2.1.3 两角和与差的正切公式 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

2.1.3 两角和与差的正切公式 一、必备知识基础练 1.已知tan =,tan =,则tan( - )=( ) A.1 B. C. D. 2.(2025甘肃酒泉高一期中)已知 , ∈(0, ),且cos =,tan =,则 + =( ) A. B. C. D. 3.在 ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两根,则tan C等于( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 4.已知sin =, 是第一象限角,且tan( + )=1,则tan 的值为( ) A.- B. C.- D. 5.已知tan,tan=-,则tan的值为( ) A. B. C. D.1 6.(2025甘肃平凉高一期末)已知 , ∈(0,),sin(2 + )=3sin ,则tan 的最大值为 . 7. (苏教版教材例题)已知tan ,tan 是方程x2+5x-6=0的两根,求tan( + )的值. 二、关键能力提升练 8.若tan( + )=,tan( - )=,则tan 2 =( ) A. B. C. D. 9.已知∠A+∠B=45 ,则(1+tan A)(1+tan B)的值为( ) A.1 B.2 C.-2 D.不确定 10.(多选题)在 ABC中,∠C=120 ,tan A+tan B=,下列各式正确的是( ) A.∠A+∠B=2∠C B.tan(A+B)=- C.tan A=tan B D.cos B=sin A 11.已知锐角 , 满足(tan -1)(tan -1)=2,则tan( + )= , + = . C级 学科素养创新练 12.在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,求tan Atan Btan C的取值范围. 参考答案 1.C tan =,tan =, 则tan( - )=.故选C. 2.A 因为 ∈(0, ),cos =, 则sin =, 所以tan =. 又tan =, 所以tan( + )==1. 又 , ∈(0, ),tan =<tan =<1, 所以0< << <, 则< + <,所以 + =.故选A. 3.A 4.C sin =, 是第一象限角,则cos =,则tan =.又tan( + )=1, ∴tan =tan[( + )- ]==-.故选C. 5.D tan=tan[( + +)-( -)]==1. 6. 因为sin(2 + )=3sin , 所以sin[( + )+ ]=3sin[( + )- ], 即sin( + )cos +cos( + )sin =3[sin( + )cos -cos( + )sin ], 即2cos( + )sin =sin( + )cos , 所以tan( + )=2tan , 所以tan =tan[( + )- ]=, 当且仅当=2tan 且 ∈(0,),即tan =时取等号,tan 取得最大值. 7.解 (方法1)解方程得tan =-6,tan =1或tan =1,tan =-6. 代入两角和的正切公式,得tan( + )==-. (方法2)因为tan ,tan 是方程x2+5x-6=0的两根, 所以tan +tan =-5,tan tan =-6. 因此,tan( + )==-. 8.D tan 2 =tan [( + )+( - )]=. 9.B (1+tan A)(1+tan B)=1+(tan A+tan B)+tan Atan B=1+tan(A+B)(1-tan Atan B)+tan Atan B=1+1-tan Atan B+tan Atan B=2. 10.CD ∵∠C=120 ,∴∠A+∠B=60 , ∴2(∠A+∠B)=∠C, ∴tan(A+B)=,∴选项A,B错误; ∵tan A+tan B=(1-tan A tan B)=, ∴tan A tan B=, ① 又tan A+tan B=, ② ∴联立①②解得tan A=tan B=, ∴cos B=sin A,故选项C,D正确. 11.-1 因为(tan -1)(tan -1)=2, 所以tan +tan =tan tan -1. 因此tan( + )==-1, 因为 + ∈(0, ),所以 + =. 12.解由已知条件sin A=2sin Bsin C, ∵sin(B+C)=2sin Bsin C, ∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C, 两边同除以cos Bcos C,tan B+tan C=2tan Btan C, ∵-tan A=tan(B+C)=, ∴tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C. ∴tan Atan Btan C=tan A+2tan Btan C ≥2, 令tan Atan Btan C=x,易知x>0. 即x≥2,即x≥8,或x≤0(舍去),∴x的最小值为8. 当且仅当tan B=2+,tan C=2-,tan A=4(或tan B,tan C互换)时取等号,此时A,B,C均为锐角. 可得tan Atan Btan C的取值范围是[8,+∞). 2 学科网(北京)股份有限公司 $