第三单元 简易方程（二）（知识清单）数学沪教版五年级下册

该小学数学简易方程（二）单元知识清单全面涵盖图形问题、和倍差倍问题、和差问题、追及相遇问题及盈亏问题七大核心内容，搭建了从公式应用到实际问题解决的递进式学习支架。 清单采用“知识点解析+典型例题+分层练习”的系统架构，每个知识点明确核心思路与数量关系，如图形问题结合周长面积公式设未知数，和倍问题以1倍数为等量关系列方程，培养学生抽象能力与模型意识。练习题覆盖选择填空解答等题型，助力学生自主梳理知识，教师可据此精准设计教学提升课堂实效。

第三单元 简易方程（二）单元知识清单讲义 知识点一：图形问题 核心思路：根据图形的周长公式、面积公式等数量关系，设未知量为未知数，列出方程求解。 关键公式： 长方形：周长=2×(长+宽)，面积=长×宽 正方形：周长=4×边长，面积=边长×边长 平行四边形：面积=底×高 三角形：面积=底×高÷2 梯形：面积=(上底+下底)×高÷2 知识点二：和倍问题 定义：已知两个数的和与这两个数的倍数关系，求这两个数各是多少的问题。 核心思路：设较小的数（1倍数）为x，较大的数（几倍数）为“倍数×x”，根据“较小数+较大数=总和”列方程。 数量关系：小数×倍数=大数；小数+大数=和 知识点三：差倍问题 定义：已知两个数的差与这两个数的倍数关系，求这两个数各是多少的问题。 核心思路：设较小的数（1倍数）为x，较大的数（几倍数）为“倍数×x”，根据“较大数-较小数=差”列方程。 数量关系：小数×倍数=大数；大数-小数=差 知识点四：和差问题 定义：已知两个数的和与这两个数的差，求这两个数各是多少的问题。 核心思路：设较小的数为x，较大的数为“x+差”；或设较大的数为x，较小的数为“x-差”，根据“两数之和=已知和”列方程。 数量关系：（和+差）÷2=大数；（和-差）÷2=小数（方程法无需死记公式，直接根据关系列方程即可） 知识点五：追及问题 定义：两个物体沿同一方向运动，速度快的物体从后面追上速度慢的物体的问题。 核心思路：设追及时间为x，根据“速度快的物体行驶路程-速度慢的物体行驶路程=初始距离”列方程。 关键公式：路程=速度×时间 数量关系：快路程-慢路程=路程差（初始距离） 知识点六：相遇问题 定义：两个物体从两地出发，沿相反方向（相向）运动，最终相遇的问题。 核心思路：设相遇时间为x，根据“甲行驶的路程+乙行驶的路程=两地总距离”列方程。 关键公式：路程=速度×时间 数量关系：甲路程+乙路程=总距离 知识点七：盈亏问题 定义：把一定数量的物品平均分给若干对象，若按某种标准分则有剩余（盈），按另一种标准分则不足（亏），求物品数量和对象数量的问题。 核心思路：设分配对象的数量为x，根据“物品总数不变”列方程（盈数+亏数=两次分配的差额×分配对象数）。 常见类型： 一盈一亏：（盈+亏）÷两次每人分配数的差=分配人数 两盈：（大盈-小盈）÷两次每人分配数的差=分配人数 两亏：（大亏-小亏）÷两次每人分配数的差=分配人数 考点一：图形问题 【典型例题】：例1：一个长方形的周长是48厘米，长是宽的2倍，求这个长方形的长和宽各是多少厘米？ 例2：一个平行四边形的面积是72平方分米，底是9分米，求它的高是多少分米？ 考点二：和倍问题 【典型例题】：甲、乙两个仓库共存粮480吨，甲仓库的存粮量是乙仓库的5倍，甲、乙两个仓库各存粮多少吨？ 考点三：差倍问题 【典型例题】：果园里苹果树的棵数比梨树多60棵，苹果树的棵数是梨树的3倍，苹果树和梨树各有多少棵？ 考点四：和差问题 【典型例题】：甲、乙两数的和是100，甲数比乙数大20，求甲、乙两数各是多少？ 考点五：追及问题 【典型例题】：小明和小刚从同一地点出发，小明骑自行车每小时行15千米，小刚步行每小时行5千米，小明出发2小时后，小刚才出发，同向而行，小刚出发几小时后被小明追上？ 考点六：相遇问题 【典型例题】：A、B两地相距360千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车每小时行65千米，乙车每小时行55千米，经过几小时两车相遇？ 考点七：盈亏问题 【典型例题】：例1：把一些糖果分给小朋友，如果每人分4颗，还剩12颗；如果每人分6颗，就缺8颗。有多少个小朋友？有多少颗糖果？ 例2：一批货物，用大卡车运，每辆车装10吨，还剩6吨；用大卡车运，每辆车装12吨，还剩2吨。有多少辆大卡车？这批货物有多少吨？ 一、选择题 1．甲乙两地间的公路长336千米，两辆汽车从两地同时相对开出，经过3.5小时在途中相遇。已知甲地开出的汽车每小时行52千米，乙地开出的汽车每小时行（    ）。 A．48千米 B．44千米 C．42千米 2．王老师买了3只同样的热水瓶，付出100元，找回14.5元。每只热水瓶的价格是多少元？ 解：设每只热水瓶的价格是x元。 列出方程正确的是（    ）。 A．3x＝100＋14.5 B．x－14.5＝100 C．3x＝100－14.5 3． “一块梯形试验田的面积是300m²，下底比上底多20m，高是15m，求上底是多少m？”若设上底为X米，下列方程中（    ）是正确的。 A．（X＋20）×15＝300 B．（X－20）×15＝300 C．（X＋X＋20）×15＝300 D．（X＋X＋20）×15÷2＝300 4．爸爸比儿子大26岁，儿子今年x岁，5年后爸爸和儿子共50岁，列方程是（    ）。 A．26＋5＝x B．2x＋26＋5＝50 C．2x＋26＋5×2＝50 5．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之差是12立方厘米，则圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．16 B．18 C．24 二、填空题 6．把一张正方形的纸剪成若干个小正方形，如果剪成边长为3厘米的正方形，剪出的小正方形个数比剪成边长为4厘米的小正方形多28个，两种剪法都正好用完纸，原来这张正方形纸的面积是( )平方厘米。 7．小丁丁今年8岁，父亲今年34岁，( )年后父亲的年龄是小丁丁的3倍。 8．五（1）班召开家长会，给每个家长准备一个茶杯，结果少了5只；后来又借来原来杯子只数的一半，这时却多出11只茶杯，这次到会的家长共有( )人。 9．方程2x＋y＝5的正整数解为( )。 10．把一张正方形的纸剪成若干个小正方形。 如果剪成边长为2厘米的小正方形，剪出的小正方形的个数比剪成边长为3厘米的小正方形多20个，两种剪法都正好用完纸，原来这张正方形纸的面积是( )平方厘米。 11．学校买了3只篮球和8只足球共用去241元。如果将1只篮球换成1只足球，那么每只还需多付4元，每只足球( )元。 12．六年级举行速算比赛，答对一道题得10分，答错一道题扣2分，李红共抢答了10道题，最后得分是64分。她答错了 道题。 三、判断题 13．方程的两边同时乘或除以一个数，等式仍然成立。( ) 14．除以一个假分数，商一定比小。( ) 15．在5＋y＝12，2x，3＋a＞8，3y－8，n÷5＝8中，有2个方程。( ) 16．小胖看一本书210页的书，前5天平均每天看18页，剩下的页数平均每天看15页，还要几天可以看完？设：还要x天可以看完。列出方程：210－15x＝5×18。( ) 17．学校买来200本科技书，买的故事书比科技书的2倍少50本，买故事书多少本？ 解：设买故事书x本。2x－50＝200，x＝125。( ) 四、计算题 18．解方程。 （1）                 （2） 五、解答题 19．共享单车的广泛使用正不断改变人们的出行方式。目前某市三个品牌共享单车的投放量已达到12.8万辆，其中A品牌共享单车投放了5.7万辆，比B品牌投放量的2倍少0.16万辆，B品牌共享单车投放了多少万辆？（列方程解应用题） 20．五年级雏鹰小队参加社区植树活动，如果每个同学种4棵树，还剩下12棵，如果每个同学种6棵树，则正好种完。参加植树的同学一共有几个？ 21．甲乙两辆货车从上海出发运送物资到四川，甲车平均每小时行80千米，乙车平均每小时行72千米，乙车先行0.5小时后甲车出发，甲车开出多少小时后可以追上乙车？ 22．用一根长24厘米的铁丝围成一个等腰梯形，已知这个梯形的一条腰长5厘米，面积是28平方厘米，求这个梯形的高是多少厘米？（用方程解） 23．某学校5月开展校园科技节，已知六年级（1）班和（2）班各有48人，两个班各有一部分同学参加了模型比赛，其中（1）班参加人数的2倍比（2）班没参加的人数多5人，而（2）班参加的人数比（1）班没参加的人数的一半还少1人。求这两个班各有多少人参加模型比赛？ 24．小亚购买了一本集邮册，每页放12张邮票，正好放满；如果每页放16张邮票，那么正好空出2页，这本集邮册共有多少页？小亚共有多少张邮票？ 25．农贸市场运来青菜和萝卜共450千克，青菜比萝卜的2倍少60千克，运来多少千克萝卜？ 26．小亚和小巧跑步锻炼，小亚跑出180米后小巧从同一起点出发去追赶小亚，小亚每分钟跑160米，小巧每分钟跑170米，几分钟后小巧在途中追上小亚？ 27．小丁丁8：00出门，以每分钟60米的速度从家步行去学校，8：15即可到达。出发9分钟后，爸爸发现他的作业遗漏在家里了，沿路骑自行车以每分钟180米的速度追他，爸爸能在小丁丁到达前追上他吗？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 简易方程（二）单元知识清单讲义 知识点一：图形问题 核心思路：根据图形的周长公式、面积公式等数量关系，设未知量为未知数，列出方程求解。 关键公式： 长方形：周长=2×(长+宽)，面积=长×宽 正方形：周长=4×边长，面积=边长×边长 平行四边形：面积=底×高 三角形：面积=底×高÷2 梯形：面积=(上底+下底)×高÷2 知识点二：和倍问题 定义：已知两个数的和与这两个数的倍数关系，求这两个数各是多少的问题。 核心思路：设较小的数（1倍数）为x，较大的数（几倍数）为“倍数×x”，根据“较小数+较大数=总和”列方程。 数量关系：小数×倍数=大数；小数+大数=和 知识点三：差倍问题 定义：已知两个数的差与这两个数的倍数关系，求这两个数各是多少的问题。 核心思路：设较小的数（1倍数）为x，较大的数（几倍数）为“倍数×x”，根据“较大数-较小数=差”列方程。 数量关系：小数×倍数=大数；大数-小数=差 知识点四：和差问题 定义：已知两个数的和与这两个数的差，求这两个数各是多少的问题。 核心思路：设较小的数为x，较大的数为“x+差”；或设较大的数为x，较小的数为“x-差”，根据“两数之和=已知和”列方程。 数量关系：（和+差）÷2=大数；（和-差）÷2=小数（方程法无需死记公式，直接根据关系列方程即可） 知识点五：追及问题 定义：两个物体沿同一方向运动，速度快的物体从后面追上速度慢的物体的问题。 核心思路：设追及时间为x，根据“速度快的物体行驶路程-速度慢的物体行驶路程=初始距离”列方程。 关键公式：路程=速度×时间 数量关系：快路程-慢路程=路程差（初始距离） 知识点六：相遇问题 定义：两个物体从两地出发，沿相反方向（相向）运动，最终相遇的问题。 核心思路：设相遇时间为x，根据“甲行驶的路程+乙行驶的路程=两地总距离”列方程。 关键公式：路程=速度×时间 数量关系：甲路程+乙路程=总距离 知识点七：盈亏问题 定义：把一定数量的物品平均分给若干对象，若按某种标准分则有剩余（盈），按另一种标准分则不足（亏），求物品数量和对象数量的问题。 核心思路：设分配对象的数量为x，根据“物品总数不变”列方程（盈数+亏数=两次分配的差额×分配对象数）。 常见类型： 一盈一亏：（盈+亏）÷两次每人分配数的差=分配人数 两盈：（大盈-小盈）÷两次每人分配数的差=分配人数 两亏：（大亏-小亏）÷两次每人分配数的差=分配人数 考点一：图形问题 【典型例题】：例1：一个长方形的周长是48厘米，长是宽的2倍，求这个长方形的长和宽各是多少厘米？ 解题思路：先根据长方形周长公式推导出长与宽的和，再利用长和宽的倍数关系，通过和倍问题的解法求出宽和长。 1. 第一步：长方形周长公式为，因此长与宽的和为厘米。 · 第二步：已知长是宽的2倍，设宽为1份，则长为2份，长与宽的总份数为份。 · 第三步：用总长度除以总份数，求出1份的长度（即宽）：厘米。 · 第四步：根据长与宽的倍数关系求出长：厘米。 规范作答： 解：长 + 宽 = （厘米） 宽 = （厘米） 长 = （厘米） 答：这个长方形的长是16厘米，宽是8厘米。 例2：一个平行四边形的面积是72平方分米，底是9分米，求它的高是多少分米？ 解题思路：根据平行四边形的面积公式变形求解高，平行四边形面积公式为，因此。 2. 第一步：明确已知条件，面积为72平方分米，底为9分米。 · 第二步：代入高的计算公式，求出高：分米。 规范作答： 解：根据平行四边形面积公式（其中表示面积，表示底，表示高），可得高。 （分米） 答：它的高是8分米。 考点二：和倍问题 【典型例题】：甲、乙两个仓库共存粮480吨，甲仓库的存粮量是乙仓库的5倍，甲、乙两个仓库各存粮多少吨？ 解题思路：利用和倍问题的解法，先求出1倍量（乙仓库存粮），再根据倍数关系求出多倍量（甲仓库存粮）。 · 第一步：确定总份数，甲仓库是乙仓库的5倍，设乙仓库为1份，甲仓库为5份，总份数为份。 1. 第二步：用总存粮量除以总份数，求出1份的量（乙仓库存粮）：吨。 · 第三步：根据倍数关系求出甲仓库存粮：吨。 规范作答： 解：乙仓库存粮 = （吨） 甲仓库存粮 = （吨） 答：甲仓库存粮400吨，乙仓库存粮80吨。 考点三：差倍问题 【典型例题】：果园里苹果树的棵数比梨树多60棵，苹果树的棵数是梨树的3倍，苹果树和梨树各有多少棵？ 解题思路：利用差倍问题的解法，先求出1倍量（梨树棵数），再根据倍数关系求出多倍量（苹果树棵数）。 · 第一步：确定份数差，苹果树是梨树的3倍，设梨树为1份，苹果树为3份，份数差为份。 2. 第二步：用棵数差除以份数差，求出1份的量（梨树棵数）：棵。 · 第三步：根据倍数关系求出苹果树棵数：棵。 规范作答： 解：梨树棵数 = （棵） 苹果树棵数 = （棵） 答：苹果树有90棵，梨树有30棵。 考点四：和差问题 【典型例题】：甲、乙两数的和是100，甲数比乙数大20，求甲、乙两数各是多少？ 解题思路：利用和差问题的公式求解，和差问题公式为：大数 = ，小数 = （此处甲数为大数，乙数为小数）。 第一步：根据公式求甲数：。 第二步：根据公式求乙数：。 规范作答： 解：甲数 = 乙数 = 答：甲数是60，乙数是40。 考点五：追及问题 【典型例题】：小明和小刚从同一地点出发，小明骑自行车每小时行15千米，小刚步行每小时行5千米，小明出发2小时后，小刚才出发，同向而行，小刚出发几小时后被小明追上？ 解题思路：先求出小明先出发2小时行驶的路程（即追及路程），再计算两人的速度差，最后用追及路程除以速度差得到追及时间。 第一步：计算小明先出发2小时行驶的路程（追及路程）：千米。 第二步：计算两人的速度差：千米/小时。 第三步：用追及路程除以速度差，得到追及时间：小时。 规范作答： 解：追及路程 = （千米） 速度差 = （千米/小时） 追及时间 = （小时） 答：小刚出发3小时后被小明追上。 考点六：相遇问题 【典型例题】：A、B两地相距360千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车每小时行65千米，乙车每小时行55千米，经过几小时两车相遇？ 解题思路：相遇问题中，相遇时间 = 总路程÷两车速度和，先求出两车速度和，再用总路程除以速度和得到相遇时间。 第一步：计算两车速度和：千米/小时。 第二步：用总路程除以速度和，得到相遇时间：小时。 规范作答： 解：速度和 = （千米/小时） 相遇时间 = （小时） 答：经过3小时两车相遇。 考点七：盈亏问题 【典型例题】：例1：把一些糖果分给小朋友，如果每人分4颗，还剩12颗；如果每人分6颗，就缺8颗。有多少个小朋友？有多少颗糖果？ 解题思路：盈亏问题中，先根据两次分配的盈亏情况求出小朋友的人数（份数），再代入其中一种分配方案求出糖果总数（总数量）。两次分配的总差额 = 盈 + 亏，每人分配的差额 = 第二次每人分的颗数 - 第一次每人分的颗数，人数 = 总差额÷每人分配的差额。 第一步：计算总差额：颗。 第二步：计算每人分配的差额：颗。 第三步：求出小朋友人数：个。 第四步：代入第一次分配方案，求出糖果总数：颗（或用第二次分配方案验证：颗）。 规范作答： 解：小朋友人数 = （个） 糖果总数 = （颗） 答：有10个小朋友，有52颗糖果。 例2：一批货物，用大卡车运，每辆车装10吨，还剩6吨；用大卡车运，每辆车装12吨，还剩2吨。有多少辆大卡车？这批货物有多少吨？ 解题思路：盈亏问题中，两次都盈时，总差额 = 大盈 - 小盈，每人（每车）分配的差额 = 第二次每车装的吨数 - 第一次每车装的吨数，卡车数量 = 总差额÷每车分配的差额，再代入分配方案求货物总数。 第一步：计算总差额（大盈 - 小盈）：吨。 第二步：计算每车分配的差额：吨。 第三步：求出大卡车数量：辆。 第四步：代入第一次分配方案，求出货物总数：吨（或用第二次分配方案验证：吨）。 规范作答： 解：大卡车数量 = （辆） 货物总数 = （吨） 答：有2辆大卡车，这批货物有26吨。 一、选择题 1．甲乙两地间的公路长336千米，两辆汽车从两地同时相对开出，经过3.5小时在途中相遇。已知甲地开出的汽车每小时行52千米，乙地开出的汽车每小时行（    ）。 A．48千米 B．44千米 C．42千米 【答案】B 【分析】根据题意可知，设乙地开出的汽车每小时行x千米，用（甲地开出的汽车速度＋乙地开出的汽车速度）×相遇时间＝甲、乙两地之间的公路长度，据此列方程解答。 【详解】解：设乙地开出的汽车每小时行x千米， （52＋x）×3.5＝336 （52＋x）＝336÷3.5 52＋x＝96 x＝96－52 x＝44 故答案为：B 【点睛】本题考查相遇问题，根据题意，找出相关的量，列方程，解方程。 2．王老师买了3只同样的热水瓶，付出100元，找回14.5元。每只热水瓶的价格是多少元？ 解：设每只热水瓶的价格是x元。 列出方程正确的是（    ）。 A．3x＝100＋14.5 B．x－14.5＝100 C．3x＝100－14.5 【答案】C 【分析】设每只热水瓶的价格是x元，则根据等量关系：付出100元－找回的钱数＝买热水瓶的价格×3，列出方程解决问题； 【详解】解：设每只热水瓶的价格是x元。 3x＝100－14.5 3x＝85.5 3x÷3＝85.5÷3 x＝28.5 故答案为：C 【点睛】此题考查的是用方程解决问题，明确数量关系，由此列方程解决问题是解题关键。 3． “一块梯形试验田的面积是300m²，下底比上底多20m，高是15m，求上底是多少m？”若设上底为X米，下列方程中（    ）是正确的。 A．（X＋20）×15＝300 B．（X－20）×15＝300 C．（X＋X＋20）×15＝300 D．（X＋X＋20）×15÷2＝300 【答案】D 【解析】根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，解答即可。 【详解】梯形的上底为x米，下底为x＋20米，高为15米，根据梯形的面积公式可得： （x＋x＋20）×15÷2＝300 故答案为：D 【点睛】本题主要考查用字母表示数，解题的关键是牢记梯形的面积公式。 4．爸爸比儿子大26岁，儿子今年x岁，5年后爸爸和儿子共50岁，列方程是（    ）。 A．26＋5＝x B．2x＋26＋5＝50 C．2x＋26＋5×2＝50 【答案】C 【分析】由于爸爸比儿子大26岁，儿子今年x岁，那么爸爸今年是x＋26岁，由于5年后，儿子和爸爸都涨了5岁，那么儿子5年后的年龄是（x＋5）岁，爸爸的年龄是：（x＋26＋5）岁，之后把他俩的年龄相加等于50即可列方程。 【详解】由分析可知： 列方程为：x＋5＋x＋26＋5＝50 或者是：2x＋26＋5＋5＝50 或者是：2x＋26＋5×2＝50 故答案为：C 【点睛】本题主要考查列简易方程，关键是用字母表示出5年后儿子和爸爸的年龄是解题的关键。 5．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之差是12立方厘米，则圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．16 B．18 C．24 【答案】B 【分析】等底等高的圆柱体和圆锥体，圆柱体的体积是圆锥体的3倍，由此设圆锥体的体积为x立方厘米，则圆柱体的体积为3x立方厘米，圆柱和圆锥体积相差12立方厘米，列方程：3x－x＝12，解方程，即可解答。 【详解】解：设圆锥的体积为x立方厘米，则等底等高的圆柱的体积为3x立方厘米 3x－x＝12 2x＝12 x＝12÷2 x＝6 圆柱的体积：6×3＝18（立方厘米） 故答案选：B 【点睛】解答本题的关键是明确等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，由此列方程，解方程。 二、填空题 6．把一张正方形的纸剪成若干个小正方形，如果剪成边长为3厘米的正方形，剪出的小正方形个数比剪成边长为4厘米的小正方形多28个，两种剪法都正好用完纸，原来这张正方形纸的面积是( )平方厘米。 【答案】576 【分析】可设可剪成边长为3厘米的小正方形x个，则剪成边长为4厘米的小正方形（x－28）个，根据边长为3厘米的小正方形的面积和等于边长为4厘米的小正方形的面积和，据此列方程解答。再用所得解乘边长为3厘米的小正方形的面积，即可得到这张纸的面积。 【详解】解：设可剪成边长为3厘米的小正方形x个，则剪成边长为4厘米的小正方形（x－28）个。 （3×3）x＝（4×4）×（x－28） 9x＝16×（x－28） 9x＝16x－448 16x－9x＝448 7x＝448 7x÷7＝448÷7 x＝64 3×3×64 ＝9×64 ＝576（平方厘米） 所以原来这张正方形纸的面积是576平方厘米。 7．小丁丁今年8岁，父亲今年34岁，( )年后父亲的年龄是小丁丁的3倍。 【答案】5 【分析】设x年后父亲的年龄是小丁丁的3倍，x年后小丁丁（8＋x）岁，父亲（34＋x）岁，根据x年后小丁丁的年龄×3＝父亲的年龄，列出方程求出x的值即可。 【详解】解：设x年后父亲的年龄是小丁丁的3倍。 （8＋x）×3＝34＋x 24＋3x＝34＋x 24＋3x－x－24＝34＋x－x－24 2x＝10 2x÷2＝10÷2 x＝5 5年后父亲的年龄是小丁丁的3倍。 8．五（1）班召开家长会，给每个家长准备一个茶杯，结果少了5只；后来又借来原来杯子只数的一半，这时却多出11只茶杯，这次到会的家长共有( )人。 【答案】37 【分析】设原来杯子有x只，则给每个家长准备一个茶杯，结果少了5只，则家长有（x＋5）人；后来又借来原来杯子只数的一半，这时杯子有（x＋x）只，多出11只茶杯，说明家长比这时的杯子数量少11，有（x＋x－11）人。借杯子前的家长人数＝借杯子后的家长人数，据此列方程解答。求出原来杯子的数量，再加上5即可求出家长的人数。 【详解】解：设原来杯子有x只。 x＋5＝x＋x－11 x＋5＝x－11 x＋5＋11＝x x＋16＝x x－x＝16 x＝16 x＝16×2 x＝32 32＋5＝37（人） 则这次到会的家长共有37人。 【点睛】根据题中的数量关系，本题用方程解答比较简便。用含有x的式子分别表示杯子的数量和家长的人数后，明确家长人数不变是列出方程的关键。 9．方程2x＋y＝5的正整数解为( )。 【答案】x＝1，y＝3；x＝2，y＝1 【分析】把原式化为y＝5－2x，因为x、y都是正整数，则2x＜5，据此解答。 【详解】2x＋y＝5 y＝5－2x x为正整数，根据以上条件可知，合适的x值只能是x＝1、2，则相应的y＝3、1； 所以方程2x＋y＝5的正整数解为x＝1，y＝3；x＝2，y＝1。 10．把一张正方形的纸剪成若干个小正方形。 如果剪成边长为2厘米的小正方形，剪出的小正方形的个数比剪成边长为3厘米的小正方形多20个，两种剪法都正好用完纸，原来这张正方形纸的面积是( )平方厘米。 【答案】144 【分析】设可剪成边长为2厘米的小正方形x个，则剪成边长为3厘米的小正形（x－20）个，根据边长为2厘米的小正方形的面积和等于边长为3厘米的小正方形的面积和，据此列方程解答。再用所得解乘边长为2厘米的小正方形的面积，即可得到这张纸的面积。 【详解】解：设可剪成边长为2厘米的小正方形x个，则剪成边长为3厘米的小正形（x－20）个。 （平方厘米） 原来这张正方形纸的面积是144平方厘米。 11．学校买了3只篮球和8只足球共用去241元。如果将1只篮球换成1只足球，那么每只还需多付4元，每只足球( )元。 【答案】23 【分析】结合题意可知：每只足球比每只篮球多4元，因此可假设篮球是x元钱，则足球就是（4＋x）元钱；再依据题意可得方程：3x＋8（x＋4）＝241，解这个方程即可。 【详解】解：设篮球x元， 3x＋8（x＋4）＝241 3x＋8x＋32＝241 11x＝241－32 11x＝209 x＝19 19＋4＝23（元） 【点睛】由题意：如果将1只篮球换成1只足球，那么每只还需多付4元；可得每只足球比每只篮球多4元钱；只要能够理解这句话的含义，再结合列方程的知识就能够解答本题。 12．六年级举行速算比赛，答对一道题得10分，答错一道题扣2分，李红共抢答了10道题，最后得分是64分。她答错了 道题。 【答案】3 【分析】设她答错x道题，则答对（10－x）道，用答对一道题的得分×答对的题数－答错一道题扣的分×答错的题数＝她的实际得分，据此列方程，然后应用等式的性质解方程，据此解答。 【详解】解：设她答错x道题，则答对（10－x）道。 10×（10－x）－2x＝64 10×10－10x－2x＝64 100－12x＝64 12x＝100－64 12x＝36 12x÷12＝36÷12 x＝3 【点睛】此题考查了列方程解决实际问题，找出等量关系是解题关键。 三、判断题 13．方程的两边同时乘或除以一个数，等式仍然成立。( ) 【答案】× 【分析】等式两边同时加上（或减去）同一个整式，或者等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式的值不变。据此解答。 【详解】原题干没有0除外，所以不对。原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查了等式的性质，要熟练掌握。 14．除以一个假分数，商一定比小。( ) 【答案】× 【分析】一个数（0除外），除以大于1的数，商比原数小，举例说明即可。 【详解】÷＝，所以原题说法错误。 【点睛】关键是掌握分数除法的计算方法，假分数大于或等于1。 15．在5＋y＝12，2x，3＋a＞8，3y－8，n÷5＝8中，有2个方程。( ) 【答案】√ 【分析】方程是指含有未知数的等式。所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。据此解答即可。 【详解】①5＋y＝12，是含有未知数的等式，是方程；②2x，含有未知数，但不是等式，不是方程；③3＋a＞8，含有未知数，但不是等式，不是方程；④3y－8，含有未知数，但不是等式，不是方程；⑤n÷5＝8，是含有未知数的等式，是方程。则方程共有2个。 故答案为：√。 【点睛】此题考查根据方程的意义进行方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程。 16．小胖看一本书210页的书，前5天平均每天看18页，剩下的页数平均每天看15页，还要几天可以看完？设：还要x天可以看完。列出方程：210－15x＝5×18。( ) 【答案】√ 【详解】解：设还要x天可以看完，根据关系式：这本书的页数－后x天看的页数＝前5天看的页数。 列方程为：210－15x＝5×18。 故答案为：√ 17．学校买来200本科技书，买的故事书比科技书的2倍少50本，买故事书多少本？ 解：设买故事书x本。2x－50＝200，x＝125。( ) 【答案】× 【分析】依据等量关系：科技书的本数×2－故事书的本数＝50本，列方程解答即可。 【详解】解：设买故事书x本。 2×200－x＝50 400－x＝50 x＝400－50 x＝350 答：买故事书350本。 故答案为：× 四、计算题 18．解方程。 （1）                 （2） 【答案】（1）x＝5.5；（2）x＝2.7 【分析】（1）方程两边同时加上2x，两边再同时减去6，最后两边再同时除以2； （2）方程两边同时除以6，两边再同时加上2。 【详解】（1）    解：17－2x＋2x＝6＋2x 6＋2x＝17 6＋2x－6＝17－6 2x＝11 x＝11÷2 x＝5.5 （2） 解：6（x－2）÷6＝4.2÷6 x－2＝0.7 x－2＋2＝0.7＋2 x＝2.7 五、解答题 19．共享单车的广泛使用正不断改变人们的出行方式。目前某市三个品牌共享单车的投放量已达到12.8万辆，其中A品牌共享单车投放了5.7万辆，比B品牌投放量的2倍少0.16万辆，B品牌共享单车投放了多少万辆？（列方程解应用题） 【答案】2.93万辆 【分析】设B品牌共享单车投放了x万辆。从题意可得等量关系：B品牌投放量×2－0.16万辆＝A品牌投放量，根据等量关系列方程求解即可。 【详解】解：设B品牌共享单车投放了x万辆。 2x－0.16＝5.7 2x－0.16＋0.16＝5.7＋0.16 2x＝5.86 2x÷2＝5.86÷2 x＝2.93 答：B品牌共享单车投放了2.93万辆。 20．五年级雏鹰小队参加社区植树活动，如果每个同学种4棵树，还剩下12棵，如果每个同学种6棵树，则正好种完。参加植树的同学一共有几个？ 【答案】6个 【分析】设参加植树的同学一共有x个，每个同学种4棵树，x个同学种树4x棵，再加上还剩下12棵，就是要种树的棵数；每个同学种6棵树，x个同学种树6x棵；种树的棵数不变，列方程：4x＋12＝6x，解方程，即可解答。 【详解】解：设参加植树的同学一共有x个。 4x＋12＝6x 6x－4x＝12 2x＝12 x＝12÷2 x＝6 答：参加植树的同学一共有6个。 21．甲乙两辆货车从上海出发运送物资到四川，甲车平均每小时行80千米，乙车平均每小时行72千米，乙车先行0.5小时后甲车出发，甲车开出多少小时后可以追上乙车？ 【答案】4.5小时 【分析】把所求时间设为未知数，乙车先行0.5小时后甲车出发，说明乙车先行驶了（72×0.5）千米，甲车追上乙车的时候它们行驶的路程相等，乙车先行驶的路程＋乙车速度×所求时间＝甲车速度×所求时间，据此列方程解答。 【详解】解：设甲车开出x小时后可以追上乙车。 72×0.5＋72x＝80x 36＋72x＝80x 36＋72x－72x＝80x－72x 36＝8x 8x＝36 8x÷8＝36÷8 x＝4.5 答：甲车开出4.5小时后可以追上乙车。 22．用一根长24厘米的铁丝围成一个等腰梯形，已知这个梯形的一条腰长5厘米，面积是28平方厘米，求这个梯形的高是多少厘米？（用方程解） 【答案】4厘米 【分析】由题意可知，等腰梯形的周长是24厘米，上底＋下底＝等腰梯形的周长－腰长×2，再根据“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”列方程求出梯形的高，据此解答。 【详解】解：设这个梯形的高是厘米。 （24－5×2）÷2＝28 （24－10）÷2＝28 14÷2＝28 7＝28 7÷7＝28÷7 ＝4 答：这个梯形的高是4厘米。 23．某学校5月开展校园科技节，已知六年级（1）班和（2）班各有48人，两个班各有一部分同学参加了模型比赛，其中（1）班参加人数的2倍比（2）班没参加的人数多5人，而（2）班参加的人数比（1）班没参加的人数的一半还少1人。求这两个班各有多少人参加模型比赛？ 【答案】六年级（1）班20人；六年级（2）班13人 【分析】已知六年级（1）班和（2）班各有48人，（1）班参加人数的2倍比（2）班没参加的人数多5人，设（1）班参加比赛的人数为x人，则（2）班没参加比赛的人数为（2x－5）人，用总人数减去没参加比赛的人数即可表示出（2）班参加比赛的人数为48－（2x－5）； 又已知（2）班参加比赛的人数比（1）班没参加比赛的人数的一半还少1人，则（2）班参加比赛人数也可表示为（48－x）－1，所以可列方程为48－（2x－5）＝（48－x）－1，求出x的值即为六年级（1）班参加模型比赛的人数，再将x的值代入48－（2x－5）中求出结果即为（2）班参加模型比赛的人数。 【详解】解：设六年级（1）班参加的人数为x人。 48－（2x－5）＝（48－x）－1 48－（2x－5）＝×48－x－1 48－2x＋5＝24－x－1 53－2x＝23－x 53－2x＋x＝23－x＋x 53－x＝23 53－x＋x＝23＋x 23＋x＝53 23＋x－23＝53－23 x＝30 x×＝30× x＝20 48－（2x－5） ＝48－（2×20－5） ＝48－（40－5） ＝48－35 ＝13 答：六年级（1）班有20人参加模型比赛，六年级（2）班有13人参加模型比赛。 【点睛】用“每班都是48人”这个固定总数，以及通过两种不同的关系分别表示出六年级（2）班参加比赛的人数，据此列出方程；先将方程化简，再根据等式的基本性质逐步求解出x的值，最终求解问题。 24．小亚购买了一本集邮册，每页放12张邮票，正好放满；如果每页放16张邮票，那么正好空出2页，这本集邮册共有多少页？小亚共有多少张邮票？ 【答案】这本集邮册共有8页，小亚共有96张邮票。 【分析】可通过方程，设这本集邮册共有x页，则邮票的总张数为12x张或16（x－2）张，根据邮票的总张数不变，列方程解答即可得这本集邮册有多少页，再求小亚有邮票多少张即可。 【详解】解：设这本集邮册共有x页。 12x＝16（x－2） 12x＝16x－32 4x＝32 x＝8 8×12＝96（张） 答：这本集邮册共有8页，小亚共有96张邮票。 25．农贸市场运来青菜和萝卜共450千克，青菜比萝卜的2倍少60千克，运来多少千克萝卜？ 【答案】170千克 【分析】根据题意可知此题为简单的和倍问题，根据题意可知青菜+60=萝卜的2倍，再根据（450+60）是萝卜的（2+1）倍，即可求出萝卜的重量。 【详解】（450+60）÷（1+2） =510÷3 =170（千克） 答：运来170千克萝卜。 【点睛】关于“倍”的应用题，找一倍的量是关键，再根据和倍问题的一倍的量（小数）=和÷（倍数+1），再用和-小数=大数即可解答。 26．小亚和小巧跑步锻炼，小亚跑出180米后小巧从同一起点出发去追赶小亚，小亚每分钟跑160米，小巧每分钟跑170米，几分钟后小巧在途中追上小亚？ 【答案】18分钟 【分析】根据题意，小亚跑出180米后小巧从同一起点出发去追赶小亚，那么小巧第一次在途中追上小亚时，小巧比小亚要多跑180米；根据追及问题的公式可得出等量关系：两人的速度差×追及时间＝追及路程，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设分钟后小巧在途中追上小亚。 （170－160）＝180 10＝180 ＝180÷10 ＝18 答：18分钟后小巧在途中追上小亚。 27．小丁丁8：00出门，以每分钟60米的速度从家步行去学校，8：15即可到达。出发9分钟后，爸爸发现他的作业遗漏在家里了，沿路骑自行车以每分钟180米的速度追他，爸爸能在小丁丁到达前追上他吗？ 【答案】能 【分析】设经过x分钟后爸爸追上小丁丁；根据路程＝速度×时间，小丁丁每分钟60米，先求出小丁丁9分钟走的路程，列式为60×9；再求走x分钟行的路程，即60x米；爸爸骑自行车每分钟180米，x分钟爸爸行了180x米；小丁丁走的路程＝爸爸骑自行车行的路程，列方程：60×9＋60x＝180x，解方程，求出经过多少分钟爸爸追上小丁丁，再加上9分钟，求出小丁丁走的时间；再和小丁丁上学的时间比较，如果大于小丁丁上学用的时间，爸爸不能在小丁丁到达学校前追上，如果小于小丁丁上学用的时间，爸爸能在小丁丁到达学校前追上，据此解答。 【详解】8：15－8：00＝15（分钟） 解：设经过x分钟后爸爸追上小丁丁。 60×9＋60x＝180x 540＋60x＝180x 540＋60x－60x＝180x－60x 120x＝540 120x÷120＝540÷120 x＝4.5 4.5＋9＝13.5（分钟） 13.5分钟＜15分钟，爸爸能在小丁丁到达前追上他。 答：爸爸能在小丁丁到达前追上他。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $