5.1 导数的概念及其意义 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

本讲义聚焦导数的概念及其意义，从瞬时速度切入，系统梳理平均变化率（含概念、几何意义）、瞬时变化率（导数定义）、导数几何意义及导函数，构建从具体实例到抽象概念的学习支架。 资料通过分层题型（平均/瞬时变化率、几何意义应用）设计，结合图像题培养数学眼光，步骤化方法（求导数步骤）提升数学思维，强化训练助力课中教学与课后查漏补缺，体现数学语言表达与应用意识。

§5.1 导数的概念及其意义 目录 题型1：求函数的平均变化率 3 题型2：求函数的瞬时变化率 4 题型3：导数几何意义的综合应用 6 【强化训练】 8 1. 瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。当无限趋近于0时，平均速度将越来越趋近于物体在时刻的瞬时速度。 2. 平均变化率的概念 对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到。这时的变化量为，的变化量为，我们把比值，即叫做函数从到的平均变化率． 提醒 可以是正值，也可以是负值．但不可以为0. 3. 平均变化率的几何意义 设函数的图象如图所示。容易发现，函数的平均变化率表示割线的斜率。 4. 导数（瞬时变化率）的概念 如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数，记作或，即。 提醒 代表函数在处的导数值；是函数值的导数，而函数值是一个常量，其导数一定为0，即. 5. 导数的几何意义 如图，在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线。 割线的斜率，记，当点沿着曲线无限趋近于点时，即当时，无限趋近于函数在处的导数。因此，函数在处的导数就是切线的斜率，即.这就是导数的几何意义. 6. 导函数 从求函数在处的导数过程可以看到，当时，是一个唯一确定的数。这样当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数（简称导数），的导函数也记作，即 . 题型1：求函数的平均变化率 【例1.1.】 对于平均变化率，下列说法中不正确的是（    ） A．可为正 B．可为负 C．可为0 D．可为0 【例1.2.】 函数，当自变量x由1增加到时，函数的平均变化率为（    ） A．2 B． C． D． 【例1.3.】 某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 【例1.5.】 （多选）已知函数的图象如下图，则函数在区间上的平均变化率情况是（    ）    A．在区间上的平均变化率最小 B．在区间上的平均变化率大于0 C．在区间上的平均变化率比上的大 D．在区间上的平均变化率最大 【例1.6.】 正方体的棱长从1增加到2时，正方体的体积平均膨胀率为（    ） A．8 B．7 C． D．1 【例1.7.】 如果质点M的运动方程是，那么在时间段内的平均速度是（    ） A． B． C． D． 【例1.8.】 函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 【例1.9.】 已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 【例1.10.】 已知,若函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是 填， 或不确定 题型2：求函数的瞬时变化率 方法提炼 求函数在处的导数的步骤 (1) 求平均变化率； (2) 求瞬时变化率，即取极限，得到. 【例2.1.】 若函数于处存在导数，则（    ） A．与，都有关 B．仅与有关，而与无关 C．仅与有关，而与无关 D．与，均无关 【例2.2.】 （多选）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知，求的值． 【例2.4.】 已知在处的导数，求下列各式的值： (1)； (2)． 【例2.5.】 已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【例2.6.】 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（   ） A． B． C．1 D．3 【例2.7.】 如果函数在处的导数为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【例2.8.】 已知，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【例2.9.】 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为 . 题型3：导数几何意义的综合应用 【例3.1.】 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 【例3.3.】 函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3.4.】 已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【例3.5.】 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【例3.6.】 已知函数的部分图象如图所示，是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【强化训练】 1. 已知函数，则从1到的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 2. 已知函数，当x由1变到2时，函数值的改变量等于（    ） A． B． C．1 D． 3. 已知函数在区间上的平均变化率等于其在处的导数，则实数（   ） A． B． C． D． 4. 若函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 5. 若函数部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 6. 建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 7. （多选）某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（    ）． A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B． C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到这段时间内的平均速度 8. 设函数在点处可导，且，则的值为 . ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §5.1 导数的概念及其意义 目录 题型1：求函数的平均变化率 3 题型2：求函数的瞬时变化率 7 题型3：导数几何意义的综合应用 12 【强化训练】 16 1. 瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。当无限趋近于0时，平均速度将越来越趋近于物体在时刻的瞬时速度。 2. 平均变化率的概念 对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到。这时的变化量为，的变化量为，我们把比值，即叫做函数从到的平均变化率． 提醒 可以是正值，也可以是负值．但不可以为0. 3. 平均变化率的几何意义 设函数的图象如图所示。容易发现，函数的平均变化率表示割线的斜率。 4. 导数（瞬时变化率）的概念 如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数，记作或，即。 提醒 代表函数在处的导数值；是函数值的导数，而函数值是一个常量，其导数一定为0，即. 5. 导数的几何意义 如图，在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线。 割线的斜率，记，当点沿着曲线无限趋近于点时，即当时，无限趋近于函数在处的导数。因此，函数在处的导数就是切线的斜率，即.这就是导数的几何意义. 6. 导函数 从求函数在处的导数过程可以看到，当时，是一个唯一确定的数。这样当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数（简称导数），的导函数也记作，即 . 题型1：求函数的平均变化率 【例1.1.】 对于平均变化率，下列说法中不正确的是（    ） A．可为正 B．可为负 C．可为0 D．可为0 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】平均变化率 【分析】根据增量和的概念判断即可. 【详解】可为正、可为负、不可为0；可为正、可为负、可为0. 故选：C. 【例1.2.】 函数，当自变量x由1增加到时，函数的平均变化率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率的概念计算即可得解. 【详解】， ， ， 故选：C 【例1.3.】 某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均速度的含义，代入数据，计算即可得答案. 【详解】当时，位移为， 当时，位移为， 在这段时间里，该物体的平均速度为. 故选：A. 【例1.4.】 函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率公式计算可得. 【详解】函数在区间上的平均变化率为. 故选：A 【例1.5.】 （多选）已知函数的图象如下图，则函数在区间上的平均变化率情况是（    ）    A．在区间上的平均变化率最小 B．在区间上的平均变化率大于0 C．在区间上的平均变化率比上的大 D．在区间上的平均变化率最大 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】平均变化率 【分析】利用平均变化率的定义逐一判断即可. 【详解】函数在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间上，，即函数在区间上的平均变化率小于0；在区间，，上时，且相同，由图象可知函数在区间上的最大. 故选：BC 【例1.6.】 正方体的棱长从1增加到2时，正方体的体积平均膨胀率为（    ） A．8 B．7 C． D．1 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】平均变化率 【分析】利用平均变化率求解. 【详解】， 故选：B 【例1.7.】 如果质点M的运动方程是，那么在时间段内的平均速度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平均变化率 【分析】由平均速度的定义求解即可. 【详解】由题意可得平均速度是. 故选：A 【例1.8.】 函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率的定义即可求得. 【详解】由平均变化率定义得， 故选：C. 【例1.9.】 已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】平均变化率 【分析】由函数的平均变化率定义进行求解． 【详解】由题意， ， ， 故． 故选：B 【例1.10.】 已知,若函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是 填， 或不确定 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平均变化率 【分析】根据题意，由平均变化率的公式代入计算，即可得到，然后作差，即可得到其大小关系. 【详解】因为， ， 且，则. 故答案为： 题型2：求函数的瞬时变化率 方法提炼 求函数在处的导数的步骤 (1) 求平均变化率； (2) 求瞬时变化率，即取极限，得到. 【例2.1.】 若函数于处存在导数，则（    ） A．与，都有关 B．仅与有关，而与无关 C．仅与有关，而与无关 D．与，均无关 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】导数（导函数）概念辨析 【分析】利用导数的定义即可求解. 【详解】因为， 所以结果仅与有关，而与h无关. 故选：B. 【例2.2.】 （多选）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】利用导数的定义逐个求解. 【详解】，故A错； ，故B对； ，由导数的定义知C对； ，故D对； 故选：BCD 【例2.3.】 已知，求的值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据条件，利用导数的定义，即可求解. 【详解】因为， 又 ， 所以. 【例2.4.】 已知在处的导数，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】（1）（2）根据导数的定义即可求解. 【详解】（1）， 即． ． （2）， 即为函数在区间上平均变化率． ∴当时，必趋于， ， ． 【例2.5.】 已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义计算可得结果. 【详解】由导数的定义，. 故选：C. 【例2.6.】 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】由导数的定义化简已知，即可求解. 【详解】已知函数可导， ， 所以. 故选：A 【例2.7.】 如果函数在处的导数为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】导数（导函数）概念辨析、导数定义中极限的简单计算 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】因为函数在处的导数为1， 所以， 故选：C 【例2.8.】 已知，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、导数定义中极限的简单计算 【分析】利用导数的定义即可求解. 【详解】由题意有：， 故选：D. 【例2.9.】 已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为 . 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】因为函数可导，且满足， 所以 ，所以， 所以函数在处的导数为. 故答案为： 题型3：导数几何意义的综合应用 【例3.1.】 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】导数定义中极限的简单计算、利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据题意，化简得到，即，结合导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线的斜率，得到答案. 【详解】由， 所以，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是. 故选：A. 【例3.2.】 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、平均变化率 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义，借助图形判断得解. 【详解】由导数的几何意义，得为函数图象在处切线的斜率， 为函数的图象在处切线的斜率， 为函数图象上点确定直线的斜率， 观察图象，得. 故选：B    【例3.3.】 函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】平均变化率、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导数的几何意义和两点的斜率公式，结合图像判断即可. 【详解】设，，由图可得， 而， 故. 故选：C. 【例3.4.】 已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导数的几何意义，结合图象即可求解. 【详解】根据导数的几何意义，结合图象可得， 所以. 故选：A. 【例3.5.】 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】平均变化率、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据函数单调性以及曲线在某一点导数的几何意义即可判断. 【详解】由题可知：函数为单调递增且为上凸函数， 所以， 即. 故选：B. 【例3.6.】 已知函数的部分图象如图所示，是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、瞬时变化率的概念及辨析、平均变化率 【分析】结合导数的几何意义和平均变化率的定义，利用直线斜率的关系，即可求解. 【详解】根据导数的几何意义，表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率， 表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率， 又由平均变化率的定义，可得表示过两点的割线的斜率， 如图所示， 结合图象，可得，所以. 故选：D. 【强化训练】 1. 已知函数，则从1到的平均变化率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率的定义计算可得. 【详解】. 故选：C. 2. 已知函数，当x由1变到2时，函数值的改变量等于（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】平均变化率 【分析】分别求出和时的函数值，两者作差即可. 【详解】当时，， 当时，， 所以函数值的改变量为. 故选：B. 3. 已知函数在区间上的平均变化率等于其在处的导数，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】导数的加减法、平均变化率 【分析】求出，根据题意可得出关于的等式，结合可求得的值. 【详解】因为，则， 因为函数在区间上的平均变化率等于其在处的导数， 所以， 即，因为，解得. 故选：D. 4. 若函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义及极限的相关运算性质计算可得. 【详解】因为，所以， 又函数在处可导， 所以. 故选：D 5. 若函数部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、函数与导函数图象之间的关系 【分析】结合导数的几何意义及函数的增长趋势判断即可． 【详解】由图可知，单调递增，且增长趋势越来越慢， 表示函数在处切线的斜率，表示函数在处切线的斜率， 表示点与两点连线的斜率， 由图可知 故选：D． 6. 建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析 【详解】根据题意，利用瞬时变化率与平均变化率，结合图象分析判断，即可求解. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，所以A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D正确. 故选：D. 7. （多选）某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（    ）． A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B． C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到这段时间内的平均速度 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、平均变化率 【分析】根据瞬时速度的定义判断即可. 【详解】因为，所以， 且是物体在这一时刻的瞬时速度，故B、C正确； 物体从开始到这段时间内的平均速度为，故A错误； 物体从到这段时间内的平均速度为，故D错误. 故选：BC 8. 设函数在点处可导，且，则的值为 . 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】， 故答案为：4 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $