专项复习二 解决问题十二大典型题型（因数和倍数）技巧点拨+讲练+优选题拔尖练 共44题-2025-2026学年人教版数学五年级下册培优讲练

专项复习二 解决问题十二大典型题型（因数和倍数） 【解析版】 知识点一 因数与倍数 1、 如果a×b=c(a、b、c都是非0的自然数)那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。例如4×3=12，12是4的倍数,12也是3的倍数,4和3都是12的因数。 2、 因数的特点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。(1是所有非0自然数的因数) 一个数的因数的求法：成对地按顺序找 3、 倍数的特点：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。例：3的倍数有：3、6、9、12…其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 一个数的倍数的求法：依次乘以自然数 知识点二 2、5、3的倍数的特征 1、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数(2的倍数的数叫做偶数、不是2的倍数的数叫做奇数)。 2、5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。 3、3的倍数的特征：一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点三 奇数与偶数（自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数） (1)定义：奇数：(也叫单数)自然数中不能被2整除的数 最小的奇数是1， 　　 偶数：(也叫双数)自然数中能被2整除的数 最小的偶数是0. (2)特征：奇数：个位上是1，3，5，7，9的数 偶数：个位上是0，2，4，6，8 的数 (3)字母表示：奇数：2n+1(n>=0) 偶数：2n(n>=0) (4)公式：奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数 (5)自然数中，不是奇数就是偶数。0是偶数。 知识点四 质数与合数（自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类） (1)定义：质数：只有1和它本身两个因数的数(共有2个因数) 　 合数：除了1和它本身之外还有别的因数的数(至少有3个因数)， (2) 最小的质数是2 最小的合数是4 (3)“1”既不是质数，也不是合数。 (因为1只有1个因数)。 (4)自然数中，除了0和1之外，不是质数就是合数 (5)在自然数里，不是奇数的质数只有2 (6)公式：质数*质数=合数 质数*合数=合数 合数*合数=合数 (7)100以内的质数： 2、3、5、7和11， 13后面是17， 19、23、29， 31、37、41， 43、47、53， 59、61、67， 71、73、79， 83、89、97。 题型一：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（25-26五年级上·山西吕梁·期中）教师节那天，五（1）班42名同学去参观博物馆，把他们分成人数相等的若干个小组，（每组至少2人，最多21人）共有( )种分法，若分成6组，每组人数是42的( )。（填“因数”或“倍数”） 【答案】 6 因数 【思路引导】①分法种数等于42在2到21之间的因数个数；列出42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42共8个，筛选出符合条件每组至少2人，最多21人，符合条件的有2、3、6、7、14、21共6个。 ②计算出每组人数：总人数÷组数＝42÷6＝7，判断7与42的关系：42能被7整除，故7是42的因数。 【完整解答】42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42共8个，符合每组至少2人，最多21人有6种。 42÷6＝7，42能被7整除，故7是42的因数。 每组至少2人，最多21人，共有6种分法，若分成6组，每组人数是42的因数。 【变式训练】（25-26五年级上·安徽宿州·期中）“每天一苹果，不去卫生所。”苹果素来享有“水果之王”的美誉，它的营养价值和医疗价值都很高，被越来越多的人称为“大夫第一药”。妈妈买来一篮苹果，共20个。现在要把它们至少分成2堆，使每堆中苹果的个数相同（至少2个），有几种分法？请列出来。 【答案】4种；列举见详解 【思路引导】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。因为至少分成2堆，且每堆至少2个，因此找出除1和20之外20的所有因数即可。 【完整解答】20＝1×20＝2×10＝4×5 20的因数有1、2、4、5、10、20。 可以分成2堆，每堆10个；分成10堆，每堆2个；分成4堆，每堆5个；分成5堆，每堆4个。 答：可以分成2堆，每堆10个；分成10堆，每堆2个；分成4堆，每堆5个；分成5堆，每堆4个。共有4种分法。 题型二：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（25-26五年级上·河南商丘·期中）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于2025年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵式。张老师买了20枚阅兵式纪念章准备送给同学们，现在要把这些纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，有多少种不同的装法？请一一列举出来。 【答案】一共有3种装法。一种是一盒装5枚，需要4个盒子；一种是一盒装4枚，需要5个盒子；一种是一盒装2枚，需要10个盒子。 【思路引导】根据题意，把20枚阅兵式纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，要解决这个问题，我们需要找到20的所有因数，题目要求盒子个数大于3且小于11，筛选出符合条件的因数，再计算出每盒要装多少枚即可。 【完整解答】20的因数有：1，2，4，5，10，20； 其中大于3小于11的有：4，5，10； 当盒子数为4时，每个盒子装20÷4＝5（枚） 当盒子数为5时，每个盒子装20÷5＝4（枚） 当盒子数为10时，每个盒子装20÷10＝2（枚） 答：一共有3种装法，一种是一盒装5枚，需要4个盒子；一种是一盒装4枚，需要5个盒子；一种是一盒装2枚，需要10个盒子。 【变式训练】（24-25五年级上·河南商丘·期中）妈妈买56个桔子，让欢欢把桔子放入水果盘中，要求每次拿的个数相同，但不能一个一个拿，也不许一次拿超过8个，拿到最后一个不剩，欢欢有几种拿法，每种拿法每次拿几个？ 【答案】4种；每次拿2个、4个、7个、8个。 【思路引导】分析56的因数，因数大于1，小于等于8的有几个因数，欢欢就有几种拿法。 【完整解答】56＝1×56＝2×28＝4×14＝7×8，即56的因数有1，2，4，7，8，14，28，56共8个，大于1，小于等于8的因数有2，4，7，8共四种因数。 答：则欢欢有4种拿法，每次拿2个、4个、7个、8个 题型三：找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·宁夏银川·期中）2024年7月30日，我国选手王楚钦和孙颖莎一路“过关斩将”获得中国奥运会乒乓球混双首金。实验小学六（1）班热爱兵乓球的学生们在家观看了比赛，观看比赛的人数是8的倍数，且在60~70人之间。六（1）班观看比赛的学生有多少人？ 【答案】64人 【思路引导】列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此找到60~70之间8的倍数即可。 【完整解答】8×1＝8 8×2＝16 8×3＝24 8×4＝32 8×5＝40 8×6＝48 8×7＝56 8×8＝64 60~70之间8的倍数是64。 答：六（1）班观看比赛的学生有64人。 【变式训练】（22-23五年级下·四川遂宁·期末）把一些袋装糖果平均分装在14个盒子里，结果正好装完。已知这些糖果在50～60袋之间，那么每盒装了( )袋糖果。 【答案】4 【思路引导】把这些糖果平均装在14个盒子里，正好装完，则这些糖果的数量刚好是14的倍数，先求出14的倍数，再找出倍数在50～60之间，最后用这些糖果的总数除以14，所得结果即为每盒装了多少袋糖果。 【完整解答】14的倍数有：14，28，42，56，70…… 其中倍数在50～60之间的是56。 56÷14＝4（袋） 因此每盒装了4袋糖果。 题型四：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（2025五年级下·全国·专题练习）小兵在文具店买了3本笔记本、1支钢笔、2支自动铅笔和4块橡皮。笔记本每本2元，钢笔每支5元，自动铅笔和橡皮的价格小兵记不清了售货员要小兵付18元，小兵马上说售货员把账算错了，你知道为什么吗？ 【答案】见详解 【思路引导】从题意可以知道，四种商品的数量已知，根据，笔记本和钢笔的价格能够算出来一共是11元，但是因为自动笔和橡皮的数量是双数，所以，不管买多少，它们的总价格也应该是双数，因为偶数乘偶数，偶数乘奇数积都是偶数，而11是奇数，根据奇数加偶数等于奇数，因此，要付款的钱数应是奇数，但是根据售货员算的价格是偶，所以判断是错误的。 【完整解答】 （元） 答：因为2支自动铅笔和4块橡皮的价格是偶数，而3本笔记本、1支钢笔的价格是奇数，根据奇数加偶数等于奇数可知，总价应该是奇数，而售货员算的是18元（偶数），所以账算错了。 【变式训练】（23-24五年级下·河南南阳·期中）4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 【答案】2人；4人 【思路引导】根据题意，五年级有526人，分成6人一组，如果总人数是6的倍数，则刚好分完；用总人数除以6，商是分成的组数，有余数，用6减去余数，即是至少需要再来的人数，去掉余数即是至少减少的人数。 【完整解答】526÷6＝87（组）……4（人） 6－4＝2（人） 答：至少需要再来2人就可以正好6人一组，至少减少4人也正好6人一组。 题型五：倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（2025六年级·全国·竞赛）如图，在七个空白的方格内各填入一个正整数（可以相同），使得上下相邻的两个数，下面是上面的倍数；左右相邻的两个数，右面是左面的倍数，那么共有 种填法。 【答案】136 【思路引导】 根据9的约数为1，3，9，先确定Ｅ，Ｂ，Ｄ再分类讨论，即可得出结论。 【完整解答】解：（1）E＝1时，B＝1，D＝1； F＝1时，C＝1，此时一共有6种填法； F＝3时，C＝1或3，此时一共有12种填法； F＝9时，C＝1或3或9，此时一共有18种填法。 （2）E＝3，Ｂ＝Ｄ＝1时， F＝3，C＝1或3，此时一共有2×（2＋2＋1）＝10种填法； F＝9，C＝1或3或9，此时一共有3×（3＋2＋１）＝15种填法。 （3）E＝3，B＝1，D＝3时， F＝3，C＝1或3，此时一共有2×（2＋１）＝6种填法； F＝9，C＝1或3或9，此时一共有3×（2＋１）＝9种填法； （4）E＝3，B＝3，D＝1时，同（3）有6＋9＝15种填法。 （5）E＝B＝D＝3时， F＝3，C＝3，此时一共有3种填法； F＝9，C＝3或9，此时一共有6种填法； （6）E＝9，B＝D＝1时，F＝9，C＝1或3或9，H＝9，G＝1或3或9，此时一共有9种填法。 （7）E＝9，B＝1，D＝3时，F＝9，H＝9，G＝3或9，C＝1或3或9，此时一共有6种填法。 （8）E＝9，B＝1，D＝9时，F＝9，此时有3种填法。 同理E＝9，B＝3时，一共有6＋4＋2＝12种填法；E＝9，B＝8时，一共有6种填法。 综上所述，一共有36＋25＋30＋9＋9＋6＋15＋6＝136种。 【变式训练】（23-24五年级下·江西上饶·期中）在中国传统文化中，常用到数字“6”，如六谷、六畜、六常，甚至秦朝“数以六为纪”。在现在数学上，数字“6”也非常特别，是一个完全数：当一个数恰好等于除它以外的所有因数的和，这个数是完全数。例如6的因数有1，2，3，6，且1＋2＋3＝6，下面各数中，（    ）也是完全数。 A．10 B．12 C．24 D．28 【答案】D 【思路引导】一个数恰好等于除了它自身以外的全部因数之和，这个数就是完全数。一个数能被其它数整除，则这些数就是这个数的因数。本题就是将四个选项的数字的因数都找出来，再将除了它自身以外的全部因数相加求和，看是否与自身相等，据此判断可得出答案。 【完整解答】A．10的因数有1、2、5、10，非本身的因数相加： 1＋2＋5 ＝3＋5 ＝8 结果不是10，则10不是完全数； B．12的因数有1、2、3、4、6、12，非本身的因数相加： 1＋2＋3＋4＋6 ＝3＋3＋4＋6 ＝6＋4＋6 ＝10＋6 ＝16 结果不是12，则12不是完全数； C．24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，非本身的因数相加： 1＋2＋3＋4＋6＋8＋12 ＝3＋3＋4＋6＋8＋12 ＝6＋4＋6＋8＋12 ＝10＋6＋8＋12 ＝16＋8＋12 ＝24＋12 ＝36 结果不是24，则24不是完全数； D．28的因数有1、2、4、7、14、28，非本身的因数相加： 1＋2＋4＋7＋14 ＝3＋4＋7＋14 ＝7＋7＋14 ＝14＋14 ＝28 结果是28，则28是完全数。 故答案为：D 题型六：2、5的倍数特征 【典例精讲】（25-26五年级上·天津河西·期中）小精灵今年的年龄在10~20岁之间，且它的年龄既是5的倍数，又是45的因数，小精灵今年的年龄是( )岁。 【答案】 15 【思路引导】解答这道题需根据5的倍数的特征找出20以内5的倍数，再找出45的所有因数，确定10到20之间5的倍数和45的因数中公有的数即可。据此解答。 【完整解答】根据分析： 10到20之间的5的倍数：10、15、20。 45的因数：1、3、5、9、15、45。 10到20之间公有的数：15。 所以小精灵今年的年龄是15岁。 【变式训练】（24-25五年级下·云南昭通·期中）“学习强国”是党中央推出的全国学习平台，明明“学习强国”的积分达到了1□7□分。这个四位数既是3的倍数，又是5的倍数，明明的积分最多有( )分。 【答案】1875 【思路引导】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。5的倍数的特征：个位上的数字是0或5的数，在此条件下，尽可能让数字最大即可。据此解答。 【完整解答】个位上最大能选取5； 1＋7＋5＝13 13＋8＝21 21÷3＝7 所以百位上的数字是8； 所以积分最多有1875分。 题型七：奇数与偶数的认识 【典例精讲】（24-25六年级下·湖南长沙·期末）某小学六年级一共有992人在操场进行太极拳展示，排成了12行，前11行的人数都是奇数，那么最后一行的人数一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．不能确定 D．质数 【答案】A 【思路引导】奇数：不能被2整除的数；偶数：能被2整除的数；奇数＋奇数＝偶数，奇数＋奇数＋奇数＝奇数，据此可知：奇数个奇数之和是奇数，偶数个奇数之和是偶数，据此可知11个奇数之和是奇数，即前11行的人数之和是奇数，再根据总人数992是偶数确定最后一行的奇偶性即可。 【完整解答】11个奇数之和是奇数，即前11行的人数之和是奇数，992是偶数，因为奇数＋奇数＝偶数，所以最后一行的人数一定是奇数。 故答案为：A 【变式训练】（24-25五年级下·广西玉林·期中）五年级三个班的人数都是3的倍数，且都在30~40之间（不含30和40），但又各不相同。五（1）班的人数是奇数，五（2）班的人数是偶数，五（3）班的人数最少。这三个班各有多少人？ 【答案】五（1）班：39人；五（2）班：36人；五（3）班：33人 【思路引导】3的倍数的特征：所有数位上的数字之和能被3整除的数；倍数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么c是a、b的倍数。如：4×9＝36，36是4和9的倍数；据此先找出30~40之间（不含30和40）是3的倍数的数；再把这些数比较大小，其中最小的数就是五（3）班的人数；偶数：能被2整除的数，奇数：不能被2整除的数，据此找出其中的奇数和偶数并确定五（1）班和五（2）班的人数。 【完整解答】30~40之间（不含30和40）是3的倍数的数：33，36，39； 其中33和39是奇数，36是偶数， 且39＞36＞33。 答：五（1）班有39人，五（2）班有36人，五（3）班有33人。 题型八：3的倍数特征 【典例精讲】（24-25六年级下·内蒙古赤峰·期末）有0、2、4、9四张数字卡片，任意抽取其中的两张组成一个两位数，关于组成的两位数中“是3的倍数”和“是5的倍数”的可能性下列说法正确的是（    ）。 A．抽中3的倍数的可能性大 B．抽中5的倍数的可能性大 C．抽中3的倍数和5的倍数的可能性一样大 D．无法判断 【答案】C 【思路引导】可先列出用0、2、4、9组成的所有两位数，再分别找出其中是3的倍数和5的倍数的数，最后比较它们的数量来判断可能性大小。 用0、2、4、9组成的两位数有：20、24、29、40、42、49、90、92、94，共9个。根据3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。24：2＋4＝6，6是3的倍数，所以24是3的倍数。42：4＋2＝6，6是3的倍数，所以42是3的倍数。90：9＋0＝9，9是3的倍数，所以90是3的倍数。所以是3的倍数的数有3个。 根据5的倍数特征：个位是0或5的数是5的倍数。20：个位是0，是5的倍数。40：个位是0，是5的倍数。90：个位是0，是5的倍数。所以是5的倍数的数有3个。 因为组成的两位数中是3的倍数的数有3个，是5的倍数的数也有3个，所以抽中3的倍数和5的倍数的可能性一样大。 【完整解答】0、2、4、9组成的两位数有：20、24、29、40、42、49、90、92、94，共9个； 3的倍数：24；42；90，共3个； 5的倍数：20；40；90，共3个； 组成的两位数中是3的倍数的数有3个，是5的倍数的数也有3个，所以抽中3的倍数和5的倍数的可能性一样大。 故答案为：C 【变式训练】（24-25五年级下·福建漳州·期末）智能家居给人们的生活带来便捷。妈妈给家里的智能大门设置六位密码，前四位是3345。后面两位数字忘记了，只记得这六位数既是3的倍数，又含有因数5。为了打开大门，妈妈最多需要试（    ）次。 A．1 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【思路引导】5的倍数特征：个位上是0或5的数；3的倍数特征：一个数的各位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 已知这个六位数前四位是3345，设后两位为a和b（a是十位数字，b是个位数字），这个数各位数之和为3＋3＋4＋5＋a＋b＝15＋a＋b。因为这个数含有因数5，所以b＝0或b＝5。 当b＝0时，15＋a＋0＝15＋a，要是3的倍数，则a可以是0、3、6、9； 当b＝5时，15＋a＋5＝20＋a，要是3的倍数，则a可以是1、4、7。据此解答。 【完整解答】设后两位为a和b（a是十位数字，b是个位数字）。 3＋3＋4＋5＋a＋b＝15＋a＋b 当b＝0时，15＋a＋0＝15＋a，要是3的倍数，则a可以是0、3、6、9，共4种； 当b＝5时，15＋a＋5＝20＋a，要是3的倍数，则a可以是1、4、7，共3种。 4＋3＝7（种） 因此，为了打开大门，妈妈最多需要试7次。 故答案为：D 题型九：2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级下·重庆南川·期末）张阿姨网购了一个背包，共花了2□□元。已知这个背包的总价既是2和5的倍数，又是3的倍数。那么这个背包最多（    ）元。 A．260 B．270 C．280 D．295 【答案】B 【思路引导】同时是2、3、5的倍数的数：个位是0，各个数位上的数字之和是3的倍数，据此解答。 【完整解答】2＋0＝2，9是3的倍数，9－2＝7，所以这个背包最多270元。 故答案为：B 【变式训练】（24-25五年级下·湖北鄂州·期末）在标准大气压和15摄氏度的空气中，声音的传播速度约为340米/秒。340□同时是3和5的倍数，方框里可以填( )，15□既是3的倍数，又含有因数2，方框里最大填( )。 【答案】 5 6 【思路引导】根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；根据3的倍数的特征，各个数位的数字之和是3的倍数。 【完整解答】340□同时是3和5的倍数，3＋4＝7，7不是3的倍数，说明个位上不是0，那就只能是5，3＋4＋5＝12，12是3的倍数，即个位上应填5。 15□既是3的倍数，又含有因数2，个位上最大的偶数是8，但8＋1＋5＝14，14不是3的倍数，个位上如果是6，6＋1＋5＝12，12是3的倍数，所以个位上最大填写6。 在标准大气压和15摄氏度的空气中，声音的传播速度约为340米/秒。340□同时是3和5的倍数，方框里可以填5，15□既是3的倍数，又含有因数2，方框里最大填6。 题型十：质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·湖北十堰·期中）爷爷家有一块长方形的菜地，这块菜地的周长是56米，并且长和宽的米数是不同质数，这块菜地的面积最大是多少？ 【答案】187平方米 【思路引导】根据题意，长方形周长56米，长和宽为不同质数。周长公式为，故。需找出两个不同质数之和为28的组合，并计算其乘积的最大值。 【完整解答】列出小于28的质数：2，3，5，7，11，13，17，19，23。 寻找和为28的不同质数组合： ，乘积为 ，乘积为 答：这块菜地的面积最大是187平方米。 【变式训练】（25-26五年级上·广东韶关·期中）李老师电脑的开机密码是个六位数。万位和十万位上都是8的最大因数，千位和百位上是两个连续的质数，最后两位是20以内最大的质数。开机密码是（    ）。 A．882319 B．882317 C．883520 【答案】A 【思路引导】一个数的最大因数是它本身；质数是只有1和它本身两个因数的数，连续的两个质数是2和3；20以内最大的质数是19。据此解答。 【完整解答】分析可知，密码的六位数组成为：十万位和万位上是8，千位上是2，百位上是3，十位上是1，个位上是9。所以开机密码是882319。 故答案为：A 题型十一：质数与合数的综合应用 【典例精讲】（24-25五年级下·湖北十堰·期中）美美用一张手工纸折爱心，妈妈告诉她这张长方形纸的周长是10分米，并且它的长、宽的分米数是两个质数，这张长方形纸的面积是多少平方分米？ 【答案】6平方分米 【思路引导】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，则长＋宽＝周长÷2，据此求出长方形纸的长与宽的和；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，求出和是5分米的两个质数，再根据长方形面积＝长×宽，据此求出这张长方形纸的面积。 【完整解答】10÷2＝5（分米） 和是5的两个质数是3和2，长方形纸的长是3分米，宽是2分米。 3×2＝6（平方分米） 答：这张长方形纸的面积是6平方分米。 【变式训练】（23-24五年级下·山西晋中·期中）生命在于运动，有人说走路是最好的运动，妈妈每天坚持走路，今天她的运动步数是一个五位数，位居排行榜第一。这个数万位上的数既不是质数也不是合数，千位上的数是10以内最大的质数，百位上的数是最大的一位数，十位上的数是最小的偶数，个位上的数是最小的合数。这个五位数是( )。 【答案】17904 【思路引导】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。据此确定各数位上的数，写出这个五位数。 【完整解答】1既不是质数也不是合数；10以内最大的质数是7；最大的一位数是9；最小的偶数是0；最小的合数是4，这个五位数是17904。 题型十二：运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（24-25五年级下·河南焦作·期中）哥德巴赫猜想被称为“数学皇冠上的明珠”，其内容为“任何一个大于2的偶数都可以表示成两个质数的和”。下面的算式中，（    ）符合这个猜想。 A．11＝5＋6 B．28＝11＋17 C．46＝22＋24 D．30＝25＋5 【答案】B 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数；除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。结合“任何一个大于2的偶数都可以表示成两个质数的和”分析各选项，进而确定正确答案。 【完整解答】A．11是奇数，不符合“大于2的偶数”这一条件，且6不是质数（6＝2×3），所以该选项不符合。 B．28是大于2的偶数，11和17都是质数（11的因数只有1和11；17的因数只有1和17），所以28＝11＋17符合哥德巴赫猜想。 C．22和24都不是质数（22＝2×11；24＝2×12＝3×8＝4×6），所以该选项不符合。 D．25不是质数（25＝5×5），所以该选项不符合。 故答案为：B 【变式训练】（24-25五年级下·河南新乡·期末）某数学家在1900年国际数学家大会上提出“孪生质数猜想”，孪生质数是指相差为2的两个质数。如3和5都是质数并且相差2，那么3和5就是孪生质数，同理5和7也是孪生质数。 (1)请你再写出一组20以内的孪生质数( )。 (2)和表示孪生质数，那么是( )，是( )。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】(1)11和13 (2) 奇数 偶数 【思路引导】（1）质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。孪生质数是相差为2的两个质数。所以要找出20以内满足相差2的质数对。 （2）因为m和n是孪生质数，除了2，其他质数都是奇数（因为2是唯一的偶质数），所以m和n都是奇数。根据奇数和偶数的运算性质：奇数＋偶数＝奇数，偶数×奇数＝偶数。 【完整解答】（1）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19。其中相差2的质数对有3和5、5和7、11和13、17和19。 11和13是20以内的孪生质数。（答案不唯一） （2）因为m是奇数，2是偶数，奇数＋偶数＝奇数。 因为n是奇数，2是偶数，偶数×奇数＝偶数。 和表示孪生质数，那么是奇数，是偶数。 1．（2025·河北保定·小升初模拟）著名的哥德巴赫猜想：“任意一个大于2的偶数，一定能写成两个质数相加的和”，该猜想成为数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。下面不符合哥德巴赫猜想的是（    ）。 A．20＝13＋7 B．100＝29＋71 C．44＝33＋11 D．60＝31＋29 【答案】C 【思路引导】先明确哥德巴赫猜想的条件：大于2的偶数可表示为两个质数之和，再依次判断每个选项中的和是否为大于2的偶数，以及两个加数是否为质数。质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。 【完整解答】A．20是大于2的偶数；13的因数只有1和13，是质数；7的因数只有1和7，是质数，所以选项A符合哥德巴赫猜想； B．100是大于2的偶数；29的因数只有1和29，是质数；71的因数只有1和71，是质数，所以选项B符合哥德巴赫猜想； C．44是大于2的偶数；11的因数只有1和11，是质数；33的因数有1、3、11、33，不是质数，所以选项C不符合哥德巴赫猜想； D．60是大于2的偶数；31的因数只有1和31，是质数；29的因数只有1和29，是质数，所以选项D符合哥德巴赫猜想。 故答案为：C 2．（2025·浙江温州·小升初模拟）用一条长16cm的铁丝围成一个长和宽都是质数的长方形，它的面积是（    ）cm2。 A．7 B．12 C．15 D．55 【答案】C 【思路引导】长方形的周长＝（长＋宽）×2，那么这道题的长＋宽＝16÷2＝8，题目中告诉我们，长和宽都是质数，那么10以内的质数只有2、3、5、7，我们可以一个个分类讨论获得答案，长方形面积＝长×宽 【完整解答】根据分析，长＋宽＝8，如果长和宽都是质数，我们可以做以下讨论： 当宽＝2cm，长＝6cm，6不是质数； 当宽＝3cm，长＝5cm，这时长和宽都是质数，面积＝3×5＝15（cm2） 当长＝7cm，宽＝1cm，1不是质数； 所以用一条长16cm的铁丝围成一个长和宽都是质数的长方形，长和宽只能是5cm和3cm，它的面积是15cm2。 故答案为：C 3．（25-26五年级上·河北唐山·期中）亮亮和聪聪进行投篮比赛，选择下列方法（    ）决定谁先投是不公平的。 A．玩“锤子、剪刀、布”，谁赢谁先投 B．抛硬币，正面朝上亮亮先投，背面朝上聪聪先投 C．掷骰子，点数大于3亮亮先投，点数小于3聪聪先投 D．在标有1—10的卡片中抽取数字卡片，抽到奇数亮亮先投，抽到偶数聪聪先投 【答案】C 【思路引导】由题意可知，判断规则是否公平取决于两人谁先投球的可能性是否相同，如果事件发生的可能性相同，那么规则公平；如果事件发生的可能性不同，那么规则不公平，据此解答。 【完整解答】A．玩“锤子、剪刀、布”两人赢的可能性相同，则用该种方式决定谁先投球是公平的； B．抛硬币时，正面朝上和背面朝上的可能性相同，则用该种方式决定谁先投球是公平的； C．掷骰子时，大于3的点数有4、5、6，小于3的点数有1、2，则点数大于3的可能性比点数小于3的可能性大，所以用该种方式决定谁先投球是不公平的； D．1—10的卡片中，奇数有1、3、5、7、9，偶数有2、4、6、8、10，则抽到奇数和偶数的可能性相同，所以用该种方式决定谁先投球是公平的。 故答案为：C 4．（24-25五年级上·江西九江·期末）笑笑把一些小正方形边挨着边摆长方形，可以摆出4种不同的长方形。小正方形的个数一定是（    ）。 A．奇数 B．质数 C．合数 【答案】C 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数，1既不是质数也不是合数；用若干个同样的小正方形边挨着边摆长方形，长方形的形状改变，面积不变。假设每个小正方形的面积是1，则由几个小正方形摆出长方形，长方形的面积就是几，“长方形的面积＝长×宽”，已知可以摆出4种不同的长方形，所以长方形的长和宽有4种情况，据此可知小正方形的个数一定是合数，据此解答。 【完整解答】假设每个小正方形的面积是1，则n个小正方形组成的长方形面积是n，假设组成长方形的长是a，宽是b，则n＝a1×b1＝a2×b2＝a3×b3＝a4×b4，说明n的因数除了1和它本身还有别的因数，n可能是奇数也可能是偶数，但是n一定是合数，即小正方形的个数一定是合数。 故答案为：C 【考点再现】本题主要考查质数合数的意义，根据合数的意义判断组成长方形的面积是合数是解答题目的关键。 5．某班来了两位富有经验的教师，他们的年龄相差4岁，而且每人年龄的各位数字之和都是5的倍数，那么较年长的老师最多是（    ）岁。 A．45 B．50 C．55 D．无法计算 【答案】B 【思路引导】从题中条件看，较年轻的老师年龄的个位数至少是6（否则，如果个位数比6小，那么加4后，没有进位，这时，他俩年龄的各位数字的“和”仍是相差4，这两个“和”不可能都是5的倍数），而老师的年龄通常都是两位数，可见，较年轻的老师年龄只能是a6或b7或c8或d9（a、b、c、d表示年龄的十位数）。 【完整解答】因为两位老师年龄的各位数字的和都是5的倍数， 所以从上述分析可知：较年轻的老师的年龄是46或37或28或19， 于是较年长的老师的年龄应是50或41或32或23； 由此可见较年长的老师的年龄最多是50岁。 故答案为：B 【考点再现】解答本题的关键是理解题意，分析出较年轻的老师年龄可能的岁数，进而得出答案。 6．（2026五年级下·全国·专题练习）“趣味数学节” 上，同学们玩 “掷骰子比输赢” 游戏，同时掷 2个完全相同的骰子，以点数之和判断输赢。 (1)点数之和共有( )种可能。 (2)若小红选择点数之和为偶数赢，小刚选择点数之和为奇数赢，他们赢的可能性( )（填“相同”或“不同”）。 【答案】(1) 11 (2) 相同 【思路引导】一个骰子共有6个面，分别对应6个不同的数字，所以朝上的面的点数可能是1、2、3、4、5、6共6种可能；列表格分析两个骰子的点数之和，由表格可知，点数之和可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12共11种可能。偶数：是2的倍数的数叫偶数；个位是0、2、4、6、8的数字是2的倍数；奇数：不是2的倍数的数叫奇数。据此判断谁赢的可能性大。 【完整解答】根据分析得出表格： 2、4、6、8、10、12是偶数，由表格知：点数之和为偶数有18种情况；3、5、7、9、11是奇数，由表格知：点数之和为奇数有18种情况；所以同时掷2个骰子，以点数之和判断输赢。 （1）点数之和共有（11）种可能。 （2）若小红选择点数之和为偶数赢，小刚选择点数之和为奇数赢，他们赢的可能性（相同）。 7．（25-26五年级上·广东韶关·期中）郑和是世界航海先驱，他下西洋的首次航行始于公元1405年7月11日，共进行了7次航行，拜访了30多个国家和地区，是15世纪航海史上的空前壮举，比哥伦布发现美洲新大陆早87年，比达•伽马绕过好望角早98年，比麦哲伦到达菲律宾早116年。 上文中出现的“1405，7，11，30，15，87，98，116”这几个数中， (1)质数有( )； (2)既是合数又是奇数的是( )； (3)3的倍数有( )； (4)既是2的倍数，又是5的倍数的是( )，它的因数有( )。 【答案】(1)7，11 (2)1405，15，87 (3)30，15，87 (4) 30 1，2，3，5，6，10，15，30 【思路引导】（1）质数：只有1和它本身两个因数的数叫做质数。 （2）合数：除了1和它本身外，还有其他因数的数叫合数。奇数：不是2的倍数的数叫做奇数。 （3）3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数。 （4）2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数；5的倍数特征：个位是0或5的数是5的倍数；既是2的倍数，又是5的倍数，则这个数的末尾是0。因数和倍数定义：如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。根据乘法算式即可找出一个的所有因数。 【完整解答】（1）1405除了1和1405还有5等其他因数； 7只有1和7两个因数； 11只有1和11两个因数； 30除了1和30还有2等其他因数； 15除了1和15还有5等其他因数； 87除了1和87还有3等其他因数、 98除了1和98还有2等其他因数、 116除了1和116还有2等其他因数。 所以质数有7，11。 （2）合数有：1405， 30，15，87，98，116； 奇数有：1405，7，11，15，87； 既是合数又是奇数的是：1405，15，87。 （3）1＋4＋0＋5＝5＋0＋5＝5＋5＝10，10不是3的倍数，所以1405不是3的倍数； 7不是3的倍数； 1＋1＝2，2不是3的倍数； 3＋0＝3，3是3的倍数，所以30是3的倍数； 1＋5＝6，6是3的倍数，所以15是3的倍数； 8＋7＝15，15是3的倍数，所以87是3的倍数； 9＋8＝17，17不是3的倍数，所以98不是3的倍数； 1＋1＋6＝2＋6＝8，8不是3的倍数，所以116不是3的倍数。 因此，3的倍数有：30，15，87。 （4）既是2的倍数，又是5的倍数的是30； 1×30＝2×15＝3×10＝5×6＝30 它的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30。 8．（24-25五年级下·全国·课后作业）一个杯子杯口朝上放在桌上，翻动1次杯口朝下，翻动2次杯口朝上。 (1)翻动15次后杯口朝( )，翻动20次后杯口朝( )。 (2)得出上述答案的理由：15是( )数，当翻动( )数次时，杯口朝( )；20是( )数，当翻动( )数次时，杯口朝( )。 【答案】(1) 下 上 (2) 奇 奇 下 偶 偶 上 【思路引导】（1）（2）由题意可知，原来杯口朝上，则翻动1次，杯口朝下．翻动2次，杯口向上，3次向下，4次向上，…．由此可以发现，当翻动奇数次时，杯口向下，偶数次时，杯口向上，据此完成即可。 【完整解答】（1）由分析可知，翻动15次后杯口朝下，翻动20次后杯口朝上。 （2）得出上述答案的理由：15是奇数，当翻动奇数次时，杯口朝下；20是偶数，当翻动偶数次时，杯口朝上。 9．（24-25五年级下·湖北十堰·期中）第33届巴黎夏季奥林匹克运动会上共有206个国家和地区的10500名运动员参与了32个大项，329个小项的竞争。中国代表团获得了91枚奖牌，其中包括40枚金牌，27枚银牌和24枚铜牌。这些划线的数中：奇数有( )，偶数有( )，5的倍数有( )，3的倍数有( )。 【答案】 329，91，27 206，10500，32，40，24 10500，40 10500，27，24 【思路引导】奇数是不能被2整除的整数（末尾为1、3、5、7、9）。偶数是能被2整除的整数（末尾为0、2、4、6、8）。5的倍数是末尾为0或5的整数。3的倍数是各位数字之和能被3整除的整数。 【完整解答】206，尾数是6，是偶数； 10500，尾数是0，各位数字之和1＋0＋5＋0＋0＝6，是偶数，也是5的倍数以及3的倍数； 32，尾数是2，是偶数； 329，尾数是9，是奇数； 91，尾数是1，是奇数； 40，尾数是0，是偶数，也是5的倍数； 27，尾数是7，各位数字之和2＋7＝9，是奇数，也是3的倍数； 24，尾数是4，各位数字之和2＋4＝6，是偶数，也是3的倍数。 所以奇数有329，91，27；偶数有206，10500，32，40，24；5的倍数有10500，40；3的倍数有10500，27，24。 10．（23-24五年级下·湖南株洲·期末）陈兰用36个苹果和24个桃做水果礼盒。要求：每个礼盒中都要有苹果和桃，且每个礼盒中苹果数相同，桃数也相同，所有的苹果和桃正好全部用完。用这些苹果和桃最多能做( )个礼盒，这时每个礼盒中有( )个水果。 【答案】 12 5 【思路引导】第1个空：题目要求的是用所有的苹果和桃正好全部用完，且每个礼盒中苹果和桃的数量都要相同。那么，礼盒的数量应该是苹果数量和桃数量的最大公因数，因为只有这样可以确保苹果和桃都能被完整地分配到每个礼盒中，不会有剩余。所以找出来36和24的最大公因数即可。 第2个空：第1问中礼盒数已经知道了，接下来只需要用每种水果的总数除以礼盒数，即可得到每个礼盒中该水果的数量。问礼盒中有多少个水果，就把礼盒中每种水果的个人加起来即可。 【完整解答】第1个空：首先，找出36和24的最大公因数。 36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。 24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24。 它们共同的因数有：1，2，3，4，6，12。其中，最大的是12。 所以，用这些苹果和桃最多能做12个礼盒。 第2个空：首先，计算每个礼盒中每种水果各有多少个。 每个礼盒中的苹果数＝总苹果数÷礼盒数 36÷12＝3（个） 每个礼盒中的桃数＝总桃数÷礼盒数 24÷12＝2（个） 3＋2＝5（个） 所以，每个礼盒中有5个水果。 【考点再现】首先，本题的关键是理解礼盒的数量应该是苹果数量和桃数量的最大公因数，这样才能确保所有的苹果和桃都能被完整地用完。 其次，通过找出最大公因数，可以计算出最多能做的礼盒数。 最后，再进一步计算出每个礼盒中的水果数量。 11．对于一个自然数，如果它是偶数，就把它除以2；如果它是奇数，就把它加上1，这样称为一次操作。一个数如此循环操作4次之后，得到的结果是29，那么这个数所有可能的值的平均数是 。 【答案】253.2 【思路引导】一个偶数除以2，结果可能是偶数，也可能是奇数；一个奇数加上1，结果是偶数；据此从29出发，反向推理出所有可能： 所以这个数可能是464、231、230、228或113；根据平均数的求法，用将这5个数相加，再除以5即可求出这5个数的平均数。 【完整解答】（464＋231＋230＋228＋113）÷5 ＝1266÷5 ＝253.2 这个数所有可能的值的平均数是253.2。 【考点再现】本题要先根据奇偶性质，弄清每次操作过后结果是奇数还是偶数，再经过逆向推理即可。 12．（24-25五年级上·福建厦门·期末）一个整数除以2，除得的商正好是整数，而没有余数，这个整数就是偶数；反之，这个整数就是奇数。像0、2、4、36、58、146…都是偶数，像1、3、25、37、249…都是奇数。 （1）有人说：“奇数与奇数的和一定等于偶数”，你同意吗？请说明理由。 （2）关于奇数和偶数，你还能提出什么猜想？请验证你的猜想是否正确。 【答案】（1）同意； （2）猜想：奇数与偶数的和一定是奇数；正确 【思路引导】（1）偶数：能被2整除的数；奇数：不能被2整除的数，据此可以举例判断奇数＋奇数是否等于偶数； （2）可以提出猜想：奇数与偶数的和一定是奇数，根据奇数和偶数的概念举例判断猜想是否正确；注意：此题答案不唯一。 【完整解答】（1）3和5都是奇数，3＋5＝8，8是偶数； 7和9都是奇数，7＋9＝16，16是偶数。 答：通过举例判断说明奇数和奇数的和一定等于偶数，所以我同意这个说法。 （2）提出猜想：奇数与偶数的和一定是奇数。 1是奇数，2是偶数，1＋2＝3，3是奇数； 15是奇数，20是偶数，15＋20＝35，35是奇数。 答：通过举例判断可以说明我提出的猜想：奇数与偶数的和一定是奇数是正确的。 13．（25-26四年级上·广西贵港·期中）老师有一包糖果，总数在30到40颗之间。 如果每人分3颗，最后会剩下2颗。如果每人分5颗，最后会正好分完。 请问：这包糖果有多少颗？请写出你的思考过程。 这包糖果有（    ）颗。我是这么想的：________ 【答案】35；思考过程见详解 【思路引导】糖果总数在30到40颗之间，且是5的倍数（因为每人分5颗正好分完）。同时，总数除以3余2（因为每人分3颗剩下2颗）。列举30到40之间的5的倍数：30、35、40，并逐一检查除以3的余数，发现35满足余2的条件。 【完整解答】这包糖果有（35）颗。 我是这么想的：由“每人分5颗正好分完”可知，糖果总数是5的倍数。在30到40之间，5的倍数有30、35、40。由“每人分3颗剩下2颗”可知，总数除以3余2。 验证：30÷3＝10，没有余数，不符合条件； 35÷3＝11……2，余数为2，符合条件； 40÷3＝13……1，余数为1，不符合条件。 因此，糖果总数为35颗。 14．（24-25五年级下·全国·课后作业）少年宫是12路和17路公共汽车的始发站，12路公共汽车每10分钟发一次车，17路公共汽车每12分钟发一次车。这两路公共汽车在6：00同时发车后，下一次同时发车是什么时候？ 【答案】7：00 【思路引导】用枚举法，不重复不遗漏有序列举出12路车与17路车每一次发车时间后，比较得出下一次同时发车时间。 【完整解答】10分钟发一次车，12路车发车时间：6：00、6：10、6：20、6：30、6：40、6：50、7：00、7：10…… 12分钟发一次车，17路车发车时间：6：00、6：12、6：24、6：36、6：48、7：00、7：12、7：24…… 12路车与17路车下次同时发车时间是：7：00。 答：这两路公共汽车在6：00同时发车后，下一次同时发车是7：00。 15．（24-25五年级上·广东佛山·期中）一个长方形花坛的长和宽是相邻的两个整数，长是一个质数，宽是一个合数，并且周长是18米。 （1）长方形的长是（    ）米，宽是（    ）米。 （2）如果花坛里面种满花，共花了696元，每平方米需要多少元？ （3）如果在这个花坛的四周铺一条1米宽的小路，每平方米需要铺水泥2.5吨，铺完这条小路需要多少吨水泥？ 【答案】（1）5；4 （2）34.8元 （3）55吨 【思路引导】（1）相邻的两个整数之间相差1；长方形的周长÷2＝长＋宽；除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此确定长和宽。 （2）根据长方形面积＝长×宽，计算出花坛面积，总钱数÷花坛面积＝每平方米需要的钱数。 （3）大长方形的长＝花坛的长＋1×2，大长方形的宽＝花坛的宽＋1×2，大长方形的面积－花坛的面积＝小路的面积，小路的面积×每平方米需要的水泥吨数＝需要的水泥总吨数。 【完整解答】（1）18÷2＝9（米） 9＝5＋4 长方形的长是5米，宽是4米。 （2）696÷（5×4） ＝696÷20 ＝34.8（元） 答：每平方米需要34.8元。 （3）5＋1×2 ＝5＋2 ＝7（米） 4＋1×2 ＝4＋2 ＝6（米） 7×6－5×4 ＝42－20 ＝22（平方米） 22×2.5＝55（吨） 答：铺完这条小路需要55吨水泥。 16．（24-25五年级上·广东佛山·期中）把36个苹果装到若干个袋子里，每袋装得同样多，正好装完（没有剩余），共有多少种装法？（每个袋子至少有两个苹果） 【答案】8种 【思路引导】要找出把36个苹果装袋且每袋至少有2个苹果的装法，需先找出36的因数，再根据因数确定装袋的数量和每袋的个数。 【完整解答】36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36 ，每袋36个苹果，装1袋； ，每袋2个苹果，装18袋；或每袋18个苹果，装2袋； ，每袋3个苹果，装12袋；或每袋12个苹果，装3袋； ，每袋4个苹果，装9袋；或每袋9个苹果，装4袋； ，每袋6个苹果，装6袋。 答：共有8种装法。 17．（24-25五年级上·广东韶关·期中）军区准备派出侦察队前往前线侦察敌情，这个侦察队共有45人。上级要求侦察时要进行分组执行，每组人数必须一样，且不能一人单独行动。那么这个侦察队有几种分组方法？ 【答案】4种 【思路引导】已知侦察队共有45人，需分组且每组人数一样，不能一人单独行动，即每组人数需大于1且为45的因数。首先找出45的所有因数，45的因数有1、3、5、9、15、45。由于每组不能1人，排除因数1，剩下的因数为3、5、9、15、45。但分组时每组人数需合理，若每组45人则为1组，属于整体行动，通常分组应至少分2组，所以排除45（此时组数为1）。因此符合条件的每组人数为3、5、9、15，对应的组数分别为45÷3＝15组、45÷5＝9组、45÷9＝5组、45÷15＝3组，共4种分组方法。 【完整解答】45÷3＝15（组） 45÷5＝9（组） 45÷9＝5（组） 45÷15＝3（组） 答：有4种分组方法：每组3人，分15组；每组5人，分9组；每组9人，分5组；每组15人，分3组。 18．（25-26五年级上·广东韶关·期中）（1）韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长和宽都是整数米，且长是合数，宽是质数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？ （2）花坛里有两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 【答案】（1）长12米，宽2米或长8米；宽3米。 （2）这两种花一种可以有2株，另一种可能有18株。或一种可能有5株，另一种可能有15株。 【思路引导】（1）除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，据此确定长和宽； （2）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，再用20减去质数求出对应的数看是否是合数且满足合数数量是质数数量的倍数。 【完整解答】（1）24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 符合条件的是2×12和3×8 答：这个花坛的长和宽可能长12米，宽2米或长8米；宽3米。 （2）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19 对应的数为18、17、15、13、9、7、3、1 2＋18＝20，18÷2＝9 5＋15＝20，15÷5＝3 答：这两种花一种可以有2株，另一种可能有18株。或一种可能有5株，另一种可能有15株。 【考点再现】本题主要考查质数合数的概念与长方形面积的结合。 19．（24-25五年级上·广东揭阳·期中）房间里的3盏灯全部关着，现在每次拉两盏灯的开关。这样若干次后，有没有可能使3盏电灯全部亮着？为什么？ 【答案】 不可能 【思路引导】每次操作改变两盏灯的状态，总操作次数为偶数次，导致三个灯被拉的总次数之和为偶数，而三个灯全亮需每个灯被拉奇数次，三个奇数之和为奇数，矛盾。 【完整解答】初始状态：3盏灯均为关闭状态。 每次操作：拉两盏灯的开关，改变这两盏灯的状态（关→开或开→关）。 总操作次数分析： 设操作次数为，每次操作涉及2盏灯，总拉灯次数为（偶数）。 每个灯被拉的总次数之和为，必为偶数。 全亮条件： 每盏灯需被拉奇数次（初始为关，奇数次操作后变为开）。 三个奇数之和为奇数，但总次数为偶数，矛盾。 答：无法通过若干次操作使3盏灯全部亮着。 【考点再现】关键在于分析操作次数的奇偶性：每次拉两盏灯（偶数次操作），总操作次数始终为偶数；但3盏灯全亮需每盏被拉奇数次，3个奇数之和为奇数，偶数与奇数矛盾，故不可能实现。 20．某旅游景点的门票价格及优惠方法如下表： 人数 50人以内 51~99人 100人及以上 票价 30元/人 28元/人 25元/人 （例如：60人需要付门票费28×60＝1680元。） 导游星星和望望各带一个旅游团，如果分别购票，两个团共应付门票费3660元；如果两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元。若星星带的团人数多一些，那么星星带的团共有多少人？ 【答案】90人 【思路引导】当人数在50以内，最大为50时，需要票价50×30＝1500（元）；当人数在51～99人时，最大为99时，票价应该是99×28＝2772（元）；两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元，超过了2772元，则两个团合并在一起超过100人，每人25元，则有128人。如果两个班级带团的人数都在51～99人之间，总门票付的钱是28的倍数，显然3660不是28的倍数。星星带的团人数多一些，则星星带的团51~99人，望望带的团50人以内。假设两个团的人都是30元/人的门票，128人应该付128×30＝3840（元），和总门票钱3660元对比，多了180元，也就是需要将180元的门票钱减去。两种购票的一张门票的钱可以减2元，就是求180元里面有几个2元，用除法。则星星带的团有90人。 【完整解答】3200÷25＝128（人） （128×30－3660）÷（30－28） ＝（3840－3660）÷（30－28） ＝180÷2 ＝90（人） 答：星星带的团共有90人。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项复习二 解决问题十二大典型题型（因数和倍数） 【原卷版】 知识点一 因数与倍数 1、 如果a×b=c(a、b、c都是非0的自然数)那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。例如4×3=12，12是4的倍数,12也是3的倍数,4和3都是12的因数。 2、 因数的特点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。(1是所有非0自然数的因数) 一个数的因数的求法：成对地按顺序找 3、 倍数的特点：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。例：3的倍数有：3、6、9、12…其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 一个数的倍数的求法：依次乘以自然数 知识点二 2、5、3的倍数的特征 1、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数(2的倍数的数叫做偶数、不是2的倍数的数叫做奇数)。 2、5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。 3、3的倍数的特征：一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点三 奇数与偶数（自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数） (1)定义：奇数：(也叫单数)自然数中不能被2整除的数 最小的奇数是1， 　　 偶数：(也叫双数)自然数中能被2整除的数 最小的偶数是0. (2)特征：奇数：个位上是1，3，5，7，9的数 偶数：个位上是0，2，4，6，8 的数 (3)字母表示：奇数：2n+1(n>=0) 偶数：2n(n>=0) (4)公式：奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数 (5)自然数中，不是奇数就是偶数。0是偶数。 知识点四 质数与合数（自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类） (1)定义：质数：只有1和它本身两个因数的数(共有2个因数) 　 合数：除了1和它本身之外还有别的因数的数(至少有3个因数)， (2) 最小的质数是2 最小的合数是4 (3)“1”既不是质数，也不是合数。 (因为1只有1个因数)。 (4)自然数中，除了0和1之外，不是质数就是合数 (5)在自然数里，不是奇数的质数只有2 (6)公式：质数*质数=合数 质数*合数=合数 合数*合数=合数 (7)100以内的质数： 2、3、5、7和11， 13后面是17， 19、23、29， 31、37、41， 43、47、53， 59、61、67， 71、73、79， 83、89、97。 题型一：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（25-26五年级上·山西吕梁·期中）教师节那天，五（1）班42名同学去参观博物馆，把他们分成人数相等的若干个小组，（每组至少2人，最多21人）共有( )种分法，若分成6组，每组人数是42的( )。（填“因数”或“倍数”） 【变式训练】（25-26五年级上·安徽宿州·期中）“每天一苹果，不去卫生所。”苹果素来享有“水果之王”的美誉，它的营养价值和医疗价值都很高，被越来越多的人称为“大夫第一药”。妈妈买来一篮苹果，共20个。现在要把它们至少分成2堆，使每堆中苹果的个数相同（至少2个），有几种分法？请列出来。 题型二：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（25-26五年级上·河南商丘·期中）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于2025年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵式。张老师买了20枚阅兵式纪念章准备送给同学们，现在要把这些纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，有多少种不同的装法？请一一列举出来。 【变式训练】（24-25五年级上·河南商丘·期中）妈妈买56个桔子，让欢欢把桔子放入水果盘中，要求每次拿的个数相同，但不能一个一个拿，也不许一次拿超过8个，拿到最后一个不剩，欢欢有几种拿法，每种拿法每次拿几个？ 题型三：找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·宁夏银川·期中）2024年7月30日，我国选手王楚钦和孙颖莎一路“过关斩将”获得中国奥运会乒乓球混双首金。实验小学六（1）班热爱兵乓球的学生们在家观看了比赛，观看比赛的人数是8的倍数，且在60~70人之间。六（1）班观看比赛的学生有多少人？ 【变式训练】（22-23五年级下·四川遂宁·期末）把一些袋装糖果平均分装在14个盒子里，结果正好装完。已知这些糖果在50～60袋之间，那么每盒装了( )袋糖果。 题型四：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（2025五年级下·全国·专题练习）小兵在文具店买了3本笔记本、1支钢笔、2支自动铅笔和4块橡皮。笔记本每本2元，钢笔每支5元，自动铅笔和橡皮的价格小兵记不清了售货员要小兵付18元，小兵马上说售货员把账算错了，你知道为什么吗？ 【变式训练】（23-24五年级下·河南南阳·期中）4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 题型五：倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（2025六年级·全国·竞赛）如图，在七个空白的方格内各填入一个正整数（可以相同），使得上下相邻的两个数，下面是上面的倍数；左右相邻的两个数，右面是左面的倍数，那么共有 种填法。 【变式训练】（23-24五年级下·江西上饶·期中）在中国传统文化中，常用到数字“6”，如六谷、六畜、六常，甚至秦朝“数以六为纪”。在现在数学上，数字“6”也非常特别，是一个完全数：当一个数恰好等于除它以外的所有因数的和，这个数是完全数。例如6的因数有1，2，3，6，且1＋2＋3＝6，下面各数中，（    ）也是完全数。 A．10 B．12 C．24 D．28 题型六：2、5的倍数特征 【典例精讲】（25-26五年级上·天津河西·期中）小精灵今年的年龄在10~20岁之间，且它的年龄既是5的倍数，又是45的因数，小精灵今年的年龄是( )岁。 【变式训练】（24-25五年级下·云南昭通·期中）“学习强国”是党中央推出的全国学习平台，明明“学习强国”的积分达到了1□7□分。这个四位数既是3的倍数，又是5的倍数，明明的积分最多有( )分。 题型七：奇数与偶数的认识 【典例精讲】（24-25六年级下·湖南长沙·期末）某小学六年级一共有992人在操场进行太极拳展示，排成了12行，前11行的人数都是奇数，那么最后一行的人数一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．不能确定 D．质数 【变式训练】（24-25五年级下·广西玉林·期中）五年级三个班的人数都是3的倍数，且都在30~40之间（不含30和40），但又各不相同。五（1）班的人数是奇数，五（2）班的人数是偶数，五（3）班的人数最少。这三个班各有多少人？ 题型八：3的倍数特征 【典例精讲】（24-25六年级下·内蒙古赤峰·期末）有0、2、4、9四张数字卡片，任意抽取其中的两张组成一个两位数，关于组成的两位数中“是3的倍数”和“是5的倍数”的可能性下列说法正确的是（    ）。 A．抽中3的倍数的可能性大 B．抽中5的倍数的可能性大 C．抽中3的倍数和5的倍数的可能性一样大 D．无法判断 【变式训练】（24-25五年级下·福建漳州·期末）智能家居给人们的生活带来便捷。妈妈给家里的智能大门设置六位密码，前四位是3345。后面两位数字忘记了，只记得这六位数既是3的倍数，又含有因数5。为了打开大门，妈妈最多需要试（    ）次。 A．1 B．4 C．5 D．7 题型九：2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级下·重庆南川·期末）张阿姨网购了一个背包，共花了2□□元。已知这个背包的总价既是2和5的倍数，又是3的倍数。那么这个背包最多（    ）元。 A．260 B．270 C．280 D．295 【变式训练】（24-25五年级下·湖北鄂州·期末）在标准大气压和15摄氏度的空气中，声音的传播速度约为340米/秒。340□同时是3和5的倍数，方框里可以填( )，15□既是3的倍数，又含有因数2，方框里最大填( )。 题型十：质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·湖北十堰·期中）爷爷家有一块长方形的菜地，这块菜地的周长是56米，并且长和宽的米数是不同质数，这块菜地的面积最大是多少？ 【变式训练】（25-26五年级上·广东韶关·期中）李老师电脑的开机密码是个六位数。万位和十万位上都是8的最大因数，千位和百位上是两个连续的质数，最后两位是20以内最大的质数。开机密码是（    ）。 A．882319 B．882317 C．883520 题型十一：质数与合数的综合应用 【典例精讲】（24-25五年级下·湖北十堰·期中）美美用一张手工纸折爱心，妈妈告诉她这张长方形纸的周长是10分米，并且它的长、宽的分米数是两个质数，这张长方形纸的面积是多少平方分米？ 【变式训练】（23-24五年级下·山西晋中·期中）生命在于运动，有人说走路是最好的运动，妈妈每天坚持走路，今天她的运动步数是一个五位数，位居排行榜第一。这个数万位上的数既不是质数也不是合数，千位上的数是10以内最大的质数，百位上的数是最大的一位数，十位上的数是最小的偶数，个位上的数是最小的合数。这个五位数是( )。 题型十二：运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（24-25五年级下·河南焦作·期中）哥德巴赫猜想被称为“数学皇冠上的明珠”，其内容为“任何一个大于2的偶数都可以表示成两个质数的和”。下面的算式中，（    ）符合这个猜想。 A．11＝5＋6 B．28＝11＋17 C．46＝22＋24 D．30＝25＋5 【变式训练】（24-25五年级下·河南新乡·期末）某数学家在1900年国际数学家大会上提出“孪生质数猜想”，孪生质数是指相差为2的两个质数。如3和5都是质数并且相差2，那么3和5就是孪生质数，同理5和7也是孪生质数。 (1)请你再写出一组20以内的孪生质数( )。 (2)和表示孪生质数，那么是( )，是( )。（填“奇数”或“偶数”） 1．（2025·河北保定·小升初模拟）著名的哥德巴赫猜想：“任意一个大于2的偶数，一定能写成两个质数相加的和”，该猜想成为数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。下面不符合哥德巴赫猜想的是（    ）。 A．20＝13＋7 B．100＝29＋71 C．44＝33＋11 D．60＝31＋29 2．（2025·浙江温州·小升初模拟）用一条长16cm的铁丝围成一个长和宽都是质数的长方形，它的面积是（    ）cm2。 A．7 B．12 C．15 D．55 3．（25-26五年级上·河北唐山·期中）亮亮和聪聪进行投篮比赛，选择下列方法（    ）决定谁先投是不公平的。 A．玩“锤子、剪刀、布”，谁赢谁先投 B．抛硬币，正面朝上亮亮先投，背面朝上聪聪先投 C．掷骰子，点数大于3亮亮先投，点数小于3聪聪先投 D．在标有1—10的卡片中抽取数字卡片，抽到奇数亮亮先投，抽到偶数聪聪先投 4．（24-25五年级上·江西九江·期末）笑笑把一些小正方形边挨着边摆长方形，可以摆出4种不同的长方形。小正方形的个数一定是（    ）。 A．奇数 B．质数 C．合数 5．某班来了两位富有经验的教师，他们的年龄相差4岁，而且每人年龄的各位数字之和都是5的倍数，那么较年长的老师最多是（    ）岁。 A．45 B．50 C．55 D．无法计算 6．（2026五年级下·全国·专题练习）“趣味数学节” 上，同学们玩 “掷骰子比输赢” 游戏，同时掷 2个完全相同的骰子，以点数之和判断输赢。 (1)点数之和共有( )种可能。 (2)若小红选择点数之和为偶数赢，小刚选择点数之和为奇数赢，他们赢的可能性( )（填“相同”或“不同”）。 7．（25-26五年级上·广东韶关·期中）郑和是世界航海先驱，他下西洋的首次航行始于公元1405年7月11日，共进行了7次航行，拜访了30多个国家和地区，是15世纪航海史上的空前壮举，比哥伦布发现美洲新大陆早87年，比达•伽马绕过好望角早98年，比麦哲伦到达菲律宾早116年。 上文中出现的“1405，7，11，30，15，87，98，116”这几个数中， (1)质数有( )； (2)既是合数又是奇数的是( )； (3)3的倍数有( )； (4)既是2的倍数，又是5的倍数的是( )，它的因数有( )。 8．（24-25五年级下·全国·课后作业）一个杯子杯口朝上放在桌上，翻动1次杯口朝下，翻动2次杯口朝上。 (1)翻动15次后杯口朝( )，翻动20次后杯口朝( )。 (2)得出上述答案的理由：15是( )数，当翻动( )数次时，杯口朝( )；20是( )数，当翻动( )数次时，杯口朝( )。 9．（24-25五年级下·湖北十堰·期中）第33届巴黎夏季奥林匹克运动会上共有206个国家和地区的10500名运动员参与了32个大项，329个小项的竞争。中国代表团获得了91枚奖牌，其中包括40枚金牌，27枚银牌和24枚铜牌。这些划线的数中：奇数有( )，偶数有( )，5的倍数有( )，3的倍数有( )。 10．（23-24五年级下·湖南株洲·期末）陈兰用36个苹果和24个桃做水果礼盒。要求：每个礼盒中都要有苹果和桃，且每个礼盒中苹果数相同，桃数也相同，所有的苹果和桃正好全部用完。用这些苹果和桃最多能做( )个礼盒，这时每个礼盒中有( )个水果。 11．对于一个自然数，如果它是偶数，就把它除以2；如果它是奇数，就把它加上1，这样称为一次操作。一个数如此循环操作4次之后，得到的结果是29，那么这个数所有可能的值的平均数是 。 12．（24-25五年级上·福建厦门·期末）一个整数除以2，除得的商正好是整数，而没有余数，这个整数就是偶数；反之，这个整数就是奇数。像0、2、4、36、58、146…都是偶数，像1、3、25、37、249…都是奇数。 （1）有人说：“奇数与奇数的和一定等于偶数”，你同意吗？请说明理由。 （2）关于奇数和偶数，你还能提出什么猜想？请验证你的猜想是否正确。 13．（25-26四年级上·广西贵港·期中）老师有一包糖果，总数在30到40颗之间。 如果每人分3颗，最后会剩下2颗。如果每人分5颗，最后会正好分完。 请问：这包糖果有多少颗？请写出你的思考过程。 这包糖果有（    ）颗。我是这么想的：________ 14．（24-25五年级下·全国·课后作业）少年宫是12路和17路公共汽车的始发站，12路公共汽车每10分钟发一次车，17路公共汽车每12分钟发一次车。这两路公共汽车在6：00同时发车后，下一次同时发车是什么时候？ 15．（24-25五年级上·广东佛山·期中）一个长方形花坛的长和宽是相邻的两个整数，长是一个质数，宽是一个合数，并且周长是18米。 （1）长方形的长是（    ）米，宽是（    ）米。 （2）如果花坛里面种满花，共花了696元，每平方米需要多少元？ （3）如果在这个花坛的四周铺一条1米宽的小路，每平方米需要铺水泥2.5吨，铺完这条小路需要多少吨水泥？ 16．（24-25五年级上·广东佛山·期中）把36个苹果装到若干个袋子里，每袋装得同样多，正好装完（没有剩余），共有多少种装法？（每个袋子至少有两个苹果） 17．（24-25五年级上·广东韶关·期中）军区准备派出侦察队前往前线侦察敌情，这个侦察队共有45人。上级要求侦察时要进行分组执行，每组人数必须一样，且不能一人单独行动。那么这个侦察队有几种分组方法？ 18．（25-26五年级上·广东韶关·期中）（1）韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长和宽都是整数米，且长是合数，宽是质数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？ （2）花坛里有两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 19．（24-25五年级上·广东揭阳·期中）房间里的3盏灯全部关着，现在每次拉两盏灯的开关。这样若干次后，有没有可能使3盏电灯全部亮着？为什么？ 20．某旅游景点的门票价格及优惠方法如下表： 人数 50人以内 51~99人 100人及以上 票价 30元/人 28元/人 25元/人 （例如：60人需要付门票费28×60＝1680元。） 导游星星和望望各带一个旅游团，如果分别购票，两个团共应付门票费3660元；如果两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元。若星星带的团人数多一些，那么星星带的团共有多少人？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $