5.2 导数的运算 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

§5.2 导数的运算 目录 题型1：导数的计算 2 题型2：求复合函数的导数 6 题型3：求曲线的切线方程 9  求曲线在某点处的切线方程 9  求曲线过某点的切线方程 13 题型4：求切线的斜率（倾斜角） 16 题型5：求切点坐标或参数 18 题型6：曲线的公切线问题 25 【强化训练】 34 1. 基本初等函数的导数公式 (1) 常数函数：； (2) 正弦函数； (3) 余弦函数； (4) 指数函数； ； (5) 对数函数； ； (6) 幂函数。 2. 导数的四则运算法则 (1) ； (2) ； (3) 。 3. 简单复合函数的导数 (1) 复合函数的定义 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。 (2) 复合函数的求导法则 对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为 ，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 题型1：导数的计算 方法提炼 函数求导应遵循的原则 (1) 求导之前，应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错； (2) 进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混。 【例1.1.】 下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】根据导数的运算法则逐一验证即可. 【详解】由，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 【例1.2.】 （多选）下列求导数运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】根据基本初等函数求导法则，导数四则运算法则运算即可逐一判断每个选项. 【详解】[，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D正确． 故选：BD 【例1.3.】 已知函数，则函数在处的导数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求某点处的导数值、基本初等函数的导数公式、导数的加减法 【分析】求出函数的导数，进而求出导数值. 【详解】函数，求导得， 所以函数在处的导数为. 故选：D 【例1.4.】 已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】导数的乘除法 【分析】根据求导的乘法公式，求导后直接代入求值即可. 【详解】， 所以. 故选：C. 【例1.5.】 已知函数，则 . 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】导数的运算法则 【分析】将看成整体，令，则，然后求导代入即可得解. 【详解】令， 则，所以， 所以 ． 故答案为：3. 【例1.6.】 已知函数（是的导函数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】导数的乘除法 【分析】对求导，再代入，从而求得，进而得到，由此得解. 【详解】因为，所以， 则，解得：， 所以，则. 故选：D 【例1.7.】 已知函数，为函数的导数，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求某点处的导数值、简单的对数方程 【分析】分段求出导数，求解方程即可. 【详解】当，，故， 当， 当， 故， 解得. 故选：D. 【例1.8.】 设函数，其中θ∈，则导数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】导数的运算法则、三角函数综合 【分析】由题意可得 结合函数的定义域和三角函数的性质可得f ′(1)的取值范围是. 【详解】由题 . 题型2：求复合函数的导数 方法提炼 求复合函数的导数的一般步骤： (1) 分解：将复合函数分解为基本初等函数，注意选择合适的中间变量； (2) 分层求导：求每一层基本初等函数的导数（弄清每一步求导过程中是哪个变量对哪个变量求导）； (3) 作积还原：将各层基本初等变量的导数相乘，并将中间变量还原为自变量。 【例2.1.】 （多选）以下函数求导正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【难度】0.94 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则 【分析】采用逐一验证法，根据导数的四则运算进行计算，然后判断可得结果. 【详解】对A，，故A正确 对B，，故B错 对C， 所以C正确 对D，，故D错 故选：AC 【例2.2.】 （多选）下列求导运算正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则 【分析】由导数的求导运算求解． 【详解】对于A.，A错误； 对于B.，B正确； 对于C.，C错误； 对于D. ，D正确. 故选：BD. 【例2.3.】 已知，若，则（    ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】由函数解析式求导，结合题意建立方程，可得答案. 【详解】由，则， 所以，解得. 故选：A. 【例2.4.】 已知函数，则 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】简单复合函数的导数、求某点处的导数值 【分析】根据给定条件，两边求导再赋值计算得解. 【详解】函数，求导得：函数， 当时：，解得， 所以. 故答案为： 题型3：求曲线的切线方程 · 求曲线在某点处的切线方程 方法提炼 求曲线在点处的切线方程的步骤： (1) 曲线的切线在的斜率为曲线在点处的导数； (2) 用点斜式写出曲线的切线方程为。 【例3.1.】 函数的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】利用导数的几何意义求解斜率，进而求出切线方程即可. 【详解】易得，又，所以， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. 故选：D. 【例3.2.】 曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据导数的几何意义，求导得到切线的斜率，根据点斜式可得切线的方程. 【详解】由得， 所以，即所求切线的斜率为4， 由点斜式可得所求切线方程为，即. 故选：B. 【例3.3.】 曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、简单复合函数的导数、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】令，求其导数，由条件分析出，求出值即可. 【详解】令，则. 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 且直线的斜率为2， 所以曲线在处的切线斜率为， 即，解得. 故选：B 【例3.4.】 已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】对求导，得，利用导数的几何意义得到切线的斜率，再利用点斜式，即可求解. 【详解】因为， 则， 所以， 又，所以的图象在处的切线方程为，即， 故选：A. 【例3.5.】 已知函数的图像在处的切线方程为，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式 【分析】利用导数的几何意义求得函数在处的切线方程，可求得的值. 【详解】因为，所以，所以，， 则的图像在处的切线方程为，即， 又函数的图像在处的切线方程为，则， 所以，，故. 故选：C. 【例3.6.】 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（   ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义，结合垂直关系列式求解. 【详解】由，求导得， 则曲线在点处的切线斜率为， 依题意，，所以. 故选：A 【例3.7.】 曲线在点处的切线斜率是 ，切线方程是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式 【分析】对函数求导，由导数的几何意义求解． 【详解】， 则曲线在点处的切线斜率为：； 切线方程为：，即， 故答案为：； 【例3.8.】 已知函数，且. (1)求的值； (2)求曲线在处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】（1）求导即可代入求解. （2）根据导数求解斜率，即可由点斜式求解. 【详解】（1）由，得， 因为，所以，解得. （2）由（1）得，所以， 由，得， 所以曲线在处的切线方程为，即 · 求曲线过某点的切线方程 方法提炼 求曲线过点的切线方程的步骤： (1) 设曲线的切线与曲线切于点，则切线的斜率为曲线在点处的导数； (2) 切点同时满足，求出，即可得曲线的切线方程. 注意：检验直线是否符合题意. 【例3.9.】 函数过点的切线条数为（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】讨论当点为切点时与当点不是切点时，利用导数的几何意义即可求解． 【详解】由函数，则， 当点为切点时，则，即切线的斜率， 所以切线的方程为， 当点不是切点时，设切点，则， 即，即， 解得或（舍去），所以 所以切线的方程为，即． 综上，函数过点的切线条数为2条. 故选：B 【例3.10.】 函数过点的切线斜率为（    ） A．1 B．9 C．0或9 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、导数的运算法则 【分析】根据导数的几何意义，设切点为，再由切线方程为，把点代入计算得到切线方程即可． 【详解】设切点为， ，则切线方程为， 整理得， 又切线过点， 所以，即， 解得或， 所以切线方程为或，斜率为或． 故选：C． 【例3.11.】 过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、导数的运算法则 【分析】设切点为，利用导数几何意义求切线方程，结合所过的点求参数，进而确定切线方程. 【详解】，， 设切点为，则， 切线方程为，又切线过点， ，整理得， 切线方程为，则. 故选：C. 【例3.12.】 （多选）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、导数的运算法则 【分析】先设曲线上一点，根据导数的几何意义，求曲线在该点处的切线方程，再由切线过点，得到关于的方程，由该方程无解求的取值范围，即可进行判断. 【详解】设曲线上一点， 因为，所以. 所以曲线在处切线的斜率为. 所以曲线在处切线方程为. 由切线过点，得， 整理得：. 由该方程无解，得， 即，解得. 故选：BC 题型4：求切线的斜率（倾斜角） 方法提炼 由导数的几何意义，得（其中为曲线在点处的切线的倾斜角），进而求出。特别地，若函数在处的导数不存在，而曲线在处的切线存在，则此切线的倾斜角为. 【例4.1.】 曲线在点处切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、简单复合函数的导数 【分析】根据给定条件，求出导数并利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】函数，求导得， 则曲线在点处切线斜率， 所以所求倾斜角为. 故选：A 【例4.2.】 函数的图象在处的切线的倾斜角为 . 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导数求切线斜率，即可得解. 【详解】函数，则， 则， 所以函数的图象在处的切线的倾斜角为. 故答案为： 【例4.3.】 函数在点处的切线斜率为4，则 . 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】导数的运算法则、已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求导，令导数等于4求解可得. 【详解】易知，根据题意有，解得. 故答案为：1 【例4.4.】 曲线的切线斜率的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】先求导，再利用导数的几何意义结合函数性质求解． 【详解】，求导得， 当时，取得最小值， 曲线的切线斜率的最小值为． 故答案为：． 【例4.5.】 若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】先设切点坐标，然后求导计算切点斜率，得到斜率范围，最后得到倾斜角的范围即可. 【详解】设，由函数，得， 所以过点的切线斜率， 根据二次函数的图像性质，可得， 又，即， 又，所以得的取值范围是. 故选：C 题型5：求切点坐标或参数 【例5.1.】 已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、导数的运算法则 【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义求出切线方程，对比系数即可求出切点坐标. 【详解】设切点坐标为，因为，所以在点处切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 即，所以，解得， 所以切点为. 故选：A 求切点坐标的一般步骤： 【例5.2.】 若直线与曲线相切，则m的值为（    ） A．-5 B． C．3 D．5 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】根据导数的几何意义进行求解即可. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由 所以，整理得 解得或（舍去）， 所以. 故选：D 【例5.3.】 若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线的倾斜角互补，则 . 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】由导数的几何意义表示出曲线在点和在点的切线方程，根据倾斜角互补得到在点的切线的斜率值，求出. 【详解】设，， 函数的导函数为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 函数的导函数为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 直线的斜率为，倾斜角为135°， 因为曲线在点处的切线与曲线在点处的切线的倾斜角互补，所以直线的倾斜角为45°， 所以的斜率为，所以，所以. 故答案为：1. 【例5.4.】 已知Р是曲线上的动点，点Q在直线上运动，则当取最小值时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知切线（斜率）求参数、余弦函数图象的应用 【分析】如图所示，若使得取最小值，则曲线在点P处的切线与直线平行，然后利用导数的几何意义求出点P的坐标 【详解】如图所示： 若使得取最小值，则曲线在点P处的切线与直线平行， 对函数求导得， 令，可得， 因为，解得， 当时，， 所以点P的坐标为， 故选：D 【例5.5.】 已知直线与曲线相切，则实数 ． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、基本初等函数的导数公式 【分析】设切点坐标为，利用切点既在曲线上又在切线上及导数的几何意义，解方程组即可求出. 【详解】由题意，定义域为，， 设切点坐标为，又切点既在曲线上又在切线上，， 解得或（舍掉），则. 故答案为：4. 【例5.6.】 若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、导数的乘除法 【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，得出切线的斜率，代入点斜式方程，得出切线的方程，将原点坐标代入，整理得出.由题意可知，，求解即可得出答案. 【详解】设切点为， 由已知可得. 根据导数的几何意义可知， 切线的斜率为. 代入切线方程为， 整理可得. 又切线经过原点， 所以有， 整理可得. 因为曲线有两条过坐标原点的切线， 所以方程有两个不相等的实数解， 即有，解得或. 故选：B. 【例5.7.】 已知，若曲线在处的切线与直线平行，则的最小值为 ． 【答案】6 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求和的最小值、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】通过求导得出曲线在某点处的切线斜率，再根据切线与已知直线平行得到斜率关系，进而得出与的关系式，最后利用基本不等式求的最小值. 【详解】设，则， ， ， 又曲线在处的切线与直线平行， ，，即， ，当且仅当时，等号成立， 设，则，即， ， 又，， 当时取等号， 此时，,, 处的切线方程为,即,与直线平行，符合题意， 所以的最小值为. 故答案：6． 【例5.8.】 已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)已知过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、导数的乘除法 【分析】（1）利用导数求切线斜率，然后由点斜式可得切线方程； （2）设切点坐标为，表示出切线方程，根据切线过点得关于的一元二次方程，由方程有两个不相等的实根求解即可. 【详解】（1），因为，， 所以切点为，且切线斜率， 所以切线方程为， 得. （2）设切点坐标为，因为， 所以切线的斜率， 所以切线方程是， 因为切线过点， 所以，即， 因为过点可以作曲线的两条切线， 所以方程有两个不同的根， 所以， 解得或. 【例5.9.】 已知曲线． (1)若在点处的切线与直线平行，求实数的值； (2)若曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直，求实数的值． 【答案】(1)0 (2) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）设公共点为，由题设可得，可得，，再将公共点代入两曲线方程化简可得，进而求解即可. 【详解】（1）由，则， 而直线的斜率为3， 所以，解得. （2）由题意，，， 设公共点为，则，， 由于曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直， 所以，则，， 又，则， 所以，解得. 题型6：曲线的公切线问题 方法提炼 (1) 求共切点的公切线的一般思路：①设两曲线的公共切点；②列关系式③求公共切点的横坐标，再代入或，求；④所求公切线方程为或. (2) 求两曲线不同切点的公切线的一般思路：①分别设出两曲线的切点，；②分别求两曲线在切点处的方程，；③由公切线转化为两切线方程对应项系数相同，列方程组消元求解或，再求公切线方程. 【例6.1.】 曲线和曲线的公共切线的斜率为（   ） A．1 B．3 C． D．e 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式 【分析】求导，根据斜率相等以及两点斜率公式即可求解. 【详解】由于，， 设的切点为，的切点为， 故且， 故，， 因此公切线的斜率为， 故选：B 【例6.2.】 写出与曲线和都相切的一条直线的方程 . 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】基本初等函数的导数公式、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】分别设出切线与两曲线的切点，根据导数的几何意义列方程，解方程可得答案. 【详解】设切线 与 在点 处相切， 则：， 将 代入第一个方程：， 设切线 与 在点 处相切， 则：， 将 代入第一个方程： ， 联立， （1）与（2）联立得：， 再把（3）式两边取对数得：， 代入到（4），得： ， 解得：或， 再分别代入到（1）和（3）中， 得：或. 故答案为：或 【例6.3.】 若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】分别设直线与两条曲线的切点，利用导数求切线斜率，写出切线方程，结合公切线的表达式列等式，依次求解参数与. 【详解】设直线与曲线的切点为， 由，得，即. 切线方程为，代入、，得. 因该切线为，故，解得. 设直线与曲线的切点为， 由，得，即. 切线方程为，化简得. 因该切线为，故，解得. 故选：B 【例6.4.】 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（   ） A． B． C．2 D．－2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线方程，设曲线的切点可得，进而可根据得解. 【详解】由求导得，令得切线斜率， 故在点处的切线方程为，即， 由求导得， 设的切点为， 根据题意可得，即， 又，解得. 故选：A 【例6.5.】 已知，若直线是曲线与曲线的公切线，则 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】首先根据导数的几何意义求出直线与曲线的交点（切点），然后根据切点在直线上求出，最后求出直线与的交点（切点）即可求出. 【详解】设直线在处的切点坐标为， 在处的切点坐标为，，， 因为直线是曲线和的公切线，所以， 解得，则， 把代入直线中可得，又，解得， 把代入直线中可得， 再把代入中可得，即，所以. 故答案为：1 【例6.6.】 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数 【分析】先求出的导函数，将切点的横坐标代入求出的是切线的斜率，利用点斜式得到的切线方程，这个切线方程就是曲线的切线方程，求的导函数，则这个等于切线的斜率，从中求出曲线的切线的切点的横坐标，将其代入切线方程，从而得到曲线的切线的切点，将这个切点代入得到值. 【详解】由，求导可得，将切点的横坐标代入， 得到切线的斜率，则切线方程为，即， 由，求导可得， 由曲线在点处的切线与曲线相切， 则曲线的切线为， 令，解得， 将代入，可得，得到曲线上切线的切点为， 将代入，可得，解得． 故答案为:． 【例6.7.】 若曲线在点（1，3）处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点求出，利用公切线斜率相等求出表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解 【详解】由，得，， 故曲线在处的切线方程为，即； 由，得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 故切线方程为，即， 因两切线为同一条直线，方程相同，则，解得． 故答案为：． 【例6.8.】 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、基本初等函数的导数公式 【分析】分别计算函数和在点和点处的切线斜率，得到，再结合，化简即可求解. 【详解】对求导得：， 则在处切线斜率为，且 对于求导得：， 则在处切线斜率为，且 由题意可得：，即 又切线斜率， 可得：，即， 所以， 故选：A 【例6.9.】 若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、基本初等函数的导数公式 【分析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养．首先求导，设出曲线上的切点坐标后列方程组求得公切线的斜率，再结合曲线列方程求解. 【详解】令，，则，． 设直线与曲线相切于点， 则，解得，所以公切线，即. 令，解得，所以，解得． 故选：B. 【例6.10.】 已知直线是曲线和的公切线，则实数 . 【答案】3 【难度】0.4 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则 【分析】因为中不含有参数，所以根据可求得的值，再根据的切线为求得参数，要注意切点既在曲线上也在切线上的隐含条件. 【详解】设直线与曲线相切于点， 因为切点既在曲线上也在切线上，所以. 又，所以，且， 即切线的斜率且. 由解得，所以切线为. 设直线与曲线相切于点， 因为，所以，即， 又切点既在曲线上也在切线上，所以. 由解得. 故答案为：3 【例6.11.】 若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． (1)分别求和在交点处的切线方程； (2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 【答案】(1)；； (2)；. 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、基本初等函数的导数公式 【分析】（1）根据导数的几何意义直接求切线方程可得； （2）根据公切线的定义可求得公切点，进而可得所求结果. 【详解】（1）联立，解得或（舍去），所以交点坐标为． 对求导，可得，将代入，得切线斜率． 切线方程，即. 对求导，，将，得切线斜率． 切线方程，即. 所以交点处的切线方程为，. （2）设公切点． 对求导，根据求导公式，可得，则在点处的切线斜率． 对求导，可得，则在点处的切线斜率. 因为两函数在点处存在公切线，所以，即①． 又因为点在两函数图象上，所以②． 由①得，将其代入②可得：，即，解得. 将代入（1）得：，解得. 将代入得. 所以，点的坐标为． 【强化训练】 1. 曲线在点处的切线斜率是（   ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】由导数的几何意义求解. 【详解】因为，所以，所以曲线在点处的切线斜率为， 故选：A. 2. 已知函数的导函数为，且满足，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】导数的加减法、基本初等函数的导数公式 【分析】将求导，将1代入导数得的值，再将代入导数就可计算出的值. 【详解】因为 ， 所以 ， 所以 ，所以 ，所以 . 故选：C. 3. 若直线是函数的图象的一条切线，则实数k的值为（    ）． A． B．e C．1 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】可设切点坐标，切点坐标满足函数解析式，且有，解方程组可得k的值. 【详解】，， 设切点坐标为，则， 消去k，得，所以. 故选：C 4. 若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ）． A．26 B．23 C．15 D．11 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】先由，利用切线斜率为-1求得切点，再将切点代入切线方程求得a，然后设切线与的切点为，利用切线斜率为-1和切点在切线上求解. 【详解】解：因为， 所以，由，解得或（舍去）， 所以切点为， 因为切点在切线上，解得， 所以切线方程为， ，设切点为， 由题意得，解得， 所以， 故选：D 5. （多选）下列求导正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数 【分析】根据基本初等函数的导数的运算公式和导数的运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，，则，A正确； 对于B中，，则，B错误； 对于C中，，则，C错误； 对于D中，，则，D正确. 故选：AD 6. 已知直线是曲线与的公切线，则的方程为 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、基本初等函数的导数公式 【详解】根据切线的斜率相等求出切点坐标，从而求出切线方程. 【解答】因为，， 设与曲线相切于点，与曲线相切于点， 则， 消去，整理得，解得或. 当时，切线的斜率为，切点为，则的方程为； 当时，切线的斜率为1，切点为，则的方程为. 故答案为：或. 7. 已知定义在上的函数，，设曲线与在公共点处的切线相同，则实数 ． 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】由于两曲线与在公共点处的切线相同，设公共点，则，列方程组可求出的值 【详解】解：依题意设曲线与在公共点处的切线相同. ∵， ∴， ∴，即，即 ∵，∴， 故答案为： 8. 已知函数，若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、根据函数零点的个数求参数范围、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】假设切点坐标，利用导数几何意义可写出切线方程，代入原点坐标化简可得，根据切线条数可知，由此可得的取值范围. 【详解】设过坐标原点的切线与相切于点， ，， 在点处的切线方程为：， ，， ，且过坐标原点的切线有两条，，解得：或， 即的取值范围为. 故答案为：. 9. 已知函数的图象在点处的切线斜率为． (1)求的值； (2)求曲线过原点的切线方程． 【答案】(1)1 (2)或． 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出的值. （2）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切点，进而求出切线的斜率即可. 【详解】（1）函数，求导得， 依题意，，所以； （2）设曲线过原点的切线的切点为，则， 原点不在曲线上，于是，解得， 当时，；当时，， 所以曲线过原点的切线方程为或． 10. （1）求曲线在处切线的方程； （2）已知曲线与曲线在它们的公共点处的切线互相垂直，求k的值. 【答案】（1）；（2）． 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）设公共点为，由求得后，再由求得． 【详解】（1），则， 时，，， 所求切线方程为，即； （2），，又， 设公共点为，由题意，解得，则， 从而，所以． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §5.2 导数的运算 目录 题型1：导数的计算 2 题型2：求复合函数的导数 4 题型3：求曲线的切线方程 4  求曲线在某点处的切线方程 4  求曲线过某点的切线方程 6 题型4：求切线的斜率（倾斜角） 6 题型5：求切点坐标或参数 7 题型6：曲线的公切线问题 8 【强化训练】 9 1. 基本初等函数的导数公式 (1) 常数函数：； (2) 正弦函数； (3) 余弦函数； (4) 指数函数； ； (5) 对数函数； ； (6) 幂函数。 2. 导数的四则运算法则 (1) ； (2) ； (3) 。 3. 简单复合函数的导数 (1) 复合函数的定义 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。 (2) 复合函数的求导法则 对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为 ，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 题型1：导数的计算 方法提炼 函数求导应遵循的原则 (1) 求导之前，应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错； (2) 进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混。 【例1.1.】 下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 （多选）下列求导数运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例1.3.】 已知函数，则函数在处的导数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【例1.4.】 已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 已知函数，则 . 【例1.6.】 已知函数（是的导函数），则（    ） A． B． C． D． 【例1.7.】 已知函数，为函数的导数，若，则（     ） A． B． C． D． 【例1.8.】 设函数，其中θ∈，则导数的取值范围是 ． 题型2：求复合函数的导数 方法提炼 求复合函数的导数的一般步骤： (1) 分解：将复合函数分解为基本初等函数，注意选择合适的中间变量； (2) 分层求导：求每一层基本初等函数的导数（弄清每一步求导过程中是哪个变量对哪个变量求导）； (3) 作积还原：将各层基本初等变量的导数相乘，并将中间变量还原为自变量。 【例2.1.】 （多选）以下函数求导正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例2.2.】 （多选）下列求导运算正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例2.3.】 已知，若，则（    ） A． B．1 C．3 D．4 【例2.4.】 已知函数，则 ． 题型3：求曲线的切线方程 · 求曲线在某点处的切线方程 方法提炼 求曲线在点处的切线方程的步骤： (1) 曲线的切线在的斜率为曲线在点处的导数； (2) 用点斜式写出曲线的切线方程为。 【例3.1.】 函数的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【例3.2.】 曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 【例3.4.】 已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【例3.5.】 已知函数的图像在处的切线方程为，则（   ） A． B． C．4 D．8 【例3.6.】 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（   ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【例3.7.】 曲线在点处的切线斜率是 ，切线方程是 ． 【例3.8.】 已知函数，且. (1)求的值； (2)求曲线在处的切线方程. · 求曲线过某点的切线方程 方法提炼 求曲线过点的切线方程的步骤： (1) 设曲线的切线与曲线切于点，则切线的斜率为曲线在点处的导数； (2) 切点同时满足，求出，即可得曲线的切线方程. 注意：检验直线是否符合题意. 【例3.9.】 函数过点的切线条数为（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【例3.10.】 函数过点的切线斜率为（    ） A．1 B．9 C．0或9 D．或 【例3.11.】 过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【例3.12.】 （多选）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 题型4：求切线的斜率（倾斜角） 方法提炼 由导数的几何意义，得（其中为曲线在点处的切线的倾斜角），进而求出。特别地，若函数在处的导数不存在，而曲线在处的切线存在，则此切线的倾斜角为. 【例4.1.】 曲线在点处切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【例4.2.】 函数的图象在处的切线的倾斜角为 . 【例4.3.】 函数在点处的切线斜率为4，则 . 【例4.4.】 曲线的切线斜率的最小值为 ． 【例4.5.】 若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型5：求切点坐标或参数 【例5.1.】 已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 若直线与曲线相切，则m的值为（    ） A．-5 B． C．3 D．5 【例5.3.】 若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线的倾斜角互补，则 . 【例5.4.】 已知Р是曲线上的动点，点Q在直线上运动，则当取最小值时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例5.5.】 已知直线与曲线相切，则实数 ． 【例5.6.】 若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5.7.】 已知，若曲线在处的切线与直线平行，则的最小值为 ． 【例5.8.】 已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)已知过点，，可以作函数的两条切线，求实数的取值范围. 【例5.9.】 已知曲线． (1)若在点处的切线与直线平行，求实数的值； (2)若曲线与曲线在第一象限的公共点处的切线互相垂直，求实数的值． 题型6：曲线的公切线问题 方法提炼 (1) 求共切点的公切线的一般思路：①设两曲线的公共切点；②列关系式③求公共切点的横坐标，再代入或，求；④所求公切线方程为或. (2) 求两曲线不同切点的公切线的一般思路：①分别设出两曲线的切点，；②分别求两曲线在切点处的方程，；③由公切线转化为两切线方程对应项系数相同，列方程组消元求解或，再求公切线方程. 【例6.1.】 曲线和曲线的公共切线的斜率为（   ） A．1 B．3 C． D．e 【例6.2.】 写出与曲线和都相切的一条直线的方程 . 【例6.3.】 若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【例6.4.】 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（   ） A． B． C．2 D．－2 【例6.5.】 已知，若直线是曲线与曲线的公切线，则 【例6.6.】 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 ． 【例6.7.】 若曲线在点（1，3）处的切线也是曲线的切线，则 . 【例6.8.】 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【例6.9.】 若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 【例6.10.】 已知直线是曲线和的公切线，则实数 . 【例6.11.】 若函数和图象有公共点，且各自在点的切线和重合，则称重合的切线为两函数在点处的公切线． (1)分别求和在交点处的切线方程； (2)若和在点处存在公切线，求的值及点的坐标． 【强化训练】 1. 曲线在点处的切线斜率是（   ） A．2 B．1 C． D．0 2. 已知函数的导函数为，且满足，则（    ） A． B． C．4 D． 3. 若直线是函数的图象的一条切线，则实数k的值为（    ）． A． B．e C．1 D． 4. 若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ）． A．26 B．23 C．15 D．11 5. （多选）下列求导正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6. 已知直线是曲线与的公切线，则的方程为 7. 已知定义在上的函数，，设曲线与在公共点处的切线相同，则实数 ． 8. 已知函数，若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ． 9. 已知函数的图象在点处的切线斜率为． (1)求的值； (2)求曲线过原点的切线方程． 10. （1）求曲线在处切线的方程； （2）已知曲线与曲线在它们的公共点处的切线互相垂直，求k的值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $