第八单元 数学广角——数与形（知识清单）-2024-2025学年六年级数学上学期期末复习讲练测（人教版）

2024-2025学年六年级数学上册单元复习讲义（人教版） 第八单元数学广角——数与形 （思维架构+知识精讲+习题精练+知识拓展） 知识点01：探索并发现规律 数与形是有联系的，这种联系称之为数形结合。数与形常常从各自不同的角度互通 互助，数用来揭示图形的本质，图形可以蕴含数量关系。数形结合的方法是一种很好的数学思想方法，它能帮助我们把复杂的问题简单化，把抽象的问题直观化、形象化。 1.有些问题利用画图的方法解决起来更简单。从上图中可以直观地看出随着加数 的不断增加，圆的面积和线段的长度越来越接近1,当有无限多项相加时其结果为1。 2.数形结合的方法确实是一种很好的数学方法，它能帮助我们把复杂的问题简 单化，把简单的问题直观化、形象化。 【例1】用小棒按照如下方式摆图形，用2024根小棒可摆( )个正八边形。 【答案】289 【分析】摆1个正八边形需要的小棒数为8根，即7×1＋1；摆2个正八边形需要的小棒数为15根，即7×2＋1；摆3个正八边形需要的小棒数为22根，即7×3＋1；……摆n个正八边形需要的小棒数为：7n＋1。求用2024根小棒可摆多少个正八边形，就是当7n＋1＝2024时，求n的值。 【详解】摆n个正八边形需要的小棒数为：7n＋1，由此列方程得： 7n＋1＝2024 解：7n＋1－1＝2024－1 7n＝2023 7n÷7＝2023÷7 n＝289 所以用2024根小棒可摆289个正八边形。 【例2】观察下面的图形，按照规律，第6堆有( )个棋子；第n堆有( )棋子。 【答案】 14 2n＋2/2＋2n 【分析】每堆有两排棋子，第一排棋子个数分别是1、2、3、4……，第二排棋子个数分别比第一排多2个即3、4、5、6……。根据棋子的数量关系解答。 【详解】第n堆的第一排有n个棋子，第二排有（n＋2）个棋子，共有（2n＋2）个棋子。 当n＝6时，棋子数是 （个） 第6堆有14个棋子，第n堆有（2n＋2）个棋子。 【例3】一张长方形桌子可坐6人，按下列方式将桌子拼在一起。 （1）3张桌子拼在一起可坐（    ）人，5张桌子拼在一起可坐（    ）人。 （2）依据上面桌子的拼摆规律，如果是n张桌子拼在一起，那么可以坐多少人？ 【答案】（1）10；14 （2）（2n＋4）人 【分析】1张长方形桌子可坐6人，6＝2×1＋4；2张桌子拼在一起可坐8人，8＝2×2＋4；依此类推，每多一张桌子可多坐2人，所以n张桌子拼在一起可坐（2n＋4）人。据此解答即可。 【详解】（1）2×3＋4 ＝6＋4 ＝10（人） 2×5＋4 ＝10＋4 ＝14（人） 则3张桌子拼在一起可坐10人，5张桌子拼在一起可坐14人。 （2）n×2＋4＝（2n＋4）人 答：如果是n张桌子拼在一起，那么可以坐（2n＋4）人。 一、选择题 1．将同样大小的棋子按下图所示的方式摆放，则接下来的第20个图形需要摆（    ）个棋子。 7                  13           21            31 A．463 B．191 C．441 D．420 2．观察下列的图形，照这样摆下去，第n个图形中有（    ）个白色方块。 …… A．n＋4 B．3n C．3n＋2 D．6n－1 3．如图，图1有1个阴影三角形，图2有3个阴影三角形，图3有6个阴影三角形，……按此规律，图11有（    ）个阴影三角形。 A．72 B．66 C．55 D．50 4．如图，按照规律，在图10中，阴影小正方形与空白小正方形相差（    ）个。 图1    图2      图3        图4 A．49 B．47 C．41 D．39 二、填空题 5．如图，3个同样的杯子叠在一起高20厘米，5个这样的杯子叠起来高24厘米，7个这样的杯子叠起来的高度是 厘米，n个这样的杯子叠在一起的高度是 厘米。 6．如图所示图案是我国古代窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，则第5幅图中“〇”的个数为 个，第n幅图中“〇”的个数为 个。 7．根据下图中的规律，括号里应该填( )。 2层                     3层              4层                      6层                                                         （    ） 三、判断题 8．下面图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成。 照这样画下去，第8个图形中白色小正方形的个数是43。( ) 9．如图，用小棒摆图形，摆第8个用了17根小棒。( ) 10．同一平面内的6条直线，最多有15个交点。( ) 四、解答题 11．   （1）找规律，在横线上画出第四幅图。 （2）第12幅图中有（    ）个○，有（    ）个●。 12．为庆祝国庆，某学校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如下图所示。 (1)按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要( )根火柴棒，摆n条“金鱼”需要( )根火柴棒。 (2)如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备( )根火柴棒。 (3)准备88根火柴棒最多能摆( )条这样的“金鱼”。 13．下面每个图中最外圈各有多少个小正方形？ 照这样的规律接着画下去，第5个图形最外圈有多少个小正方形？ 参考答案： 1．A 【分析】根据图示可知： 第1幅图棋子个数：22＋3＝4＋3＝7个； 第2幅图棋子个数：32＋4＝9＋4＝13个； 第3幅图棋子个数：42＋5＝16＋5＝21个； 第4幅图棋子个数：52＋6＝25＋6＝31个； 第n幅图棋子个数：（n＋1）2＋（n＋2），据此解答。 【详解】由分析可得：第n幅图棋子个数：（n＋1）2＋（n＋2）。 当n＝20时， （20＋1）2＋（20＋2） ＝441＋22 ＝463（个） 第20个图形需要摆463个棋子。 故答案为：A 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 2．C 【分析】第一个图形有5个白色方块，第二个图形由8个白色方块，第三个图形由11个白色方块； 5、8、11、……后面每个图形依次增加3个白色方块。 【详解】5＝3×1＋2 8＝3×2＋2 11＝3×3＋2 …… 第n个图形是（3n＋2）个。 照这样摆下去，第n个图形中有（3n＋2）个白色方块。 故答案为：C 【点睛】解答此题的关键是根据图形的序数与白色方块的个数找出规律，然后再根据规律解答。 3．B 【分析】根据图形的规律： 图1：阴影三角形有1个； 图2：阴影三角形有1＋2＝3（个）； 图3：阴影三角形有1＋2＋3＝6（个）； 图4：阴影三角形有1＋2＋3＋4＝10（个）； … 图n：阴影三角形有1＋2＋3＋……＋n（个） 几个连续的自然数相加＝（首项＋末项）×项数÷2 【详解】1＋2＋3＋4＋…＋11 ＝（1＋11）×11÷2 ＝12×11÷2 ＝66（个） 按此规律，图11有66个阴影三角形。 故答案为：B 4．C 【分析】从图中分析： 图1：阴影小正方形有8个，空白小正方形有1个； 图2：阴影小正方形有8个，空白小正方形有16个； 图3：阴影小正方形有24个，空白小正方形有16个； 图4：阴影小正方形有24个，空白小正方形有32个； …… 从图中发现，从图2开始，新增的外圈都比内圈增加了8个。 图2：有3层，除了第一层，有2层，顺序是：阴影部分、空白部分，增加了8个，则相差9个； 图3：有4层，除了第一层，有3层，顺序是：阴影部分、空白部分、阴影部分，空白的部分没有变，则相差9个； 图4：有5层，除了第一层，有4层，顺序是：阴影部分、空白部分、阴影部分、空白部分，阴影的部分没有变，则相差17个； 也就是当图n中，n是偶数的情况下，相差的数量＝4n＋1；如果是奇数的情况下，相差的数量是4（n－1）＋1 图10时，10是偶数，利用4n＋1公式得出相差的数量。 【详解】4×10＋1 ＝40＋1 ＝41（个） 阴影小正方形与空白小正方形相差41个。 故答案为：C 5． 28 14＋2n 【分析】（1）具体思路是先求出单个杯子的高度，再根据与已知条件的关系逐步计算其他情况的高度。求单个杯子的高度：5 个杯子比 3 个杯子多了 2 个杯子，高度多了 24－20＝4 厘米，所以一个杯子的高度是 4÷2＝2 厘米。求 7 个杯子的高度：3 个杯子高 20 厘米，那么 7 个杯子比 3 个杯子多 4 个杯子，多 4×2＝8 厘米，所以 7 个杯子叠起来的高度是 20＋8＝28 厘米。 （2）已知杯子总高度为20厘米，第一个杯子的高度是：杯子总高度−间隔高度即为：20−4＝16厘米，已知杯子与杯子间隔高度是2厘米， 3个杯子有2个间隔，以此类推，n 个杯子就有 n－1 个间隔，每个间隔的高度是 2 厘米，有 n－1 个间隔，所以间隔的总高度就是 （n－1） ×2，最后可列式为：16＋（n－1）×2，算出结果即可。 【详解】（1）两个杯子的高度为：24－20＝4（厘米） 一个杯子的高度为：4÷2＝2（厘米） 3 个杯子叠一起20厘米，那么最下面一个杯子的高度为 20－2×2＝16（厘米） 7 个杯子叠起来的高度为 16＋2×（7－1）＝16＋12＝28（厘米） 7个这样的杯子叠起来的高度是28厘米。 （2）16＋（n－1）×2 ＝16＋2n－2 ＝14＋2n n个这样的杯子叠在一起的高度是14＋2n厘米 6． 17 3n＋2 【分析】根据题意发现：一个窗格需要5个“〇”，每多1个窗格就增加3个“〇”，则第n个图形有〇：5＋（n－1）×3＝（3n＋2）个，据此解答即可。 【详解】3×5＋2 ＝15＋2 ＝17（个） 第n个图形有〇：5＋（n－1）×3＝5＋3n－3＝（3n＋2）个 第5幅图中“〇”的个数为17个，第n幅图中“〇”的个数为（3n＋2）个。 7． 【分析】由图可知，分数的分母表示三角形的总数，分子表示阴影三角形的总数。第1个图中共有（2×2＝4）个小三角形，阴影的三角形有3个，阴影三角形占三角形总数的；第2个图中共有（3×3＝9）个小三角形，阴影的三角形有5个，阴影三角形占三角形总数的；第3个图中共有（4×4＝16）个小三角形，阴影的三角形有7个，阴影三角形占三角形总数的；由此可知第4个图中共有（5×5＝25）个小三角形，阴影的三角形有7＋2＝9个，阴影三角形占三角形总数的，……，据此再用同样的方法写出分数。 【详解】6×6＝36 9＋2＝11 所以用分数表示是，括号里应该填。 【点睛】此题的关键是了解分数分母表示的是三角形总数，分数分子表示的是阴影三角形的个数。 8．√ 【分析】根据题意，黑色正方形的数量＝图形序号数，第n个图形就有n个黑色正方形；白色正方形数量与序号数n（黑色数量）的数量关系是：白色数量＝5n＋3，据此解答。 【详解】当n＝8是，5×8＋3＝43； 照这样画下去，第8个图形中白色小正方形的个数是43，故说法正确。 【点睛】此题考查了数与形的知识，关键能够根据已知图形数量找出数量关系。 9．√ 【分析】根据图示发现：摆1个三角形需要小棒：3根；摆2个三角形需要小棒（3＋2）根；摆3个三角形需要小棒（3＋2＋2）根；……摆n个三角形需要小棒的根数是3＋2（n－1）。据此解答。 【详解】摆n个三角形需要小棒 3＋2（n－1） ＝3＋2n－2 ＝（2n＋1）根 当n＝8时， 2×8＋1 ＝16＋1 ＝17（根） 用小棒摆图形，摆第8个用了17根小棒。此说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。 10．√ 【分析】2条直线相交，最多有1个交点。3条直线两两相交，最多增加2个交点，最多有3个交点。1＋2＝3个。4条直线两两相交，最多增加3个交点，最多有6个交点。1＋2＋3＝6个。5条直线两两相交，最多增加4个交点，最多有10个交点。1＋2＋3＋4＝10个。6条直线两两相交，最多增加5个交点，最多有15个交点。1＋2＋3＋4＋5＝15个。根据以上规律可知，n条直线两两相交，最多有1＋2＋3＋4＋…＋（n－1）个交点。 【详解】由分析可知： 1＋2＋3＋4＋5 ＝3＋3＋4＋5 ＝6＋4＋5 ＝10＋5 ＝15（个） 则同一平面内的6条直线，最多有15个交点。原题干说法正确。 故答案为：√ 11．（1）见详解； （2）52；144 【分析】（1）观察图形可知，第①幅图中一共有9个图形，表示为32，●有1个，表示为12；○有8个，表示为32－12； 第②幅图中一共有16个图形，表示为42，●有4个，表示为22；○有12个，表示为42－22； 第③幅图中一共有25个图形，表示为52，●有9个，表示为32；○有16个，表示为52－32； 由此可知，第n幅图●有n2，○有（n＋2）2－n2；第四幅图●有42＝16个，○有62－42＝20个，据此画出第④幅图； （2）根据以上规律，第12幅图中，○个数有（12＋2）2－122个；●个数有122个，据此解答。 【详解】分析可知： （1）   （2）○的个数：（12＋2）2－122 ＝142－144 ＝196－144 ＝52（个） ●个数：122＝144（个） 第12幅图中有52个○，有144个●。 【点睛】本题主要考查数与形，关键是根据所给图形找出规律，并利用规律解答问题。 12．(1) 38 6n＋2 (2)200 (3)14 【分析】（1）根据题意分析可得：摆1条金鱼需8根火柴棒，此后，每条金鱼都比前一条金鱼多用6根，故按照上面的规律，摆n条“金鱼”需用火柴棒的根数为8＋（n－1）×6根；据此解答。 （2）根据（1）求出8条金鱼需要多少根火柴棒，即一组需要多少根火柴棒，进而求出4组需要的火柴棒。 （3）我们需要用88根火柴棒减去2根火柴棒，因为第一条金鱼用的是8根火荣棒。其余都是用的6根。所以减去第一条多的2根，再除以6，就可以得到88根火柴最多可以摆多少这样的金鱼。当剩下不足6根火柴棒是不能组成一条“金鱼”。 【详解】（1）8＋（6－1）×6 ＝8＋5×6 ＝8＋30 ＝38（根） 8＋（n－1）×6 ＝8＋（6n－6） ＝8＋6n－6 ＝（6n＋2）根 按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要38根火柴棒，摆n条“金鱼”需要（6n＋2）根火柴棒。 （2）当n＝8时， 6n＋2 ＝6×8＋2 ＝48＋2 ＝50（根） 50×4＝200（根） 如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备200根火柴棒。 （3）（88－2）÷6 ＝86÷6 ≈14（条） 准备88根火柴棒最多能摆14条这样的“金鱼”。 13．40个 【分析】观察题意可知，图①的最外圈正方形个数＝8×1，图②的最外圈正方形个数＝8×2，图③的最外圈正方形个数＝8×3，……，据此推出图n的最外圈正方形个数＝8n，据此可得第5个图形最外圈有多少个小正方形。 【详解】图①的最外圈正方形个数：8＝8×1 图②的最外圈正方形个数：16＝8×2 图③的最外圈正方形个数：24＝8×3 …… 图n的最外圈正方形个数：8n 当n＝5时， 8n ＝8×5 ＝40（个） 答：第5个图形最外圈有40个小正方形。 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。 “数形结合”是我们学习数学的重要方法之一。请你结合图形回答。 ＝1－( )＝( ) ＝1－( )＝( ) ＝1－( )＝( ) 那么＝( )。 【答案】 1－/ 【分析】 表示把大正方形看作单位“1”，把它平均分成2份，深蓝色的部分占1份，表示，把它平均分成4份，浅蓝色部分和空白部分各占1份，都表示，所以深蓝色的部分与浅蓝色的部分和等于“1”减去空白部分占总体的几分之几； 表示把大正方形看作单位“1”，把它平均分成2份，深蓝色的部分占1份，表示，把它平均分成4份，浅蓝色部分表示，把它平均分成8份，蓝绿色的部分和空白部分各占1份，都表示，所以深蓝色的部分、浅蓝色的部分、蓝绿色部分的和等于“1”减去空白部分占总体的几分之几； 表示把大正方形看作单位“1”，把它平均分成2份，深蓝色的部分占1份，表示，把它平均分成4份，浅蓝色部分表示，把它平均分成8份，蓝绿色部分表示，把它平均分成16份，红色部分和空白部分各占1份，它们都表示，所以深蓝色的部分、浅蓝色的部分、蓝绿色部分、红色部分的和等于“1”减去空白部分占总体的几分之几； 由此得出：把这个大正方形平均分成2份、4份、8份……n份，份数分之一的和就等于“1”减去。 【详解】 ＝1－＝ 2 / 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级数学上册单元复习讲义（人教版） 第八单元数学广角——数与形 （思维架构+知识精讲+习题精练+知识拓展） 知识点01：探索并发现规律 数与形是有联系的，这种联系称之为数形结合。数与形常常从各自不同的角度互通 互助，数用来揭示图形的本质，图形可以蕴含数量关系。数形结合的方法是一种很好的数学思想方法，它能帮助我们把复杂的问题简单化，把抽象的问题直观化、形象化。 1.有些问题利用画图的方法解决起来更简单。从上图中可以直观地看出随着加数 的不断增加，圆的面积和线段的长度越来越接近1,当有无限多项相加时其结果为1。 2.数形结合的方法确实是一种很好的数学方法，它能帮助我们把复杂的问题简 单化，把简单的问题直观化、形象化。 【例1】用小棒按照如下方式摆图形，用2024根小棒可摆( )个正八边形。 【例2】观察下面的图形，按照规律，第6堆有( )个棋子；第n堆有( )棋子。 【例3】一张长方形桌子可坐6人，按下列方式将桌子拼在一起。 （1）3张桌子拼在一起可坐（    ）人，5张桌子拼在一起可坐（    ）人。 （2）依据上面桌子的拼摆规律，如果是n张桌子拼在一起，那么可以坐多少人？ 一、选择题 1．将同样大小的棋子按下图所示的方式摆放，则接下来的第20个图形需要摆（    ）个棋子。 7                  13           21            31 A．463 B．191 C．441 D．420 2．观察下列的图形，照这样摆下去，第n个图形中有（    ）个白色方块。 …… A．n＋4 B．3n C．3n＋2 D．6n－1 3．如图，图1有1个阴影三角形，图2有3个阴影三角形，图3有6个阴影三角形，……按此规律，图11有（    ）个阴影三角形。 A．72 B．66 C．55 D．50 4．如图，按照规律，在图10中，阴影小正方形与空白小正方形相差（    ）个。 图1    图2      图3        图4 A．49 B．47 C．41 D．39 二、填空题 5．如图，3个同样的杯子叠在一起高20厘米，5个这样的杯子叠起来高24厘米，7个这样的杯子叠起来的高度是 厘米，n个这样的杯子叠在一起的高度是 厘米。 6．如图所示图案是我国古代窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，则第5幅图中“〇”的个数为 个，第n幅图中“〇”的个数为 个。 7．根据下图中的规律，括号里应该填( )。 2层                     3层              4层                      6层                                                         （    ） 三、判断题 8．下面图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成。 照这样画下去，第8个图形中白色小正方形的个数是43。( ) 9．如图，用小棒摆图形，摆第8个用了17根小棒。( ) 10．同一平面内的6条直线，最多有15个交点。( ) 四、解答题 11．   （1）找规律，在横线上画出第四幅图。 （2）第12幅图中有（    ）个○，有（    ）个●。 12．为庆祝国庆，某学校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如下图所示。 (1)按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要( )根火柴棒，摆n条“金鱼”需要( )根火柴棒。 (2)如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备( )根火柴棒。 (3)准备88根火柴棒最多能摆( )条这样的“金鱼”。 13．下面每个图中最外圈各有多少个小正方形？ 照这样的规律接着画下去，第5个图形最外圈有多少个小正方形？ “数形结合”是我们学习数学的重要方法之一。请你结合图形回答。 ＝1－( )＝( ) ＝1－( )＝( ) ＝1－( )＝( ) 那么＝( )。 2 / 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$