆命题(2)逆定理 (3)一定 不一定 数学活动 2.C3.A4.D5.A6.a7.14V28.30 2.a2+b=c23.②钝角③锐角 92210.-2-411.-112.-2 随堂巩固 1.85132.(21012,0) 3.(1)25 (2号 6 1.C2.D3.如果两条直线只有一个交点，那么 4.任务一：6.25 数学活动 任务二：00 441 过程略 这两条直线相交真 4.等腰直角5.种植花卉所需的费用为480元 (2 2025 任务三8 1. 2 a 第2课时 四边形 2.阴影部分图形的周长为6√2cm,面积为4cm 知识梳理 第二十一章 3.(1)是23 1.(1)90° (2)互余(3)一半(4)平方和 随堂巩固 21.1四边形及多边形 (2)△ABN为等边三角形；证明略 1.D2.53.8.5 84或9 知识梳理 4.(1)BC=2√5，CD=√5. 1.四ABCD2.具有不具有 25 26