（寒假复习巩固）专题08：数学广角-数与形（综合训练）-2025-2026学年数学六年级上册人教版

（寒假复习巩固）专题08：数学广角-数与形（综合训练） 一、选择题 1．将9个数从左到右排成一行，从第3个数开始，每个数恰好等于它前两个数之和，如果第8个数和第9个数分别是81和131，那么第一个数是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．把16个边长为1cm的正三角形如下图所示排成一行，这个图形的周长是（    ）。 ………… A．16 B．18 C．20 D．32 3．华威照明厂想设计一种LED灯，第1档点亮1颗灯珠，第2档点亮7颗灯珠，第3档点亮19颗灯珠，第4档点亮37颗灯珠（如图），按照这样的规律下去，第6档应该点亮（    ）颗灯珠。 A．43 B．55 C．61 D．91 4．古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”。他们常把数描绘成沙滩上的点子或小石子，根据点子或小石子排列的形状把整数进行分类。如：1，3，6，10，…这些数叫做三角形数。那么，在整数45，456和1830中，是三角形数的有（    ）。 A．45和456 B．456和1830 C．45和1830 D．45、456和1830 5．与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1得数相同的算式是（    ）。 A．52＋32 B．42 C．52－32 D．5－3 6．瑞士的巴尔末从测量光谱的数据、、、…中得到了巴尔末公式，请你按这种规律写出第6个数据，这个数据为（    ）。 A． B． C． D． 二、填空题 7．1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋9＋7＋5＋3＋1＝( )。 8．A、B、C、D、E五名小朋友进行围棋单循环比赛（每两人赛一盘），到现在为止，A已经赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，E赛了( )盘。 9．用棋子按下面的规律摆图形，照这样摆下去，第4个图形需要( )枚棋子，第10个图形需要( )枚棋子，第n个图形需要( )枚棋子。 10．如果小明按照下图的方法摆图形，请问第11个图形需要( )根小棒，搭n个这样的三角形需要( )根小棒。 11．观察下列图形，先把前三个算式补充完整，再计算出最后一个算式的结果。 ( ) ( ) ( ) 计算：( ) 12．某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式。 一张桌子 两张桌子 三张桌子 四张桌子 …… n张桌子 第一种摆法 能坐（    ）人 …… 能坐（    ）人 第二种摆法 能坐（    ）人 …… 能坐（    ）人 三、判断题 13．如下图，用小棒摆图形，摆第12个图形用了22根小棒。( ) 14．1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝82。( ) 15．图中一共有10条线段。( ) 16．找规律：、、、、、、、（    ），括号里应填。( ) 四、计算题 17．观察下列等式：第一个等式：； 第二个等式： 第三个等式： 第四个等式： 请回答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：　 　； （2）用含n的代数式表示第n个等式：　 （n为正整数）； （3）求的值。 18．观察5*2＝5＋55＝60，7*4＝7＋77＋777＋7777＝8638，求9*5。 五、作图题 19．请接着画出后一幅图。 六、解答题 20．仔细思考，解决问题。 如图，某食堂按照这样的规律摆放桌椅： 1张餐桌可坐6人，2张餐桌可坐10人，10张餐桌可坐多少人？n张餐桌可坐多少人？ 21．“化繁为简、由易到难”是我们研究问题的基本思考方法。海海向一道思考题发起了挑战：20条直线两两相交，最多有几个交点？海海决定从最简单的情况开始研究。 （1）填一填。 图形 直线的条数 2 3 4 5 交点的个数 （2）算一算：当6条直线两两相交时，最多有几个交点？ （3）推一推：当n（n为整数且n≥2）条直线两两相交时，最多有几个交点？（用含有n的式子表示） 22．我们把“个相同的数相乘”记为，例如。 (1)请计算：________，__________。 (2)观察下列等式： 由以上规律，我们可以猜： _______。 (3)计算：。 23．下面是用牙签拼成的图形，观察下图的规律，按要求回答问题。 （1）看图填写下表中的相关数据。 图序 ① ② ③ ④ … 三角形的个数 1 2 … 正方形的个数 3 5 … 所用牙签总根数 12 20 … （2）根据（1）中信息，你发现了什么规律？ （3）按这种拼图方法拼出的第10个图中三角形和正方形各有多少个？共需要牙签多少根？ 24．如图，观察下面图与算式的规律并解决问题。 （1）根据前几幅图与算式的规律，第五幅图的等式（    ）。 （2）根据以上观察，n2－（n－1）2＝（    ）。 （3）利用上面发现的规律计算下面算式的结果。 102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12＝（    ）。 参考答案 1．B 【分析】用倒推法解决问题，每个数恰好等于它前面两个数之和。第7个数＋第8个数＝第9个数，第8个数和第9个数分别是81和131，则第7个数＝131－81＝50；第6个数＋第5个数＝第7个数，这样一个一个数往前面推。直至找出第一个数即可。 【解答】根据分析： 第7个数：131－81＝50 第6个数：81－50＝31 第5个数：50－31＝19 第4个数：31－19＝12 第3个数：19－12＝7 第2个数：12－7＝5 第1个数：7－5＝2 第一个数是2。 故答案为：B 2．B 【分析】解答这道题的核心是观察正三角形数量与图形周长的关系，推导出通用公式，再代入计算。已知每个正三角形的边长为 1cm。当多个正三角形拼接时，重合的边会被隐藏，不计入周长，因此需要找出周长随三角形数量变化的规律。1个正三角形：周长＝3cm；2个正三角形：周长＝4cm；3个正三角形：周长＝5cm；由此可以发现，图形的周长比正三角形的个数多2。 【解答】根据分析： 16＋2＝18cm 所以，这个图形的周长是18cm。 故答案为：B 3．D 【分析】由图可知，第2档点亮（1＋6＝7）颗灯珠； 第3档点亮（7＋6＋（3－2）×6＝19）颗灯珠； 第4档点亮（19＋6＋（4－2）×6＝37）颗灯珠； 第5档点亮（第4档点亮颗数＋6＋（档数－2）×6）颗灯珠； 第6档点亮（第5档点亮颗数＋6＋（档数－2）×6）颗灯珠。 【解答】37＋6＋（5－2）×6 ＝43＋3×6 ＝43＋18 ＝61（颗） 即第5档点亮61颗灯珠； 61＋6＋（6－2）×6 ＝67＋4×6 ＝67＋24 ＝91（颗） 即第6档点亮91颗灯珠。 【点睛】根据题中给出的数量总结出规律即可计算出档数和点亮灯珠颗数的关系。 4．C 【分析】观察图形，第一个图形有1个三角形数，第二个图形有3＝1＋2个三角形数，第三个图形有6＝1＋2＋3个三角形数，第四个图形有10＝1＋2＋3＋4个三角形数，由此可知，第n个图形的三角形数是1＋2＋……＋n＝n（n＋1）÷2，由此代入数值求得n的整数解。 【解答】n（n＋1）÷2＝45 n（n＋1）＝90 n＝9 符合题意 n（n＋1）÷2＝456 n（n＋1）＝912 n无整数解，不符合题意。 n（n＋1）÷2＝1830 n（n＋1）＝3660 n＝60 符合题意 45，456和1830中是三角形数的有45和1830。 故答案为：C 【点睛】观察图形，找到三角形数的规律：第n个图形的三角形数是1＋2＋……＋n＝n（n＋1）÷2，是解题关键。 5．A 【分析】根据“从1开始的n个连续奇数相加和为n2”的规律，将原式拆分为（1＋3＋5＋7＋9）与（5＋3＋1）两部分，分别利用规律算出第一部分是5个连续奇数和为52＝25、第二部分是3个连续奇数和为32＝9，接着把两部分结果相加得到25＋9＝34，最后计算每个选项的结果，对比发现只有选项A的52＋32等于34，据此解答。 【解答】1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1 ＝（1＋3＋5＋7＋9）＋（5＋3＋1） ＝52＋32 ＝25＋9 ＝34 A．52＋32＝25＋9＝34，34＝34，符合； B．42＝16，16≠34，排除； C．52－32＝25－9＝16，16≠34，排除； D．5－3＝2，2≠34，排除。 故答案为：A 6．C 【分析】观察所给数据的分子，可得：9＝32，16＝42，25＝52，36＝62，可以发现分子是从3开始的连续自然数的平方，3－1＝2，即第n个数据的分子为（n＋2）2。分母依次为5＝32－4，12＝42－4，21＝52－4，32＝62－4，可以发现分母是从3开始的连续自然数的平方减4，即第n个数据的分母为（n＋2）2－4。当n＝6时，分子为（6＋2）2＝82＝64，分母为（6＋2）2－4＝64－4＝60，所以第6个数据为。 【解答】由分析可知： 3－1＝2 第n个数据的分子：（n＋2）2 第n个数据的分母：（n＋2）2－4 当n＝6时； 分子： （6＋2）2 ＝82 ＝64 分母： （6＋2）2－4 ＝82－4 ＝64－4 ＝60 所以第6个数据为。 故答案为：C 7．74 【分析】1＋3＝4＝、1＋3＋5＝9＝、1＋3＋5＋7＝16＝……由此可知，从1开始，几个连续奇数相加，和就是几的平方，将算式分成（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13）和（9＋7＋5＋3＋1）两部分，分别是从1开始7个连续奇数和5个连续奇数相加，即＋。 【解答】1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋9＋7＋5＋3＋1 ＝（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13）＋（9＋7＋5＋3＋1） ＝＋ ＝49＋25 ＝74 8．2 【分析】由题意可知，A和B、C、D、E各赛一盘，一共赛了4盘；D只和A赛了一盘；B和A、C、E各赛一盘，一共赛了3盘；C和A、B各赛一盘，一共赛了2盘，那么E和A、B各赛一盘，一共赛了2盘，据此可做出选择。 【解答】由分析可知： 所以E赛了2盘。 9． 14 32 【分析】这道题的核心是通过观察前几个图形的棋子数量，找出数量变化的规律，再推导出通用的公式，进而计算指定图形的棋子数。可以将每个图形中最左边上下两个棋子固定，则第一个图的棋子数为2＋3×1，第二个图的棋子数为2＋3×2，第三个图的棋子数为2＋3×3……则第n个图的棋子数为，据此解答。 【解答】根据分析： 第4个图形： （枚） 所以，第4个图形需要14枚棋子。 第10个图形： （枚） 所以，第10个图形需要32枚棋子。 第n个图形：（）枚。 所以，第n个图形需要（）枚棋子。 【点睛】解答这道题的关键是根据前3个图确定棋子数量变化的规律，特别是找到能固定的棋子数，这样可以更容易确定变化规律。 10． 23 2n＋1 【分析】根据题意，先观察前几个图形的小棒数量：第1个图形用3根，第2个用5根，第3个用7根，第4个用9根，发现每增加1个三角形，小棒数就增加2根，因此可推导出第n个图形的小棒数为2n＋1，据此解答。 【解答】​ 第1个图形：2×1＋1＝3（根） 第2个图形：2×2＋1＝5（根） 第3个图形：2×3＋1＝7（根） 第11个图形：2×11＋1＝23（根） 第n个图形：（2n＋1）根 综上所述可得，第11个图形需要23根小棒，搭n个这样的三角形需要（2n＋1）根小棒。 11． 【分析】假设每个正方形的面积都是1，由图可知，第一个算式等于1减去空白部分（），第二个算式等于1减去空白部分（），第三个算式等于1减去空白部分（）；根据规律，可得等于1减去空白部分（），计算即可。 【解答】假设每个正方形的面积都是1，由图可知： ； ； ； 根据规律，可得：。 12．18；； 12； 【分析】根据图示可知： 一张桌子：第一种摆法可以坐6人，第二种摆法可以坐6人； 两张桌子：第一种摆法可以坐10人，；第二种摆法可以坐8人，； 三张桌子：第一种摆法可以坐14人，；第二种摆法可以坐10； 四张桌子：第一种摆法可以坐18人，；第二种摆法可以坐12人，； …… n张桌子：第一种摆法可以坐的人数为：；第二种摆法可以坐的人数为：； 据此解答。 【解答】由分析知：n张桌子： 第一种摆法可以坐的人数为： 第二种摆法可以坐的人数为：。 当n＝4时， 第一种摆法可以坐的人数为： 第二种摆法可以坐的人数为： 如下图所示： 一张桌子 两张桌子 三张桌子 四张桌子 …… n张桌子 第一种摆法 能坐18人 …… 能坐（）人 第二种摆法 能坐12人 …… 能坐（）人 13．× 【分析】解答这道题的关键是根据前面的四个图形找出小棒的规律，可以把每个图形最左侧的小棒固定，会发现每增加一个三角形就要增加2根小棒，即第一个图形的小棒数量为： 1＋2；第二个图形小棒数量为：1＋2×2；第三个图形小棒数量为：1＋2×3；第四个图形小棒数量为：1＋2×4……，所以第n个图形需要（1＋2n）根小棒，据此解答。 【解答】根据分析： 第12个图形的小棒数量为： （根） 所以摆第12个图形用了25根小棒。 故答案为：× 【点睛】解答这道题的关键是利用图形的排列规律，确定每个图形小棒的数量为（1＋2n）根。 14．√ 【分析】算式“1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15”共有8个连续奇数相加，根据“从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方”，据此判断。 【解答】1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝82。 原等式正确。 故答案为：√ 15．√ 【分析】根据题意可知： 两点间有1条线段； 三点间有1＋2＝3条线段； 四点间有1＋2＋3＝6条线段； 五点间有1＋2＋3＋4＝10条线段； 由此可知：线段总数等于从1开始依次加到（端点数－1）。据此判断即可。 【解答】根据分析可得： 1＋2＋3＋4＝10（条） 即图中共有10条线段，原说法正确。 故答案为：√ 16．√ 【分析】观察可知，分子从1开始不断加1，直到分子只比分母小1，然后分母加1，分母加1后，分子继续从1开始不断加1，直到分子只比分母小1，然后分母加1，据此规律进行分析。 【解答】1＋1＝2 找规律：、、、、、、、，括号里应填，原题说法正确。 故答案为：√ 17．（1）​​​​​​​ （2） （3） 【分析】（1）（2）通过观察可知，第一个等号后面的式子规律是分子不变，分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为序号的2倍减1和序号2倍加1；第二个等号后面的式子则是乘以第一个奇数分数减第二个奇数分数，根据规律列式即可解得。 （3）将具体各项根据分数列项公式，括号外提取，将括号内依次相消进行计算即可解得。​​​​​​​ 【解答】（1）通过观察可知，第一个等号后面的分子为1， 分母为序号的2倍减1乘以序号2倍加1， 第二个等号后面为乘以第一个奇数分数减第二个奇数分数， 故。 （2）通过（1）的规律可知， （n为正整数）。 ​​​​（3）由题， 【点睛】本题的难点在于通过观察等式规律写出新的等式，再通过提取公因数将复杂的等式进行化简即可解得。 18．111105 【分析】由5*2＝5＋55＝60，7*4＝7＋77＋777＋7777＝8638，推测出a*b＝a＋aa＋aaa＋……一直加到b个a为止，据此分析。 【解答】9*5 ＝9＋99＋999＋9999＋99999 ＝111105 19．见详解 【分析】观察可知，第1幅图最外边一层有1根小棒，第2幅图最外边一层有2根小棒，第3幅图最外边一层有2×2＝4根小棒，以此类推，第4幅图最外边一层有2×4＝8根小棒，据此作图。 【解答】作图如下： 20．42人；（4n＋2）人 【分析】观察图形可知，1张餐桌可坐4×1＋2＝6（人），2张餐桌可坐4×2＋2＝10（人），3张餐桌可坐4×3＋2＝14（人）……则n张餐桌可坐（4×n＋2）人，据此解答。 【解答】4×10＋2 ＝40＋2 ＝42（人） 4×n＋2＝（4n＋2）人 答：10张餐桌可坐42人，n张餐桌可坐（4n＋2）人。 21．（1）1；3；6；10； （2）6×（6－1）÷2＝15（个）； （3）个 【分析】（1）对于2条直线，它们最多只能有1个交点。对于 3条直线，每条直线都可以与另外两条相交，共有3个交点。对于4条直线，交点总数为（个）。对于5条直线，交点总数为（个）； （2）（3） 根据（1）所述规律，6条直线两两相交时的交点个数（个）；对于任意n条直线，它们最多可以有的交点个数为。据此解答。 【解答】根据分析得： （1）对于2条直线，它们最多只能有1个交点。对于 3条直线，每条直线都可以与另外两条相交，共有3个交点。对于4条直线，交点的总数为6个。对于5条直线，交点总数为10个。 图形 直线的条数 2 3 4 5 交点的个数 1 3 6 10 （2）（个） 答：当6条直线两两相交时，最多有15个交点。 （3）个 22．（1）64；625 （2） （3） 【分析】（1）根据“个相同的数相乘”记为，将写成6个2相乘，写成4个5相乘，计算即可； （2）观察 …… 可知算式左边为乘到1的连续次方数减1的和，结果为（）； （3）利用（2）的规律，符合的形式，其中＝3，n＝2011，根据结论，可得（3－1）（）＝，根据等式的性质2，两边同时÷（3－1），计算即可。 【解答】（1）2×2×2×2×2×2＝64，5×5×5×5＝625。 （2） （3）根据分析，可得： （3－1）（）＝ 解：（3－1）（）÷（3－1）＝（）÷（3－1） ＝ 【点睛】关键是理解“个相同的数相乘”记为，总结出第（2）题的规律，根据总结出的规律，运用等式的性质，求出第（3）题的结果。 23．（1）见详解 （2）第个图中，三角形有个，正方形有个，所用牙签总根数为根。 （3）三角形有10个，正方形有21个；牙签84根 【分析】（1）观察图形，三角形的个数：图①有1个三角形，图②有2个三角形，图③有3个三角形，图④有4个三角形，因此图序为时，三角形个数为；正方形的个数：图①有3个正方形，图②有5个正方形，图③有7个正方形，图④有9个正方形，通过观察可知正方形的个数比三角形个数的2倍还多1，因此图序为时，正方形个数为；牙签总数：图①有12根牙签，图②有20根牙签，图③有28根牙签，图④有36根牙签； （2）通过观察可知牙签的总数比三角形个数的8倍还多4，因此图序为时，牙签的总数为； （3）根据规律可以求出对应值。 【解答】（1） 图序 ① ② ③ ④ … 三角形的个数 1 2 3 4 … 正方形的个数 3 5 7 9 … 所用牙签总根数 12 20 28 36 … （2）第个图中，三角形有个，正方形有个，所用牙签总根数为根。 （3）； 答：第10个图中三角形有10个，正方形有21个，共需要牙签84根。 【点睛】本题考查了图形规律的探索，需要通过观察图形的变化，分析三角形的个数、正方形的个数、牙签总数随图序变化的规律，再用代数式表示规律并应用规律解决问题。 24．（1）62－52＝6＋5 （2）2n－1 （3）55 【分析】（1）观察前面的等式：第一幅图：22－12＝2＋1，是（1＋1）2－12＝（1＋1）＋1；第二幅图：32－22＝3＋2，是（2＋1）2－22＝（2＋1）＋2；第三幅图：42－32＝4＋3，是（3＋1）2－32＝（3＋1）＋3。则第四幅图：52－42＝5＋4。 由此可总结规律：第n幅图的等式为（n＋1）2－n2＝（n＋1）＋n。那么第五幅图，n＝5，对应的等式为62－52＝6＋5。 （2）根据前面的规律，（n）2－（n－1）2＝n＋（n－1），即2n－1。 （3）根据前面发现的规律a2－b2＝a＋b（其中a＝b＋1），对原式进行拆分计算：原式变为：（10＋9）＋（8＋7）＋（6＋5）＋（4＋3）＋（2＋1），然后计算即可。 【解答】 （1）由分析可知：第n幅图：（n＋1）2－n2＝（n＋1）＋n n＝5时： （5＋1）2－52 ＝62－52 ＝6＋5 第五幅图的等式是：62－52＝6＋5。 （2）（n）2－（n－1）2 ＝n＋（n－1） ＝2n－1 所以n2－（n－1）2＝2n－1 （3）102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12 ＝（10＋9）＋（8＋7）＋（6＋5）＋（4＋3）＋（2＋1） ＝19＋15＋11＋7＋3 ＝（19＋3）＋（15＋7）＋11 ＝22＋22＋11 ＝55 所以102－92＋82－72＋62－52＋42－32＋22－12＝55。 学科网（北京）股份有限公司 $